home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Archive Magazine 1996 / ARCHIVE_96.iso / discs / gerald / 4_10 / ComplexNos / ReadMe < prev    next >
Text File  |  1991-06-09  |  6KB  |  109 lines

  1. %OP%JUN
  2. %OP%DP0
  3. %OP%DFT
  4. %OP%PL0
  5. %OP%HM0
  6. %OP%FM0
  7. %OP%BM0
  8. %OP%LM4
  9. %CO:A,72,72%
  10. %C%Complex Numbers
  11. %C%by Gerald L Fitton
  12. %C%9th June 1991
  13.  
  14. Complex Numbers 
  15. Complex numbers are part of most GCE A level maths courses as well as 
  16. being obligatory for BTEC Engineers and many other courses.  The 
  17. paragraphs below might prove of particular interest to those of you 
  18. teaching complex numbers and who need to generate interesting and 
  19. instructive numerical examples.  If you are an educationalist then you 
  20. will be interested to know that I have found that getting students to 
  21. use actual numbers gives them a much better 'feel' for what is going on 
  22. than when they manipulate algebraic formulae.  'Hands on' learning is 
  23. particularly effective for the practical engineer, the teaching (or are 
  24. they called learning?) objectives are grasped much more quickly.  I 
  25. have received comments such as "I've never understood complex numbers 
  26. before" from mature engineers (with a decade of field work behind them) 
  27. after only a couple of hours of entering actual numbers into a 
  28. spreadsheet such as an extended version of the spreadsheet Complex01 
  29. described below.
  30.  
  31. First an introduction to complex numbers.
  32.  
  33. I have yet to find a hand calculator which will let me find the square 
  34. root of -4 or the logarithm of -1 even though, in the domain of complex 
  35. numbers both of these exist.  Perhaps the most famous complex number is 
  36. the square root of -1.  Sqr(-1) has two answers.  Mathematicians use 
  37. the symbol i and Engineers use j (because they use i for electric 
  38. current - well, that's what I've been told) for the positive square 
  39. root of -1.  The other square root of -1 is -i.  I prefer to say that 
  40. iá*áiá=á-1 rather than talk about i being the square root of -1.
  41.  
  42. Complex numbers can be considered to have two parts, a Real part and an 
  43. Imaginary part.  These may be visualised as the x any y coordinates of 
  44. a point on a two dimensional sheet of graph paper.  A complex number 
  45. such as (3á+á4i) is said to have a Real (x ) part of 3 and an Imaginary 
  46. (y) part of 4 and may be plotted as x and y coordinates on the so 
  47. called Argand Diagram (named after its inventor). After addition and 
  48. subtraction, perhaps the simplest thing that can be done with a complex 
  49. number is multiplication.  For example the square of (3á+á4i) is 
  50. (3á+á4i)(3á+á4i) which becomes 9á+á24i +á16i2.  Now, remember that i2 
  51. is really -1 and you get 9á+ á24iá-á16 as the answer.   This can be 
  52. simplified to -7á+á24i, a Real part of -7 and an Imaginary part of +24.  
  53. I think that a better way of looking at complex numbers is as pairs of 
  54. Real numbers for which the symbol i is used as a separator and, for 
  55. which, iá*áiá=á-1.
  56.  
  57. As an example I shall show you how to raise a complex number to any 
  58. power, even a complex power (later, try to find exp(-i*PI) - it 
  59. evaluates to -1).  The spreadsheet application I have called Complex01 
  60. has, as input, two complex numbers called z and w and I find z^w.  
  61. Screen01, is a screenshot showing the sheet Complex01 being used with 
  62. zá=ái and wá=á2 to find i^2á=á-1.  The intermediate steps are to find 
  63. the logarithm of z , multiply the logarithm by w and then use the 
  64. exponential function to find the inverse logarithm.  For those of you 
  65. more familiar with Real numbers, try out the formulae given in text 
  66. form in cell A13 of Screen01, z^w=e(w*ln(z)), on your calculator (using 
  67. a positive Real for z and a Real for w) and convince yourself that it 
  68. works.  Multiplication (as we have seen) can be used on complex 
  69. numbers; the two other very basic functions are exponentiation (exp) 
  70. and its inverse, the logarithmic function (ln - not log).  The 
  71. formulae for evaluating these functions as functions of complex numbers 
  72. are in the cells of the sheet.
  73.  
  74. All these 'clever' formulae (eg for ln and exp) are in the cell block 
  75. B11C13.  They appear as text in Screen02.  If you want to follow 
  76. through this tutorial then either type them in as expressions or load 
  77. the file Complex01 from the Archive monthly disc.
  78.  
  79. When you have Complex01 spreadsheet you can show that Real powers of 
  80. negative Real numbers work out correctly.   Screen03 is a snapshot of 
  81. the spreadsheet correctly evaluating (-2)^3á=á-8.  The intermediate 
  82. results show that ln(z) has an Imaginary part which, to 4 decimal 
  83. places, is 3.1416.  Do you recognise this number? Try using the 
  84. spreadsheet to prove that ln(-1)á=ái*p by entering -1 into B8 (the Real 
  85. part of z).
  86.  
  87. Screen04 is a shot that shows that (1á+ái)^4á=á-4.  You can work this 
  88. out by using the usual algebraic multiplication formulae (or the 
  89. binomial expansion) and replacing i2 with -1 whenever it occurs. 
  90.  
  91. Division of complex numbers is executed by multiplying by a reciprocal.  
  92. Division (or finding reciprocals) is a common GCE A level problem which 
  93. is solved numerically by using the value wá=á-1.   Put wá=á0.5 to find 
  94. the principal square root; the second root is a bit harder to find but 
  95. it can be deduced from the principal root.
  96.  
  97. If you have an interest in complex numbers then please write and let me 
  98. know what sort of numerical examples you would like to see in 
  99. spreadsheet format and I'll see what I can do for you.  On the July 
  100. 1991 PipeLine disc I have included more common functions of complex 
  101. variables such as the trigonometrical and hyperbolic functions (and 
  102. their inverses) so that you can use them, get numerical results (only 
  103. the principal values) and see how the functions are implemented.
  104.  
  105. I have found that electrical engineers particularly get highly 
  106. addicted to this spreadsheet and find it a most worthwhile learning 
  107. experience. I would like to hear from anyone who has done (or wants) a 
  108. complex numerical integration application.
  109.