home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Geometry / geometry-3.5.iso / GEOMETRY / CHAPTER2.1Y < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1995-04-21  |  7.7 KB  |  248 lines
  1. à 2.1èInductive Reasonïg
  2. äèPlease answer ê followïg questions about ïductive
  3. reasonïg.
  4. â
  5.  
  6. èèèèèèPredict ê next number by ïductive reasonïg.
  7.  
  8. èèèèèèèèèèèè 2, 4, 6, 8, 10, ______
  9. éS In ê first chapter we looked at three undefïed terms, twenty-
  10. six defïitions, å fourteen axioms.èSïce we are followïg Euclid's
  11. approach ë developïg geometry, ê next step is ë prove some add-
  12. tional geometric facts that we will call êorems.è
  13. è The process is ë accept ê undefïed terms, use ê defïitions as
  14. defïed facts, assume that ê axioms are facts, ên use all ç êse
  15. facts å Arisëtle's method ç deductive reasonïg ë prove new geo-
  16. metric facts.èSïce ê defïitions, axioms, å possibly already pro-
  17. ven êorems are ê facts that are used ë prove new facts, it is prac-
  18. tically essential ë commit all defïitions, axioms, å êorems ë 
  19. memory.èTHIS IS THE KEY TO BEING SUCCESSFUL IN GEOMETRY.
  20. è Sïce this is difficult ë do, we have placed complete lists ç 
  21. symbols, undefïed terms, defïitions, axioms, å êrems ï ê "help
  22. files" for easy reference.èThey are listed êre by section å chapter
  23. as êy occur ï this program.èPlease use êse "help files" as need-
  24. ed when tryïg ë justify a step ï a deductive proç by referrïg ë aè
  25. known fact.
  26. è To better understå ê nature ç deductive reasonïg, we will first
  27. look at ïductive reasonïg.èInductive reasonïg is used when we ob-
  28. serve a pattern occur several times, å based on êse observations 
  29. predict what will happen next.èThis is a great ëol that we use 
  30. all ê time ï everyday life å ï science å maêmatics.èIt helps
  31. us discover patterns that may be universal truths.
  32. è The down side ç ïductive reasonïg is that even though you observe
  33. a pattern occur a thouså times, it may not occur ê next time.èFor
  34. example, your alarm clock could wake you up every mornïg for years, å
  35. based on that pattern you set it expectïg ë wake up on time.èAs you 
  36. have probably experienced on occasion, sometimes it doesn't work.èThus,
  37. when we use ïductive reasonïg we are just guessïg that somethïg will
  38. happen based on a few observations.
  39. è Deductive reasonïg comes ïë play after you have used ïductive 
  40. reasonïg.èSome ç ê patterns that we discover usïg ïductive rea-
  41. sonïg actually are universal truths.èIn ê next section we will look
  42. at ê method ç deductive reasonïg ë prove some algebraic universal
  43. facts.
  44. è Thus, ïductive reasonïg is ê powerful ëol that we use all ê 
  45. time ë observe patterns å predict ê next outcome.èHowever, ï ê 
  46. event that ê pattern is actully always true, we can use deductive rea-
  47. sonïg ë prove that it will always occur å hence accept ê pattern 
  48. as a new fact.
  49. è In this section, however, we are just goïg ë have fun å use our
  50. ïductive reasonïg ë predict ê next outcome based on ê patterns 
  51. apparent from a few cases.èWe won't make ê same mistake that ê 
  52. great astronomer, Bode, made when he observed ê distances ç planets
  53. from ê sun.
  54.  
  55. èMercuryèè Venusèè Earthèè Marsèèèèèèè Jupiterèè Saturn
  56. èè.4èèèèè.7èèè 1.0èèè 1.6èèè 2.8èèè 5.2èèèè 10
  57.  
  58.  
  59. èUranusèè Neptuneèè Plaë
  60. è 19.6èèèèèèèèè38.8
  61.  
  62. The planet Uranus was found ï ê predicted position strengênïg 
  63. Bode's rule, but only asteroids were found at a distance ç 2.8 å 
  64. Neptunes was discovered ï 1846 out ç ê predicted sequence.èOn one
  65. hå, ïductive reasonïg helped astronomers discover Uranus, a previ-
  66. ously unknown planet, however on ê oêr hå, ê sequence did not 
  67. hold ï all cases.
  68.  1
  69. èèèèèèUse ïductive reasonïg ë predict ê next number.
  70.  
  71. èèèèèèèèèèèè 1, 3, 5, 7, 9, _____.
  72.  
  73. èèèèè A) 10èèèèèB) 11èèèèèC) 13èèèèèD) None
  74. ü
  75.  
  76. èèèèèèèèèè The numbers ïcrease by two.
  77.  
  78. èèèèèèèèèèèèèèèè 11
  79. Ç B
  80.  2
  81. èèèèèèUse ïductive reasonïg ë predict ê next number.
  82.  
  83. èèèèèèèèèèèè 1, 4, 9, 16, 25, _____.
  84.  
  85. èèèèè A) 49èèèèèB) 37èèèèèC) 36èèèèèD) None
  86. ü
  87.  
  88. èèèèèèèèèThis is ê square number sequence.
  89.  
  90. èèèèèèèèèèèèèèèèè36
  91. Ç C
  92.  3
  93. èèèèèèUse ïductive reasonïg ë predict ê next number.
  94.  
  95. èèèèèèèèèèè2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, _____.
  96.  
  97. èèèèè A) 19èèèèèB) 21èèèèèC) 23èèèèèD) None
  98. ü
  99.  
  100. èèèèèèèèè This is ê prime number sequence.
  101.  
  102. èèèèèèèèèèèèèèèèè 19
  103. Ç A
  104.  4
  105. èèèèèèUse ïductive reasonïg ë predict ê next number.
  106.  
  107. èèèèèèèèèèèèèè1, 8, 27, 64, _____.
  108.  
  109. èèèèè A) 75èèèèèB) 125èèèèèC) 96èèèèèD) None
  110. ü
  111.  
  112. èèèèèèèèèèThis is ê cube number sequence.
  113.  
  114. èèèèèèèèèèèèèèèèè 125
  115. Ç B
  116.  5
  117. èèèèèèUse ïductive reasonïg ë predict ê next number.
  118.  
  119. èèèèèèèèèèèèè0, 2, 6, 12, 20, _____.
  120.  
  121. èèèèè A) 30èèèèèB) 28èèèèèC) 32èèèèèD) None
  122. üèThere might be more than one way ë predict ê next term.èThe 
  123. gap between ê numbers ïcreases by 2, ên 4, ên 6, ên 8.èThe
  124. next gap should be 10.èThat means ê next number should be 30.
  125. è Anoêr approach is ë use ê formula n² - n å substitute first 1,
  126. ên 2, ên 3, ên 4, ên 5, å fïally 6.èYou get 30 this way 
  127. also.èèèèèèèèè
  128. Ç A
  129.  6
  130. èèèèèèUse ïductive reasonïg ë predict ê next number.
  131.  
  132. èèèèèèèèèèè 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, _____.
  133.  
  134. èèèèè A) 19èèèèèB) 17èèèèèC) 21èèèèèD) None
  135. üè 
  136.  
  137. èèèèèEach number is ê sum ç ê two preceedïg numbers.
  138. è
  139. èèèèèèèèèèèèèèè8 + 13 = 21
  140. èèèèèèèèè
  141. Ç C
  142.  7èSuppose you are observïg ê ïtensity ç a light from a 
  143. èèèèè boat as it moves away from you.èPredict ê next number.
  144.  
  145. èèèèè Distanceèè 10èèè20èèè30èèè40èèè50
  146. èèèèè Intensityèè 1èè 1/4èè 1/9èè 1/16èè __
  147.  
  148. èèèèA) 1/36èèèèèB) 1/25èèèèèC) 1/27èèèèèD) None
  149. üè 
  150.  
  151. èèèè 
  152. èèèèè Intensity = 100/(distance)² = 100/(50)² = 1/25èèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  153. Ç B
  154.  8èSuppose you are measurïg ê volume ç a gas as you ïcrease
  155. èèèèè ê temperature.èPredict ê next number.
  156.  
  157. èèèèè Temperatureèè 10èèè11èèè12èèè13èè 14
  158. èèèèè Volumeèèèèè20èèè22èèè24èèè26èè __
  159.  
  160. èèèèèA) 28èèèèèB) 30èèèèèC) 29èèèèèD) None
  161. üè 
  162.  
  163. èèèèèèèèèèèè Volume = 2·Temperature
  164. èèèè
  165. èèèèèèèèèèèèèèèè2·14 = 28èèèèèèèèèèèèèèè
  166. Ç A
  167.  9èSuppose you are measurïg ê time ç a pendulum swïg asè
  168. you ïcrease ê length ç ê strïg.èPredict ê next number.
  169.  
  170. èèèèè Timeèèèèèèèè 1èèè2èèè3èèè4èèè5
  171. èèèèè Length ç strïgèè 1èèè4èèè9èè 16èè __
  172.  
  173. èèèèèA) 22èèèèèB) 27èèèèèC) 25èèèèèD) None
  174. üè 
  175. èèèè 
  176. èèèèèThe length ç ê strïg equals ê square ç ê time.è
  177.  
  178. èèèèèèèèèèèèèèèè 25èèèèèèèèèèèèèèèè 
  179. Ç C
  180.  10èSuppose you are measurïg ê volume ç a gas as youè 
  181. èèèèèèïcrease ê pressure.èPredict ê next number.
  182.  
  183. èèèèè Pressureè 1èèè2èèè3èèè4èèè5èèè6èèè7
  184. èèèèè Volumeèè 2èèè1èè 2/3èè1/2èè2/5èè1/3èè__
  185.  
  186. èèèèèA) 2/9èèèèèB) 1/5èèèèèC) 2/7èèèèèD) None
  187. üè 
  188.  
  189. èèèè
  190. èèèèèèèèèèè Volume = 2/Pressure = 2/7èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  191. Ç C
  192.  11èSuppose you are observïg ê number ç CDs you can sellè
  193. èèèèèèas you ïcrease ê price.èPredict ê next number.
  194.  
  195. èèèèèèèèè Priceèèèèèè1èèè2èèè3èèè4èè 
  196. èèèèèèèèè Number Soldèè 24èè 12èèè8èèè__
  197.  
  198. èèèèèèèA) 2èèèèèB) 6èèèèèC) 4èèèèèD) None
  199. üè 
  200.  
  201. èèèè
  202. èèèèèèèèèèNumber Sold = 24/Price = 24/4 = 6èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  203. Ç B
  204.  12èSuppose you are fïdïg ê area ç a rectangle as youè 
  205. èèèèèèchange ê dimensions.èPredict ê next number.
  206.  
  207. èè Dimensionsèè 2 by 3èèè 3 by 4èèè 4 by 5èèè 5 by 6è 
  208. èè Areaèèèèèèè6èèèèè 12èèèèè 20èèèèè __
  209.  
  210. èèèè A) 30èèèèèB) 32èèèèèC) 40èèèè D) None
  211. üè 
  212.  
  213. èèèè
  214. èèèèèèèèè Area = Length x Width = 5 x 6 = 30èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  215. Ç A
  216.  13èSuppose you are observïg ê distance an object falls ï aèè
  217. èèèèèègiven amount ç time.èPredict ê next number.
  218.  
  219. èèèèèèèèèTimeèèè1èèèè2èèèè3èèèè4èèèèèè 
  220. èèèèèèèèèDistanceè2èèèè8èèè 18èèè __
  221.  
  222. èèèè A) 44èèèèèB) 32èèèèèC) 64èèèè D) None
  223. üè 
  224.  
  225. èèèè
  226. èèèèèèèèèèDistance = 2(Time)² = 2(4)² = 32èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  227. Ç B
  228.  14èSuppose you are recordïg ê force required ë stretchèè
  229. èèèèèèa sprïg a given distance.èPredict ê next number.
  230.  
  231. èèèèèèèè Forceèèè 1èèèè2èèèè3èèèè4èèèèèè 
  232. èèèèèèèè Distanceèè3èèèè6èèèè9èèè __
  233.  
  234. èèèè A) 15èèèèèB) 14èèèèèC) 12èèèè D) None
  235. üè 
  236.  
  237. èèèè
  238. èèèèèèèèèè Force = 3·Distance = 3·4 = 12èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  239. Ç C
  240.  
  241. èèèèèèèèèèèèèèèèè 
  242.  
  243.  
  244.  
  245.  
  246.  
  247.  
  248.