home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9389 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-07-21  |  2.6 KB
  1. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!rpi!masscomp!catfish!ocpt!tinton.ccur.com!cjh
  2. From: cjh@tinton.ccur.com (Christopher J. Henrich)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Quadratic Residue Question
  5. Message-ID: <1992Jul20.190049.16274@tinton.ccur.com>
  6. Date: 20 Jul 92 19:00:49 GMT
  7. References: <1992Jul17.185526.26121@leela.cs.orst.edu> <1992Jul17.210332.2105@cs.umn.edu>
  8. Sender: news@tinton.ccur.com (News)
  9. Organization: Concurrent Computer Corp., Tinton Falls, NJ
  10. Lines: 65
  11.  
  12. In article <1992Jul17.210332.2105@cs.umn.edu> pires@cs.umn.edu (Luiz S. Pires) writes:
  13. >
  14. >
  15. >  Given an arbitrary number a and an odd prime p, I am trying to write a 
  16. > subroutine that decides whether a is a quadratic residue mod p.
  17. >
  18. >  I am familiar with a few of the rules available for manipulating the
  19. > "Legendre Symbol", including the law of quadratic reciprocity. However I 
  20. > can't think of an efficient way for handling this problem in the general
  21. > case.
  22. >  For example, if we have, say, a=31123 and p=45667, then I am not clear on
  23. > how to proceed. 
  24.  
  25. Besides the law of quadratic reciprocity, the key to this is
  26. the rule that
  27.  
  28.        /  AB  \          / A \      / B \
  29.       |  ----  |   =    | --- |  * | --- | .
  30.        \  P   /          \ P /      \ P /
  31.  
  32. And also,  if C == D (mod P) then
  33.  
  34.        / C \         / D \
  35.       | --- |   =   | --- |
  36.        \ P /         \ P /
  37.  
  38. (*What* a notation! In the rest of this posting I will write
  39. LEG(C, P) etc.)
  40.  
  41. To take up your example, 
  42.  
  43. LEG(31123, 45667) = - LEG(45667, 31123) by Q.R.
  44.           
  45.                   = - LEG(14544, 31123) by second rule
  46.  
  47.                   = - LEG(2**4 * 3**2 * 101, 31123) courtesy of
  48.                                                     "factor"
  49.                   = - LEG(101, 31123) by first rule
  50.  
  51.                   = - LEG(31123, 101) by Q.R.
  52.  
  53.                   = - LEG(35, 101) by second rule
  54.  
  55.                   = - LEG(5, 101) * LEG(7, 101) by first rule
  56.  
  57.                   = - LEG(101, 5) * LEG(101,7) by Q.R. 
  58.  
  59.                   = - LEG(1, 5) * LEG(3, 7) by second rule
  60.  
  61.                   = - LEG(3,7)  = LEG(7,3) = LEG(1,3) = 1.
  62.  
  63. References on the number theory: I suppose most "first courses" will
  64. show you this; I know that Vinogradov's book does.  Also
  65. refer to Hardy & Wright, which is a real encyclopedia of
  66. basic number theory.  
  67.  
  68. As a programming project, the difficult part is probably the
  69. factoring.  But you can generalize the Legendre symbol to have
  70. a composite second argument, as long as thetwo arguments are
  71. relatively prime.  I will stick my neck out and affirm that the'
  72. Q.R. formula is still true for the generalization.
  73.  
  74. Regards,
  75. Chris Henrich
  76.