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/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9570 < prev    next >
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Text File  |  1992-07-27  |  2.4 KB  |  49 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!sol.ctr.columbia.edu!ira.uka.de!fauern!fauna!cip.informatik.uni-erlangen.de!jnjohann
  3. From: jnjohann@cip.informatik.uni-erlangen.de (Jan Johannsen)
  4. Subject: Re: Stupid question about FLT
  5. References: <BrJtH1.24x@cs.psu.edu> <1992Jul19.195047.28807@galois.mit.edu> <1992Jul19.231456.21018@mailer.cc.fsu.edu> <1992Jul24.174752.25049@tamsun.tamu.edu>
  6. Message-ID: <Bs1rJ8.GBC@immd4.informatik.uni-erlangen.de>
  7. Sender: news@immd4.informatik.uni-erlangen.de (News Administration at faui45)
  8. Organization: CSD., University of Erlangen
  9. Date: Mon, 27 Jul 1992 12:18:44 GMT
  10. Lines: 37
  11.  
  12. cmenzel@tamsun.tamu.edu (Christopher P Menzel         ) writes:
  13.  
  14. >In article <1992Jul19.231456.21018@mailer.cc.fsu.edu> rose@fsu1.cc.fsu.edu writes:
  15. >>I suggest that if FLT is undecidable in one model of the integers, it is 
  16. >>undecidable is ALL models. It is no paradox that if it is undecidable, then 
  17. >>it is true. This is because undecidable simply means unable to prove true or 
  18. >>false. If we cannot (in principle) prove FLT false, this means that it IS 
  19. >>NOT FALSE.  
  20.  
  21. >You seem to be saying that inability to prove the negation of a
  22. >sentence implies that the sentence isn't false.  But, for example, we
  23. >cannot prove (in PA) the negation of the G\"{o}del sentence for PA,
  24. >but (reasoning in the usual way in our metatheory) it is false (in the
  25. >natural numbers) all the same.
  26.  
  27. Of course the implication   not (provable (not A)) -> A
  28. does not hold in general, but it holds for _universal_ sentences, 
  29. and of course FLT is a universal sentence (or at least, if you 
  30. define exponentiation, a \Pi_1- sentence, for which the same holds).
  31.  
  32. >>Whereas, it might be possible that no method exist to prove FLT
  33. >>is true.  Since we say that FLT is true if it is not false, we say that if 
  34. >>FLT is undecidable, then it is true.
  35.  
  36. >Correct me if I'm wrong, but I *think* the reason that the
  37. >undecidability of FLT implies its truth is simply that any
  38. >counterexample to FLT (i.e., a formula of the form a^n + b^n = c^n)
  39. >would be provable in PA.  Hence, FLT can't be both undecidable and
  40. >false.
  41.  
  42. Yes, and this can be generalized to any universal (or \Pi_1) sentence, since
  43. any counterexample would be an open (or bounded) formula, and all such 
  44. formulae are provable in PA iff they are true (in the REAL integers).
  45.  
  46. >Chris Menzel
  47.  
  48. J. Johannsen     jnjohann@immd1.informatik.uni-erlangen.de
  49.