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Text File  |  1995-04-09  |  6KB  |  271 lines
  1.  269 
  2. à 1.4ïTrigonometric Functions of any Angle
  3. äïPlease find the trigonometric functions of the given an-
  4. êêgles.
  5. âS
  6. êêêësin 186°è≈è-.1045
  7. êêêëcos 235°è≈è-.5736
  8. êêêëtan -47°è≈è-1.072
  9. êêêè sec 12π/5è≈è3.2361
  10. éSïIn the next section on solving oblique triangles, it will be
  11. necessary to find the sin and cos of obtuse angles (0° < Θ < 180°) in
  12. order to solve the triangles.ïAlthough this involves only angles in
  13. the first and second quadrants, it is convenient at this point to
  14. define trigonometric ratios of angles in all quadrants.ïYou will
  15. see that the primary difference in quadrants II, III, and IV is
  16. @fig1401.bmp,10,170
  17. that the trigonometric ratios are ratios of the coordinates of the point
  18. "P" and the distance "r" instead of ratios of positive sides of trian-
  19. gles.êêêèRatios for angles in Quadrant I
  20.  
  21. êêêësin Θï=ïy/rêè csc Θï=ïr/y
  22.  
  23. êêêëcos Θï=ïx/rêè sec Θï=ïr/x
  24.  
  25. êêêëtan Θï=ïy/xêè cot Θï=ïx/y
  26.  
  27.  
  28.  
  29.  
  30. Ratios for angles in Quadrant II
  31.  
  32. @fig1402.bmp,390,170
  33.  
  34. sin Θï=ïy/rêè csc Θï=ïr/y
  35.  
  36.  
  37. cos Θï=ï-x/rêèsec Θï=ïr/-x
  38.  
  39.  
  40. tan Θï=ïy/-xêècot Θï=ï-x/y
  41.  
  42.  
  43.  
  44.  
  45.  
  46. êêêê Ratios for angles in Quadrant III
  47.  
  48. @fig1403.bmp,10,170
  49.  
  50. êêêësin Θï=ï-y/rêècsc Θï=ïr/-y
  51.  
  52.  
  53. êêêëcos Θï=ï-x/rêèsec Θï=ïr/-x
  54.  
  55.  
  56. êêêëtan Θï=ï-y/-xêïcot Θï=ï-x/-y
  57.  
  58.  
  59. êêêë(more...)
  60.  
  61.  
  62. Ratios for angles in Quadrant IV
  63. @fig1404.bmp,390,170
  64.  
  65. sin Θï=ï-y/rêècsc Θï=ïr/-y
  66.  
  67. cos Θï=ïx/rêè sec Θï=ïr/x
  68.  
  69. tan Θï=ï-y/xêècot Θï=ïx/-y
  70. The quadrantal angles 0°, 90°, 180°, 270°, and
  71. êë360° are shown below.
  72. ësinècosètanècscèsecècot
  73. #ï0°è0ë1ë0ë▄ë1ë▄
  74. # 90°è1ë0ë▄ë1ë▄ë0
  75. #180°è0è -1ë0ë▄è -1ë▄
  76. #270°ï-1ë0ë▄è -1ë▄ë0
  77. #360°è0ë1ë0ë▄ë1ë▄
  78. You should study the "Key Feature" in this program
  79. to more clearly understand ç definitions. It is
  80. absolutely wonderful that the calculator takes care
  81. of signs, quadrants, and quadrantal angles internally.
  82.  1êêêëFind the sin 30°.
  83.  
  84. êêêêA)ï√3êêïB)ï√3/2
  85.  
  86.  
  87. êêêêC)ï1/2êê D)ïå of ç
  88. @fig1405.bmp,25,118
  89. ü
  90.  
  91. êêêêêïyê1
  92. #êêêïsin 30°è=è─è=è─
  93. êêêêêïrê2
  94. Ç C
  95.  2êêêëFind the cos 120°.
  96.  
  97. êêêêA)ï-1/2êêB)ï-2
  98.  
  99.  
  100. êêêêC)ï√3/2êêD)ïå of ç
  101. @fig1406.bmp,15,118
  102. ü
  103.  
  104. êêêêêï-xë -1
  105. #êêêïcos 120°è=è─è=è─
  106. êêêêêèrê2
  107. Ç A
  108.  3êêêëFind the tan 135°.
  109.  
  110. êêêêA)ï√2êêïB)ï1/√2
  111.  
  112.  
  113. êêêêC)ï-1êêïD)ïå of ç
  114. @fig1407.bmp,25,118
  115. ü
  116.  
  117. êêêêêèyê1
  118. #êêêïtan 135°è=è─è=è─è=è-1
  119. êêêêêï-xë -1
  120. Ç C
  121.  4êêêëFind the sec 210°.
  122.  
  123. êêêêA)ï-2êêïB)ï√3
  124.  
  125.  
  126. êêêêC)ï2/-√3êë D)ïå of ç
  127. @fig1408.bmp,25,118
  128. ü
  129.  
  130. êêêêêèrê 2
  131. #êêêïsec 210°è=è─è=è──.
  132. êêêêêï-xë -√3
  133. Ç C
  134.  5êêêëFind the cot 225°.
  135.  
  136. êêêêA)ï-1êêïB)ï1
  137.  
  138.  
  139. êêêêC)ï√2êêïD)ïå of ç
  140. @fig1409.bmp,25,118
  141. ü
  142.  
  143. êêêêêï-xë -1
  144. #êêêïcot 225°è=è─è=è─è=è1
  145. êêêêêï-yë -1
  146. Ç B
  147.  6êêêëFind the csc 11π/6.
  148.  
  149. êêêêA)ï-2êêïB)ï√3/2
  150.  
  151.  
  152. êêêêC)ï-1/2êêD)ïå of ç
  153. @fig1410.bmp,25,118
  154. ü
  155.  
  156. êêêêêè rê2
  157. #êêêïcsc 11π/6è=è─è=è─è=è-2
  158. êêêêêè-yë -1
  159. Ç A
  160.  7
  161. êêïUse your calculator to find the cos 756°.
  162.  
  163. êêïA)ï-.1405êêêB)ï.6231
  164.  
  165. êêïC)ï.8090êêê D)ïå of ç
  166. ü
  167.  
  168.  
  169. êêêècos 756°è≈è.8090
  170. Ç C
  171.  8
  172. êêïUse your calculator to find the tan -193.7°.
  173.  
  174. êêïA)ï-.2438êêêB)ï21.426
  175.  
  176. êêïC)ï.7237êêê D)ïå of ç
  177. ü
  178.  
  179.  
  180. êêêètan -193.7°è≈è-.2438
  181. Ç A
  182.  9
  183. êêïUse your calculator to find the sec -π/4.
  184.  
  185. êêïA)ï-.7071êêêB)ï1.414
  186.  
  187. êêïC)ï√2/2êêêïD)ïå of ç
  188. ü
  189.  
  190.  
  191. êêêèsec -π/4è≈è1.414
  192. Ç B
  193. äïPlease find the inverse trigonometric function of the
  194. êêgiven ratio.
  195. âS
  196. #êë The sinúî 1/2, with Θ in quadrant II, is 150°.
  197.  
  198. #êë The cosúî √3/2, with Θ in quadrant IV, is 330°.
  199.  
  200. #êë The tanúî 1, with Θ in quadrant III, is 225°.
  201. éSïIn Section 1.2, we looked at inverse trigonometric functions of
  202. ratios of only acute angles or quadrant I angles.ïIn this section, we
  203. are expanding this to inverse trigonometric functions of ratios of an-
  204. gles in any quadrant.
  205. #è In the example, you are asked to find the sinúî 1/2.ïThe sin of an
  206. angle involves "y" and "r", since r is always positive, the sin of an
  207. angle is positive whenever "y" is positive.ïThis occurs in quadrants
  208. I and II.ïSince the ratio "1/2" comes from the 30°-60° triangle, the
  209. first quadrant angle is 30° and the second quadrant angle is 150°.
  210. Thus, there are two answers.ïHowever, since the problem requested only
  211. the second quadrant angle, the correct answer is 150°.
  212. #è To find the cosúî (√3/2), with Θ in quadrant IV, we can reason in a
  213. similar way.ïThe cos is positive whenever "x" is positive, and that
  214. occurs in quadrants I and IV.ïSince the ratio "√3/2" involves the 30°-
  215. 60° triangle, and we are looking for a fourth quadrant angle, Θ must
  216. be 330°.
  217. #è To find the tanúî 1, with Θ in quadrant III, we determine that the
  218. tan is positive in quadrants I and III.ïThe ratio "1" comes from the
  219. 45°-45° triangle.ïThus, the third quadrant angle is 225°.
  220. è When you use your calculator, you get only the reference angle.ïYou
  221. have to use this reference angle to get an angle in the correct qua-
  222. #drant.ïFor example, when you use your calculator to find the sinúî 1/2,
  223. with Θ in quadrant II, the calcuator gives you 30°.ïThis reference an-
  224. gle subtracted from 180° gives the second quadrant angle, 150°.
  225. #è Similarly, when you use your calculator to find the cosúî (√3/2),
  226. with Θ in quadrant IV, your calculator gives you 30°.ïThis reference
  227. angle subtracted from 360° gives the fourth quadrant angle, 330°.ïAlso,
  228. #when you use your calculator to find the tan úî 1, you get 45°.ïThis
  229. reference angle is added to 180° to get the third quadrant angle, 225°.
  230.  10
  231. #êêFind the sinúî (1/√2), with Θ in quadrant II.
  232.  
  233. êêA)ï45°êêêê B)ï225°
  234.  
  235. êêC)ï135°êêêêD)ïå of ç
  236. ü
  237.  
  238. #è Using the calculator, sinúî (1/√2)è=è45°.ïThis reference
  239. è angle is subtracted from 180° to get the second quadrant
  240. è angle, 135°.
  241. Ç C
  242.  11
  243. #êêFind the cosúî .4321, with Θ in quadrant IV.
  244.  
  245. êêA)ï295.6°êêêêB)ï-236.8°
  246.  
  247. êêC)ï157.3°êêêêD)ïå of ç
  248. ü
  249.  
  250. #è Using the calculator, cosúî .4321è≈è64.4°.ïThis reference
  251. è angle is subtracted from 360° to get the fourth quadrant
  252. è angle, 295.6°.
  253. Ç A
  254.  12
  255. #êêFind the tanúî (-2.432), with Θ in quadrant II.
  256.  
  257. êêA)ï226°êêêêïB)ï112.35°
  258.  
  259. êêC)ï159.1°êêêêD)ïå of ç
  260. ü
  261.  
  262. #è Using the calculator, tanúî (-2.432)è≈è-67.65°.ïThis reference
  263. è angle is added to 180° to get the second quadrant angle, 112.35°.
  264.  
  265. Ç B
  266.  
  267.  
  268.  
  269.  
  270.  
  271.