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/ NetNews Usenet Archive 1992 #16 / NN_1992_16.iso / spool / sci / math / 9361 < prev    next >
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Text File  |  1992-07-21  |  2.8 KB  |  63 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!cs.utexas.edu!qt.cs.utexas.edu!yale.edu!ira.uka.de!math.fu-berlin.de!fauern!fauna!immd4.informatik.uni-erlangen.de!jnjohann
  3. From: jnjohann@immd4.informatik.uni-erlangen.de (Jan Johannsen)
  4. Subject: Re: You know, the integers (was: Re: Stupid question about FLT)
  5. References: <1992Jul19.232529.419@galois.mit.edu> <22326.Jul2014.40.3392@virtualnews.nyu.edu> <1992Jul20.173716.6310@galois.mit.edu> <1992Jul20.194435.7386@galois.mit.edu>
  6. Message-ID: <BrquHt.E5p@immd4.informatik.uni-erlangen.de>
  7. Sender: news@immd4.informatik.uni-erlangen.de (News Administration at faui45)
  8. Organization: CSD., University of Erlangen
  9. Date: Tue, 21 Jul 1992 14:49:05 GMT
  10. Lines: 51
  11.  
  12.  
  13.  
  14. tycchow@riesz.mit.edu (Timothy Y. Chow) writes:
  15.  
  16. >In article <1992Jul20.173716.6310@galois.mit.edu> I wrote:
  17. >>In article <22326.Jul2014.40.3392@virtualnews.nyu.edu> brnstnd@nyu.edu (Dan Bernstein) writes:
  18. >>>The answer is, to define a mathematical entity once and for all takes
  19. >>>nothing beyond a fixed set of axioms and (syntactic) rules for deriving
  20. >>>truths from those axioms. The trick is to find *interesting* entities.
  21. >>
  22. >>But this is precisely the point!  Consider the "REAL" integers:  every
  23. >>set of axioms and syntactic rules that the "REAL" integers satisfies
  24. >>also admits nonstandard models.  How then do you propose to "define" the
  25. >>REAL integers with a fixed set of axioms and syntactic rules?
  26. >>
  27. >>Perhaps you might try to use the fact that in ZFC one can formulate a
  28. >>proof that any two Peano structures are isomorphic.  In that case,
  29. >>consider nonstandard models of ZFC...
  30.  
  31. >Reading over this I thought it somewhat cryptic, so here's an expansion.
  32.  
  33. >I take "fixed set of axioms and syntactic rules" to mean a first-order
  34. >axiomatization.  Now it is well-known that there are models that are
  35. >elementarily equivalent (i.e., the same first-order sentences are true)
  36. >to the "real integers" but which are not isomorphic to the real integers.
  37. >So my challenge was to ask for a "definition" of the real integers of the
  38. >kind Dan Bernstein wants.
  39.  
  40. Following this thread I always wondered why noone ever mentioned the following
  41. possible answer:
  42.  
  43. Take the axioms for the upper half of a discretely ordered ring (about 15 axioms)
  44. and add the (infinite) \omega-rule of induction:
  45.  
  46.   A(0)   A(s0)  A(ss0)  A(sss0) ....
  47. --------------------------------------
  48.              \forall x A(x)
  49.  
  50. Then every true (first order) sentence about the integers is provable 
  51. with this machinery, and vice versa.
  52. Thus we have characterized the integers up to elementary equivalence.
  53.  
  54. And if anyone out there complains about the non-constructiveness of this
  55. approach, remember the theorem (I forgot the reference) that _recursive_
  56. proofs in this system suffice to do the same thing.
  57.  
  58. [Stuff deleted]
  59. >-- 
  60. >Tim Chow     tycchow@math.mit.edu
  61.  
  62. J. Johannsen     jnjohann@immd1.uni-erlangen.de
  63.