home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Trigonometry / ProOneSoftware-Trigonometry-Win31.iso / trig / chapter2.5r < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1995-04-10  |  6.2 KB  |  157 lines
  1.  155 
  2. à 2.5ïAstronomy Problems
  3.  
  4. ä Please solve the following problems from astronomy.
  5.  
  6. âêêè An astronomer chooses a time to measure the an-
  7. êêêïgle between the sun and a star then waits six
  8. êêêïmonths and measures the angle again.ïIf the dis-
  9. êêêïtance between the earth and the sun is 93 million
  10. êêêïmiles and the measured angles are 86° and 87°,
  11. êêêïfind the approximate distance to the star.
  12. @fig2501.bmp,25,118
  13. éSêêè From the information given in the Example and
  14. êêêïthe figure, it is seen that the distance from the
  15. êêêïstar to the earth at point B is the same as find-
  16. êêêïing the length of side "a" in triangle ABC.ïThe
  17. êêêïlength of side AB is twice 93 million or 186 mil-
  18. êêêïlion and angles A and B are 86° and 87°.ïThus,
  19. êêêïwe know two angles and a side, so we can use the
  20. êêêïLaw of Sines. Note that angle
  21. êêêêC is 180° - (86° + 87°) or 7°.
  22.  
  23. êêêë186,000,000êèa
  24. #êêêë───────────è=è───────
  25. êêêê sin 7°êïsin 86°
  26. @fig2501.bmp,15,118
  27. êêêëaè≈è1,522,506,876 miles
  28. êêêïThus, the distance from the star to the earth
  29. êêêïat point B in the diagram is 1,522,506,876 miles.
  30.  1ïA certain town on the coast of North Carolina (Emerald Isle)
  31. is located at approximately 34.5°N latitude.ïHow far north of the equa-
  32. tor is this town?
  33.  
  34. êê A)ï2,378.45 miêêB)ï2,649.3 mi
  35.  
  36. êê C)ï3,860 miêêèD)ïå of ç
  37. üêêè A latitude north angle has it's initial side
  38. êêê from the center of the earth over to the equator.
  39. êêê The vertex is at the center of the earth, and the
  40. êêê terminal side passes through the town in question.
  41. êêê If you think of the earth as a circle of radius
  42. êêê 3,950 miles, you can use the formula for arc
  43. @fig2502.bmp,100,600
  44. êêê length to get the distance to the equator.
  45. êêêêïsè=èr∙w
  46. êêêè sè=è3,950∙34.5°∙π/180°
  47. êêêêsè≈è2,378.45 mi
  48. Ç A
  49.  2ïAn astronomer very carefully measures the angle across the
  50. moon and finds that from the earth the width of the moon is subtended
  51. by an angle of .78°.ïIf the distance to the moon is 380,000 km, approx-
  52. imate the diameter of the moon.
  53. êê A)ï6,312 kmêêèB)ï5,173.12 km
  54.  
  55. êê C)ï3,468.6 kmêê D)ïå of ç
  56. üêêè The diameter of the moon can be approximated
  57. êêê by the arc length subtended by an angle of .78°
  58. êêê on a circle of radius 380,000 km.ïThe degree
  59. êêê measure needs to be changed to radian measure.
  60. êêêêêèsè=èr∙w
  61. êêêêèsè=è380,000∙.78°∙π/180°
  62. @fig2503.bmp,100,600
  63. êêêêêèsè≈è5,173.12 km
  64. Ç B
  65.  3ïTo estimate the radius of the earth, Eratosthenes placed a
  66. stake in Alexandria 800 km north of a water well in Syene.ïWhen the sun
  67. shown straight to the bottom of the well, he found the angle from the
  68. top of his stake to the end of the stake's shadow to be 7.2°.ïHe rea-
  69. soned that the angle at the center of the earth between Alexandria and
  70. Syene is also 7.2°.ïFind the radius of the earth.
  71. ïA)ï7,683 kmëB)ï5,832 kmëC)ï6,366.2 kmëD)ïå of ç
  72. üêêëThe angle at the center of the earth is 7.2°,
  73. êêêïbecause of alternate interior angles.ïSince the
  74. êêêïarc length is known to be 800 km, you can use the
  75. êêêïarc length formula to find the radius.
  76. êêêêêïsè=èr∙Θ
  77. êêêêè800 kmè=èr∙7.2°∙π/180°
  78. @fig2504.bmp,100,600
  79. êêêêë rè≈è6,366.2 km
  80. Ç C
  81.  4ïAn astronomer chooses a time when a certain planet is at it's
  82. furthest position from the sun relative to his point of view.ïHe mea-
  83. sures the angle between the sun and the planet to be 38.5°.ïIf the sun
  84. is 93,000,000 miles from the earth, how far is the earth from this pla-
  85. net?
  86. êêïA)ï82,360,421 miêïB)ï91,000,000 mi
  87. êêïC)ï72,782,558.6 miêD)ïå of ç
  88. üêêë At the moment the planet is at it's furthest
  89. êêêïposition from the sun, a right triangle is
  90. êêêïformed with the 90° angle at the planet's posi-
  91. êêêïtion.ïYou can use the formula for the cosine.
  92. êêêêïcos 38.5°è=èx/93,000,000
  93. êêêêë xè≈è72,782,558.6 mi
  94. @fig2505.bmp,100,600
  95. êêêïThus, the distance to the star is 72,782,558.6 mi
  96. Ç C
  97.  5ïAn astronomer chooses a time when a certain planet is at it's
  98. furthest position from the sun relative to his point of view.ïHe mea-
  99. sures the angle between the sun and the planet to be 38.5°.ïIf the sun
  100. is 93,000,000 miles from the earth, how far is the planet from the sun?
  101.  
  102. êêïA)ï64,683,251 miêïB)ï57,893,861 mi
  103. êêïC)ï72,861,114 miêïD)ïå of ç
  104. üêêë At the moment the planet is at it's furthest
  105. êêêïposition from the sun, a right triangle is
  106. êêêïformed with the 90° angle at the planet's posi-
  107. êêêïtion.ïYou can use the formula for the sine.
  108. êêêêïsin 38.5°è=èy/93,000,000
  109. êêêêë yè≈è57,893,861 mi
  110. @fig2505.bmp,100,600
  111. êêêïThis is the distance from the star to the sun.
  112. Ç B
  113.  6ïThe earth makes one revolution about its axis in 24 hours.
  114. Find the speed of a point on the equator in miles per hour.
  115. (The radius of the earth is approximately 3,960 miles.)
  116.  
  117. êêA)ï1,036.7 mphêë B)ï867.3 mph
  118.  
  119. êêC)ï983.6 mphêê D)ïå of ç
  120. üïSince the radius is known to be 3,960 miles, and the angular
  121. velocity is known to be one revolution per 24 hours, you can use the
  122. formula for linear velocity.
  123. êêêêïvè=èr∙w
  124. It is necessary to change the angular velocity from revolutions to
  125. radian measure.
  126. êïvè=è3,960 mi∙1 rev/24 hr∙2π/1 revè=è1,036.7 mph
  127. Ç A
  128.  7ïIf you assume that the earth moves around the sun in a cir-
  129. cular orbit with radius 93,000,000 miles, and that one revolution takes
  130. 365 days, what is the speed of the earth in miles per hour?
  131.  
  132. êêïA)ï55,680 mphêëB)ï66,705 mph
  133.  
  134. êêïC)ï43,693 mphêëD)ïå of ç
  135. üïWe can use the formula for linear velocity, but it will be
  136. necessary to change the angular velocity from revolutions per day to
  137. radians per hour.
  138. êêêêïvè=èr∙w
  139. êïvè=è93,000,000 mi∙1 rev/365 days∙2π/1 rev∙1day/24 hr
  140. êêêë vè≈è66,705 mph
  141. Ç B
  142.  8 An astronomer measures the angle formed by the sun, the earth,
  143. and a star.ïHe then waits six months and measures a similar angle de-
  144. termined by the sun, the earth, and the star.ïIf the distance from the
  145. earth to the sun is 93,000,000, and the angles are 87.5° and 88°, find
  146. the approximate distance from the star to the second measuring point.
  147. êëA)ï2,368,405,696 miêè B)ï2,183,682,114 mi
  148. êëC)ï1,936,480,216 miêè D)ïå of ç
  149. üêêëFrom the information given in the figure, you
  150. êêêïcan approximate the distance from the star to
  151. êêêïthe earth at point B by using the Law of Sines
  152. êêêïto find side "a".ïThe angle at C is seen to be
  153. êêêï4.5°.è186,000,000/sin 4.5°ï=ïa/sin 87.5°
  154. êêêêê aï=è2,368,405,696 mi
  155. @fig2506.bmp,100,600
  156. Ç A
  157.