¢ FRAKT⇧LY¢¢¢ Pokud se rozhl[dnete okolo seme, vid)te okolo sebe nep@ebern[ tvary v%c). Pod)v*te-li se pozorn%ji, zjist)te naopak, (e p@)roda je vlastn% velmi &etrn* a (e se ur'it[ tvary neust*le s mal`mi obm%nami opakuj).¢ Vemte si t@eba mapu sv%ta a pod)vejte se na Amazonku. Na map% na&) republiky se pod)vejte t@eba na S*zavu 'i jakoukoliv jinou @eku. Na kter[koliv turistick[ map% se pod)vejte na jak`koliv potok. V(dy vypad* vodn) tok podobn%. Kdybyste neznali m%@)tko mapy, podle tvaru vodn)ch tok+ nem*te &anci jej odhadnout.¢ Stejn% tak kousek kamene je podobn` ho@e, v%tvi'ka se podob* stromu a sami jist% najdete velk[ mno(stv) dal&)ch p@)klad+. T%mito z*konitostmi se z*b`vaj) i matematikov[ a takov[ p@)klady naz`vaj) je frakt*lov`mi strukturami. Frakt*ly rozum)me n%jak[ struktury, kter[ se v sob% s n%jakou periodicitou samy opakuj). P@)kladem m+(e b`t t@eba tzv. sn%hov* vlo'ka Kochov[ - vych*z) vlastn% z rovnostrann[ho troj]heln)ka, jemu( postupn% na v&ech jeho stran*ch "vyr*()" dal&), st*le men&) rovnostrann[ troj]heln)ky. V tomto ')sle FLOPu najdete pod n*zvem VLOCKA.TBA jednoduch` program, kter` tento frakt*l kresl).¢ Pr*v% frakt*ly jsou ty spr*vn[ ]tvary, hod)c) se k popisu okoln) p@)rody. Kdyby mraky byly kulov[, hory ku(ely, @eky tekly po p@)mk*ch, byla by geometrie sv%ta velice jednoduch*. Takto to napsal B. Mandelbrot ve sv[ knize "Frakt*lov* geometrie p@)rody". Mandelbrot se rozhodl zm%@it d[lku pob@e() Britsk`ch ostrov+. Zvolil n%jak[ m%@)tko ╱nap@ 100 km$ a pot[ je "p@ikl*dal" na pob@e() a zkoumal, kolikr*t jej bude muset vyn[st. D[lka pob@e() je potom rovna d[lce m%@)tka vyn*soben[ho po'tem nanesen). Pot[ vzal m%@)tko s polovi'n) d[lkou a postupn% cel[ m%@en) znovu opakoval se st*le se zmen&uj)c)m m%@)tkem. Je samoz@ejm[, (e ')m men&) m%@)tko, t)m byl obvod v%t&), proto(e mal[ m%@)tko l[pe kop)ruje r+zn% rozeklan[ pob@e(). Ot*zkou z+st*v*, kam a( chceme p@i m%@en) zaj)t.¢ Nejr+zn%j&)ch frakt*l+ je obrovsk* spousta. Jmenujme nap@. Hilbertovu k@ivku, co( je @*ra vypluj)c) plochu, Cantorovo diskontinuum, funkce dr. Kochov[, kter* je spojit* a p@esto nem* v (*dn[m bod% derivaci atd.¢ J* bych tu cht%l p@edstavit snad nejzn*m%j&) Mandelbrot+v frakt*l. Odvozuje se od komplexn)ch ')sel. Pro ty, kte@) nev%d), o 'em mluv)m, velice stru'n[ p@ibl)(en). Komplexn) ')slo zapisujeme ve tvaru:¢¢ z = a ⇩ bi¢¢ kde a a b jsou norm*ln), b%(n* re*ln* ')sla a i je tzv imagin*rn) jednotka, pro n)( plat), (e i✓i=-1. Komplexn) ')sla ji( nelze vyn*&et na ')selnou osu. vyn*&)me ji do roviny, kde ')slo a je na re*ln[ ose x a b na imagin*rn) ose y. Komplexn) ')sla maj) velice zaj)mavou matematiku. Jen pro ilustraci: absolutn) hodnota komplexn)ho ')sla je v(dy re*ln* a je to vzd*lenost bodu o sou@adnic)ch a,b od po'*tku a po')t* se pomoc) pythagorovy v%ty. Tak komplexn) ')slo 3⇩4i m* absolutn) hodnotu 5.¢ B Mandelbrot se rozhodl vypo')tat pro r+zn* komplexn) ')sla c posloupnosti¢¢ z = z✓z ⇩ c¢¢ kde z je zpo'*tku 0 ╱0⇩0i$. V`sledek se umocn) na druhou a znovu se'te s p+vodn)m ')slem c. Mandelbrot zkoumal, kolik*t` 'len @ady p@esko') ur'itou mez ╱konkr[tn% kru(nici se st@edem v po'*tku a o polom%ru 2$. Pomoc) po')ta'e ╱bez n%j je to neprovediteln[$ prozkoumal celou komplexn) rovinu. V`sledky se daj) zobrazovat r+zn%, velice n*zorn[ a jednoduch[ je to pomoc) barevn`ch vrstevnic. Ve shod% s p+vodn)mi Mandelbrotov`mi p@edpoklady se uk*zala velice jemn* a komplikovan* struktura.¢ Kdy( jsem se p@ipravoval k naps*n) 'l*nku o frakt*lech, dostal se mi do rukou program RNDr Jarom)ra n%mce, kter` vy&el ve VTM 18/89. V turbobasicu umo(uje mapovat rovinu a v`sledky zobrazovat v gr. mdu 15. Sta') zadat oblast ╱formou x a y sou@adnic lev[ho doln)ho rohu$, zv%t&en) ve sm%ru osy x ╱vlastn% velikost obrazovky$ a limit, kolik nejv)c 'len+ @ady m* po')ta' zkou&et. Existuj) toti( nekone'n[ "hlubiny", ')sla, pro n%( 'lenov[ posloupnosti nikdy nep@ekro') hranici. B%(n` limit je 100. Program je nastaven tak, aby pro body roviny st@)dal postupn% barvy 'ervenou, modrou a zelenou. Pokud hranici p@ekro') a( 90 - 100 'len ╱posledn)ch 10 po')tan`ch 'len+$, zobraz) se tyto hrani'n) oblasti b)le. Program poskytuje pom%rn% p%kn[ obr*zky, z nich( dva tady uv*d)m. Jedinou podstatnou nev`hodou programu je velice dlouh* doba v`po'tu ╱@*dov% hodiny$, proto doporu'uji zad*vat v`po'ty nap@. p@es noc, kdy po')ta' stejn% "lelkuje" :-$.¢ P@i pokusech s t)mto programem doporu'uji postupovat tak, (e si na prvn)m obr*zku, ╱kter` byl po@)zen s parametry x=-3, Y=-1,5, zv%t&en)=5 a limit=100 - cel` obrazec$ oblast, kterou budete d*le zv%t&ovat. Nedoporu'uji zv%t&ovat v)ce jak 2x a( 4x, jinak se nemus)te do "sv[ho" motivu trefit. Net@eba snad p@ipom)nat, (e pro zv%t&ov*n) jsou u(ite'n[ pouze "strakat[" hrani'n) oblasti. Teoreticky m+(ete zv%t&ovat do nekone'na, vzhledem k tzv. BCD kdov*n) prom%nn`ch lze j)t prakticky do hodnot zv%t&en) 10 na -9, tedy miliardtiny. Komu se to zd* m*lo, nech④ uv*(), (e pokud budeme uva(ovat rozm%ry v metrech, tedy cel` obrazec bude velik` asi 2,5 metru, potom budeme moci na obrazovce vid%t struktury atom*rn)ch rozm%r+! P@i dramatick[m zv%t&ov*n) tak[ ji( nevysta')me s limitem 100, proto(e struktura by n*m zanikla v "b)l[m" hrani'n)m p*su, nebo by byla zcela "utopena" pod "hladinou". Nap@)klad druh` obr*zek je po@)zen s parametry x=-0.762314, y=0.082855, zv%t&en)=3.223E-6 a limit=250. Zv`&en) limitu v&ak nep@)jemn% prodlu(uje v`po'et. Druh` obr*zek byl po')t*n 9 a p+l hodiny, ov&em zkompilovanou verz) a p@i zhasnut[ obrazovce. Norm*ln% by v`po'et trval cca 26 hodin!¢ P@esto v%@)m, (e se V*m bude program l)bit a po@)d)te s n)m zaj)mav[ obr*zky. Nakonec bych mohl poradit je&t% dva "tipy". Zkuste nap@)klad:¢¢ x=-0.7026 y=0.3451,¢zv%t.=0.069 limit=100¢¢ a¢¢ x=-0.1354 y=0.9825¢zv%t.=0.0166 limit=100¢¢ Zvl*&t% druh` p@)klad je zal)mav`, proto(e tam najdete t[m%@ 100x zmen&en` obraz p+vodn)ho obrazu. Je to prost% frakt*l...¢¢ Jan Walla¢
