TopWare Tools

home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search

/ TopWare Tools / TOOLS.iso / tools / top1646 / manual.txt < prev next >

Wrap

Text File | 1994-03-30 | 69.6 KB | 1,575 lines

══════════════════════════════════════════════════════════════════ D O K U M E N T A T I O N ══════════════════════════════════════════════════════════════════ ╔═════╗ ╔═════╗ ╔═══════╗ ╔═══════╗ ╔═╗ ╔═╗ ╔══════╗ ╔══╗ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ╔╝ ║ ║ ╔═╗ ║ ║ ╔═╗ ║ ║ ╔═══╗ ║ ╚══╗ ╔══╝ ║ ║ ║ ║ ║ ╔════╝ ╚═╗ ║ ║ ║ ║ ╚═╝ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ╚═══╝ ║ ║ ╚══╗ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ╚═══╝ ║ ║ ║ ║ ╔═══╗ ║ ║ ╔══╝ ║ ║ ║ ║ ╚═════╝ ║ ║ ║ ╔═══╗ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ╚════╗ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ║ ╔═╝ ╚═╗ ╚═╝ ╚═╝ ╚═╝ ╚═╝ ╚═╝ ╚═╝ ╚═╝ ╚══════╝ ╚═════╝ DER IDEALE TRAININGS - PARTNER ZUR UNTERSTUFEN - MATHEMATIK ══════════════════════════════════════════════════════════════════ S H A R E W A R E ══════════════════════════════════════════════════════════════════ Version 3.5 (C) 1989-94 Dipl.Math. OStR Theo Lambert Auf dem Backenberg 13 D-44801 B o c h u m ( 1 ) ══════════════════════════════════════════════════════════════════ I N H A L T S V E R Z E I C H N I S ══════════════════════════════════════════════════════════════════ Kurzinfo . . . . . . . . . . . . . 2 Shareware-Hinweis . . . . . . . . . . . 2 Vollversion . . . . . . . . . . . . . 3 Installation . . . . . . . . . . . . 4 Programm-Philosophie . . . . . . . . . . 5 Programm-Bedienung . . . . . . . . . . 6 Einstieg . . . . . . . . . . . . . . 6 Beispiel-Anwendungen . . . . . . . . . . 7 Grundrechnen . . . . . . . . . . . 7 Potenzen . . . . . . . . . . . . 8 Zahlensysteme . . . . . . . . . . . 8 Primzahlen . . . . . . . . . . . 8 Teiler . . . . . . . . . . . . . 9 Vielfache . . . . . . . . . . . . 9 Grössen . . . . . . . . . . . . . 10 Bruchrechnen . . . . . . . . . . . 10 Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . 11 Menüstruktur im Überblick . . . . . . . . 12 Grundrechnen . . . . . . . . . . . . 14 Potenzen . . . . . . . . . . . . . . 15 Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . 16 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . 17 Teiler . . . . . . . . . . . . . . 18 Vielfache . . . . . . . . . . . . . 20 Grössen . . . . . . . . . . . . . . 21 Bruchrechnen . . . . . . . . . . . . 23 Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . 26 ( 2 ) ══════════════════════════════════════════════════════════════════ K U R Z I N F O ══════════════════════════════════════════════════════════════════ M A T H E 1 ist ein Lern - / Trainingsprogramm für den Einsatz in der Schule und im Elternhaus. Das Programm umfaßt die Arithmetik der 5./6. Klasse und orientiert sich an den Lehrbüchern dieser Jahrgangsstufen mit folgenden Hauptauswahl - Punkten: ╔═════════════════════════════════════════════════════════════╗ ║ Grundrechnen │ Primzahlen │ Grössen ║ ║ Potenzen │ Teiler │ Bruchrechnen ║ ║ Zahlensysteme │ Vielfache │ Wahrscheinlichkeit ║ ╚═════════════════════════════════════════════════════════════╝ Die Anwender von M A T H E 1 sind insbesondere Lehrer, Schüler ( und deren Eltern ) aller Schulformen etwa von der 4-ten bis zur 8-ten Klasse, aber auch zur Nachhilfe darüber hinaus. Ein besonderes >> Plus<< von M A T H E 1 ist das reichhaltige Angebot an sinnvollen Trainings - Aufgaben zu allen wichtigen Themenbereichen der Unterstufen - Mathematik. Die Stärke des Programms liegt in der wohlüberlegten Konstruktion und Erzeug- ung der Aufgaben verbunden mit einer Motivation fördernden, sehr präzisen Leistungskontrolle und einer äußerst lehrernahen Ab- schlußbewertung. Speziell hervorzuheben sind auch die vielfältigen Simulations - und Spielmöglichkeiten unter dem Auswahlpunkt: Wahrscheinlichkeit. M A T H E 1 ist direkt vom Fachmann entwickelt und entspricht in seiner Konzeption dem aktuellen Stand der Mathematik-Didaktik. Das Programm wurde bereits während der Entwicklung über mehrere Jahre im Unterricht erprobt und hat bei allen beteiligten Schülern effektiv zur Steigerung der Rechenfertigkeit geführt. M A T H E 1 ist der ideale Trainer vor Klassenarbeiten und ein unermüdlicher Partner in Nachhilfefällen. Das Programm läßt sich altersgerecht ohne Computerkenntnisse sofort benutzen. Die registrierte Vollversion kostet nur 35.- DM. ══════════════════════════════════════════════════════════════════ H I N W E I S E zur S H A R E W A R E ══════════════════════════════════════════════════════════════════ Diese Ihnen vorliegende Prüfversion von M A T H E 1 wird nach dem SHAREWARE-KONZEPT vertrieben. Das Programm und diese Dokumen- tation dürfen Sie nach Belieben kopieren und kostenfrei an andere Interessenten weitergeben - vorausgesetzt, Sie lassen alles in un- veränderter Form. Der Besitz dieser Diskette beinhaltet jedoch nicht die fortdauernde uneingeschränkte Nutzung des Programms. Falls M A T H E 1 Ihren Vorstellungen von einem guten Lernpro- gramm entspricht und Sie Gefallen an seinen vielfältigen Einsatz- möglichkeiten gefunden haben, ist es an der Zeit ( spätestens 30 Tage nach erstem Gebrauch ), sich als regelmäßiger Benutzer regi- strieren zu lassen. Dies ist schlicht ein Gebot der Fairness (!) gegenüber dem Autor, dessen Leistung Sie sonst unentgeldlich er- schleichen. Außerdem verfügen Sie erst mit der Vollversion über alle aktuellen Optionen des Programms ohne jede Einschränkung. ( 3 ) ══════════════════════════════════════════════════════════════════ V O L L V E R S I O N ══════════════════════════════════════════════════════════════════ Erst mit der Vollversion erwerben Sie die Nutzungs-Lizenz und alle aktuellen Optionen des Programms, dessen Standard mit Sicherheit jede Shareware-Version übertrifft. M e r k e : Die aktuelle Vollversion läßt jede Shareware ziemlich alt aussehen! Die Lizenzgebühr soll sich schließlich lohnen. Nur durch eine Registrierung bleiben Sie auf dem neuesten Stand. Bestellungen der VOLLVERSION von M A T H E 1 mit allen aktuellen Erweiterungen erfolgen auf dem ausgedruckten Formular, das Sie als Text-Datei auf der Diskette vorfinden. Von der Betriebssystem- ebene erfolgt der Ausdruck einfach mit dem Befehl: A:> DRUCKE FORM <┘ Mit der Registrierung von MATHE1 erhalten Sie zusätzlich die Mög- lichkeit, die D R U C K - A U S G A B E von MATHE1 in Form des Zusatzprogramms P R I M A für einen geringen Preisaufschlag zu erwerben. Zur Zeit gilt folgende Preisliste (Stand 1/94): ------------------------------------------------------------------ * MATHE1 - EINZEL-LIZENZ . . . . . . . . . . . . . DM 35,- ** PRIMA - EINZEL-LIZENZ . . . . . . . . . . . . . DM 10,- *** MATHE1 - SCHUL-LIZENZ . . . . . . . . . . . . . DM 85,- **** PRIMA - SCHUL-LIZENZ . . . . . . . . . . . . . DM 30,- ------------------------------------------------------------------ Zum Vergleich: Was kostet eine einzige Nachhilfestunde ? Bestell-Hinweis: ---------------- Das Druckprogramm P R I M A ist nur in Verbindung mit MATHE1 zu bestellen. Eine Beschreibung dieses Zusatzprogramms finden Sie ebenfalls auf dieser Diskette. Lizenz-Hinweis: --------------- Die registrierten Vollversionen von M A T H E 1 und P R I M A sind bei Einzellizenz nur zu Ihrem persönlichen Gebrauch bestimmt und dürfen nicht an Dritte weitergegeben werden. Disketten-Kopien sind nur im Umfang der notwendigen Datensicherung anzulegen. Paralleler Einsatz des Programms auf mehreren Rechnern ( z.B. für Unterrichtszwecke ) ist nur bei S c h u l - L i z e n z erlaubt. Der Geltungsbereich der Mehrfachlizenz erstreckt sich nur auf die Schulungs-Rechner und kann nicht auf den privaten Nutzungsbe- reich übertragen werden. ( 4 ) ══════════════════════════════════════════════════════════════════ I N S T A L L A T I O N ══════════════════════════════════════════════════════════════════ M A T H E 1 läuft auf jedem IBM-kompatiblen PC/XT/AT mit belie- biger Grafikkarte und einem Diskettenlaufwerk und MS-DOS ab Version 2.x Die Diskette sollte folgende Dateien enthalten: MATHE1.EXE -> Programm-Code MANUAL.TXT -> Lesen Sie gerade FORMULAR.TXT -> Bestellschein DRUCKE.BAT -> Druckt Manual oder Bestellschein LESEN.BAT -> Zum Lesen des Manuals M1.BAT -> Programm-Start-Datei LIST.COM -> Hilfsprogramm zum Lesen Auf jeden Fall sollten Sie als erstes eine Sicherheitskopie der Programmdiskette anfertigen. Dazu legen Sie die Originaldiskette in Laufwerk A: und geben das Kommando: diskcopy A: A: <┘ Eine besondere Installation von M A T H E 1 ist nicht nötig, denn das Programm kann direkt von der Diskette gestartet werden mit dem Kommando: A:> MATHE1 <┘ oder kurz: A:> M1 <┘ Mit der Programmdiskette in Laufwerk A: und den folgenden Kommandos können Sie M A T H E 1 auch auf der Festplatte im Verzeichnis M1 installieren: C:> md M1 <┘ --> Verzeichnis M1 wird eingerichtet C:> cd M1 <┘ --> Wechsel ins neue Verzeichnis M1 C:\M1> copy A: *.* <┘ --> Kopieren der Diskette ins Verz. M1 Danach starten Sie das Programm mit: C:\M1> MATHE1 <┘ oder kurz: C:\M1> M1 <┘ HAFTUNGSAUSSCHLUSS: Eine Haftung jeglicher Art ist ausgeschlossen und eine Gewähr für die Erreichung eines bestimmten Ver- wendungszwecks kann nicht übernommen werden. Durch die Nutzung des Programms erklärt der Anwender sein Einver- ständnis mit o.g. Haftungsausschluß. ( 5 ) ══════════════════════════════════════════════════════════════════ P R O G R A M M - P H I L O S O P H I E ══════════════════════════════════════════════════════════════════ Das Programm M A T H E 1 wurde mit dem Ziel entwickelt, als Lern- und Lehrhilfe gleichermaßen für Schüler und Lehrer den Mathematikunterricht in der ERPROBUNGSSTUFE ( 5. / 6. Klasse ) zu unterstützen. Jeder wichtige Bereich der Arithmetik dieser Klassenstufen sollte in M A T H E 1 nach didaktischen Gesichts- punkten schülergerecht dargestellt werden. Das Programm soll keinen Lehrer ersetzen, sondern es dient zum Simulieren, Demonstrieren und Üben. Speziell im Trainingsangebot liegt das besondere >>Plus<< von M A T H E 1. Hier wird Rechnen zum Spaß : Der Computer stellt immer wieder neue Aufgaben ( nach vorherigen individuellen Einstellungen ) und bewertet die Lösungen des Lernenden nach dem üblichen Notenschema von " sehr gut " bis " ungenügend " bzgl. Richtigkeit, Bearbeitungs- zeit und Schwierigkeitsgrad. Auch die Notentendenz ("plus" zeigt zur besseren Note, "minus" zur schlechteren ) wird berücksichtigt. Die Beurteilungskriterien basieren auf der langjährigen Unter- richtspraxis des Autors und sind durch vielfältige Tests im Klasseneinsatz abgesichert. M A T H E 1 ist im Übungsbereich jedem herkömmlichen Schulbuch oder jeder sonstigen Lernhilfe bei weitem überlegen. Es schafft spielend ( im wahrsten Sinne des Wortes ) die nötige Motivation und garantiert objektive und unbestechliche Kontrolle.Die Stärkung der allgemeinen Rechenfertigkeit gehört zu den grundlegenden Bil- dungsaufgaben und ist das erklärte Ziel der vorliegenden Software. Kurz : M A T H E 1 macht Schluß mit der " Fünf in Mathematik " ! Deshalb gehört M A T H E 1 in die Programmsammlung eines jeden Schülers, ob nun zum täglichen Training oder zur Vorbereitung auf die nächste Klassenarbeit, ob in der Schule oder zu Hause. Auch der fortschrittliche Lehrer hat seine helle Freude an der Viel- zahl guter Programmideen. Mit Hilfe von P R I M A wird auch die Erstellung eines schriftlichen Arbeitsblattes zum Kinderspiel. Auf oberflächlichen Schnickschnack wurde bewußt verzichtet. Die funktionelle Gestaltung sollte einfach und überschaubar sein. Die Bedienungstasten sind in erster Linie die folgenden: <ESC>, <1>, <2>, . . . ,<9>, <0>, <BS>, <RET>, <LEER> , <J> , <N>. Die Beschränkung auf wenige Tasten bedeutet, daß der Schüler keine lange Einführung in die Programmbedienung benötigt, sondern gleich mit dem Rechnen beginnen kann. Außerdem soll er alles wie auf einer Tafel überblicken können. Die Einfachheit der gestalterisch- en Stilmittel fördert die Konzentration auf das Wesentliche. Kurz : M A T H E 1 ist nicht verspielt, aber spielend leicht ! ( 6 ) ══════════════════════════════════════════════════════════════════ P R O G R A M M - B E D I E N U N G ══════════════════════════════════════════════════════════════════ Die Bedienung von M A T H E 1 ist kinderleicht ( selbst Grund- schüler kommen auf Anhieb damit zurecht ! ). Der Benutzer wird mit Hilfe vorgegebener Auswahllisten ( Menüs ) durch das Programm geführt; Bedienungs- und Eingabefehler werden abgefangen. Eine zusätzliche Hilfe ist überflüssig, denn alles wird direkt am Bildschirm erklärt. Der Bildschirmaufbau besteht aus 3 festen Bereichen. In der Kopf- zeile steht der aktuell gewählte Menüpunkt und - falls möglich - der Hinweis " <ESC> = Zurück" zum Verlassen desselben. In der Fußzeile befinden sich jeweils aktuelle Eingabe-Kommandos. Die Bildschirmmitte umfaßt das eigentliche Rechenfeld. Hier wird ge- rechnet wie an der Tafel. Bei den Trainingseinheiten in der Regel so lange, bis die Tafel ( hier das Rechenfeld ) voll ist, so bleibt die Gesamtleistung - ob positiv oder negativ - stets im Blickfeld und kann am Schluß mit der Bewertung im Notenfenster verglichen werden. Beim Trainingsablauf bietet M A T H E 1 zwei Möglichkeiten: Den Trainingsdurchlauf o h n e Bewertung oder m i t Bewertung! In beiden Fällen gilt als besonderes >> Plus << : Zwischenzeitlicher Ausstieg oder Abbruch auf halber Strecke - vielleicht nach erstem Mißerfolg - ist nicht möglich, gekämpft wird bis zum Schluß. Ist doch Ehrensache ! Außerdem gibt es für Nachzügler eine Zeitstrafe - genau wie beim sportlichen Wettkampf - und das Startkommando für jede Trainingsrunde lautet natürlich : A c h t u n g , f e r t i g , l o s . . . ══════════════════════════════════════════════════════════════════ E I N S T I E G ══════════════════════════════════════════════════════════════════ Nach Programmstart meldet sich M A T H E 1 mit einem Begrüßungs- schirm, dann erscheint auf Tastendruck das Haupt-Menü mit allen Auswahlpunkten. Diese entsprechen den Kapiteln eines Schulbuches im Bereich der Unterstufen-Mathematik. Auf den folgenden Seiten finden Sie einen Ü b e r b l i c k und detaillierte Ausführungen zu allen Menü-Punkten. Durch Drücken einer Zifferntaste oder Auswahl mit Cursor und [RET] gelangt man nun zum Unter-Menü des Auswahlpunktes. Nochmaliges Drücken einer Zifferntaste oder Auswahl mit Cursor und [RET] gibt den Arbeitsbildschirm frei. Jetzt folgt man den jeweiligen Anwei- sungen am Bildschirm. Die Korrektur von Zahleneingaben im Arbeits- bildschirm erfolgt grundsätzlich mit der Löschtaste [<-]. Sie verlassen den Arbeitsbildschirm immer mit der <ESC> - Taste, falls diese am oberen rechten Bildschirmrand eingeblendet ist (z.B. erst nach vollständigem Durchlauf einer Trainingsrunde ), und ge- langen so zur vorherigen Menü-Auswahl. Hier können Sie mit einer neuen Auswahl das Programm fortsetzen. Wenn Sie M A T H E 1 beenden wollen, so benutzen Sie wieder die <ESC> - Taste bis zur letzten Sicherheitsabfrage und geben dann <J> für Beenden 'JA' oder <N> für Beenden 'NEIN' ein. Bei <N> startet das Programm von vorne. ( 7 ) ══════════════════════════════════════════════════════════════════ B E I S P I E L - A N W E N D U N G E N ══════════════════════════════════════════════════════════════════ Allgm. Hinweis: Die Abfrage " Benotung (J/N) " ist mit "J" vor- eingestellt und kann bei Bedarf auf "N" gesetzt werden. G r u n d r e c h n e n - T r a i n i n g -------------------------------------------- Die Auswahl <1> <1> führt zum Einmaleins-Training. Bei Schwierig- keitsstufe 1 liegen die Aufgaben im Bereich des "kleinen" Einmal- eins, bei 3 wird das "große" Einmaleins verlangt und 2 liegt dazwischen. Die Auswahl <1> <4> führt zum Training von Rechenketten. Zuerst legt man die Grenzen für die Aufgabenkonstruktion fest. Plus/Minus: z.B. 50 und Mal/Durch: z.B. 12 , Kettenlänge: z.B. 4. Wenn man ein falsches Resultat eingibt, so werden die Zwischenschritte zur Kontrolle eingeblendet. Die Auswahl <1> <5> führt zum Training der schriftlichen Addition. Als Voreinstellung zur Aufgabenkonstruktion wählt man zum Beispiel 3 Summanden und Schwierigkeitsstufe 3. Die Eingabe der einzelnen Stellen erfolgt ohne <RET>, erst zum Abschluß der Berechnung muß die <RET> - Taste gedrückt werden. Wie üblich kann man seine Ein- gabe mit der Löschtaste [<-Del] korrigieren. Die Auswahl <1> <7> führt zum Training der schriftlichen Multi- plikation. Als Voreinstellung zur Aufgabenkonstruktion wählt man z.B. für den 1. Faktor 4 und den 2. Faktor 2 Stellen. Die Rechnung beginnt unter der letzten Stelle des 1. Faktors mit der 1. Stelle des zweiten Faktors. Die Eingabe erfolgt stellenweise ohne <RET>, erst zum Abschluß einer Zeile muß die <RET> - Taste gedrückt werden. Wie üblich kann man seine Eingabe mit der Lösch- taste [<-Del] korrigieren. Typ(1) Typ(2) Beispiel: 1 2 3 4 * 5 6 1 2 3 4 * 5 6 ---------- -------------- 6 1 7 0 6 1 7 0 7 4 0 4 7 4 0 4 --------- ----------- 6 9 1 0 4 6 9 1 0 4 Die Auswahl <1> <8> führt zum Training der schriftlichen Division. Als Voreinstellung zur Aufgabenkonstruktion wählt man z.B. für den Divisor ( der steht hinten ) 2 und für den Dividend ( der steht vorne ) 4 Stellen. Der Quotient einer Divisionsaufgaben wird dann Stelle für Stelle ermittelt, wobei das Programm die zugehörige Rück-Multiplikation übernimmt ( Korrektur vor Eingabe von <RET> durch direktes Überschreiben). Anschließend wird der Rest bestimmt und die nächste Stelle heruntergeholt. Durch <RET> wird die jewei- lige Bearbeitungsebene abgeschlossen. Während der Eingabe des Quotienten kann man mit Hilfe der Löschtaste [<-] nachträglich jede Stelle korrigieren. Beispiel: 1 0 3 5 : 2 3 = 4 5 9 2 ----- 1 1 5 1 1 5 ----- 0 ( 8 ) Die Auswahl <1> <9> führt zu einem lehrreichen Spiel um Summen. Der Reiz des Spieles liegt in der einfachen, aber zugleich auch kniffligen Problemstellung: Kann man eine bestimmte Summe mit be- stimmten Zahlen bilden? Ziel des Spieles ist es, sich 36 Versuche lang über Wasser zu halten ( d.h. einen positiven Punktestand zu haben) um am Ende zum S u m m e n - K ö n i g erklärt zu werden. Man beginne am Anfang mit 6 Zahlen als Risiko. Das Summenspiel entpuppt sich bald als richtiger Familienspaß. Übrigens lassen sich die Computer-Ergebnissen auch hervorragend als Knobelaufgaben verwenden. Also Ratespaß ist angesagt! P o t e n z e n ---------------- Die Auswahl <2> <2> führt zur Potenzrechnung. Hier hat man die Wahl zwischen Einzelpotenzen <1> und Potenzprodukten <2>. Wähle 2 und gib z.B. folgendes ein: 2 <┘ 3 <┘ 3 <┘ 2 <┘ 5 <┘ 2 <┘ 1 <┘ Man erhält dann die Rechnung: 3 2 2 2 * 3 * 5 = 8 * 9 * 25 = 1800 Die Auswahl <2> <1> ermöglicht die Auflistung von Potenztabellen. Man hat die Wahl zwischen fester Basis ( Grundzahl ) mit <1> und festem Exponenten ( Hochzahl ) mit <2>. Bei Wahl von <2> und Eingabe: 2 <┘ erhält man z.B. eine Liste von Quadratzahlen. Bei Wahl von <1> und Eingabe: 3 <┘ erfolgt die Ausgabe der Dreier- potenzen. Z a h l e n s y s t e m e -------------------------- Die Auswahl <3> <1> führt zur Umrechnung von Dezimalzahlen in an- dere Zahlensysteme. Wähle als Systembasis z.B. 2 und als Dezimal- zahl z.B. 200. Die Auswahl <3> <2> führt zur Umrechnung von Systemzahlen in De- zimalzahlen. Wähle als Systembasis z.B. 8 und als Systemzahl z.B. 1234567. Die Auswahl <3> <3> führt zur Umwandlung von Dezimalzahlen in die römische Schreibweise. Wähle als Beispiel die Zahlen 444 und 8888. Die Auswahl <3> <6> führt zum Training der römischen Zahlen. Beachte die Hinweistafel und beginne mit Stufe 1. P r i m z a h l e n -------------------- Die Auswahl <4> <4> führt zum Training der Primfaktorenzerlegung. Jeden eingegebenen Primfaktor mit <RET> abschließen, dann Quo- tienten eingeben, usw. ( 9 ) T e i l e r ------------ Die Auswahl <5> <1> führt zur Teilermengen-Berechnung. Z.B. 7560 als Eimgabe liefert 64 Teiler, 764400000 sogar 576 Teiler und 588107520 die stolze Zahl von 1152 Teilern. Die Auswahl <5> <3> führt zur Durchführung des Euklid-Algorithmus ( ca 300 v. Chr. vom griechischen Mathematiker Euklid angegebenes Verfahren zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers - GGT - zweier natürlicher Zahlen a und b. Das Verfahren wird beendet, so- bald der Rest = 0 auftritt; der letzte von 0 verschiedene Rest ist dann der GGT. Das Verfahren ist äußerst schnell ). Z.B. Eingabe von a = 2584 und b = 1597 liefert die Berech- nung des GGT in 16 Schritten. Die Auswahl <5> <4> führt zum Training der Teilerregeln. Bekannt- lich ist eine natürliche Zahl teilbar durch: 2 bei Endziffer 0 , 2 , 4 , 6 , 8; 5 bei Endziffer 0 , 5; 3 bzw 9 falls ihre Quersumme durch 3 bzw 9 teilbar ist; (z.B. 9 teilt 1234566 , da 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 6 = 27) 4 falls das 2-stellige Ende durch 4 teilbar ist; (z.B. 4 teilt 34548 , da 4 die 48 teilt ) 6 falls sie durch 2 und 3 teilbar ist; 11 falls ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. (z.B. 11 teilt 123409 , da 9 + 4 + 2 - 1 - 3 - 0 = 11 ) Die Teiler-Aussagen sind mit <J> für "Ja" oder <N> für "Nein" zu markieren. (Die Eingabe erfolgt ohne <RETURN> und ist deshalb nicht zu korrigieren! ) Wähle Schwierigkeitsstufe 1. Die Auswahl <5> <5> führt zum Training von Teilermengen. Wähle Schwierigkeitsstufe 1. Die Teiler werden paarweise bestimmt in auf- steigender Reihenfolge. Durch Eingabe von <0> wird die Vollständig- keit bestätigt. V i e l f a c h e ------------------ Die Auswahl <6> <1> führt zur Berechnung von Vielfachmengen. Z.B. Eingabe a = 2 und b = 3 liefert die zugehörigen Vielfachmengen zuzüglich ihrer Schnittmenge. Die Schnittmenge unterstützt den kgV - Gedanken. Die Auswahl <6> <3> führt zum Training von Vielfachen. Die Element- Aussagen sind mit <J> für "Ja" oder <N> für "Nein" zu markieren. ( Die Eingabe erfolgt ohne <RET> und daher nicht zu korrigieren!) Wähle Schwierigkeitsstufe 1. Die Auswahl <6> <4> führt zum kgV - Training. Die Bildung des kgV ist Grundvoraussetzung für das Bilden von Hauptnennern beim Bruch- rechnen. Wähle Schwierigkeitsstufe 1. ( 10 ) G r ö s s e n -------------- Die Auswahl <7> <1> führt zum Training von Zeiten. Hier wird die richtige Handhabung von Zeitdauer ( z.B. 8:40 h ) und Zeitpunkten ( z.B. 17.10 Uhr ) im Rahmen einer Zeitentafel geübt. Die Auswahl <7> <2> führt zum Training von Gewichten. Hier wird die Umwandlung in die verschiedenen Maßeinheiten geübt. Bei der Wahl von Schwierigkeitsstufe 2 oder 3 werden auch Umwandlungen mit Dezimalbrüchen gefordert. Die Auswahl <7> <3> führt zum Training von Längen. Hier wird die Umwandlung in die verschiedenen Maßeinheiten geübt. Bei der Wahl von Schwierigkeitsstufe 2 oder 3 werden auch Umwandlungen mit Dezimalbrüchen gefordert. B r u c h r e c h n e n ------------------------ Die Auswahl <8> <2> führt zum umfangreichsten Trainings-Modul: Bruchrechnen. Man wähle aus dem Menü-Angebot einen Trainingsaspekt aus und folge den präzisen Anweisungen am Bildschirm. Der Ablauf ist in wohl dosierte Teilschritte gegliedert. Abschließendes Kürzen wird stets durch (J/N) abgefragt. Die Auswahl <8> <3> führt zum Trainings-Modul: Gleichungen mit Brüchen. Man wähle aus dem Untermenü eine bestimmte Operatorart wie [+], [-], [*], [:] oder eine Kombimation derselben. Bei der Wahl >> Vermischter Operator << werden alle Möglichkeiten durchlaufen. Nach Eingabe der Schwierigkeitsstufe muß noch der Gleichungs-Typ festgelegt werden. Auswahl 3 erfordert bei der Lösung keinerlei Termumstellungen und sollte zu Beginn gewählt werden. Auswahl 5 mischt alle Möglichkeiten zur Plazierung der Lösungsvariablen X. Zur Berechnung von X hat man den Raum einer Bildschirmbreite zur Verfügung. Bei der Brucheingabe kann man mit den Cursortasten <CrUp> und <CrDn> zwischen Zähler und Nenner wechseln, anschließend drückt man je nach Rechengang eine der Tasten [+], [-], [*], [:] oder [=] oder - um den Rechengang zu beenden - die <RETURN>-Taste. Bei einem falschen Ergebnis wird der korrekte Rechenweg am Bild- schirm ausgegeben. Die Auswahl <8> <4> führt zur Berechnung von Kettenbrüchen. Wähle <1> als Eingabe und gib den Bruch 17711/10946 ein. Die Darstel- lung der Näherungsbrüche ermöglicht ein optimales "Runden" großer Brüche. Zur Vorgabe eines Kettenbruches benutze die Auswahl <2>. Kettenbrüche eignen sich ebenso hervorragend als schriftliches Training zur Bruchrechnung; die Kontrolle erfolgt dann mit MATHE1. Die Auswahl <8> <5> führt zur Berechnung reinperiodischer Dezimal- brüche. Eingabe z. B. 1193. Es macht großen Spaß besonders lange Perioden zu suchen. Hilfreich hierbei ist die Auswahl <8> <6> zur Bestimmung von Zahlen mit maximaler Periodenlänge. ( 11 ) W a h r s c h e i n l i c h k e i t ------------------------------------ Die Auswahl <9> <2> eröffnet im Bereich Wahrscheinlichkeit die Glücksspielbude. Zuerst muß das Glücksrad eingerichtet werden. Die Sektoreinteilung dient als Basis für die Aufteilung der späteren Glücksfelder. Z.B. nimmt man bei Prozentangaben als Sek- toranzahl am besten 100, bei Gradangaben 360 und bei Promille- genauigkeit 1000. Als Beispiel nehme man 100 und lege die Feld- größen wie folgt fest: FeldNr. Sektoranzahl 1 50 2 25 3 12 4 6 5 4 6 2 7 1 Weiter geht es mit der Gewinnverteilung: FeldNr. Gewinn 1 0 2 1 3 2 4 3 5 5 6 10 7 50 Bei den finanziellen Konditionen wähle man z.B. als Einsatz: 2 DM, Bude: 500 DM und Spieler: 50 DM. Jetzt kann das Glücksspiel beginnen. Durch betätigen der <LEER>- Taste gibt der Spieler seinen Einsatz und das Glück nimmt seinen Lauf. Nach Abschluß einer Spielrunde erfolgt eine Spielanalyse. Um einen besseren Einblick in die Häufigkeitsverteilung der gezo- genen Feldnummern zu bekommen erscheint ein Balkendiagramm mit der Angabe der theoretischen Wahrscheinlichkeit ( Ideal ) und der tatsächlich aufgetretenen relativen Häufigkeit ( relH ). Zum Schluß hat der Benutzer die Möglichkeit an Hand eines Menüs die Spielbude an beliebiger Stelle zu wiederholen. Die Auswahl <9> <3> führt zur Simulation des Galtonschen Brettes. Das bekannte Nagelbrett ermöglicht die Demonstration der symmetr. Binomialverteilung wie sie beispielsweise beim 10-maligen Werfen einer Münze auftritt. Betrachtet man als Zufallsgröße die Anzahl der gefallenen >> Wappen <<, so reicht diese von 0 bis 10. Wappen-Anzahl 0 hat in diesem Beispiel dieselbe Wahrscheinlich- keit wie das Auftreffen einer Kugel im ersten Fach von links bei einem Galton-Brett mit 10 Nagelreihen. Die Chance im 2-ten Fach von links zu landen ist dieselbe wie Wappen-Anzahl 1 beim 10- fachen Münzwurf. Natürlich liegt der Erwartungswert bei 5 Wappen. Dies entspricht dem Fach in der Mitte des Galton-Brettes, in dem stets die meisten Kugeln landen. ( 12 ) ══════════════════════════════════════════════════════════════════ M E N U E - S t r u k t u r im Ü b e r b l i c k ══════════════════════════════════════════════════════════════════ G R U N D R E C H N E N - T R A I N I N G : - E I N M A L E I N S - E I N S D U R C H E I N S - E I N Z E L A U F G A B E N - K E T T E N A U F G A B E N - SCHRIFTLICHE A D D I T I O N - SCHRIFTLICHE S U B T R A K T I O N - SCHRIFTLICHE M U L T I P L I K A T I O N - SCHRIFTLICHE D I V I S I O N - S U M M E N S P I E L P O T E N Z E N - P O T E N Z T A B E L L E - P O T E N Z R E C H N U N G - T R A I N I N G Z A H L E N S Y S T E M E - D E Z I M A L in S Y S T E M Z A H L - S Y S T E M in D E Z I M A L Z A H L - D E Z I M A L in R Ö M I S C H E Z A H L - T R A I N I N G : D E Z in S Y S - T R A I N I N G : S Y S in D E Z - T R A I N I N G : R Ö M in D E Z P R I M Z A H L E N - P R I M Z A H L E N T A B E L L E - P R I M Z A H L E N S I E B von E R A T O S T H E N E S - P R I M F A K T O R Z E R L E G U N G - T R A I N I N G : P R I M - F A K - Z E R L E G U N G T E I L E R - T E I L E R M E N G E - G R Ö S S T E R G E M E I N S A M E R T E I L E R ( G G T ) - E U K L I D - A L G O R I T H M U S - T R A I N I N G : T E I L E R - R E G E L N - T R A I N I N G : T E I L E R M E N G E - T R A I N I N G : G G T V I E L F A C H E - V I E L F A C H M E N G E N - K L E I N S T E S G E M E I N S A M E S V I E L F A C H E S ( K G V ) - T R A I N I N G : V I E L F A C H E - T R A I N I N G : K G V G R Ö S S E N - T R A I N I N G : Z E I T E N - T R A I N I N G : G E W I C H T E - T R A I N I N G : L Ä N G E N - T R A I N I N G : F L Ä C H E N - T R A I N I N G : R A U M I N H A L T E ( 13 ) ══════════════════════════════════════════════════════════════════ F o r t s e t z u n g M E N U E - S t r u k t u r ══════════════════════════════════════════════════════════════════ B R U C H R E C H N E N - A U T O M A T - T R A I N I N G : B R Ü C H E - A D D I T I O N - S U B T R A K T I O N - M U L T I P L I K A T I O N - D I V I S I O N GANZE & BRUCH - D I V I S I O N BRUCH & BRUCH - G E M I S C H T E Z A H L E N - K Ü R Z E N / E R W E I T E R N - V O L L S T Ä N D I G K Ü R Z E N - D E Z I M A L B R Ü C H E - T R A I N I N G : G L E I C H U N G E N - P L U S - O p e r a t o r - M I N U S - O p e r a t o r - M A L - O p e r a t o r - D U R C H - O p e r a t o r - P L U S / M I N U S - O p e r a t o r - M A L / D U R C H - O p e r a t o r - V E R M I S C H T E R - O p e r a t o r - K E T T E N B R Ü C H E - P E R I O D E N B E R E C H N U N G - P E R I O D E N L Ä N G E W A H R S C H E I N L I C H K E I T - G L Ü C K S R A D S I M U L A T I O N - G L Ü C K S S P I E L B U D E - G A L T O N B R E T T ( 14 ) ══════════════════════════════════════════════════════════════════ >> G R U N D R E C H N E N << ══════════════════════════════════════════════════════════════════ <1> E I N M A L E I N S - Trainingspaket von 24 zufällig erdachten Aufgaben zur Multiplikation, einstellbar bis 10x10 oder bis 10x20 oder bis 20x20 Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) <2> E I N S D U R C H E I N S - Trainingspaket von 24 zufällig erdachten Aufgaben zur Division, einstellbar bis 100 : 10 oder 200 : 10 oder 400 : 20 Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) <3> E I N Z E L A U F G A B E N - Trainingspaket von 16 zufällig erdachten vermischten Aufgaben zu den Grundrechenarten wie: 17 + 5 = ? , 9 * 8 = ? , 37 - 19 = ? , 56 / 7 = ? . . . mit variabler Begrenzung des Rechenraume Einstellung/ --> Empfehlung: Höchstrechnung bei Plus/Minus (25..999) --> 25 bzw 50 bzw 100 und Mal/Durch (10..25) --> 10 bzw 12 bzw 20, Typ 1 oder 2 <4> K E T T E N A U F G A B E N - Trainingspaket von zufällig erdachten Rechenketten vorgebbarer Länge wie : ((17 + 5) / 2 - 6) * 4 = ? mit variabler Begrenzung des Rechenraumes Einstellung/ --> Empfehlung: Höchstrechnung bei Plus/Minus (25..999) --> 25 bzw 50 bzw 100 Mal/Durch (10..25) --> 10 bzw 12 bzw 20 und Länge einer Kette (3..8) --> 4 oder 5 <5> SCHRIFTLICHE A D D I T I O N - Trainingspaket von zufällig erdachten Additionsaufgaben mit stellengerecht plazierten Summanden bei vorgebbarer Anzahl ( bis 10 ) und Länge ( bis 8 ) Einstellung/ --> Empfehlung: Summanden (2..10) --> 2 bzw 5 bzw 10 Schwierigkeitsstufe (1..7) --> 3 oder 4 <6> SCHRIFTLICHE S U B T R A K T I O N - Trainingspaket von zufällig erdachten Subtraktionsauf- gaben mit stellengerecht plazierten Minuenden bei vor- gebbarer Schwierigkeit für bis zu 8-stellige Zahlen Einstellung/ --> Empfehlung: Schwierigkeitsstufe (1..7) --> 3 oder 4 <7> SCHRIFTLICHE M U L T I P L I K A T I O N - Trainingspaket von zufällig erdachten Multiplikations- aufgaben für bis zu 5-stellige Faktoren in stellenge- rechter Darstellung Einstellung/ --> Empfehlung: Stellen 1.Faktor (2..5) --> 3 oder 4 Stellen 2.Faktor (1..4) --> 2 oder 3, Typ 1 oder 2 ( 15 ) <8> SCHRIFTLICHE D I V I S I O N - Trainingspaket von zufällig erdachten Divisionsaufgaben bei vorgebbarer Länge ( Dividend bis 8, Divisor bis 4 ) in stellengerechter Darstellung Einstellung/ --> Empfehlung: Stellen Divisor (1..4) --> 2 oder 3 Stellen Dividend (3..8) --> 5 oder 7 <9> S U M M E N S P I E L - Der Computer zeigt bis zu 10 verschiedene zufällige Zahlen zwischen 1 und 100 an. Die Aufgabe des Spielers besteht darin, einen Summenwert anzugeben, der sich nicht aus den gegebenen Zahlen durch Addition bilden läßt. Für jede >> unmögliche << Summe bekommt der Spieler Punkte, für jede Summendarstellung, die der Computer findet, werden allerdings wieder Punkte abgezogen. Ziel des Spieles ist es, 36 Versuche durchzuhalten und damit Summen-König zu werden. ══════════════════════════════════════════════════════════════════ >> P O T E N Z E N << ══════════════════════════════════════════════════════════════════ n Eine Potenz ist ein Produkt aus n Faktoren a, geschrieben: a Der Faktor a heißt Basis, seine Anzahl n Exponent. Das ausmultiplizierte Produkt einer Potenz ist der Potenzwert. Potenzen der Basis 2, 3, usw. heißen 2er-Potenzen, 3er-Potenzen, usw. Potenzen mit dem Exponenten 2 bzw. 3 heißen Quadrat- bzw. Kubik-Zahlen. <1> P O T E N Z T A B E L L E - Berechnung und tabellarische Darstellung von Potenzen zu vorgegebener Basis oder Exponenten Einstellung: <1> Feste Basis (2..9) oder <2> Fester Exponent (2..9) <2> P O T E N Z R E C H N U N G - zur Berechnung von Einzelpotenzen oder Potenzprodukten Einstellung: <1> Einzelpotenz oder <2> Potenzprodukte <3> T R A I N I N G - Zufallspaket von 16 vermischten Potenzaufgaben in der Fragestellung nach Potenzwert, Basis oder Exponent ( 16 ) ══════════════════════════════════════════════════════════════════ >> Z A H L E N S Y S T E M E << ══════════════════════════════════════════════════════════════════ Das gebräuchlichste Zahlensystem ist das Dezimalsystem. Der Wert jeder Ziffer einer Zahl hängt von der Stelle ab, an der sie inner- halb der Zahl geschrieben ist. ( Daher Stellenwert oder Positions- system ). Die Stellenwerte sind 10 er Potenzen, d.h. von links nach rechts: 1, 10, 100, 1000, . . . Legt man den Stellenwerten eine andere Basis zugrunde (z.B. 2, 3, 4, . . . ), so spricht man vom 2er-System, 3er-System, 4er-System. Die Stellenwerte entsprechen dann von links nach rechts den Potenz- werten der gewählten Basis: 2er-System: 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128, 256, 512,1024, ... 3er-System: 1 , 3 , 9 , 27 , 81 , 243 , 729 , . . . 4er-System: 1 , 4 , 16 , 64 , 256 , 1024 , . . . 5er-System: 1 , 5 , 25 , 125 , 625 , 3125 , . . . Man beachte, daß die höchste Ziffer in einem Stellenwertsystem um 1 kleiner ist als die Basis. So kennt das 2er-System nur die Ziffern 0 und 1 und ist deshalb bestens geeignet zur internen Zahlendarstellung in Computern. Im Gegensatz dazu ist die römische Zahlenschreibweise kein Stellen- wertsystem, sondern ein Additionssystem. Jede Ziffer hat dort einen festen Wert: M D C L X V I 1000 500 100 50 10 5 1 Der Zahlenwert ergibt sich durch Addition der Ziffernwerte. Dabei ist zu beachten: Steht eines der Zeichen I, X, C v o r seinen beiden nächst- höheren Zeichen, so wird sein Wert von diesem subtrahiert. <1> D E Z I M A L in S Y S T E M Z A H L - Umwandlung von Dezimalzahlen in andere Zahlensysteme der Basis 2 bis 8 mit Darstellung in der Stellentafel Einstellung: Systembasis (2..8) <2> S Y S T E M in D E Z I M A L Z A H L - Umwandlung von Zahlen anderer Zahlensysteme der Basis 2 bis 8 in Dezimalzahlen mit Darstellung in der Stellen- tafel Einstellung: Systembasis (2..8) <3> D E Z I M A L in R Ö M I S C H E Z A H L - Umwandlung von Dezimalzahlen in die römische Zahlen- darstellung ( 17 ) <4> T R A I N I N G zu D E Z in S Y S - Zufallspaket von 16 Umwandlungsaufgaben zu vorgebbarer Basis und Stellenanzahl Einstellung: Systembasis (2..8) und Höchststellenzahl zur Begrenzung der Länge der Systemzahl <5> T R A I N I N G zu S Y S in D E Z - Zufallspaket von 16 Umwandlungsaufgaben zu vorgebbarer Basis und Stellenanzahl Einstellung: Systembasis (2..8) und Höchststellenzahl zur Begrenzung der Länge der Systemzahl <6> T R A I N I N G R Ö M in D E Z - Zufallspaket von 16 Umwandlungsaufgaben von römischen Zahlen ins Dezimalsystem Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) ══════════════════════════════════════════════════════════════════ >> P R I M Z A H L E N << ══════════════════════════════════════════════════════════════════ Eine natürliche Zahl p heißt Primzahl, wenn sie genau 2 Teiler hat, nämlich die trivialen Teiler 1 und sich selbst. Die Folge der Primzahlen beginnt mit 2 und ist unendlich lang. Weil jede natürliche Zahl größer als 1 eindeutig als Produkt ihrer Primfaktoren geschrieben werden kann ( wie 60 = 2 * 2 * 3 * 5 ), sind die Primzahlen sowas wie die multiplikativen Bausteine der natürlichen Zahlen. Besonders anschaulich erhält man eine Tabelle der Primzahlen nach einer Methode, die auf den griechischen Philosophen Eratosthenes (276 bis 195 v.Chr.) zurückgeht. Aus der vollständigen Zahlenreihe streicht man nacheinander Die Vielfachen von 2 , 3 , 5 usw. Die übriggebliebenen Zahlen sind ( da keine Vielfachen ) ausnahms- los prim. <1> P R I M Z A H L E N T A B E L L E - Berechnung und tabellarische Darstellung von Primzahlen in gewähltem Intervall mit Bestimmung ihrer Anzahl Einstellung: Untergrenze und Obergrenze je 9-stellig <2> P R I M Z A H L E N S I E B von E R A T O S T H E N E S - Darstellung der Siebmethode zur Ermittlung von Prim- zahlen durch schrittweises Löschen von Vielfachen <3> P R I M F A K T O R Z E R L E G U N G - Berechnung der Primfaktoren einer maximal 9-stelligen Zahl und ihre Darstellung in Potenzschreibweise <4> T R A I N I N G zu P R I M - F A K - Z E R L E G U N G - Zufallspaket von 4 Zerlegungsaufgaben in übersichtlichen Teilschritten, einzeln für jeden Primfaktor und mit Schwierigkeitsstufe (1..3). ( 18 ) ══════════════════════════════════════════════════════════════════ >> T E I L E R << ══════════════════════════════════════════════════════════════════ Eine natürliche Zahl a ist Teiler einer anderen natürlichen Zahl b, wenn die Division b : a glatt aufgeht. Die Zahl b heißt dann auch Vielfaches von a. Alle Teiler einer Zahl b bezeichnet man als Teilermenge von b. Zu jedem Teiler a von b gehört ein Komplementär-Teiler c von b , denn es gilt: b = a * c Die Teilermenge einer Zahl besteht also aus Paaren komplementärer Teiler. Diese Eigenschaft macht man sich beim Aufschreiben der Teilermenge zunutze: T(12) ────┬──── 1 │ 12 2 │ 6 3 │ 4 Hierbei bezeichnet man 1 und 12 als triviales Teilerpaar. Von 1 startend sucht man den nächst größeren Teiler mit seinem Partner. Man hat alle Teiler gefunden, wenn zwischen dem letzten Paar kein Teiler mehr existiert. Untersucht man die gemeinsamen Teiler zweier Zahlen a und b , so bilden diese wiederum eine Teilermenge, nämlich die Teilermenge des sogenannten größten gemeinsamen Teilers ( g g T ) von a und b. Den g g T benötigt man zum vollständigen Kürzen von Brüchen und zur raschen Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen. Wie man den ggT möglichst geschickt bestimmt, zeigt folgende Über- legung: Der ggT von a und b kann nicht größer sein als der Betrag der Differenz von a und b, also: g g T ( a, b ) ≤ │ a - b │ Beispiel: g g T (56, 70) ≤ 70 - 56 = 14 Genaugenommen muß der ggT diese Differenz sogar teilen, d.h. man errechnet den ggT wie folgt: g g T (56, 70) = g g T (56, 70 - 56) = g g T ( 56, 14 ) = 14 Algorithmisiert man diese Methode konsequent, so erhält man den so- genannten Euklidischen Algorithmus zur GGT-Bestimmung. ( 19 ) <1> T E I L E R M E N G E - Berechnung und tabellarische Darstellung der Teilermenge einer maximal 9-stelligen Zahl zzgl. Anzahlbestimmung <2> G R Ö S S T E R G E M E I N S A M E R T E I L E R (GGT) - Berechnung des GGT maximal 9-stelliger Zahlen <3> E U K L I D - A L G O R I T H M U S - schrittweise Darstellung der Division-Rest-Methode zur GGT-Bestimmung und Anzeige der Gesamtschritteanzahl <4> T R A I N I N G der T E I L E R R E G L N - Zufallspaket von 8 Aufgaben zur Teilbarkeitsbestimmung. Die Test-Teiler: 2, 3, 4, 5, 6, 9, 11 sind vorgegeben und müssen bzgl. der Testzahlen als Teiler oder Nicht- Teiler mit <J> oder <N> markiert werden. Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) <5> T R A I N I N G zu T E I L E R M E N G E - Zufallspaket von 5 Aufgaben zur vollständigen tabella- rischen Teilermengenbestimmung Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) <6> T R A I N I N G zu G G T - Zufallspaket von 16 Aufgaben zur GGT-Bestimmung Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) ( 20 ) ══════════════════════════════════════════════════════════════════ >> V I E L F A C H E << ══════════════════════════════════════════════════════════════════ Die Begriffe Vielfaches und Teiler hängen eng miteinander zusammen, denn ist b ein Vielfaches von a ( d.h. b = n * a ), so ist a ein Teiler von b. Alle Vielfachen einer Zahl bilden deren Vielfachmenge. Im Gegensatz zu den endlichen Teilermengen sind Vielfachmengen unendlich. Beispielsweise sind die Vielfachen von 2 alle geraden Zahlen, die Vielfachen von 3 die sogenannte 3er-Reihe. Von besonderer Be- deutung sind nun die Vielfachen, die zwei Zahlen gemeinsam haben, z.B. 6 , 12 , 18,. . . sind gemeinsame Vielfache von 2 und 3. In der Mengensprache bezeichnet man diesen gemeinsamen Teil der Vielfachmenge von 2 und der Vielfachmenge von 3 als Schnittmenge. Hierbei ist das erste Element dieser Schnittmenge genau das kleinste gemeinsame Vielfache ( k g V ) der Ausgangszahlen. Man benötigt das k g V speziell in der Bruchrechnung zur Bildung des Hauptnenners, da man prinzipiell nur nennergleiche Brüche addieren kann. Eine simple Methode zur kgV-Bestimmung zweier Zahlen liegt darin, die größere der beiden Zahlen solange zu vervielfachen bis sie die kleinere Zahl als Teiler enthält. Ein wirkungsvolleres Vorgehen ergibt sich aus der zentralen Beziehung zwischen kgV und ggT : kgV (a, b) * ggT (a, b) = a * b d.h. kgV (a, b) = a : ggT (a, b) * b Man bestimmt also zuerst den ggt beider Zahlen, dividiert damit anschließend eine der beiden Zahlen und multipliziert das Ergebnis mit der anderen Zahl. Bei teilerfremden Zahlen ( ggT = 1 ) ist also stets kgV (a, b) = a * b. Beispiel: ggT ( 24, 20 ) = 4 und 24 : 4 = 6 kgV ( 24, 20 ) = 6 * 20 = 120 Diese Methode ist wesentlich schneller als der umständliche Gang über die Primfaktorzerlegung, denn bei zweistelligen Zahlen ist der ggT mit der Differenzen-Methode in der Regel schnell zu erkennen. <1> V I E L F A C H M E N G E N - Berechnung und Darstellung je zweier Vielfachmengen mit ihrer Schnittmenge <2> K L E I N S T E S G E M E I N S A M E S V I E L F A C H E S ( K G V ) - Berechnung des KGV maximal 9-stelliger Zahlen ( 21 ) <3> T R A I N I N G zu V I E L F A C H M E N G E N - Zufallspaket von 24 Aufgaben zu Vielfachmengen in Form von Element- bzw. Nichtelement-Aussagen. Diese sind mit <J> oder <N> zu markieren. Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) <4> T R A I N I N G zum K G V - Zufallspaket von 16 Aufgaben zur KGV-Bestimmung Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) ══════════════════════════════════════════════════════════════════ >> G R Ö S S E N << ══════════════════════════════════════════════════════════════════ In der anwendungsorientierten Mathematik spielen Größen eine wichtige Rolle. Dazu zählen Zeiten, Gewichte, Längen, Flächen und Rauminhalte. Eine Größe besteht aus Maßzahl und Maßeinheit. Jeder Größenbereich verfügt über ein abgestuftes System ver- schiedener Maßeinheiten von "klein" bis "groß". So ergibt sich die Notwendigkeit innerhalb eines Größenbereichs von einer Einheit zur anderen umzuwandeln. Hierbei kommt es entscheidend auf den Umwand- lungsfaktor an. Längenmaße: 1 km = 1000 m ------------ 1 m = 10 dm 1 dm = 10 cm 1 cm = 10 mm x10 x10 x10 x1000 Umwandlungsfaktoren: mm -----> cm -----> dm -----> m -------> km Flächenmaße: ------------- 1 km2 = 100 ha 1 ha = 100 a 1 a = 100 m2 1 m2 = 100 dm2 1 dm2 = 100 cm2 1 cm2 = 100 mm2 x100 Umwandlungsfaktor zwischen benachbarten Einheiten: ------> Raummaße: 1 m3 = 1000 dm3 ---------- 1 dm3 = 1000 cm3 1 cm3 = 1000 mm3 x1000 Umwandlungsfaktor zwischen benachbarten Einheiten: -------> ( 22 ) Gewichtsmaße: 1 t = 1000 kg -------------- 1 kg = 1000 g 1 g = 1000 mg x1000 Umwandlungsfaktor zwischen benachbarten Einheiten: -------> Zeitmaße: 1 d = 24 h ---------- 1 h = 60 min 1 min = 60 s Bei Zeitangaben unterscheidet man zwischen Z e i t d a u e r (gemessen in d = Tag, h = Stunde, min = Minute, s = Sekunde ) und Z e i t p u n k t e n (gemessen in Uhr ). Z.B. Anfangszeit Endzeit Zeitdauer 10.27 Uhr 16.52 Uhr 6 h 25 min = 6:25 h <1> T R A I N I N G : Z E I T E N - Zufallspaket von 8 Aufgaben zur Berechnung von Zeitdauer und Zeitpunkten in Form eines Zeitenplans mit Anfangszeit, Endzeit und Zeitdauer entsprechend dem obigen Beispiel. Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) <2> T R A I N I N G : G E W I C H T E - Zufallspaket von 16 Umwandlungsaufgaben zwischen den ver- schiedenen Einheiten. Bei den Schwierigkeitsstufen 2 und 3 erfordert die Zieleinheit auch die mögliche Eingabe von Dezimalbrüchen. Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) <3> T R A I N I N G : L Ä N G E N - Zufallspaket von 16 Umwandlungsaufgaben zwischen den ver- schiedenen Einheiten. Bei den Schwierigkeitsstufen 2 und 3 erfordert die Zieleinheit auch die mögliche Eingabe von Dezimalbrüchen. Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) <4> T R A I N I N G : F L Ä C H E N - Zufallspaket von 16 Umwandlungsaufgaben zwischen den ver- schiedenen Einheiten. Bei den Schwierigkeitsstufen 2 und 3 erfordert die Zieleinheit auch die mögliche Eingabe von Dezimalbrüchen. Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) <5> T R A I N I N G : R A U M I N H A L T E - Zufallspaket von 16 Umwandlungsaufgaben zwischen den ver- schiedenen Einheiten. Bei den Schwierigkeitsstufen 2 und 3 erfordert die Zieleinheit auch die mögliche Eingabe von Dezimalbrüchen. Einstellung: Schwierigkeitsstufe (1..3) ( 23 ) ══════════════════════════════════════════════════════════════════ >> B R U C H R E C H N E N << ══════════════════════════════════════════════════════════════════ K e t t e n b r ü c h e ------------------------ Ein Bruch wie 37/11 läßt sich nicht mehr kürzen. Sucht man nun nach einem Bruch mit kleinerem Zähler und Nenner, der sich möglichst wenig von 37/11 unterscheidet, so findet man solche Näherungs- brüche mit Hilfe sogenannter K e t t e n b r ü c h e: 37 1 1 1 ── = 3 + ───── = 3 + ────────── = 3 + ──────────── 11 11 1 1 ─── 2 + ──── 2 + ─────── 4 4 1 ─ 1 + ─ 3 3 Man schreibt abkürzend: 37 / 11 = [ 3, 2, 1, 3 ] und be- zeichnet dies als Kettenbruch-Darstellung von 37/11. Die Kettenbruchdarstellung verläuft nach folgendem: E n t w i c k l u n g s - S c h e m a Gegebener Bruch: Z / N ┌─> ganzzahligen Summanden G abspalten: Z/N = G + R │ Falls der Rest R kein Stammbruch ist, └──── wiederhole den Vorgang mit dem Kehrbruch: 1/R =: Z/N sonst ist die Entwicklung beendet. Im übrigen entspricht die Entwicklung den Faktoren im Euklidischen Algorithmus: ┌─┐ 37 = │3│ * 11 + 4 11 = │2│ * 4 + 3 4 = │1│ * 3 + 1 3 = │3│ * 1 + 0 └─┘ Die besondere Bedeutung der Kettenbrüche liegt wie schon gesagt im Näherungsverhalten der Teilbrüche. Die Annäherung erfolgt ab- wechselnd von unten und oben mit wachsender Genauigkeit. Der Fehler ist kleiner als der Kehrbruch des Nenners vom Näherungsbruch zum Quadrat: N ä h e r u n g s b r ü c h e mit F e h l e r [ 3 , 2 , 1 , 3 ] 37/11 ≈ 3/1 ≈ 7/2 ≈ 10/3 ≈ 37/11 Fehler < 1/1 1/4 1/9 Die Kettenbruch-Entwicklung eignet sich hervorragend als schrift- liches Training zur Bruchrechnung. Man gebe einen Bruch vor und lasse ihn in einen Kettenbruch entwickeln bzw umgekehrt zu einer Kettenbruchdarstellung den zugehörigen Bruch bilden. Die Kontrolle erfolgt dann mit MATHE1. Praktische Anwendung finden Kettenbrüche bei technischen Problemen wie bspw. der Realisierung eines Übersetzungs-Verhältnisses von 8250 : 6439 mittels Zahnräder. Beste Näherungen nach der Ketten- bruchentwicklung sind 41 : 32 oder 9 : 7. ( 24 ) P E R I O D E N ---------------- Jeder Bruch, dessen Nenner aus einer 10er-Potenz besteht, heißt Dezimalbruch und läßt sich mit Komma und endlich vielen Dezimalen schreiben. Eine derartige Darstellung ist nicht mehr möglich, wenn der Nenner des gekürzten Bruches andere Primfaktoren als 2 und 5 enthält. Dividiert man den Zähler z durch den Nenner n , so entsteht in diesem Falle ein nichtabbrechender Dezimalbruch. Da jedoch die Reste bei einer Division stets kleiner als der Divisor n sein müssen, wiederholen sich die Reste spätestens nach n-1 Divisionen, d.h. der unendliche Dezimalbruch ist periodisch. Beginnt die Periode gleich nach dem Komma, so bezeichnet man den Dezimalbruch als reinperiodisch. Dieser Fall tritt genau dann ein, wenn der Nenner weder 2 noch 5 als Primfaktor enthält. Falls der Nenner neben anderen auch die Primfaktoren 2 oder 5 enthält, so stehen zwischen Komma und dem periodischen Ziffernblock noch weitere Ziffern. Solche Dezimalbrüche heißen deshalb gemischt- periodisch. <1> A U T O M A T - für Grundrechnungen mit Brüchen einschließlich Kürzungsautomatik und beliebig langen Rechenketten <2> T R A I N I N G : B R Ü C H E - mit Schwierigkeitsstufe (1..3) in allen Auswahlpunkten: <1> A D D I T I O N - Trainingspaket von 8 zufällig erdachten Aufgaben zur Addition ungleichnamiger Brüche mit vielfacher Kürzungsmöglichkeit <2> S U B T R A K T I O N - Trainingspaket von 8 zufällig erdachten Aufgaben zur Subtraktion ungleichnamiger Brüche mit viel- facher Kürzungsmöglichkeit <3> M U L T I P L I K A T I O N - Trainingspaket von 8 zufällig erdachten Aufgaben zur Multiplikation von Brüchen mit vielfacher Kürzungsmöglichkeit <4> D I V I S I O N GANZE & BRUCH - Trainingspaket von 8 zufällig erdachten Aufgaben zur Division von Brüchen und ganzen Zahlen mit vielfacher Kürzungsmöglichkeit <5> D I V I S I O N BRUCH & BRUCH - Trainingspaket von 8 zufällig erdachten Aufgaben zur Division von Brüchen untereinander mit vielfacher Kürzungsmöglichkeit ( 25 ) <6> G E M I S C H T E Z A H L E N - Trainingspaket von 8 zufällig erdachten Aufgaben zur Umwandlung von unechten Brüchen in gemischte Zahlen und umgekehrt <7> K Ü R Z E N / E R W E I T E R N - Trainingspaket von 12 zufällig erdachten Aufgaben zum Erweitern und Kürzen von Brüchen auf einen vorgegebenen Zähler oder Nenner <8> V O L L S T Ä N D I G K Ü R Z E N - Trainingspaket von 8 zufällig erdachten Aufgaben zum Kürzen von Brüchen bis zur Grunddarstellung auch in mehreren Teilschritten <9> D E Z I M A L B R Ü C H E - Trainingspaket von 12 zufällig erdachten Aufgaben zur Umwandlung von geeigneten Brüchen in Dezimal- schreibweise <3> T R A I N I N G : G L E I C H U N G E N - Trainingspaket von 8 bis 12 zufällig erdachten Bestim- mungsgleichungen mit Bruchzahlen und einer Variablen X zur Schwierigkeitsstufe (1..3) in allen Auswahlpunkten: <1> . . <7> Wahl der Operatorart: [+], [-], [*], [:] oder vermischt. Der Gleichungs-Typ wird bestimmt durch die Wahl der Position der Lösungsvariablen X. Es sind 5 verschiedene Typen wählbar. Die Lösung soll schriftlich schrittweise am Bildschirm erfolgen. <4> K E T T E N B R Ü C H E - Berechnung und Darstellung von Kettenbrüchen einschließ- lich ihrer Näherungsbrüche bei Eingabe von gewöhnlichen Brüchen <1> oder deren Kettenbruch-Darstellung <2> <5> P E R I O D E N B E R E C H N U N G - Berechnung und Darstellung beliebig langer Perioden zuzüglich der Angabe ihrer Länge <6> P E R I O D E N L Ä N G E - tabellarische Auflistung derjenigen Zahlen in einem Intervall, deren Periodenlänge maximal ist ( d.h. alle theoretisch denkbaren Reste werden tatsächlich durch- laufen ) ( 26 ) ══════════════════════════════════════════════════════════════════ >> W A H R S C H E I N L I C H K E I T << ══════════════════════════════════════════════════════════════════ Die Wahrscheinlichkeitsrechnung befaßt sich mit der Aufdeckung der Gesetzmäßigkeiten von zufälligen Ereignissen (wie ein "Pasch" beim Würfeln, "6 Richtige" im Lotto, "Kopf" oder "Zahl" ). Diese Gestz- mäßigkeiten treten allerdings nur zutage bei hinreichend häufiger Wiederholung solcher Zufallsexperimente. Tritt ein zufälliges Ereignis E bei n-facher Wiederholung k-mal ein, so bezeichnet man den Quotienten k/n als relative Häufigkeit von E. Das Gesetz der großen Zahlen besagt nun, daß für hinreichend große n die relative Häufigkeit eines zufälligen Ereignisses E sehr nahe an die Wahrscheinlichkeit von E rückt. Der Computer ist nun ein besonders geeignetes Hilfsmittel, um ein Zufallsexperiment hinreichend oft zu simulieren und die relativen Häufigkeiten festzustellen. <1> G l ü c k s r a d S i m u l a t i o n - Einrichten eines Glücksrades mit bis zu 24 Feldern in variabler Feineinteilung ( bis in den Promille-Bereich ) zur Simulation aller gängigen Modelle ( Münze, Würfel, Urne etc. ) und Simulation der Drehvorgänge. Das Ergebnis wird übersichtlich in einem Balkendiagramm dargeboten und ermöglicht Untersuchungen zum Gesetz der großen Zahlen: Die relativen Häufigkeiten werden mit den theoretischen Idealwerten verglichen. <2> G l ü c k s s p i e l b u d e - In einer Spielbude steht ein Glücksrad und zieht die Be- sucher durch die Chance zum Gewinn von lukrativen Geld- preisen magisch an. Der Spieleinsatz ist klein und die Gewinne sind vielfältig verteilt. Wer wird da eigentlich reich? Der Spieler oder der Budenbesitzer? Dieses aufwendig konzipierte Programm-Modul ermöglicht eine sehr offen gehaltene vielschichtige und kreative Untersuchung der Glücksspielproblematik. <3> G a l t o n b r e t t - Simulation des bekannten Galtonschen Nagelbrettes mit bis zu 16 Nagelreihen und maximal 20 000 Durchläufen. Das Ergebnis wird übersichtlich in einem Balkendiagramm dargeboten. ══════════════════════════════════════════════════════════════════ E N D E D E R D O K U M E N T A T I O N ══════════════════════════════════════════════════════════════════