home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Internet Info 1997 December / Internet_Info_CD-ROM_Walnut_Creek_December_1997.iso / infoguide / resources / astronomy / faq4 < prev    next >
Text File  |  1997-12-01  |  19KB  |  513 lines
  1. Archive-name: space/math
  2. Last-modified: $Date: 94/03/01 17:24:39 $
  3.  
  4. CONSTANTS AND EQUATIONS FOR CALCULATIONS
  5.  
  6.     This list was originally compiled by Dale Greer. Additions would be
  7.     appreciated.
  8.  
  9.     Numbers in parentheses are approximations that will serve for most
  10.     blue-skying purposes.
  11.  
  12.     Unix systems provide the 'units' program, useful in converting between
  13.     different systems (metric/English, CGS/MKS etc.)
  14.  
  15.  
  16.     NUMBERS
  17.  
  18.     7726 m/s     (8000)  -- Earth orbital velocity at 300 km altitude
  19.     3075 m/s     (3000)  -- Earth orbital velocity at 35786 km (geosync)
  20.     6371 km         (6400)  -- Mean radius of Earth
  21.     6378 km         (6400)  -- Equatorial radius of Earth
  22.     1738 km         (1700)  -- Mean radius of Moon
  23.     5.974e24 kg     (6e24)  -- Mass of Earth
  24.     7.348e22 kg     (7e22)  -- Mass of Moon
  25.     1.989e30 kg     (2e30)  -- Mass of Sun
  26.     3.986e14 m^3/s^2 (4e14)  -- Gravitational constant times mass of Earth
  27.     4.903e12 m^3/s^2 (5e12)  -- Gravitational constant times mass of Moon
  28.     1.327e20 m^3/s^2 (13e19) -- Gravitational constant times mass of Sun
  29.     384401 km     ( 4e5)  -- Mean Earth-Moon distance
  30.     1.496e11 m     (15e10) -- Mean Earth-Sun distance (Astronomical Unit)
  31.  
  32.     1 megaton (MT) TNT = about 4.2e15 J or the energy equivalent of
  33.     about .05 kg (50 g) of matter. Ref: J.R Williams, "The Energy Level
  34.     of Things", Air Force Special Weapons Center (ARDC), Kirtland Air
  35.     Force Base, New Mexico, 1963. Also see "The Effects of Nuclear
  36.     Weapons", compiled by S. Glasstone and P.J. Dolan, published by the
  37.     US Department of Defense (obtain from the GPO).
  38.  
  39.     EQUATIONS
  40.  
  41.     Where d is distance, v is velocity, a is acceleration, t is time.
  42.     Additional more specialized equations are available from:
  43.  
  44.         explorer.arc.nasa.gov:pub/SPACE/FAQ/MoreEquations
  45.  
  46.  
  47.     For constant acceleration
  48.         d = d0 + vt + .5at^2
  49.         v = v0 + at
  50.       v^2 = 2ad
  51.  
  52.     Acceleration on a cylinder (space colony, etc.) of radius r and
  53.         rotation period t:
  54.  
  55.         a = 4 pi**2 r / t^2
  56.  
  57.     For circular Keplerian orbits where:
  58.         Vc     = velocity of a circular orbit
  59.         Vesc = escape velocity
  60.         M     = Total mass of orbiting and orbited bodies
  61.         G     = Gravitational constant (defined below)
  62.         u     = G * M (can be measured much more accurately than G or M)
  63.         K     = -G * M / 2 / a
  64.         r     = radius of orbit (measured from center of mass of system)
  65.         V     = orbital velocity
  66.         P     = orbital period
  67.         a     = semimajor axis of orbit
  68.  
  69.         Vc     = sqrt(M * G / r)
  70.         Vesc = sqrt(2 * M * G / r) = sqrt(2) * Vc
  71.         V^2  = u/a
  72.         P     = 2 pi/(Sqrt(u/a^3))
  73.         K     = 1/2 V**2 - G * M / r (conservation of energy)
  74.  
  75.         The period of an eccentric orbit is the same as the period
  76.            of a circular orbit with the same semi-major axis.
  77.  
  78.     Change in velocity required for a plane change of angle phi in a
  79.     circular orbit:
  80.  
  81.         delta V = 2 sqrt(GM/r) sin (phi/2)
  82.  
  83.     Energy to put mass m into a circular orbit (ignores rotational
  84.     velocity, which reduces the energy a bit).
  85.  
  86.         GMm (1/Re - 1/2Rcirc)
  87.         Re = radius of the earth
  88.         Rcirc = radius of the circular orbit.
  89.  
  90.     Classical rocket equation, where
  91.         dv    = change in velocity
  92.         Isp = specific impulse of engine
  93.         Ve    = exhaust velocity
  94.         x    = reaction mass
  95.         m1    = rocket mass excluding reaction mass
  96.         g    = 9.80665 m / s^2
  97.  
  98.         Ve    = Isp * g
  99.         dv    = Ve * ln((m1 + x) / m1)
  100.         = Ve * ln((final mass) / (initial mass))
  101.  
  102.     Relativistic rocket equation (constant acceleration)
  103.  
  104.         t (unaccelerated) = c/a * sinh(a*t/c)
  105.         d = c**2/a * (cosh(a*t/c) - 1)
  106.         v = c * tanh(a*t/c)
  107.  
  108.     Relativistic rocket with exhaust velocity Ve and mass ratio MR:
  109.  
  110.         at/c = Ve/c * ln(MR), or
  111.  
  112.         t (unaccelerated) = c/a * sinh(Ve/c * ln(MR))
  113.         d = c**2/a * (cosh(Ve/C * ln(MR)) - 1)
  114.         v = c * tanh(Ve/C * ln(MR))
  115.  
  116.     Converting from parallax to distance:
  117.  
  118.         d (in parsecs) = 1 / p (in arc seconds)
  119.         d (in astronomical units) = 206265 / p
  120.  
  121.     Miscellaneous
  122.         f=ma    -- Force is mass times acceleration
  123.         w=fd    -- Work (energy) is force times distance
  124.  
  125.     Atmospheric density varies as exp(-mgz/kT) where z is altitude, m is
  126.     molecular weight in kg of air, g is local acceleration of gravity, T
  127.     is temperature, k is Bolztmann's constant. On Earth up to 100 km,
  128.  
  129.         d = d0*exp(-z*1.42e-4)
  130.  
  131.     where d is density, d0 is density at 0km, is approximately true, so
  132.  
  133.         d@12km (40000 ft) = d0*.18
  134.         d@9 km (30000 ft) = d0*.27
  135.         d@6 km (20000 ft) = d0*.43
  136.         d@3 km (10000 ft) = d0*.65
  137.  
  138.             Atmospheric scale height    Dry lapse rate
  139.             (in km at emission level)     (K/km)
  140.             -------------------------    --------------
  141.         Earth        7.5                9.8
  142.         Mars        11                4.4
  143.         Venus        4.9                10.5
  144.         Titan        18                1.3
  145.         Jupiter        19                2.0
  146.         Saturn        37                0.7
  147.         Uranus        24                0.7
  148.         Neptune        21                0.8
  149.         Triton        8                1
  150.  
  151.     Titius-Bode Law for approximating planetary distances:
  152.  
  153.         R(n) = 0.4 + 0.3 * 2^N Astronomical Units
  154.  
  155.         This fits fairly well for Mercury (N = -infinity), Venus
  156.         (N = 0), Earth (N = 1), Mars (N = 2), Jupiter (N = 4),
  157.         Saturn (N = 5), Uranus (N = 6), and Pluto (N = 7).
  158.  
  159.     CONSTANTS
  160.  
  161.     6.62618e-34 J-s  (7e-34) -- Planck's Constant "h"
  162.     1.054589e-34 J-s (1e-34) -- Planck's Constant / (2 * PI), "h bar"
  163.     1.3807e-23 J/K    (1.4e-23) - Boltzmann's Constant "k"
  164.     5.6697e-8 W/m^2/K (6e-8) -- Stephan-Boltzmann Constant "sigma"
  165.     6.673e-11 N m^2/kg^2 (7e-11) -- Newton's Gravitational Constant "G"
  166.     0.0029 m K     (3e-3)  -- Wien's Constant "sigma(W)"
  167.     3.827e26 W     (4e26)  -- Luminosity of Sun
  168.     1370 W / m^2     (1400)  -- Solar Constant (intensity at 1 AU)
  169.     6.96e8 m     (7e8)     -- radius of Sun
  170.     1738 km         (2e3)     -- radius of Moon
  171.     299792458 m/s      (3e8)  -- speed of light in vacuum "c"
  172.     9.46053e15 m      (1e16) -- light year
  173.     206264.806 AU      (2e5)  -- \
  174.     3.2616 light years (3)     --  --> parsec
  175.     3.0856e16 m     (3e16)  -- /
  176.  
  177.  
  178.     Black Hole radius (also called Schwarzschild Radius):
  179.  
  180.     2GM/c^2, where G is Newton's Grav Constant, M is mass of BH,
  181.         c is speed of light
  182.  
  183.     Things to add (somebody look them up!)
  184.     Basic rocketry numbers & equations
  185.     Aerodynamical stuff
  186.     Energy to put a pound into orbit or accelerate to interstellar
  187.         velocities.
  188.     Non-circular cases?
  189.  
  190. PERFORMING CALCULATIONS AND INTERPRETING DATA FORMATS
  191.  
  192.     COMPUTING SPACECRAFT ORBITS AND TRAJECTORIES
  193.  
  194.     References that have been frequently recommended on the net are:
  195.  
  196.     "Fundamentals of Astrodynamics" Roger Bate, Donald Mueller, Jerry White
  197.     1971, Dover Press, 455pp $8.95 (US) (paperback). ISBN 0-486-60061-0
  198.  
  199.     NASA Spaceflight handbooks (dating from the 1960s)
  200.     SP-33 Orbital Flight Handbook (3 parts)
  201.     SP-34 Lunar Flight Handbook   (3 parts)
  202.     SP-35 Planetary Flight Handbook (9 parts)
  203.  
  204.     These might be found in university aeronautics libraries or ordered
  205.     through the US Govt. Printing Office (GPO), although more
  206.     information would probably be needed to order them.
  207.  
  208.     M. A. Minovitch, _The Determination and Characteristics of Ballistic
  209.     Interplanetary Trajectories Under the Influence of Multiple Planetary
  210.     Attractions_, Technical Report 32-464, Jet Propulsion Laboratory,
  211.     Pasadena, Calif., Oct, 1963.
  212.  
  213.     The title says all. Starts of with the basics and works its way up.
  214.     Very good. It has a companion article:
  215.  
  216.     M. Minovitch, _Utilizing Large Planetary Perubations for the Design of
  217.     Deep-Space Solar-Probe and Out of Ecliptic Trajectories_, Technical
  218.     Report 32-849, JPL, Pasadena, Calif., 1965.
  219.  
  220.     You need to read the first one first to realy understand this one.
  221.     It does include a _short_ summary if you can only find the second.
  222.  
  223.     Contact JPL for availability of these reports.
  224.  
  225.     "Spacecraft Attitude Dynamics", Peter C. Hughes 1986, John Wiley and
  226.     Sons.
  227.  
  228.     "Celestial Mechanics: a computational guide for the practitioner",
  229.     Lawrence G. Taff, (Wiley-Interscience, New York, 1985).
  230.  
  231.     Starts with the basics (2-body problem, coordinates) and works up to
  232.     orbit determinations, perturbations, and differential corrections.
  233.     Taff also briefly discusses stellar dynamics including a short
  234.     discussion of n-body problems.
  235.  
  236.  
  237.     COMPUTING PLANETARY POSITIONS
  238.  
  239.     More net references:
  240.  
  241.     "Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac" (revised edition),
  242.     Kenneth Seidelmann, University Science Books, 1992. ISBN 0-935702-68-7.
  243.     $65 in hardcover.
  244.  
  245.     Deep math for all the algorthms and tables in the AA.
  246.  
  247.     Van Flandern & Pullinen, _Low-Precision Formulae for Planetary
  248.     Positions_, Astrophysical J. Supp Series, 41:391-411, 1979. Look in an
  249.     astronomy or physics library for this; also said to be available from
  250.     Willmann-Bell.
  251.  
  252.     Gives series to compute positions accurate to 1 arc minute for a
  253.     period + or - 300 years from now. Pluto is included but stated to
  254.     have an accuracy of only about 15 arc minutes.
  255.  
  256.     _Multiyear Interactive Computer Almanac_ (MICA), produced by the US
  257.     Naval Observatory. Valid for years 1990-1999. $55 ($80 outside US).
  258.     Available for IBM (order #PB93-500163HDV) or Macintosh (order
  259.     #PB93-500155HDV). From the NTIS sales desk, (703)-487-4650. I believe
  260.     this is intended to replace the USNO's Interactive Computer Ephemeris.
  261.  
  262.     _Interactive Computer Ephemeris_ (from the US Naval Observatory)
  263.     distributed on IBM-PC floppy disks, $35 (Willmann-Bell). Covers dates
  264.     1800-2049.
  265.  
  266.     "Planetary Programs and Tables from -4000 to +2800", Bretagnon & Simon
  267.     1986, Willmann-Bell.
  268.  
  269.     Floppy disks available separately.
  270.  
  271.     "Fundamentals of Celestial Mechanics" (2nd ed), J.M.A. Danby 1988,
  272.     Willmann-Bell.
  273.  
  274.     A good fundamental text. Includes BASIC programs; a companion set of
  275.     floppy disks is available separately.
  276.  
  277.     "Astronomical Formulae for Calculators" (4th ed.), J. Meeus 1988,
  278.     Willmann-Bell.
  279.  
  280.     "Astronomical Algorithms", J. Meeus 1991, Willmann-Bell.
  281.  
  282.     If you actively use one of the editions of "Astronomical Formulae
  283.     for Calculators", you will want to replace it with "Astronomical
  284.     Algorithms". This new book is more oriented towards computers than
  285.     calculators and contains formulae for planetary motion based on
  286.     modern work by the Jet Propulsion Laboratory, the U.S. Naval
  287.     Observatory, and the Bureau des Longitudes. The previous books were
  288.     all based on formulae mostly developed in the last century.
  289.  
  290.     Algorithms available separately on diskette.
  291.  
  292.     "Practical Astronomy with your Calculator" (3rd ed.), P. Duffett-Smith
  293.     1988, Cambridge University Press.
  294.  
  295.     "Orbits for Amateurs with a Microcomputer", D. Tattersfield 1984,
  296.     Stanley Thornes, Ltd.
  297.  
  298.     Includes example programs in BASIC.
  299.  
  300.     "Orbits for Amateurs II", D. Tattersfield 1987, John Wiley & Sons.
  301.  
  302.     "Astronomy / Scientific Software" - catalog of shareware, public domain,
  303.     and commercial software for IBM and other PCs. Astronomy software
  304.     includes planetarium simulations, ephemeris generators, astronomical
  305.     databases, solar system simulations, satellite tracking programs,
  306.     celestial mechanics simulators, and more.
  307.  
  308.     Andromeda Software, Inc.
  309.     P.O. Box 605
  310.     Amherst, NY 14226-0605
  311.  
  312.  
  313.     COMPUTING CRATER DIAMETERS FROM EARTH-IMPACTING ASTEROIDS
  314.  
  315.     Astrogeologist Gene Shoemaker proposes the following formula, based on
  316.     studies of cratering caused by nuclear tests.
  317.  
  318.              (1/3.4)
  319.     D = S  S  c  K  W        : crater diameter in km
  320.      g  p  f  n
  321.  
  322.            (1/6)
  323.     S = (g /g )            : gravity correction factor for bodies other than
  324.      g      e  t              Earth, where g = 9.8 m/s^2 and g    is the surface
  325.                         e              t
  326.                   gravity of the target body. This scaling is
  327.                   cited for lunar craters and may hold true for
  328.                   other bodies.
  329.  
  330.         (1/3.4)
  331.     S = (p / p )        : correction factor for target density p  ,
  332.      p      a   t                                t
  333.                   p  = 1.8 g/cm^3 for alluvium at the Jangle U
  334.                    a
  335.                   crater site, p = 2.6 g/cm^3 for average
  336.                   rock on the continental shields.
  337.  
  338.     C                : crater collapse factor, 1 for craters <= 3 km
  339.                   in diameter, 1.3 for larger craters (on Earth).
  340.  
  341.                                 (1/3.4)
  342.     K                : .074 km / (kT TNT equivalent)
  343.      n                  empirically determined from the Jangle U
  344.                   nuclear test crater.
  345.  
  346.           3           2               22
  347.     W = pi * d    * delta * V  / (12 * 4.185 * 10  )
  348.                 : projectile kinetic energy in MT TNT equivalent
  349.                   given diameter d, velocity v, and projectile
  350.                   density delta in CGS units. delta of around 3
  351.                   g/cm^3 is fairly good for an asteroid.
  352.  
  353.     An RMS velocity of V = 20 km/sec may be used for Earth-crossing
  354.     asteroids.
  355.  
  356.     Under these assumptions, the body which created the Barringer Meteor
  357.     Crater in Arizona (1.13 km diameter) would have been about 40 meters in
  358.     diameter.
  359.  
  360.     More generally, one can use (after Gehrels, 1985):
  361.  
  362.     Asteroid        Number of objects  Impact probability  Impact energy as
  363.     diameter (km)               (impacts/year)       multiple of
  364.                                Hiroshima bomb
  365.  
  366.      10                10             10^-8        10^9
  367.       1             1 000             10^-6        10^6
  368.       0.1           100 000             10^-4        10^3
  369.  
  370.     assuming simple scaling laws. The Hiroshima explosion is assumed to be
  371.     .013 MT TNT equivalent, or about 5*10^13 joules.
  372.  
  373.     References:
  374.  
  375.     Gehrels, T. 1985 Asteroids and comets. _Physics Today_ 38, 32-41. [an
  376.     excellent general overview of the subject for the layman]
  377.  
  378.     Shoemaker, E.M. 1983 Asteroid and comet bombardment of the earth. _Ann.
  379.     Rev. Earth Planet. Sci._ 11, 461-494. [very long and fairly
  380.     technical but a comprehensive examination of the
  381.      subject]
  382.  
  383.     Shoemaker, E.M., J.G. Williams, E.F. Helin & R.F. Wolfe 1979
  384.     Earth-crossing asteroids: Orbital classes, collision rates with
  385.     Earth, and origin. In _Asteroids_, T. Gehrels, ed., pp. 253-282,
  386.     University of Arizona Press, Tucson.
  387.  
  388.     Cunningham, C.J. 1988 _Introduction to Asteroids: The Next Frontier_
  389.     (Richmond: Willman-Bell, Inc.) [covers all aspects of asteroid
  390.     studies and is an excellent introduction to the subject for people
  391.     of all experience levels. It also has a very extensive reference
  392.     list covering essentially all of the reference material in the
  393.     field.]
  394.  
  395.  
  396.     MAP PROJECTIONS AND SPHERICAL TRIGNOMETRY
  397.  
  398.     Two easy-to-find sources of map projections are the "Encyclopaedia
  399.     Britannica", (particularly the older editions) and a tutorial appearing
  400.     in _Graphics Gems_ (Academic Press, 1990). The latter was written with
  401.     simplicity of exposition and suitability for digital computation in mind
  402.     (spherical trig formulae also appear, as do digitally-plotted examples).
  403.  
  404.     More than you ever cared to know about map projections is in John
  405.     Snyder's USGS publication "Map Projections--A Working Manual", USGS
  406.     Professional Paper 1395. This contains detailed descriptions of 32
  407.     projections, with history, features, projection formulas (for both
  408.     spherical earth and ellipsoidal earth), and numerical test cases. It's a
  409.     neat book, all 382 pages worth. This one's $20.
  410.  
  411.     You might also want the companion volume, by Snyder and Philip Voxland,
  412.     "An Album of Map Projections", USGS Professional Paper 1453. This
  413.     contains less detail on about 130 projections and variants. Formulas are
  414.     in the back, example plots in the front. $14, 250 pages.
  415.  
  416.     You can order these 2 ways. The cheap, slow way is direct from USGS:
  417.     Earth Science Information Center, US Geological Survey, 507 National
  418.     Center, Reston, VA 22092. (800)-USA-MAPS. They can quote you a price and
  419.     tell you where to send your money. Expect a 6-8 week turnaround time.
  420.  
  421.     A much faster way (about 1 week) is through Timely Discount Topos,
  422.     (303)-469-5022, 9769 W. 119th Drive, Suite 9, Broomfield, CO 80021. Call
  423.     them and tell them what you want. They'll quote a price, you send a
  424.     check, and then they go to USGS Customer Service Counter and pick it up
  425.     for you. Add about a $3-4 service charge, plus shipping.
  426.  
  427.     A (perhaps more accessible) mapping article is:
  428.  
  429.     R. Miller and F. Reddy, "Mapping the World in Pascal",
  430.     Byte V12 #14, December 1987
  431.  
  432.     Contains Turbo Pascal procedures for five common map projections. A
  433.     demo program, CARTOG.PAS, and a small (6,000 point) coastline data
  434.     is available on CompuServe, GEnie, and many BBSs.
  435.  
  436.     Some references for spherical trignometry are:
  437.  
  438.     _Spherical Astronomy_, W.M. Smart, Cambridge U. Press, 1931.
  439.  
  440.     _A Compendium of Spherical Astronomy_, S. Newcomb, Dover, 1960.
  441.  
  442.     _Spherical Astronomy_, R.M. Green, Cambridge U. Press., 1985 (update
  443.     of Smart).
  444.  
  445.     _Spherical Astronomy_, E Woolard and G.Clemence, Academic
  446.     Press, 1966.
  447.  
  448.  
  449.     PERFORMING N-BODY SIMULATIONS EFFICIENTLY
  450.  
  451.     "Computer Simulation Using Particles"
  452.     R. W. Hockney and J. W. Eastwood
  453.     (Adam Hilger; Bristol and Philadelphia; 1988)
  454.  
  455.     "The rapid evaluation of potential fields in particle systems",
  456.     L. Greengard
  457.     MIT Press, 1988.
  458.  
  459.         A breakthrough O(N) simulation method. Has been parallelized.
  460.  
  461.     L. Greengard and V. Rokhlin, "A fast algorithm for particle
  462.     simulations," Journal of Computational Physics, 73:325-348, 1987.
  463.  
  464.     "An O(N) Algorithm for Three-dimensional N-body Simulations", MSEE
  465.     thesis, Feng Zhao, MIT AILab Technical Report 995, 1987
  466.  
  467.     "Galactic Dynamics"
  468.     J. Binney & S. Tremaine
  469.     (Princeton U. Press; Princeton; 1987)
  470.  
  471.         Includes an O(N^2) FORTRAN code written by Aarseth, a pioneer in
  472.         the field.
  473.  
  474.     Hierarchical (N log N) tree methods are described in these papers:
  475.  
  476.     A. W. Appel, "An Efficient Program for Many-body Simulation", SIAM
  477.     Journal of Scientific and Statistical Computing, Vol. 6, p. 85,
  478.     1985.
  479.  
  480.     Barnes & Hut, "A Hierarchical O(N log N) Force-Calculation
  481.     Algorithm", Nature, V324 # 6096, 4-10 Dec 1986.
  482.  
  483.     L. Hernquist, "Hierarchical N-body Methods", Computer Physics
  484.     Communications, Vol. 48, p. 107, 1988.
  485.  
  486.  
  487.     INTERPRETING THE FITS IMAGE FORMAT
  488.  
  489.     If you just need to examine FITS images, use the ppm package (see the
  490.     comp.graphics FAQ) to convert them to your preferred format. For more
  491.     information on the format and other software to read and write it, see
  492.     the sci.astro.fits FAQ.
  493.  
  494.  
  495.     THREE-DIMENSIONAL STAR/GALAXY COORDINATES
  496.  
  497.     To generate 3D coordinates of astronomical objects, first obtain an
  498.     astronomical database which specifies right ascension, declination, and
  499.     parallax for the objects. Convert parallax into distance using the
  500.     formula in part 6 of the FAQ, convert RA and declination to coordinates
  501.     on a unit sphere (see some of the references on planetary positions and
  502.     spherical trignometry earlier in this section for details on this), and
  503.     scale this by the distance.
  504.  
  505.     Two databases useful for this purpose are the Yale Bright Star catalog
  506.     (sources listed in FAQ section 3) or "The Catalogue of Stars within 25
  507.     parsecs of the Sun", in
  508.  
  509.     ftp://explorer.arc.nasa.gov/pub/SPACE/FAQ/ (files stars.data,stars.doc)
  510.  
  511.  
  512. NEXT: FAQ #5/13 - References on specific areas
  513.