home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Trigonometry / ProOneSoftware-Trigonometry-Win31.iso / trig / chapter6.3r < prev    next >
Text File  |  1995-04-09  |  4KB  |  124 lines
  1.  122 
  2. à 6.3ïParametric Equations
  3.  
  4. äïPlease draw a graph of the curves described by the given
  5. êêparametric equations.
  6. â
  7.  
  8. êêêëPlease see Details.
  9. éSïIn earlier sections, we looked at graphs of curves drawn in both
  10. the rectangular coordinate system and the polar coordinate system.ïIn
  11. this section, we will look at drawing graphs a third way.ïThis new ap-
  12. proach involves describing a curve by parametric equations, which are
  13. equations that express the variables x and y in terms of a third varia-
  14. ble or parameter.ïIn this system, the graph is drawn in rectangular
  15. coordinates, and values of the parameter are substituted into the equa-
  16. tions for x and y in order to generate ordered pairs of the form, (x, y).
  17. êêêïIn the figure, you can see a graph of the parame-
  18. êêêtric equations, x = t - 1 and y = t.ïOrdered pairs
  19. êêêare generated by choosing values of t and substitu-
  20. êêêting them into the equations for x and y.ïThe re-
  21. êêêsults for several values of t are shown below.
  22. êêêOrdered pairs of the form (x, y) are then plotted
  23. @fig6301.bmp,10,165
  24. êêêon the rectangular coordinate system to produce the
  25. êêêgraph that you see in the figure.
  26. #êêêê tï│ï-1ï│ï0ï│ï1ï│ï2ï│ï3ï│
  27. #êêêë ─────│──────│─────│─────│─────│─────│
  28. #êêêê xï│è-2 │ -1ï│ï0ï│ï1ï│ï2ï│
  29. #êêêë ─────│──────│─────│─────│─────│─────│
  30. #êêêê yï│è-1 │ï0ï│ï1ï│ï2ï│ï3ï│
  31. êêêè Sometimes it is possible to eliminate the
  32. êêêparameter and express the curve as a function of
  33. êêêjust x and y.ïIn this example, since y = t, you
  34. êêêcan substitute this into the other equation to get,
  35. êêêx = y - 1.ïThis is clearly the equation of a line,
  36. êêêwhich could be graphed to produce the figure.
  37.  
  38. # 1è Draw a graph of x = t and y = tì, where -2 ≤ t ≤ 2.
  39.  
  40. @fig6302.bmp,28,225
  41. @fig6303.bmp,28,234
  42. @fig6310.bmp,28,450
  43.  
  44. üïChoose values of the parameter, t, to generate the chart below.
  45. #êêè tï│ï-2ï│ï-1 │ï0ï│ï1ï│ï2ï│
  46. #êêï─────│──────│─────│─────│─────│─────│
  47. #êêè xï│è-2 │ï-1 │ï0ï│ï1ï│ï2ï│
  48. #êêï─────│──────│─────│─────│─────│─────│
  49. #êêè yï│è4ï│ï1ï│ï0ï│ï1ï│ï4ï│
  50.  
  51. @fig6303.bmp,3000,3000
  52. è x = têêêêêëEliminate the parameter
  53. #è y = tìêêêêêè x = t, y = tì
  54. #êêêêêêêy = xì
  55.  
  56.  
  57.  
  58. Ç B
  59.  2è Draw a graph of x = cos t and y = sin t, where 0 ≤ t ≤ 2π.
  60.  
  61. @fig6304.bmp,28,225
  62. @fig6305.bmp,28,234
  63. @fig6310.bmp,28,450
  64.  
  65. üïChoose values of the parameter, t, to generate the chart below.
  66. Use the Key Feature.
  67. #ê tï│è0ï│ π/4 │ π/2 │ 3π/4│ïπï│ 5π/4 │ 3π/2 │ 7π/4 │ 2πï│
  68. #ë ─────│──────│─────│─────│─────│─────│──────│──────│──────│─────│
  69. #ê xï│è1ï│ï.7 │ï0ï│ -.7 │ -1ï│ -.7ï│ï0è│ï.7ï│ï1ï│
  70. #ë ─────│──────│─────│─────│─────│─────│──────│──────│──────│─────│
  71. #ê yï│è0ï│ï.7 │ï1ï│ï.7 │ï0ï│ -.7ï│ -1è│ -.7ï│ï0ï│
  72. @fig6304.bmp,3000,3000
  73. è x = cos têêêêê Eliminate the parameter
  74. è y = sin têêêêê x = cos t, y = sin t
  75. #êêêêêêêxì = cosìt, yì = sinìt
  76. #êêêêêêêxì + yì = 1
  77.  
  78.  
  79. Ç A
  80.  3ïDraw a graph of x = 1 + cos t and y = sin t, -π/2 ≤ t ≤ π/2.
  81.  
  82. @fig6306.bmp,28,225
  83. @fig6307.bmp,28,234
  84. @fig6310.bmp,28,450
  85.  
  86. üïChoose values of the parameter, t, to generate the chart below.
  87. Use the Key Feature.
  88. #ê tï│ -π/2 │-π/3 │-π/6 │ï0ï│ π/6 │ïπ/3 │ïπ/2 │
  89. #ë ─────│──────│─────│─────│─────│─────│──────│──────│
  90. #ê xï│è1ï│ 3/2 │ 1.9 │ï2ï│ 1.9 │ï3/2 │ï1è│
  91. #ë ─────│──────│─────│─────│─────│─────│──────│──────│
  92. #ê yï│ï-1ï│ -.9 │ -.5 │ï0ï│ï.5 │ï.9ï│ï1è│
  93. @fig6306.bmp,3000,3000
  94. è x = 1 + cos têêêêèEliminate the parameter
  95. è y = sin têêêêêx = 1 + cos t, y = sin t
  96. #êêêêêêë (x - 1)ì = cosìt,
  97. #êêêêêêë yì = sinìt
  98. #êêêêêêë (x - 1)ì + yì = 1ïNote
  99. êêêêêêë that 1 ≤ x ≤ 2.
  100.  
  101. Ç A
  102.  4è Draw a graph of x = 2∙cos t and y = 3∙sin t.
  103.  
  104. @fig6308.bmp,28,225
  105. @fig6309.bmp,28,234
  106. @fig6310.bmp,28,450
  107.  
  108. üïChoose values of the parameter, t, to generate the chart below.
  109. Use the Key Feature.
  110. #ê tï│è0ï│ π/4 │ π/2 │ 3π/4│ïπï│ 5π/4 │ 3π/2 │ 7π/4 │ 2πï│
  111. #ë ─────│──────│─────│─────│─────│─────│──────│──────│──────│─────│
  112. #ê xï│è2ï│ 1.4 │ï0ï│ 1.4 │ -2ï│ -1.4 │ï0è│ -1.4 │ï2ï│
  113. #ë ─────│──────│─────│─────│─────│─────│──────│──────│──────│─────│
  114. #ê yï│è0ï│ 2.1 │ï3ï│ 2.1 │ï0ï│ -2.1 │ -3è│ -2.1 │ï0ï│
  115. @fig6309.bmp,3000,3000
  116. è x = 2∙cos têêêêë Eliminate the parameter
  117. è y = 3∙sin têêêêë x = 2∙cos t, y = 3∙sin t
  118. êêêêêêêx/2 = cos t, y/3 = sin t
  119. #êêêêêêêxì/4 = cosìt
  120. #êêêêêêêyì/9 = sinìt
  121. #êêêêêêêxì/4 + yì/9 = 1
  122. Ç B
  123.  
  124.