home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9464 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-23  |  2.6 KB
  1. Path: sparky!uunet!cis.ohio-state.edu!zaphod.mps.ohio-state.edu!uakari.primate.wisc.edu!ames!purdue!mentor.cc.purdue.edu!pop.stat.purdue.edu!hrubin
  2. From: hrubin@pop.stat.purdue.edu (Herman Rubin)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Logic and set theory
  5. Message-ID: <54895@mentor.cc.purdue.edu>
  6. Date: 23 Jul 92 18:06:28 GMT
  7. References: <22326.Jul2014.40.3392@virtualnews.nyu.edu> <1992Jul20.173716.6310@galois.mit.edu> <1992Jul23.042250.10738@mixcom.com>
  8. Sender: news@mentor.cc.purdue.edu
  9. Organization: Purdue University Statistics Department
  10. Lines: 37
  11.  
  12. In article <1992Jul23.042250.10738@mixcom.com> ttyytt@mixcom.com (Adam Costello) writes:
  13. >In article <1992Jul20.173716.6310@galois.mit.edu> tycchow@riesz.mit.edu (Timothy Y. Chow) writes:
  14.  
  15. >>But this is precisely the point!  Consider the "REAL" integers:  every
  16. >>set of axioms and syntactic rules that the "REAL" integers satisfies
  17. >>also admits nonstandard models.  How then do you propose to "define" the
  18. >>REAL integers with a fixed set of axioms and syntactic rules?
  19.  
  20. >I'm sorry if I begin to sound like a broken record, but please remember
  21. >that this is only true if you restrict your axioms to first-order
  22. >languages.  The REAL integers _can_ be defined (to within isomorphism)
  23. >in a second-order language.  Of course, this still doesn't get you a
  24. >complete number theory.  Also, using a second-order language requires
  25. >that one already knows what sets are.  If these still have to be defined,
  26. >then we're back to the same problem.  It's inescapable.  Set theory is
  27. >built on logic, but logic is defined in terms of sets.  People obviously
  28.                  ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
  29. >knew and understood both concepts well, before either was formalized.
  30.  
  31. This is definitely not so.  At least very much of logic does not require
  32. sets.  The logic needed in Godel's proof is only part of first-order
  33. intuitionistic logic, and requires no set theory at all.
  34.  
  35. The sentencial calculus was fairly well understood by Boole, etc., but
  36. that is about all that can be said about understanding either of these
  37. well, at least having an understanding which can be conveyed to others.
  38. There is much better understanding of logic than of set theory.  As
  39. someone who has worked with the objects of set theory, it is clear that
  40. much of the power of the field is due to the fact that one works with
  41. them, and knows how to, but they are quite vague.  The independence 
  42. makes it clear that we will never really see a well-ordering of the 
  43. reals, for example.
  44. -- 
  45. Herman Rubin, Dept. of Statistics, Purdue Univ., West Lafayette IN47907-1399
  46. Phone: (317)494-6054
  47. hrubin@pop.stat.purdue.edu (Internet, bitnet)  
  48. {purdue,pur-ee}!pop.stat!hrubin(UUCP)
  49.