home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9557 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-07-26  |  1.8 KB  |  47 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!usc!sdd.hp.com!mips!news.cs.indiana.edu!noose.ecn.purdue.edu!gn.ecn.purdue.edu!prasanth
  3. From: prasanth@gn.ecn.purdue.edu (Ravi K. Prasanth)
  4. Subject: Re: An interesting limit problem.
  5. Message-ID: <1992Jul26.131637.863@gn.ecn.purdue.edu>
  6. Organization: Purdue University Engineering Computer Network
  7. References: <1992Jul25.212844.1@lure.latrobe.edu.au>
  8. Date: Sun, 26 Jul 92 13:16:37 GMT
  9. Lines: 36
  10.  
  11. In article <1992Jul25.212844.1@lure.latrobe.edu.au>, mattm@lure.latrobe.edu.au writes:
  12. > A challenge to all mathematicians. A 100 years ago, this would probably have 
  13. > been solved fairly simply in a natural way, but can you? I think that this
  14. > problem was first posed by the Russian mathematician Arnold. Hope you find this
  15. > problem as interesting as I did when I first solved it.
  16. > 
  17. >             sin(tan x)    -    tan(sin x)
  18. >     lim  ----------------------------------  = ???
  19. >     x->0 arcsin(arctan x) - arctan(arcsin x)
  20. > 
  21. > Tim    email: mattm@lure.latrobe.edu.au
  22.  
  23. Suppose y = arcsin(arctan(x)). Then x = tan(sin(y)). Note that
  24. y(x) is continuous at x = 0 and x(y) is conitnuous at x. Also,
  25. if x -> 0 from above (below), then so does y -> 0.
  26.  
  27. Substituting for x in the expression whose limit is to be 
  28. found we get 
  29.  
  30.         arcsin(arctan y) - arctan(arcsin y)
  31.           ----------------------------------  
  32.              sin(tan y)    -    tan(sin y)
  33.  
  34. But this is exactly the inverse of the expression whose limit
  35. is to be found. Therefore, the limit exists and is equal to 1.
  36.  
  37.              sin(tan x)    -    tan(sin x)
  38.      lim  ----------------------------------  = 
  39.      x->0 arcsin(arctan x) - arctan(arcsin x)
  40.  
  41.         arcsin(arctan x) - arctan(arcsin x)
  42.      lim ----------------------------------  = 1 
  43.       x->0   sin(tan x)    -    tan(sin x)
  44.  
  45. Ravi K. Prasanth
  46.  
  47.