home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ ftp.pasteur.org/FAQ/ / ftp-pasteur-org-FAQ.zip / FAQ / sci-math-faq / FLT / Wrong < prev   
Encoding:
Text File  |  1995-11-18  |  7.4 KB  |  191 lines
  1. Newsgroups: sci.math,sci.answers,news.answers
  2. Path: senator-bedfellow.mit.edu!bloom-beacon.mit.edu!gatech!news.uoregon.edu!news.sprintlink.net!hookup!torn!watserv3.uwaterloo.ca!undergrad.math.uwaterloo.ca!neumann.uwaterloo.ca!alopez-o
  3. From: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca (Alex Lopez-Ortiz)
  4. Subject: sci.math FAQ: What if Wiles is wrong?
  5. Summary: Part 7 of many, New version,
  6. Originator: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca
  7. Message-ID: <DI76JM.I0E@undergrad.math.uwaterloo.ca>
  8. Sender: news@undergrad.math.uwaterloo.ca (news spool owner)
  9. Approved: news-answers-request@MIT.Edu
  10. Date: Fri, 17 Nov 1995 17:14:10 GMT
  11. Expires: Fri, 8 Dec 1995 09:55:55 GMT
  12. Reply-To: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca
  13. Nntp-Posting-Host: neumann.uwaterloo.ca
  14. Organization: University of Waterloo
  15. Keywords: Fermat Last Theorem
  16. Followup-To: sci.math
  17. Lines: 171
  18. Xref: senator-bedfellow.mit.edu sci.math:124422 sci.answers:3445 news.answers:57850
  19.  
  20. Archive-Name: sci-math-faq/FLT/Wrong
  21. Last-modified: December 8, 1994
  22. Version: 6.2
  23.  
  24.  
  25. If not, then what?
  26.  
  27.  
  28.  
  29.    FLT is usually broken into 2 cases. The first case assumes (abc,n) = 1
  30.    . The second case is the general case.
  31.  
  32.   WHAT HAS BEEN PROVED
  33.  
  34.  
  35.  
  36.    First Case.
  37.  
  38.    It has been proven true up to 7.568*10^(17) by the work of Wagstaff
  39.    &Tanner, Granville &Monagan, and Coppersmith. They all used extensions
  40.    of the Wiefrich criteria and improved upon work performed by Gunderson
  41.    and Shanks &Williams.
  42.  
  43.    The first case has been proven to be true for an infinite number of
  44.    exponents by Adelman, Frey, et. al. using a generalization of the
  45.    Sophie Germain criterion
  46.  
  47.    Second Case:
  48.  
  49.    It has been proven true up to n = 150,000 by Tanner &Wagstaff. The
  50.    work used new techniques for computing Bernoulli numbers mod p and
  51.    improved upon work of Vandiver. The work involved computing the
  52.    irregular primes up to 150,000. FLT is true for all regular primes by
  53.    a theorem of Kummer. In the case of irregular primes, some additional
  54.    computations are needed. More recently, Fermat's Last Theorem has been
  55.    proved true up to exponent 4,000,000 in the general case. The method
  56.    used was essentially that of Wagstaff: enumerating and eliminating
  57.    irregular primes by Bernoulli number computations. The computations
  58.    were performed on a set of NeXT computers by Richard Crandall et al.
  59.  
  60.    Since the genus of the curve a^n + b^n = 1 , is greater than or equal
  61.    to 2 for n > 3 , it follows from Mordell's theorem [proved by
  62.    Faltings], that for any given n , there are at most a finite number of
  63.    solutions.
  64.  
  65.   CONJECTURES
  66.  
  67.  
  68.  
  69.    There are many open conjectures that imply FLT. These conjectures come
  70.    from different directions, but can be basically broken into several
  71.    classes: (and there are interrelationships between the classes)
  72.     1. Conjectures arising from Diophantine approximation theory such as
  73.        the ABC conjecture, the Szpiro conjecture, the Hall conjecture,
  74.        etc.
  75.  
  76.        For an excellent survey article on these subjects see the article
  77.        by Serge Lang in the Bulletin of the AMS, July 1990 entitled ``Old
  78.        and new conjectured diophantine inequalities".
  79.  
  80.        Masser and Osterle formulated the following known as the ABC
  81.        conjecture:
  82.  
  83.        Given epsilon > 0 , there exists a number C(epsilon) such that for
  84.        any set of non-zero, relatively prime integers a,b,c such that a +
  85.        b = c we have max (|a|, |b|, |c|) <= C(epsilon) N(abc)^(1 +
  86.        epsilon) where N(x) is the product of the distinct primes dividing
  87.        x .
  88.  
  89.        It is easy to see that it implies FLT asymptotically. The
  90.        conjecture was motivated by a theorem, due to Mason that
  91.        essentially says the ABC conjecture is true for polynomials.
  92.  
  93.        The ABC conjecture also implies Szpiro's conjecture [and
  94.        vice-versa] and Hall's conjecture. These results are all generally
  95.        believed to be true.
  96.  
  97.        There is a generalization of the ABC conjecture [by Vojta] which
  98.        is too technical to discuss but involves heights of points on
  99.        non-singular algebraic varieties . Vojta's conjecture also implies
  100.        Mordell's theorem [already known to be true]. There are also a
  101.        number of inter-twined conjectures involving heights on elliptic
  102.        curves that are related to much of this stuff. For a more complete
  103.        discussion, see Lang's article.
  104.  
  105.     2. Conjectures arising from the study of elliptic curves and modular
  106.        forms. - The Taniyama-Weil-Shmimura conjecture.
  107.  
  108.        There is a very important and well known conjecture known as the
  109.        Taniyama-Weil-Shimura conjecture that concerns elliptic curves.
  110.        This conjecture has been shown by the work of Frey, Serre, Ribet,
  111.        et. al. to imply FLT uniformly, not just asymptotically as with
  112.        the ABC conj.
  113.  
  114.        The conjecture basically states that all elliptic curves can be
  115.        parameterized in terms of modular forms.
  116.  
  117.        There is new work on the arithmetic of elliptic curves. Sha, the
  118.        Tate-Shafarevich group on elliptic curves of rank 0 or 1. By the
  119.        way an interesting aspect of this work is that there is a close
  120.        connection between Sha, and some of the classical work on FLT. For
  121.        example, there is a classical proof that uses infinite descent to
  122.        prove FLT for n = 4 . It can be shown that there is an elliptic
  123.        curve associated with FLT and that for n = 4 , Sha is trivial. It
  124.        can also be shown that in the cases where Sha is non-trivial, that
  125.        infinite-descent arguments do not work; that in some sense 'Sha
  126.        blocks the descent'. Somewhat more technically, Sha is an
  127.        obstruction to the local-global principle [e.g. the
  128.        Hasse-Minkowski theorem].
  129.  
  130.     3. Conjectures arising from some conjectured inequalities involving
  131.        Chern classes and some other deep results/conjectures in
  132.        arithmetic algebraic geometry.
  133.  
  134.        This results are quite deep. Contact Barry Mazur [or Serre, or
  135.        Faltings, or Ribet, or ...]. Actually the set of people who DO
  136.        understand this stuff is fairly small.
  137.  
  138.        The diophantine and elliptic curve conjectures all involve deep
  139.        properties of integers. Until these conjecture were tied to FLT,
  140.        FLT had been regarded by most mathematicians as an isolated
  141.        problem; a curiosity. Now it can be seen that it follows from some
  142.        deep and fundamental properties of the integers. [not yet proven
  143.        but generally believed].
  144.  
  145.  
  146.  
  147.    A related conjecture from Euler
  148.  
  149.    x^n + y^n + z^n = c^n has no solution if n is >= 4
  150.  
  151.    Noam Elkies gave a counterexample, namely 2682440^4 + 15365639^4 +
  152.    18796760^4 = 20615673^4 . Subsequently, Roger Frye found the
  153.    absolutely smallest solution by (more or less) brute force: it is
  154.    95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4 . "Several years", Math.
  155.    Comp. 51 (1988) 825-835.
  156.  
  157.    This synopsis is quite brief. A full survey would run to many pages.
  158.  
  159.  
  160.  
  161.    References
  162.  
  163.    [1] J.P.Butler, R.E.Crandall,&R.W.Sompolski, Irregular Primes to One
  164.    Million. Math. Comp., 59 (October 1992) pp. 717-722.
  165.  
  166.  
  167.  
  168.    Fermat's Last Theorem, A Genetic Introduction to Algebraic Number
  169.    Theory. H.M. Edwards. Springer Verlag, New York, 1977.
  170.  
  171.  
  172.  
  173.    Thirteen Lectures on Fermat's Last Theorem. P. Ribenboim. Springer
  174.    Verlag, New York, 1979.
  175.  
  176.  
  177.  
  178.    Number Theory Related to Fermat's Last Theorem. Neal Koblitz, editor.
  179.    Birkh<E4>user Boston, Inc., 1982, ISBN 3-7643-3104-6
  180.  
  181.  
  182.  
  183.  
  184.      _________________________________________________________________
  185.  
  186.  
  187.  
  188.     alopez-o@barrow.uwaterloo.ca
  189.     Tue Apr 04 17:26:57 EDT 1995
  190.  
  191.