home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ ftp.pasteur.org/FAQ/ / ftp-pasteur-org-FAQ.zip / FAQ / sci-math-faq / AC / cuttingSphere < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1995-11-18  |  7.0 KB  |  201 lines
  1. Newsgroups: sci.math,sci.answers,news.answers
  2. Path: senator-bedfellow.mit.edu!bloom-beacon.mit.edu!spool.mu.edu!torn!watserv3.uwaterloo.ca!undergrad.math.uwaterloo.ca!neumann.uwaterloo.ca!alopez-o
  3. From: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca (Alex Lopez-Ortiz)
  4. Subject: sci.math FAQ: Cutting a sphere
  5. Summary: Part 27 of many, New version,
  6. Originator: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca
  7. Message-ID: <DI76MK.IB7@undergrad.math.uwaterloo.ca>
  8. Sender: news@undergrad.math.uwaterloo.ca (news spool owner)
  9. Approved: news-answers-request@MIT.Edu
  10. Date: Fri, 17 Nov 1995 17:15:56 GMT
  11. Expires: Fri, 8 Dec 1995 09:55:55 GMT
  12. Reply-To: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca
  13. Nntp-Posting-Host: neumann.uwaterloo.ca
  14. Organization: University of Waterloo
  15. Followup-To: sci.math
  16. Lines: 182
  17. Xref: senator-bedfellow.mit.edu sci.math:124401 sci.answers:3435 news.answers:57836
  18.  
  19.  
  20. Archive-Name: sci-math-faq/AC/cuttingSphere
  21. Last-modified: December 8, 1994
  22. Version: 6.2
  23.  
  24.  
  25.  
  26. utting a sphere into pieces of larger volume
  27.  
  28.  
  29.  
  30.    Is it possible to cut a sphere into a finite number of pieces and
  31.    reassemble into a solid of twice the volume?
  32.  
  33.    This question has many variants and it is best answered explicitly.
  34.  
  35.    Given two polygons of the same area, is it always possible to dissect
  36.    one into a finite number of pieces which can be reassembled into a
  37.    replica of the other?
  38.  
  39.    Dissection theory is extensive. In such questions one needs to specify
  40.  
  41.  
  42.      * What is a ``piece"? (polygon? Topological disk? Borel-set?
  43.        Lebesgue-measurable set? Arbitrary?)
  44.  
  45.      * How many pieces are permitted (finitely many? countably?
  46.        uncountably?)
  47.  
  48.      * What motions are allowed in ``reassembling" (translations?
  49.        rotations? orientation-reversing maps? isometries? affine maps?
  50.        homotheties? arbitrary continuous images? etc.)
  51.  
  52.      * How the pieces are permitted to be glued together. The simplest
  53.        notion is that they must be disjoint. If the pieces are polygons
  54.        [or any piece with a nice boundary] you can permit them to be
  55.        glued along their boundaries, ie the interiors of the pieces
  56.        disjoint, and their union is the desired figure.
  57.  
  58.  
  59.  
  60.    Some dissection results
  61.  
  62.      * We are permitted to cut into finitely many polygons, to translate
  63.        and rotate the pieces, and to glue along boundaries; then yes, any
  64.        two equal-area polygons are equi-decomposable.
  65.  
  66.        This theorem was proven by Bolyai and Gerwien independently, and
  67.        has undoubtedly been independently rediscovered many times. I
  68.        would not be surprised if the Greeks knew this.
  69.  
  70.        The Hadwiger-Glur theorem implies that any two equal-area polygons
  71.        are equi-decomposable using only translations and rotations by 180
  72.        degrees.
  73.  
  74.      * Theorem [Hadwiger-Glur, 1951] Two equal-area polygons P,Q are
  75.        equi-decomposable by translations only, iff we have equality of
  76.        these two functions: phi_P() = phi_Q()
  77.  
  78.  
  79.        Here, for each direction v (ie, each vector on the unit circle in
  80.        the plane), let phi_P(v) be the sum of the lengths of the edges of
  81.        P which are perpendicular to v , where for such an edge, its
  82.        length is positive if v is an outward normal to the edge and is
  83.        negative if v is an inward normal to the edge.
  84.  
  85.      * In dimension 3, the famous ``Hilbert's third problem" is:
  86.  
  87.      If P and Q are two polyhedra of equal volume, are they
  88.      equi-decomposable by means of translations and rotations, by cutting
  89.      into finitely many sub-polyhedra, and gluing along boundaries?
  90.  
  91.  
  92.        The answer is no and was proven by Dehn in 1900, just a few months
  93.        after the problem was posed. (Ueber raumgleiche polyeder,
  94.        Goettinger Nachrichten 1900, 345-354). It was the first of
  95.        Hilbert's problems to be solved. The proof is nontrivial but does
  96.        not use the axiom of choice.
  97.  
  98.  
  99.  
  100.        References
  101.  
  102.        Hilbert's Third Problem. V.G. Boltianskii. Wiley 1978.
  103.  
  104.  
  105.  
  106.      * Using the axiom of choice on non-countable sets, you can prove
  107.        that a solid sphere can be dissected into a finite number of
  108.        pieces that can be reassembled to two solid spheres, each of same
  109.        volume of the original. No more than nine pieces are needed.
  110.  
  111.        The minimum possible number of pieces is five. (It's quite easy to
  112.        show that four will not suffice). There is a particular dissection
  113.        in which one of the five pieces is the single center point of the
  114.        original sphere, and the other four pieces A , A' , B , B' are
  115.        such that A is congruent to A' and B is congruent to B' . [See
  116.        Wagon's book].
  117.  
  118.        This construction is known as the Banach-Tarski paradox or the
  119.        Banach-Tarski-Hausdorff paradox (Hausdorff did an early version
  120.        of it). The ``pieces" here are non-measurable sets, and they are
  121.        assembled disjointly (they are not glued together along a
  122.        boundary, unlike the situation in Bolyai's thm.) An excellent book
  123.        on Banach-Tarski is:
  124.  
  125.        The Banach-Tarski Paradox. Stan Wagon. Cambridge University Press,
  126.        985
  127.  
  128.  
  129.  
  130.        Robert M. French. The Banach-Tarski theorem. The Mathematical
  131.        Intelligencer, 10 (1988) 21-28.
  132.  
  133.  
  134.  
  135.        The pieces are not (Lebesgue) measurable, since measure is
  136.        preserved by rigid motion. Since the pieces are non-measurable,
  137.        they do not have reasonable boundaries. For example, it is likely
  138.        that each piece's topological-boundary is the entire ball.
  139.  
  140.        The full Banach-Tarski paradox is stronger than just doubling the
  141.        ball. It states:
  142.  
  143.      * Any two bounded subsets (of 3-space) with non-empty interior, are
  144.        equi-decomposable by translations and rotations.
  145.  
  146.        This is usually illustrated by observing that a pea can be cut up
  147.        into finitely pieces and reassembled into the Earth.
  148.  
  149.        The easiest decomposition ``paradox" was observed first by
  150.        Hausdorff:
  151.  
  152.      * The unit interval can be cut up into countably many pieces which,
  153.        by translation only, can be reassembled into the interval of
  154.        length 2.
  155.  
  156.        This result is, nowadays, trivial, and is the standard example of
  157.        a non-measurable set, taught in a beginning graduate class on
  158.        measure theory.
  159.  
  160.      * Theorem. There is a finite collection of disjoint open sets in the
  161.        unit cube in R^3 which can be moved by isometries to a finite
  162.        collection of disjoint open sets whose union is dense in the cube
  163.        of size 2 in R^3.
  164.  
  165.  
  166.  
  167.  
  168.        This result is by Foreman and Dougherty.
  169.  
  170.  
  171.  
  172.  
  173.  
  174.    References
  175.  
  176.    Boltyanskii. Equivalent and equidecomposable figures. in Topics in
  177.    Mathematics published by D.C. HEATH AND CO., Boston.
  178.  
  179.  
  180.  
  181.    Dubins, Hirsch and ? Scissor Congruence American Mathematical Monthly.
  182.  
  183.  
  184.  
  185.  
  186.    ``Banach and Tarski had hoped that the physical absurdity of this
  187.    theorem would encourage mathematicians to discard AC. They were
  188.    dismayed when the response of the math community was `Isn't AC great?
  189.    How else could we get such counterintuitive results?' ''
  190.  
  191.  
  192.  
  193.  
  194.      _________________________________________________________________
  195.  
  196.  
  197.  
  198.     alopez-o@barrow.uwaterloo.ca
  199.     Tue Apr 04 17:26:57 EDT 1995
  200.  
  201.