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Text File | 1995-04-23 | 5KB | 137 lines

Beispiel 1: Durchhang einer Hochspannungleitung

Aus  der  Physik ist bekannt, daß ein Seil, das an zwei Punkten aufgehängt
wird, stets die Gestalt

 f_a(x) = a * cosh(x)

annimmt, wobei a eine positive Konstante ist. Nehmen wir den Fall, daß
eine Hochspannungsleitung zwischen zwei Masten hängt. Der Abstand der
Masten sei d = 0.2km. Der Durchhang des Seiles betrage 2m=0.002km.

Frage: Wie lang ist das Seil?

Rechnung:  Zunächst ist die Konstante a zu bestimmen.  Dabei gehen wir wie
folgt vor:  angenommen, a sei gleich 1.  Dann können wir den Durchhang des
Seiles  als  die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum bestimmen,
die  f_1(x) = cosh(x) auf dem Intervall [-0.1 ; 0.1] annimmt.  Starten Sie
also  den  Programmteil  "Analysis", wählen Sie das Gadget "Neue Funktion"
und  geben  Sie  eine Funktion "Kurve:  cosh(x)" ein.  Wählen Sie dann den
Knopf  "Extrema"  und  geben  Sie  als Arbeitsberech [-0.1 ; 0.1] an.  Sie
erhalten ein Minimum: f_1(0) = 1. Wenn Sie die Funktion einmal zeichnen,
erkennen Sie, daß f_1 auf dem Rand ein Extremum annimmt. Damit können Sie
den Durchhang bestimmen:

Durchhang     = f_1(0.1)-f_1(0)    = f_1(-0.1)-f_1(0)
        = 0.005004168 km
        = 5.004168 m

Der Durchhang soll aber 2m betragen. Das können wir erreichen, indem wir
die Funktion mit

a    = 2 m / 5.004168 m    = 0.4

multiplizieren. Die Leitung hat also die Gestalt

f(x)    = 0.4*cosh(x).

Geben Sie diese Funktion ein und klicken Sie auf den Knopf "Länge". Sie
erhalten dann sofort das gewünschte Ergebnis. Wie sie sehen, ist der
Längenzuwachs sehr gering, daß Ergebnis unterscheidet sich kaum von den
0.2km Abstand zwischen den Masten.


Beispiel 2: Trägheitsmoment einer Fläche

Angenommen, Sie wollen das Tragheitsmoment einer Sattelitenschüssel
betrachten.  Die Fläche sei durch die Gleichung

x    = cos(v)*u
y    = sin(v)*u
z    = u*u

gegeben.

Rechnung:  Um die Fläche zu erzeugen, starten Sie bitte den Programmteil
Vektoranalysis.  Klicken Sie auf den Knopf "Fläche" und geben Sie die
o.g.    Teilfunktionen  ein.   Beachten  Sie,  daß  SIGMAth  ---wie  viele
Programme---  den  Ausdruch  u*u  viel schneller und genauer berechnet als
u^2.   Zeichnen  Sie  die  Fläche  zunächst  durch  anklicken  des Knopfes
"Zeichnen".   Wählen Sie die Farben, die Ihnen gefallen, und geben Sie als
Grenzen [0,1] und [0,2*pi] ein.

Wie bestimmen wir jetzt das Trägheitsmoment? Aus der Physik wissen wir,
daß das Trägheitsmoment eine Fläche gegeben ist durch:

Trägheitsmoment    = Integral über die Fläche von
            Massenflächendichte * (Abstand zur Rotationsachse)^2

Da unsere Rotationsachse die Z-Achse ist, können wir den Abstand zur Achse
im jedem Punkt berechnen als

r        = Wurzel aus (x*x + y*y)

also

r^2        = x*x + y*y

Klicken Sie auf den Knopf "Skalarfeld" und geben Sie die letzte Funktion
ein.  Dann wählen Sie die Flächenfunktion und klicken den Knopf "Integral"
an.  Wählen Sie das Ihr Skalarfeld und geben Sie die Grenzen [0,1] und
[0,2*pi] ein.  Lassen sich das Ergebnis berechnen.  Da Sie noch keine
Massenflächendichte angegeben haben, wurde das Trägheitsmoment für 1 kg /
m*m berechnet.  Ihre Antenne ein anderes Gewicht pro Fläche hat, dann
müssen Sie das Ergebnis noch mit dieser Zahl multiplizieren.


Beispiel 3: Gewicht einer Fläche

Für die Antenne aus Beispiel 2 soll das Gewicht bestimmt werden.


Rechnung: Angenommen, Ihre Antenne wiegt

a    = 4 kg/m*m

Klicken Sie also den Knopf "Skalarfeld" an und geben die als Funktion den
konstanten Wert 4 ein.  Wählen Sie das Ihr Skalarfeld und geben Sie die
Grenzen [0,1] und [0,2*pi] ein.  Lassen sich das Ergebnis berechnen.


Beispiel 4: Einfache Beispiele für Kurven und Flächen

1) Eine Kreislinie.  Bekanntlich erreichen Sie alle Punkte eines Kreises
durch die Vektoren (sin(u),cos(u),0), wobei u sich im Bereich [0,2*pi]
bewegt.  Wenn Sie also eine Kreislinie als Kurve eingeben und zeichnen
möchten, klicken Sie im Programmteil "Vektoranalysis" einfach den Punkt
"Kurve" an und geben o.g.  Funktionen ein.

2) Eine Spiralkurve Eine Spiralkurve erhält man, wenn sich ein Punkt auf
einer Kreislinie bewegt und sich dabei noch senkrecht zu der Kreisbewegung
bewegt.  Daher erhalten Sie eine solch Spiralkurve z.B.  durch die
Funktionen (sin u, cos u, 0.2*u) mit u aus [0,10].

3) Eine Spiralkurve, die nach unten immer enger wird.  Der Radius des
Kreises r kann vorgegeben werden, indem man den Vektor für die
Kreisbewegung mit r multipliziert.  Also stellt (r*sin u, r*cos u, 0) eine
Kreisbewegung mit Radius r dar, und durch (r*r*sin u,r*r*cos u, 0.2*u)
erhalten Sie eine nach unten schnell enger werdende Sprialkurve.

4) Eine Schleifenkurve.  Bewegt sich ein Punkt neben seier Kreisbahn noch
in eine Richtung, die in der Kreisebene liegt, so entsteht eine
Schleifenkurve.  Ein Beispiel dafür ist (sin u, 0.3*u+cos u ,0).

5) Graph einer Funktion von zwei Variablen. Sei f eine Funktion von zwei
Variablen, etwa f(u,v) = sin(u)+cos(v). Der Graph der Funktion ist dann
die Fläche, die durch die Gleichungen

1)    u
2)    v
3)    f(u,v)    (hier: sin(u)+cos(v) )

gegeben ist. Um diese Fläche zu zeichnen, klicken Sie einfach auf den
Knopf "Fläche" und geben die o.g. Funktionen ein. Klicken Sie dann auf
"Zeichnen" und wählen Sie als Grenzen z.B. [-1,1] und [-2,2]. Lassen Sie
sich überraschen.