home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Trigonometry / ProOneSoftware-Trigonometry-Win31.iso / trig / chapter4.3r < prev    next >
Text File  |  1995-04-09  |  6KB  |  217 lines
  1.  215 
  2. à 4.3ïProving Identities
  3.  
  4. äïWhich of the following equations is an identity?
  5.  
  6. â
  7. è Prove that the equation, tan Θ ∙ cos Θï=ïsin Θ, is an identity.
  8.  
  9. êêêêë sin Θ
  10. #è Proof:ë tan Θ ∙ cos Θï=ï───── ∙ cos Θï=ïsin Θ
  11. êêêêë cos Θ
  12. éSïIn Section 4.1, we proved that certain equations are identities
  13. by using the original definitions of the trigonometric ratios.ïThat
  14. could certainly still be done here as is shown in the following example.
  15. êè tan Θ ∙ cos Θï=ï(y/x) ∙ (x/r)ï=ïy/rï=ïsin Θ
  16. It is sometimes easier, however, to use the eight fundamental identities
  17. and substitution to achieve the same results.ïIn the example above, we
  18. could substitute the ratio identity, tan Θ = sin Θ/cos Θ, and then sim-
  19. plify.êêêësin Θ
  20. #êêtan Θ ∙ cos Θï=ï───── ∙ cos Θï=ïsin Θ
  21. êêêêè cos Θ
  22. This is considered to be a proof that the given equation is an identity.
  23. To show an equation is not an identity, it is still necessary to find an
  24. angle that makes a false sentence when the angle is substituted into the
  25. equation.
  26. è In Section 4.2, you were asked to simplify a given trigonometric ex-
  27. pression into being another expression.ïThis is exactly the idea in
  28. proving an identity.ïIn other words, you choose either side of the
  29. equation and simplify it into being the other side.ïThe following ex-
  30. ample shows the correct and incorrect form to write down a proof of an
  31. identity.
  32. êè CORRECTêêêêëINCORRECT !!!
  33. a)ïProve tan Θ ∙ cos Θ = sin Θ.ë b)ïProve tan Θ ∙ cos Θ = sin Θ.
  34.  
  35. Proof:ëtan Θ ∙ cos ΘêêProof:è tan Θ ∙ cos Θ = sin Θ
  36. êè sin Θêêêêè sin Θ
  37. #ê=è───── ∙ cos Θêêêè───── ∙ cos Θ = sin Θ
  38. êè cos Θêêêêè cos Θ
  39. ê=èsin Θêêêêêïsin Θ = sin Θ
  40. Thus, tan Θ ∙ cos Θ = sin Θ is
  41. an identity.êêêêêè INCORRECT !!!
  42. è The correct approach is to choose just one side and simplify it into
  43. the other side.ïThe incorrect approach is to write down both sides
  44. (thus assuming what you want to prove) and falsely concluding that you
  45. have proven something is true when what you have done is assume that it
  46. is true.
  47.  1ê Prove one of the following is an identity.
  48.  
  49. êêêA)ïcot Θ ∙ sin Θ = cos Θ
  50.  
  51. êêêB)ïsec Θ ∙ cot Θ = tan Θ
  52.  
  53. êêêC)ïå of ç
  54. ü
  55. a)ïProve cot Θ ∙ sin Θ = cos Θë b)ïProve sec Θ ∙ cot Θ = tan Θ is
  56. is an identity.êêê not an identity.
  57.  
  58. Proof:ë cot Θ ∙ sin ΘêëProof:ïLet Θ = 45°.ïThen,
  59. êëcos Θêêë sec 45° ∙ cot 45° = √2, but
  60. #ê=è ───── ∙ sin Θêëtan 45° = 1.ïSince √2 ƒ 1,
  61. êësin Θêêë sec Θ ∙ cot Θ = tan Θ is not
  62. ê=è cos Θêêë an identity.
  63. Thus, cot Θ ∙ sin Θ = cos Θ is
  64. an identity.
  65. Ç A
  66.  2ê Prove one of the following is an identity.
  67.  
  68. êêêA)ïsin Θ + cos Θ = 1/(sin Θ ∙ cos Θ)
  69.  
  70. êêêB)ïtan Θ + cot Θ = sec Θ ∙ csc Θ
  71.  
  72. êêêC)ïå of ç
  73. ü
  74. a)ïProve sin Θ + cos Θ =êëb)ïProve tan Θ + cot Θ =
  75. 1/(sin Θ ∙ cos Θ) is not anêèsec Θ ∙ csc Θ is an identity.
  76. identity.
  77. êêêêêïProof:è tan Θ + cot Θ
  78. Proof:ïLet Θ = 30°.ïThen,êêë sin Θècos Θ
  79. #sin 30° + cos 30° = (1 + √3)/2,êë =ï───── + ─────
  80. but 1/(sin 30° ∙ cos 30°) =êêë cos Θèsin Θ
  81. #4/√3.ïSince (1 + √3)/2 ƒ 4/√3,êë =ïsinìΘ + cosìΘ
  82. #this is not an identity.êêêï─────────────
  83. êêêêêêëcos Θ ∙ sin Θ
  84. êêêêêêï=ï1/(cos Θ ∙ sin Θ)
  85. êêêêêêï=ïsec Θ ∙ csc Θ
  86. Ç B
  87.  3êProve one of the following is an identity.
  88.  
  89. êè 1 + sin Θêêêïsec Θ - cos Θ
  90. #êA)ï─────────ï=ïcos ΘêïB)ï─────────────ï=ïsin Θ
  91. êë tan Θêêêê tan Θ
  92.  
  93. êêêëC)ïå of ç
  94. ü
  95. a)ïProve (1 + sin Θ)/tan Θ =ê b)ïProve (sec Θ - cos Θ)/tan Θ =
  96. cos Θ is not an identity.êësin Θ is an identity.
  97.  
  98. Proof:ïLet Θ = 30°.ïThen,êèProof:ïsec Θ - cos Θ
  99. #(1 + sin 30°)/tan 30° = 3√3/2,êë=ï─────────────
  100. but cos 30° = √3/2.ïSinceêêêïtan Θ
  101. #3√3/2 ƒ √3/2, this is not anêê=ï(sec Θ - cos Θ) ∙ cot Θ
  102. identity.êêêêë=ï(1/cos Θ - cos Θ)∙cot Θ
  103. #êêêêêê=ï(1 - cosìΘ)/cos Θ∙cot Θ
  104. #êêêêêê=ï(sinìΘ/cos Θ)∙(cos Θ/sin Θ)
  105. êêêêêê=è sin Θ
  106. Ç B
  107.  4êèProve one of the following is an identity.
  108.  
  109. #êïsinìx - 1êêêè sin x ∙ cot x
  110. #ëA)ï─────────ï=ïcscìx - 1êB)ï─────────────ï=ïcos x
  111. #êïcosìx - 1êêêè cos x ∙ csc x
  112.  
  113. êêêèC)ïå of ç
  114. ü
  115. #a)ïProve (sinìx - 1)/(cosìx - 1)è b)ïProve
  116. #= cscìx - 1 is an identity.êè(sin x ∙ cot x)/(cos x ∙ csc x) =
  117. êêêêêïcos x is not an identity.
  118. #Proof: (sinìx - 1)/(cosìx -1)
  119. #è =ï(-cosìx)/(-sinìx)êë Proof:ïLet x = 30°.ïThen, the
  120. #è =ïcotìxêêêè left side is equal to 1/2, but
  121. #è =ïcscìx - 1êêêthe right side is √3/2.ïSince
  122. #êêêêêï1/2 ƒ √3/2, this is not an identi-
  123. Thus, this is an identity.êè ty.
  124. Ç A
  125.  5êèProve one of the following is an identity.
  126.  
  127.  
  128. # A)ïsec x - sin x ∙ tan x = cos xêB)ï(1 + cotìx)∙tan x = sinìx
  129.  
  130.  
  131. êêêë C)ïå of ç
  132. üêëShow sec x - sin x ∙ tan x = cos x
  133.  
  134. êêè Proof:èsec x - sin x ∙ tan x
  135. êêêè=ï1/cos x - sin x ∙ sin x/cos x
  136. #êêêè=ï(1 - sinìx)/ cos x
  137. #êêêè=ïcosìx/cos x
  138. êêêè=ïcos x
  139. Ç A
  140.  6êèProve one of the following is an identity.
  141.  
  142. #êïtan x ∙ cos xêêê 1 - secìx
  143. # A)ï1 - ─────────────ï=ècos xêB)ï─────────ï=ïsecìx
  144. #êëcsc xêêêë cosìx - 1
  145.  
  146. êêêëC)ïå of ç
  147. #üêëShow (1 - secìx)/(cosìx - 1)ï=ïsecìx
  148.  
  149. #êêè Proof:è(1 - secìx)/(cosìx - 1)
  150. #êêêè=ï(-tanìx)/(-sinìx)
  151. #êêêè=ï(sinìx)/(cosìx) ∙ 1/sinìx
  152. #êêêè=ï1/così x
  153. #êêêè=ïsecì x
  154. Ç B
  155.  7êèProve one of the following is an identity.
  156.  
  157.  
  158. # A)ï(tanìx + 1)(cosìx - 1) = sinìxèB)ïsin x∙tan x = sec x - cos x
  159.  
  160.  
  161. êêêëC)ïå of ç
  162. üêëShow sin x∙tan x = sec x - cos x
  163.  
  164. êêè Proof:èsin x ∙ tan x
  165. êêêè=ïsin x ∙ sin x/cos x
  166. #êêêè=ïsinìx/cos x
  167. #êêêè=ï(1 - cosìx)/cos x
  168. êêêè=ï1/cos x - cos x
  169. êêêè=ïsec x - cos x
  170. Ç B
  171.  8êèProve one of the following is an identity.
  172.  
  173.  
  174.  A)ïsin x + cos x∙cot x = csc xë B)ïcsc x - cos x∙cot x = cos x
  175.  
  176.  
  177. êêêëC)ïå of ç
  178. üêëShow sin x + cos x∙cot x = csc x
  179.  
  180. êêè Proof:èsin x + cos x∙cot x
  181. êêêè=ïsin x + cos x∙cos x/sin x
  182. #êêêè=ï(sinìx + cosìx)/sin x
  183. êêêè=ï1/sin x
  184. êêêè=ïcsc x
  185. Ç A
  186.  9êèProve one of the following is an identity.
  187.  
  188.  
  189. # A)ïcsc x - cos x∙cot x = sin xë B)ï(tanìx + 1)(cosìx - 1) = secìx
  190.  
  191.  
  192. êêêëC)ïå of ç
  193. üêëShow csc x - cos x∙cot x = sin x
  194.  
  195. êêè Proof:ècsc x - cos x∙cot x
  196. êêêè=ï1/sin x - cos x∙cos x/sin x
  197. #êêêè=ï(1 - cosìx)/sin x
  198. #êêêè=ïsinìx/sin x
  199. êêêè=ïsin x
  200. Ç A
  201.  10êïProve one of the following is an identity.
  202.  
  203. êtan x + 1
  204. # A)ï─────────────ï=ïcot xêèB)ïsinÅx - cosÅxï=ï2∙sinìx - 1
  205. ësec x + csc x
  206.  
  207. êêêëC)ïå of ç
  208. #üêëShow sinÅx - cosÅxï=ï2∙sinìx - 1
  209.  
  210. #êêè Proof:èsinÅx - cosÅx
  211. #êêêè=ï(sinìx + cosìx)(sinìx - cosìx)
  212. #êêêè=ï(sinìx - cosìx)
  213. #êêêè=ïsinìx - (1 - sinìx)
  214. #êêêè=ï2∙sinìx - 1
  215. Ç B
  216.  
  217.