home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9492 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-24  |  1.5 KB
  1. Path: sparky!uunet!darwin.sura.net!wupost!zaphod.mps.ohio-state.edu!samsung!balrog!ctron.com!wilson
  2. From: wilson@ctron.com (David Wilson)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Iteration problem
  5. Message-ID: <4578@balrog.ctron.com>
  6. Date: 24 Jul 92 13:30:17 GMT
  7. Sender: usenet@balrog.ctron.com
  8. Lines: 38
  9. Nntp-Posting-Host: web
  10. To: a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (Arthur Rubin)
  11.  
  12.  
  13.  
  14.  
  15. Thanks for the reply on the iteration problem.  Not being well versed in
  16. the hyperbolic functions, I came up with the solution
  17.  
  18.     (1)  h (x) = ((x+sqrt(x^2-4)/2)^p + (x-sqrt(x^2-4)/2)^p).
  19.           p
  20.  
  21. which, I believe, is equivalent to your more concise
  22.  
  23.     (2)  h (x) = 2 cosh(p arccosh(x/2)).
  24.               p
  25.  
  26. It turns out that for integer p, hp is a polynomial.  A few interesting
  27. properties of hp can be deduced from (1) and (2).  For instance, the hp
  28. are compositionally commutative on the range x >= 2, since
  29.  
  30.     h (h (x)) = 2 cosh(p arccosh((2 cosh (q arccosh(x/2)))/2))
  31.          p  q
  32.           = 2 cosh(pq arccosh(x/2))
  33.  
  34.           = h  (x)
  35.                      pq
  36.  
  37. Also, (1) is reminiscent of the closed form expression of the Fibonnaci
  38. numbers, suggesting a similar recurrence, and indeed we find
  39.  
  40.     h (x) = x*h (x-1) - h (x-2)
  41.          p         p         p
  42.  
  43. Anyway, I thought it was a cute problem, but I probably wouldn't have
  44. posted it had I known it had such a straightforward solution.
  45.  
  46. David W. Wilson (wilson@ctron.com)
  47.  
  48. Disclaimer: "Truth is just truth...You can't have opinions about truth."
  49. - Peter Schikele, introduction to P.D.Q. Bach's oratorio "The Seasonings."
  50.