home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Multimedia Geometry / geometry-3.5.iso / GEOMETRY / CHAPTER2.5Y < prev    next >
Text File  |  1995-04-24  |  9KB  |  200 lines
  1. à 2.5èMore on Justifyïg Statements
  2. äèPlease justify ê followïg statements.
  3. âèèèèèèèèèèAèèèèBèèèèC
  4. èèèèèèèèèèèèè ⌐╓╓╓╓╓╓╓╓⌐╓╓╓╓╓╓╓╓⌐
  5.  
  6. èèèèèèèèèStatementèèèèèèèè Reason
  7. èèèèèèèèèAB + BC = ACèèèèèèè(8)Segment addition axiom
  8.  
  9. èèèè (Note ê number (8) refers ë ê eighth axiom.) 
  10. éS1 In Chapter 2 we are developïg our ability ë write deductive 
  11. proçs.èIn Section 2.1 we looked at ïductive reasonïg å saw that 
  12. you are usïg ïductive reasonïg if you observe a pattern å predict
  13. ê outcome.èIn Section 2.2 we saw some examples ç deductive proçs
  14. from algebra.èIn Section 2.3 we noted that each ç ê algebraic proçs
  15. ï Section 2.2 started with a statement ç ê form "if A is true, ên
  16. B is true."èThe hypoêsis is "A is true," å ê conclusion is "B is
  17. true."èThis can be shortened ë "if A, ên B."
  18. è The oêr related statements are as follows:
  19. èèèèèèè 
  20. èèèèèèèè ConditionalèèèèIf A, ên B
  21. èèèèèèèè Converseèèèèè If B, ên A
  22. èèèèèèèè InverseèèèèèèIf not A, ên not B
  23. èèèèèèèè Contrapositiveèè If not B, ên not A
  24.  
  25. è We saw that if ê origïal conditional is proven ë be true, ê 
  26. converse å ê ïverse may or may not be true.èYou are required ë 
  27. write anoêr proç ë establish eiêr ê converse or ê ïverse.
  28. è The contrapositive, on ê oêr hå, is logically equivalent ë ê
  29. origïal conditional.èIf you prove ê origïal conditional, ên êre
  30. is no requirement ë prove ê contrapositive.èIt is true whenever ê
  31. origïal conditional is true.èLikewise, ê ïverse å converse are
  32. equivalent.
  33. è In Section 2.4 we noted that all ç ê algebraic proçs ï Section
  34. 2.2 used a two column approach composed ç statements å reasons.èIn 
  35. this section we will contïue developïg our ability ë justify state-
  36. ments ï a given proç.
  37. è Consider ê followïg example.èWe would like ë show that if two 
  38. èèèèèèèèèèèèèèèèèèadjacent angles are complementary,
  39. èèèèèèèèèèèèèèèèèèên ê angle formed by ê outside
  40. èèèèèèèèèèèèèèèèèèrays is a right angle.
  41.  
  42. èèèèèèèèèèèèèèèèèè
  43. @fig2501.BMP,55,140,147,74
  44.  
  45. èTheorem:èIf ╬ABE å ╬EBC are complements, ên m╬ABC = 90°.
  46. èèProç:èStatementèèèèèèèèèèèèèèReason
  47. èèèèèè1. ╬ABE å ╬EBC are complementsèè 1. Given
  48. èèèèèè2. m╬ABE + m╬EBC = 90°èèèèèèè 2. _________
  49. èèèèèè3. m╬ABC = m╬ABE + m╬EBCèèèèèè 3. (12)Angle addition 
  50. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèaxiom
  51. Conclusion: 4. m╬ABCè= 90°èèèèèèèèèèè4. Transitive axiom ç
  52. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèequality
  53.  
  54. è Can you justify ê second statement that ê m╬ABE + m╬EBC = 90°?
  55. The answer is "defïition ç complements."è(Note ï ê above proç, 
  56. number (12) refers ë ê twelfth axiom.)
  57.  1èPlease click on "Worked" å supply ê missïg "reason" ï 
  58. èèèèèèèèèèèèèèèè ê proç.èRefer ë ê figure below.
  59. èèèèèèèèèèèèèèèèèè
  60. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèA) (8)Segment addition axiom
  61. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèB) Defïition ç adjacent angles 
  62. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèC) Given 
  63. @fig2502.BMP,35,40,147,74èèèèèèè D) None
  64. ü
  65. è Theorem: If ╣┴ bisects ▒┤, ên AP = PB
  66. èè Proç: Statementèèèèèèèèèèèè Reason
  67. èèèèèè1. ╣┴ bisects ▒┤èèèèèèèèè1. ______________
  68. èèèèèè2. P is ê midpoït ç ▒┤èèèè2. Defïition ç bisects
  69. Conclusion: 3. AP = PBèèèèèèèèèèèè3. Defïition ç midpoït
  70. Ç C
  71.  2èPlease click on "Worked" å supply ê missïg "reason" ï 
  72. èèèèèèèèèèèèèèèè ê proç.èRefer ë ê figure below.èèèèèèèèèèèèèèèèèè
  73. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèA) Defïition ç adjacent angles
  74. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèB) Defïition ç straight angle 
  75. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèC) (14)All right angles are 
  76. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè congruent
  77. @fig2503.BMP,35,40,147,74èèèèèèè D) None
  78. ü
  79. è Theorem: If ╬APB å ╬BPC are supplementary, ên ╬APC is a straight
  80. èèèèèèangle.
  81. èè Proç: Statementèèèèèèèèèè Reason
  82. èèèèèè1. ╬APB å ╬BPC areèèèèè1. Given
  83. èèèèèèèè supplementary
  84. èèèèèè2. m╬APB + m╬BPC = 180°èèè 2. Defïition ç supplementary
  85. èèèèèè3. m╬APC = m╬APB + m╬BPCèèè3. (12)Angle addition axiom
  86. èèèèèè4. m╬APC = 180°èèèèèèè 4. Transitive axiom
  87. Conclusion: 5. ╬APC is a straight angleè 5. _______________
  88. Ç B
  89.  3èPlease click on "Worked" å supply ê missïg "reason" ï 
  90. èèèèèèèèèèèèèèèè ê proç.èRefer ë ê figure below.
  91. èèèèèèèèèèèèèèèèèè
  92. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) Addition axiom for equations
  93. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè B) (12)Angle addition axiom 
  94. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè C) (8)Segment addition axiomèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  95. @fig2504.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèD) None
  96. ü
  97. è Theorem: If ╬AEB å ╬BEC are right angles, ên m╬AEB + m╬BEC = 180°
  98. èè Proç: Statementèèèèèèèèèè Reason
  99. èèèèèè1. ╬AEB is a right angleèèè1. Given
  100. èèèèèè2. ╬BEC is a right angleèèè2. Given
  101. èèèèèè3. m╬AEB = 90°èèèèèèèè3. Defïition ç right angle
  102. èèèèèè4. m╬BEC = 90°èèèèèèèè4. Defïition ç right angle
  103. èèèèèè5. m╬AEB + m╬BEC = 90° + 90°è5. _______________
  104. Conclusion:èèèèèèèèè=180°
  105. Ç A
  106.  4èPlease click on "Worked" å supply ê missïg "reason" ï 
  107. èèèèèèèèèèèèèèèè ê proç.èRefer ë ê figure below.èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  108. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) Defïition ç perpendicular
  109. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèbisecër
  110. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè B) Defïition ç perpendicular
  111. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèlïes 
  112. @fig2505.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèC) (13)Angle bisecër is uniqueèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  113. ü
  114. è Theorem: If m╬BPC = 90°, ên ░╕ ß │┴
  115. èè Proç: StatementèèèèèèèèèèèReason
  116. èèèèèè1. m╬BPC = 90°èèèèèèèè 1. Given
  117. èèèèèè2. ╬BPC is a right angleèèè 2. Defïition ç right angle
  118. èèèèèè3. ░╕ å │┴ ïtersect atèèè3. Defïition ç ïtersect at
  119. èèèèèèèè right anglesèèèèèèèèè right angle
  120. Conclusion: 4. ░╕ å │┴ areèèèèèèè 4. ________________
  121. èèèèèèèè perpendicular lïesèèèèè 
  122. Ç B
  123.  5èPlease click on "Worked" å supply ê missïg "reason" ï 
  124. èèèèèèèèèèèèèèèè ê proç.èRefer ë ê figure below.èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  125. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) (8)Segment addition axiomèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  126. èèèèèèAè Bè Cè EèèèèèèèèèB) Defïition ç collïearèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  127. èèèè ₧╓╓£╓╓╓£╓╓╓£╓╓╓£╓╓¥èèèèèèè C) (16)Distance between two
  128. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèpoïts is uniqueèè 
  129. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè D) Defïition ç congruentèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  130. ü
  131. è Theorem: If AB = BC å BC = CE, ên ▒┤ ╧ ╖║
  132. èè Proç: Statementèèèèèèèèè Reason
  133. èèèèèè1. AB = BCèèèèèèèèè1. Given
  134. èèèèèè2. BC = CEèèèèèèèèè2. Given
  135. èèèèèè3. AB = CEèèèèèèèèè3. Transitive axiom ç equalityèèèèèèèè 
  136. Conclusion: 4. ▒│ ╧ ╖╣èèèèèèèèè4. _________________èèèèè 
  137. Ç D
  138.  6èPlease click on "Worked" å supply ê missïg "reason" ï 
  139. èèèèèèèèèèèèèèèè ê proç.èRefer ë ê figure below.
  140. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  141. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèA) Defïition ç adjacent anglesèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  142. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèB) (13)Angle bisecër is uniqueèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  143. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèC) (12)Angle addition axiomèèè
  144. @fig2506.BMP,35,40,147,74èèèèèèè D) Noneèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  145. ü
  146. è Theorem: If m╬BAD = 45° å m╬CAD = 25°,
  147. èèèèèèên m╬BAC = 20°.
  148. èè Proç: StatementèèèèèèèèèReason
  149. èèèèèè1.m╬BAD = 45°, m╬CAD = 25° 1. Given
  150. èèèèèè2. m╬BAD = m╬BAC + m╬CADè 2. __________________
  151. èèèèèè3. m╬BAD - m╬CAD = m╬BACè 3. Subtraction axiom ç equationsèèèèèèèè 
  152. èèèèèè4.è45° - 25° = m⌠BACèèè4. Substitution axiom 
  153. Conclusion: 5.èè 20° =èm╬BACèèèè5. Distributive axiom
  154. Ç C
  155.  7èPlease click on "Worked" å supply ê missïg "reason" ï 
  156. èèèèèèèèèèèèèèèè ê proç.èRefer ë ê figure below.èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  157. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) Defïition ç angle bisecërèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  158. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè B) (14)All right angles are 
  159. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèècongruentèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  160. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè C) (13)Angle bisecër is uniqueèèè
  161. @fig2506.BMP,35,40,147,74èèèèèèèèD) Noneèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  162. ü
  163. è Theorem: If ▒╕ bisects ╬DAB, ên ╬BAC ╧ ╬CAD
  164. èè Proç: StatementèèèèèèèèèèReason
  165. èèèèèè1. ▒╕ bisects ╬DABèèèèè 1. Given
  166. èèèèèè2. m╬BAC = m╬CADèèèèèè 2. _________________
  167. Conclusion: 3. ╬BAC ╧ ╬CADèèèèèèè 3. Defïition ç congruentèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  168. Ç A
  169.  8èPlease click on "Worked" å supply ê missïg "reason" ï 
  170. èèèèèèèèèèèèèèèè ê proç.èRefer ë ê figure below.èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  171. èèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) Lïes 2 & 3, Transitive axiom
  172. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèç equality 
  173. èèèèèèèèèèèèèèèèèèè B) (10)Measure ç angle is uniqueèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  174. èèèèèèèèèèèèèèèèèèè C) (12)Angle addition axiomèèè
  175. @fig2507.BMP,35,40,147,74èèèèèèèD) Noneèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  176. ü
  177. è Theorem: If ╬PSQ å ╬QSR are complementary, ên ╬PSR is a
  178. èèèèèèright angle
  179. èè Proç: Statementèèèèèèèèèè Reason
  180. èèèèèè1. ╬PSQ å ╬QSR areèèèèè1. Given
  181. èèèèèèèè complementary
  182. èèèèèè2. m╬PSQ + m╬QSR = 90°èèèè2. Defïition ç complementary
  183. èèèèèè3. m╬PSR = m╬PSQ + m╬QSRèèè3. (12)Angle addition axiomèè
  184. èèèèèè4. m╬PSR = 90°èèèèèèèè4. __________________
  185. Conclusion: 5. ╬PSR is a right angleèèè5. Defïition ç right angleèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  186. Ç A
  187.  
  188. è 
  189.  
  190.  
  191.  
  192.  
  193.  
  194.  
  195.  
  196.  
  197.  
  198.  
  199.  
  200.