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/ ftp.pasteur.org/FAQ/ / ftp-pasteur-org-FAQ.zip / FAQ / rec-photo / lenses / tutorial < prev   
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Internet Message Format  |  1997-05-24  |  38.8 KB

  1. Path: senator-bedfellow.mit.edu!bloom-beacon.mit.edu!thetimes.pixel.kodak.com!news.kodak.com!news.sprintlink.net!news-pen-16.sprintlink.net!news.nevada.edu!lazy.cs.unlv.edu!news.wizvax.net!usenet.logical.net!news.mathworks.com!howland.erols.net!usc!sdd.hp.com!col.hp.com!cello.hpl.hp.com!news
  2. From: jacobson@cello.hpl.hp.com (David Jacobson)
  3. Newsgroups: rec.photo.moderated,rec.answers,news.answers
  4. Subject: Photographic Lenses Tutorial
  5. Supersedes: <5jhcv5$ng7@cello.hpl.hp.com>
  6. Followup-To: rec.photo.moderated
  7. Date: 21 May 1997 11:01:03 -0700
  8. Organization: Hewlett-Packard Laboratories
  9. Lines: 850
  10. Approved: news-answers-request@MIT.EDU
  11. Expires: 22 June 1997 06:00:00 GMT
  12. Message-ID: <5lvd8v$r5i@cello.hpl.hp.com>
  13. NNTP-Posting-Host: cello.hpl.hp.com
  14. Summary: This posting contains a summary of optical facts for photographers.
  15.     It is more detailed that a FAQ file, but less so than a text book.
  16.     It covers focusing, apertures, bellows correction, depth of field,
  17.     hyperfocal distance, diffraction, the Modulation Transfer
  18.     Function and illumination.
  19. Xref: senator-bedfellow.mit.edu rec.photo.moderated:1201 rec.answers:30897 news.answers:103138
  20.  
  21. Archive-name: rec-photo/lenses/tutorial
  22. Posting-Frequency: monthly
  23. Last-modified 1996/10/26
  24. Version: 1.10
  25.  
  26. Lens Tutorial
  27. by David M. Jacobson
  28. jacobson@hpl.hp.com
  29. Revised October 26, 1996
  30.  
  31. This note gives a tutorial on lenses and gives some common lens
  32. formulas.  I attempted to make it between an FAQ (just simple facts)
  33. and a textbook.  I generally give the starting point of an idea, and
  34. then skip to the results, leaving out all the algebra.  If any part of
  35. it is too detailed, just skip ahead to the result and go on.
  36.  
  37. It is in 6 parts.  The first gives formulas relating object (subject)
  38. and image distances and magnification, the second discusses f-stops,
  39. the third discusses depth of field, the fourth part discusses
  40. diffraction, the fifth part discusses the Modulation Transfer
  41. Function, and the sixth illumination.  The sixth part is authored by
  42. John Bercovitz.  Sometime in the future I will edit it to have all
  43. parts use consistent notation and format.
  44.  
  45. The theory is simplified to that for lenses with the same medium (eg
  46. air) front and rear: the theory for underwater or oil immersion lenses
  47. is a bit more complicated.
  48.  
  49.  
  50. Object distance, image distance, and magnification
  51.  
  52. Throughout this article we use the word "object" to mean the thing of
  53. which an image is being made.  It is loosely equivalent to the word
  54. "subject" as used by photographers.
  55.  
  56. In lens formulas it is convenient to measure distances from a set of
  57. points called "principal points".  There are two of them, one for the
  58. front of the lens and one for the rear, more properly called the
  59. primary principal point and the secondary principal point.  While most
  60. lens formulas expect the object distance to be measured from the
  61. front principal point, most focusing scales are calibrated to read the
  62. distance from the object to the film plane.  So you can't use the
  63. distance on your focusing scale in most calculations, unless you only
  64. need an approximate distance.  Another interpretation of principal
  65. points is that a (probably virtual) object at the primary principal
  66. point formed by light entering from the front will appear from the
  67. rear to form a (probably virtual) erect image at the secondary
  68. principal point with magnification exactly one.
  69.  
  70. "Nodal points" are the two points such that a light ray entering the
  71. front of the lens and headed straight toward the front nodal point
  72. will emerge going straight away from the rear nodal point at exactly
  73. the same angle to the lens's axis as the entering ray had.  The nodal
  74. points are identical to the principal points when the front and rear
  75. media are the same, e.g. air, so for most practical purposes the terms
  76. can be used interchangeably.  
  77.  
  78. In simple double convex lenses the two principal points are somewhere
  79. inside the lens (actually 1/n-th the way from the surface to the
  80. center, where n is the index of refraction), but in a complex lens
  81. they can be almost anywhere, including outside the lens, or with the
  82. rear principal point in front of the front principal point.  In a lens
  83. with elements that are fixed relative to each other, the principal
  84. points are fixed relative to the glass.  In zoom or internal focusing
  85. lenses the principal points generally move relative to the glass and each
  86. other when zooming or focusing.
  87.  
  88. When a camera lens is focused at infinity, the rear principal point is
  89. exactly one focal length in front of the film.  To find the front
  90. principal point, take the lens off the camera and let light from a
  91. distant object pass through it "backwards".  Find the point where the
  92. image is formed, and measure toward the lens one focal length.  With
  93. some lenses, particularly ultra wides, you can't do this, since the
  94. image is not formed in front of the front element.  (This all assumes
  95. that you know the focal length.  I suppose you can trust the
  96. manufacturer's numbers enough for educational purposes.)
  97.  
  98.  
  99. So      object to front principal point distance.
  100. Si      rear principal point to image distance
  101. f       focal length
  102. M       magnification
  103.  
  104. 1/So + 1/Si = 1/f
  105. M = Si/So
  106. (So-f)*(Si-f) = f^2
  107. M = f/(So-f) = (Si-f)/f
  108.  
  109. If we interpret Si-f as the "extension" of the lens beyond infinity
  110. focus, then we see that this extension is inversely proportional to a
  111. similar "extension" of the object.
  112.  
  113. For rays close to and nearly parallel to the axis (these are called
  114. "paraxial" rays) we can approximately model most lenses with just two
  115. planes perpendicular to the optic axis and located at the principal
  116. points.  "Nearly parallel" means that for the angles involved, 
  117. theta ~= sin(theta) ~= tan(theta).  ("~=" means approximately equal.)  
  118. These planes are called principal planes.
  119.  
  120. The light can be thought of as proceeding to the front principal
  121. plane, then jumping to a point in the rear principal plane exactly the
  122. same displacement from the axis and simultaneously being refracted
  123. (bent).  The angle of refraction is proportional the distance from the
  124. center at which the ray strikes the plane and inversely proportional
  125. to the focal length of the lens.  (The "front principal plane" is the
  126. one associated with the front of the lens.  It could be behind the rear
  127. principal plane.)
  128.  
  129. Beyond the conditions of the paraxial approximation, the principle
  130. "planes" are not really planes but surfaces of rotation.  For a lens
  131. that is free of coma (one of the classical aberrations) the principle
  132. planes, which could more appropraitely be called equivalent refracting
  133. surfaces, are spherical sections centered around and object and image
  134. point for which the lens is designed.
  135.  
  136.  
  137. Apertures, f-stop, bellows correction factor, pupil magnification
  138.  
  139. We define more symbols
  140.  
  141. D       diameter of the entrance pupil, i.e. diameter of the aperture as
  142.         seen from the front of the lens
  143. N       f-number (or f-stop)  D = f/N, as in f/5.6
  144. Ne      effective f-number, based on geometric factors, but not absorption
  145.  
  146. Light from an object point spreads out in a cone whose base is the
  147. entrance pupil.  (The lens elements in front of the diaphragm form a
  148. virtual image of the physical aperture.  This virtual image is called
  149. the entrance pupil.)  
  150.  
  151. Analogous to the entrance pupil is the exit pupil, which is the
  152. virtual image of the aperture as seen though the rear elments.
  153.  
  154. Let us define Ne, the effective f-number, as
  155.  
  156. Ne = 1/(2 sin(thetaX)) 
  157.  
  158. where thetaX is the angle from the axis to the edge of the eXit pupil
  159. as viewed from the film plane.  It can be shown that for any lens free
  160. of coma the following also holds
  161.  
  162. Ne = M/(2 sin(thetaE)).
  163.  
  164. We will ignore the issue of coma throughout the rest of this
  165. document.
  166.  
  167. The first equation deals with rays converging to the image point, and
  168. is the basis for depth of field calculations.  The second equation
  169. deals with light captured by the aperture, and is the basis for
  170. exposure calculations.
  171.  
  172. This section will explain the connection between Ne and light striking
  173. the film, relate this to N, and show to compute Ne for macro
  174. situations.  
  175.  
  176. If an object radiated or reflected light uniformly in all directions,
  177. it is clear that the amount of light captured by the aperture would be
  178. proportional to the solid angle subtended by the aperture from the
  179. object point.  In optical theory, however, it is common assume that
  180. the light follows Lambert's law, which says that the light intensity
  181. falls off with cos(theta), where theta is the angle off the normal.
  182. With this assumption it can be shown that the light entering the
  183. aperture from a point near the axis is proportional to sin^2(thetaE),
  184. which is proportional to the aperture area for small thetaE.  
  185.  
  186. If the magnification is M, the light from a tiny object patch of unit
  187. area gets spread out over an area M^2 on the film, and so the relative
  188. intensity on the film is inversely proportional to M^2.  Thus the
  189. relative intensity on the film, RI, is given by 
  190.  
  191. RI = sin^2(thetaE)/M^2 = 1/(4 Ne^2)
  192.  
  193. with the second equality by the defintion of Ne.  (Of course the true
  194. intensity depends on the subject illumination, etc.)
  195.  
  196. For So very large with respect to f, M is approximately f/So and
  197. sin(thetaE) is approximately (D/2)/So.  Substituting these into the
  198. above formula get that RI = ((D/2)/f)^2 = 1/(4N^2), and thus for So >> f, 
  199.  
  200. Ne = D/f = N.
  201.  
  202. For closer subjects, we need a more detailed analysis.  We will take 
  203. D = f/N as determining D, 
  204.  
  205. Let us go back to the original approximate formula for the relative
  206. intensity on the film, and substitute more carefully
  207.  
  208. RI = sin^2(thetaE)/M^2  = ((D/2)^2/((D/2)^2+(So-zE)^2))/M^2
  209.  
  210. where zE is the distance the entrance pupil is in front of the front
  211. principal point.  
  212.  
  213. However, zE is not convenient to measure.  It is more convenient to
  214. use "pupil magnification".  The pupil magnification is the ratio of
  215. exit pupil diameter to the entrance pupil diameter.
  216.  
  217. p       pupil magnification (exit_pupil_diameter/entrance_pupil_diameter)
  218.  
  219. For all symmetrical lenses and most normal lenses the aperture appears
  220. the same from front and rear, so p~=1.  Wide angle lenses frequently
  221. have p>1.  It can be shown that zE = f*(1-1/p), and substituting this
  222. into the above equation, carrying out some algebraic manipulations,
  223. and solving with RI = 1/(4 Ne^2) yields
  224.  
  225. Ne = Sqrt((M/2)^2 + (N*(1+M/p))^2).
  226.  
  227. If we further assume thetaE is small enough that 
  228. sin(thetaE) ~= tan(thetaE), the (M/2)^2 term drops out and we get 
  229.  
  230. Ne = N*(1+M/p).
  231.  
  232. This is the standard equation, and will be used throughout the rest of
  233. this document.  The essence of the approximation is the distinction
  234. between the axial distance to plane of the entrance pupil and the
  235. distance along the hypotnuse to the edge of the entrance pupil, which
  236. is the really correct form.  Clearly in typical photographic sitations
  237. that distinction is insignificant.
  238.  
  239. An alternative, but less fundamental, derivation is based on the
  240. relative illumination varying with the inverse square of the distance
  241. from the exit pupil to the film.  This distance is just f*(1+M) - zX,
  242. where zX is the distance the exit pupil is behind the rear principal
  243. point.  It can be shown that zX = -f*(p-1), so 
  244. Ne/N = (f*(1+M)+f*(p-1))/(f+f*(p-1)) = 1+M/p, and hence Ne = N*(1+M/p).
  245.  
  246. It is convenient to think of the correction in terms of f-stops
  247. (powers of two).  The correction in powers of two (stops) is
  248. 2*Log2(1+M/p) = 6.64386 Log10(1+M/p).  Note that for most normal
  249. lenses p=1, so the M/p can be replaced by just M in the above
  250. equations.
  251.  
  252.  
  253. Circle of confusion, depth of field and hyperfocal distance.
  254.  
  255. The light from a single object point passing through the aperture is
  256. converged by the lens into a cone with its tip at the film (if the
  257. point is perfectly in focus) or slightly in front of or behind the
  258. film (if the object point is somewhat out of focus).  In the out of
  259. focus case the point is rendered as a circle where the film cuts the
  260. converging cone or the diverging cone on the other side of the image
  261. point.  This circle is called the circle of confusion.  The farther
  262. the tip of the cone, ie the image point, is away from the film, the
  263. larger the circle of confusion.
  264.  
  265. Consider the situation of a "main object" that is perfectly in
  266. focus, and an "alternate object point" this is in front of or
  267. behind the main object.
  268.  
  269. Soa     alternate object point to front principal point distance
  270. Sia     rear principal point to alternate image point distance
  271. h       hyperfocal distance
  272. C       diameter of circle of confusion
  273. c       diameter of largest acceptable circle of confusion
  274. N       f-stop (focal length divided by diameter of entrance pupil)
  275. Ne      effective f-stop Ne = N * (1+M/p) 
  276. D       the aperture (entrance pupil) diameter (D=f/N)
  277. M       magnification (M=f/(So-f))
  278.  
  279. The diameter of the circle of confusion can be computed by similar
  280. triangles, and then solved in terms of the lens parameters and object
  281. distances.  For a while let us assume unity pupil magnification, i.e. p=1.
  282.  
  283. When So is finite
  284. C = D*(Sia-Si)/Sia = f^2*(So/Soa-1)/(N*(So-f))
  285. When So = Infinity,
  286. C = f^2/(N Soa)
  287.  
  288.  
  289. Note that in this formula C is positive when the alternate image point
  290. is behind the film (i.e. the alternate object point is in front of
  291. the main object) and negative in the opposite case.  In reality, the
  292. circle of confusion is always positive and has a diameter equal to
  293. Abs(C).
  294.  
  295. If the circle of confusion is small enough, given the magnification in
  296. printing or projection, the optical quality throughout the system,
  297. etc., the image will appear to be sharp.  Although there is no one
  298. diameter that marks the boundary between fuzzy and clear, .03 mm is
  299. generally used in 35mm work as the diameter of the acceptable circle
  300. of confusion.  (I arrived at this by observing the depth of field
  301. scales or charts on/with a number of lenses from Nikon, Pentax, Sigma,
  302. and Zeiss.  All but the Zeiss lens came out around .03mm.  The Zeiss
  303. lens appeared to be based on .025 mm.)  Call this diameter c.
  304.  
  305. If the lens is focused at infinity (so the rear principal point to film
  306. distance equals the focal length), the distance to closest point that
  307. will be acceptably rendered is called the hyperfocal distance.
  308.  
  309. h = f^2/(N*c)
  310.  
  311. If the main object is at a finite distance, the closest
  312. alternative point that is acceptably rendered is at distance
  313.  
  314. Sclose = h So/(h + (So-F))
  315.  
  316. and the farthest alternative point that is acceptably rendered is at
  317. distance
  318.  
  319. Sfar = h So/(h - (So - F))
  320.  
  321. except that if the denominator is zero or negative, Sfar = infinity.
  322.  
  323. We call Sfar-So the rear depth of field and So-Sclose the front depth
  324. field.
  325.  
  326. A form that is exact, even when P != 1, is 
  327.  
  328. depth of field = c Ne / (M^2 * (1 +or- (So-f)/h1))
  329.                = c N (1+M/p) / (M^2 * (1 +or- (N c)/(f M))
  330.  
  331. where h1 = f^2/(N c), ie the hyperfocal distance given c, N, and f
  332. and assuming P=1.  Use + for front depth of field and - for rear depth
  333. of field.  If the denominator goes zero or negative, the rear depth of
  334. field is infinity.  ("!=" means "is not equal to".)
  335.  
  336. This is a very nice equation.  It shows that for distances short with
  337. respect to the hyperfocal distance, the depth of field is very close
  338. to just c*Ne/M^2.  As the distance increases, the rear depth of field
  339. gets larger than the front depth of field.  The rear depth of field is
  340. twice the front depth of field when So-f is one third the hyperfocal
  341. distance.  And when So-f = h1, the rear depth of field extends to
  342. infinity.
  343.  
  344. If we frame an object the same way with two different lenses,
  345. i.e.  M is the same both situations, the shorter focal length lens
  346. will have less front depth of field and more rear depth of field at
  347. the same effective f-stop.  (To a first approximation, the depth of
  348. field is the same in both cases.)
  349.  
  350. Another important consideration when choosing a lens focal length is
  351. how a distant background point will be rendered.  Points at infinity
  352. are rendered as circles of size
  353.  
  354. C =  f M / N
  355.  
  356. So at constant object magnification a distant background point will
  357. be blurred in direct proportion to the focal length.
  358.  
  359. This is illustrated by the following example, in which lenses of 50mm
  360. and 100 mm focal lengths are both set up to get a magnification of
  361. 1/10.  Both lenses are set to f/8.  The graph shows the circles of
  362. confusions as a function of the distance behind the object.
  363.  
  364. circle of confusion (mm)
  365.      #
  366.      #               *** 100mm f/8
  367.      #               ... 50mm f/8
  368.  0.8 #                                                               *******
  369.      #                                                      *********
  370.      #                                             *********
  371.      #                                         ****
  372.      #                                    *****
  373.      #                                ****
  374.  0.6 #                            ****
  375.      #                       *****                                   .......
  376.      #                    ***                      ..................
  377.      #                  **            .............
  378.  0.4 #              ****     .........
  379.      #           ***     ....
  380.      #         **   .....
  381.      #        * ....
  382.      #      **..
  383.  0.2 #    **.
  384.      #  .*.
  385.      # **
  386.      #*
  387.      *######################################################################
  388.    0 #
  389.              250    500       750     1000     1250    1500     1750     2000
  390.                    distance behind object (mm)
  391.  
  392. The standard .03mm circle of confusion criterion is clear down in the
  393. ascii fuzz.  The slope of both graphs is the same near the origin,
  394. showing that to a first approximation both lenses have the same depth
  395. of field.  However, the limiting size of the circle of confusion as
  396. the distance behind the object goes to infinity is twice as large for
  397. the 100mm lens as for the 50mm lens.
  398.  
  399.  
  400. Diffraction
  401.  
  402. When a beam of parallel light passes through a circular aperture it
  403. spreads out a little, a phenomenon known as diffraction.  The smaller
  404. the aperture, the more the spreading.  The normalized field strength
  405. (of the electric or magnetic field) at angle phi from the axis is
  406. given by
  407.  
  408. 2 J1(x)/x, where x = 2 phi Pi R/lambda
  409.  
  410. and where R is the radius of the aperture, lambda is the wavelength of
  411. the light, and J1 is the first order Bessel function. The
  412. normalization is relative to the field strength at the center.  The
  413. power (intensity) is proportional to the square of this function.
  414.  
  415. The field strength function forms a bell-shaped curve, but unlike the
  416. classic E^(-x^2) one, it eventually oscillates about zero.  Its first
  417. zero is at 1.21967 lambda/(2 R).  There are actually an infinite number
  418. of lobes after this, but about 86% of the power is in the circle
  419. bounded by the first zero.
  420.  
  421.  
  422.     Relative field strength
  423.  
  424.      ***
  425.    1 #  ****
  426.      #      **
  427.  0.8 #        *
  428.      #         **
  429.      #           *
  430.      #            **
  431.      #              *
  432.  0.6 #               *
  433.      #                *
  434.      #                 *
  435.  0.4 #                  *
  436.      #                   *
  437.      #                    **
  438.  0.2 #                      **
  439.      #                        **
  440.      #                          **                         *****************
  441.    ###############################*###################*****###################
  442.      #                             *****        ******
  443.      #          0.5         1          1.5******    2         2.5          3
  444.  
  445.  
  446.         Angle from axis (relative to lambda/diameter_of_aperture)
  447.  
  448.  
  449. Approximating the aperture-to-film distance as f and making use of
  450. the fact that the aperture has diameter f/N, it follows directly that
  451. the diameter of the first zero of the diffraction pattern is
  452. 2.43934*N*lambda.  Applying this in a normal photographic situation is
  453. difficult, since the light contains a whole spectrum of colors.  We
  454. really need to integrate over the visible spectrum.  The eye has
  455. maximum sensitivity around 555 nm, in the yellow green.  If, for
  456. simplicity, we take 555 nm as the wavelength, the diameter of the
  457. first zero, in mm, comes out to be 0.00135383 N.
  458.  
  459. As was mentioned above, the normally accepted circle of confusion for
  460. depth of field is .03 mm, but .03/0.00135383 = 22.1594, so we can
  461. see that at f/22 the diameter of the first zero of the diffraction
  462. pattern is as large is the acceptable circle of confusion.
  463.  
  464. A common way of rating the resolution of a lens is in line pairs per
  465. mm. It is hard to say when lines are resolvable, but suppose that we
  466. use a criterion that the center of a dark band receive no more than
  467. 80% of the light power striking the center of a light band.
  468. Then the resolution is 0.823 /(lambda*N) lpmm.  If we again assume 555
  469. nm, this comes out to 1482/N lpmm, which is in close agreement with
  470. the widely used rule of thumb that the resolution is diffraction
  471. limited to 1500/N lpmm.  However, note that the MTF, discussed below,
  472. provides another view of this subject.
  473.  
  474.  
  475. Modulation Transfer Function
  476.  
  477. The modulation transfer function is a measure of the extent to which a
  478. lens, film, etc., can reproduce detail in an image.  It is the spatial
  479. analog of frequency response in an electrical system.  The exact
  480. definitions of the modulation transfer function and of the related
  481. optical transfer function vary slightly amongst different authorities.
  482.  
  483. The 2-dimensional Fourier transform of the point spread function is
  484. known as the optical transfer function (OTF).  The value of this
  485. function along any radius is the fourier transform of the line spread
  486. function in the same direction.  The modulation transfer function is
  487. the absolute value of the fourier transform of the line spread
  488. function.
  489.  
  490. Equivalently, the modulation transfer function of a lens is the ratio
  491. of relative image contrast divided by relative object contrast of an
  492. object with sinusoidally varying brightness as a function of spatial
  493. frequency (e.g. cycles per mm).  Relative contrast is defined as
  494. (Imax-Imin)/(Imax+Imin).  MTF can also be used for film, but since
  495. film has a non-linear characteristic curve, the density is first
  496. transformed back to the equivalent intensity by applying the inverse
  497. of the characteristic curve.
  498.  
  499. For a lens, the MTF can vary with almost every conceivable parameter,
  500. including f-stop, object distance, distance of the point from the
  501. center, direction of modulation, and spectral distribution of the
  502. light.  The two standard directions are radial (also known as
  503. sagittal) and tangential.
  504.  
  505. The MTF for an an ideal lens (ignoring the unavoidable effect of
  506. diffraction) is a constant 1 for spatial frequencies from 0 to
  507. infinity at every point and direction.  For a practical lens it starts
  508. out near 1, and falls off with increasing spatial frequency, with the
  509. falloff being worse at the edges than at the center.  Adjacency
  510. effects in film can make the MTF of film be greater than 1 in certain
  511. frequency ranges.
  512.  
  513. An advantage of the MTF as a measure of performance is that under some
  514. circumstances the MTF of the system is the product (frequency by
  515. frequency) of the properly scaled MTFs of its components.  Such
  516. multiplication is always allowed when the phase of the waves is lost
  517. at each step.  Thus it is legitimate to multiply lens and film MTFs or
  518. the MTFs of a two lens system with a diffuser in the middle.  However,
  519. the MTFs of cascaded ordinary lenses can legitimately be multiplied
  520. only when a set of quite restrictive and technical conditions is
  521. satisfied.
  522.  
  523. As an example of some OTF/MTF functions, below are formulas for and
  524. plots of the OTFs three cases:
  525. 1.  Diffraction for an f/22 aperture.
  526. 2.  A .03mm circle of confusion 
  527. 3.  The combination of these; more precisely, the OTF of an otherwise
  528.     ideal lens with an f/22 aperture and defocused to produce a .03mm 
  529.     circle of confusion.
  530.  
  531. Let lambda be the wavelength of the light, and spf the spatial
  532. frequency in cycles per mm.
  533.  
  534. For diffraction the formula is
  535.  
  536. OTF(lambda,N,spf) = 2/Pi (ArcCos(lambda N spf) -
  537.         lambda N spf Sqrt(1-(lambda N spf)^2))   if lambda N spf <=1
  538.                   = 0                            if lambda N spf >=1
  539.  
  540. Note that for lambda = 555 nm, the OTF is zero at spatial frequencies
  541. of 1801/N cycles per mm and beyond.
  542.  
  543. For a circle of confusion of diameter C,
  544.  
  545. OTF(C,spf) = 2 J1(Pi C spf)/(Pi C spf)
  546.  
  547. where, again, J1(x) is the first order Bessel function.  The OTF goes
  548. negative at certain frequencies.  Physically, this would mean that if
  549. the test pattern were lighter right on the optical center than nearby,
  550. the image would be darker right on the optical center than nearby.
  551. Some authorities use the term "spurious resolution" for spatial
  552. frequencies beyond the first zero.  The MTF is the absolute value of
  553. the OTF.
  554.  
  555. Consider the case where there is a combination of diffraction and
  556. focus error dz, the distance the between the film plane and the plane
  557. of sharpest focusing.  (A focus error of dz by itself would cause a
  558. circle of confusion of diameter dz/N.)  The OTF for this combination
  559. is given by the following formula, which involves an integration that
  560. must be done numerically.  Let s = lambda N spf, and a = Pi spf dz / N.  
  561. Then the OTF is given by
  562.  
  563. OTF = 4/(Pi a) integral y=0 to sqrt(1-s^2) of sin(a(sqrt(1-y^2)-s)) dy
  564.         for s < 1
  565.       0 for s >= 1
  566.  
  567. This formula is an approximation that is best at small apertures. 
  568.  
  569. Here is a graph of the OTF of the f/22 diffraction limit, a .03mm
  570. circle of confusion, and the combined effect.
  571.  
  572.  
  573.  
  574.  OTF
  575.      *
  576.    1 *****
  577.      # +$$*
  578.      #   +$*
  579.      #    + *$             $$$$ Diffraction
  580.  0.8 #     + **$           **** Circle of confusion
  581.      #      ++ *$$         ++++ Combined diffraction and circle of confusion
  582.      #        + * $$
  583.      #         + *  $
  584.  0.6 #          ++*  $$
  585.      #            +*   $$
  586.      #              *    $$
  587.      #               *     $$
  588.  0.4 #                *      $$
  589.      #                *++++    $$
  590.      #                 *   +++++ $$$$
  591.      #                  *       +++++$$$$
  592.  0.2 #                   *           ++++$$
  593.      #                    *               +$$$
  594.      #                     *                  $$$$*****************
  595.      #######################**##################**$$$$$$$$$$$$$$$$$******$$$
  596.    0 #                        **           *****                         ***
  597.      #          20         40   ***** *****        80          100        120
  598.      #                              **
  599.  
  600.                       Spatial Frequency (cycles/mm)
  601.  
  602.  
  603. Note how the combination is not the product of each of the effects
  604. taken separately.
  605.  
  606. Some authorities present MTF in a log-log plot.
  607.  
  608. The classic paper on the MTF for the combination of diffraction and
  609. focus error is H.H. Hopkins, "The frequency response of a defocused
  610. optical system," Proceedings of the Royal Society A, v. 231, London
  611. (1955), pp 91-103.  Reprinted in Lionel Baker (ed), _Optical Transfer
  612. Function: Foundation and Theory_, SPIE Optical Engineering Press,
  613. 1992, pp 143-153.
  614.  
  615.  
  616. Illumination
  617. (by John Bercovitz)
  618.  
  619.             The Photometric System
  620.  
  621.         Light flux, for the purposes of illumination engineering, is
  622. measured in lumens.  A lumen of light, no matter what its wavelength
  623. (color), appears equally bright to the human eye.  The human eye has a
  624. stronger response to some wavelengths of light than to other
  625. wavelengths.  The strongest response for the light-adapted eye (when
  626. scene luminance >= .001 Lambert) comes at a wavelength of 555 nm.  A
  627. light-adapted eye is said to be operating in the photopic region.  A
  628. dark-adapted eye is operating in the scotopic region (scene luminance
  629. </= 10^-8 Lambert).  In between is the mesopic region.  The peak
  630. response of the eye shifts from 555 nm to 510 nm as scene luminance is
  631. decreased from the photopic region to the scotopic region.  The
  632. standard lumen is approximately 1/680 of a watt of radiant energy at
  633. 555 nm.  Standard values for other wavelengths are based on the
  634. photopic response curve and are given with two-place accuracy by the
  635. table below.  The values are correct no matter what region you're
  636. operating in - they're based only on the photopic region.  If you're
  637. operating in a different region, there are corrections to apply to
  638. obtain the eye's relative response, but this doesn't change the
  639. standard values given below.
  640.  
  641. Wavelength, nm   Lumens/watt         Wavelength, nm  Lumens/watt
  642.       400           0.27                600              430
  643.       450          26                   650               73
  644.       500         220                   700                2.8
  645.       550         680
  646.  
  647.     Following are the standard units used in photometry with their
  648. definitions and symbols.
  649.  
  650.     Luminous flux, F, is measured in lumens.
  651.     Quantity of light, Q, is measured in lumen-hours or lumen-seconds.
  652. It is the time integral of luminous flux.
  653.     Luminous Intensity, I, is measured in candles, candlepower, or
  654. candela (all the same thing).  It is a measure of how much flux is flowing
  655. through a solid angle.  A lumen per steradian is a candle.  There are 4 pi
  656. steradians to a complete solid angle.  A unit area at unit distance from a
  657. point source covers a steradian.  This follows from the fact that the
  658. surface area of a sphere is 4 pi r^2.
  659.     Lamps are measured in MSCP, mean spherical candlepower.  If you
  660. multiply MSCP by 4 pi, you have the lumen output of the lamp.  In the case of
  661. an ordinary lamp which has a horizontal filament when it is burning base
  662. down, roughly 3 steradians are ineffectual: one is wiped out by inter-
  663. ference from the base and two more are very low intensity since not much
  664. light comes off either end of the filament.  So figure the MSCP should be
  665. multiplied by 4/3 to get the candles coming off perpendicular to the lamp
  666. filament.  Incidentally, the number of lumens coming from an incandescent
  667. lamp varies approximately as the 3.6 power of the voltage.  This can be
  668. really important if you are using a lamp of known candlepower to
  669. calibrate a photometer.
  670.     Illumination (illuminance), E, is the _areal density_ of incident
  671. luminous flux: how many lumens per unit area.  A lumen per square foot is
  672. a foot-candle; a one square foot area on the surface of a sphere of radius
  673. one foot and having a one candle point source centered in it would
  674. therefore have an illumination of one foot-candle due to the one lumen
  675. falling on it.  If you substitute meter for foot you have a meter-candle
  676. or lux.  In this case you still have the flux of one steradian but now it's
  677. spread out over one square meter.  Multiply an illumination level in lux by
  678. .0929 to convert it to foot-candles.  (foot/meter)^2= .0929.  A centimeter-
  679. candle is a phot.  Illumination from a point source falls off as the square
  680. of the distance.  So if you divide the intensity of a point source in candles
  681. by the distance from it in feet squared, you have the illumination in foot
  682. candles at that distance.
  683.     Luminance, B, is the _areal intensity_ of an extended diffuse source
  684. or an extended diffuse reflector.  If a perfectly diffuse, perfectly
  685. reflecting surface has one foot-candle (one lumen per square foot) of
  686. illumination falling on it, its luminance is one foot-Lambert or 1/pi
  687. candles per square foot.  The total amount of flux coming off this
  688. perfectly diffuse, perfectly reflecting surface is, of course, one lumen per
  689. square foot.  Looking at it another way, if you have a one square foot
  690. diffuse source that has a luminance of one candle per square foot (pi times
  691. as much intensity as in the previous example), then the total output of
  692. this source is pi lumens.  If you travel out a good distance along the
  693. normal to the center of this one square foot surface, it will look like a
  694. point source with an  intensity of one candle.
  695.     To contrast: Intensity in candles is for a point source while
  696. luminance in candles per square foot is for an extended source - luminance
  697. is intensity per unit area.  If it's a perfectly diffuse but not perfectly
  698. reflecting surface, you have to multiply by the reflectance, k, to find the
  699. luminance.
  700.     Also to contrast: Illumination, E, is for the incident or
  701. incoming flux's areal _density_; luminance, B, is for reflected or
  702. outgoing flux's areal _intensity_.
  703.     Lambert's law says that an perfectly diffuse surface or
  704. extended source reflects or emits light according to a cosine law: the
  705. amount of flux emitted per unit surface area is proportional to the
  706. cosine of the angle between the direction in which the flux is being
  707. emitted and the normal to the emitting surface.  (Note however, that
  708. there is no fundamental physics behind Lambert's "law".  While
  709. assuming it to be true simplifies the theory, it is really only an
  710. empirical observation whose accuracy varies from surface to surface.
  711. Lambert's law can be taken as a definition of a perfectly diffuse
  712. surface.)
  713.     A consequence of Lambert's law is that no matter from what
  714. direction you look at a perfectly diffuse surface, the luminance on
  715. the basis of _projected_ area is the same.  So if you have a light
  716. meter looking at a perfectly diffuse surface, it doesn't matter what
  717. the angle between the axis of the light meter and the normal to the
  718. surface is as long as all the light meter can see is the surface: in
  719. any case the reading will be the same.
  720.     There are a number of luminance units, but they are in categories:
  721. two of the categories are those using English units and those using metric
  722. units.  Another two categories are those which have the constant 1/pi built
  723. into them and those that do not.  The latter stems from the fact that the
  724. formula to calculate luminance (photometric Brightness), B, from
  725. illumination (illuminance), E,  contains the factor 1/pi.  To illustrate:
  726.  
  727.         B = (k*E)(1/pi)
  728.         Bfl = k*E
  729.  
  730. where:    B = luminance, candles/foot^2
  731.     Bfl = luminance, foot-Lamberts
  732.     k = reflectivity           0<k<1
  733.     E = illuminance in foot-candles (lumens/ foot^2)
  734.  
  735.     Obviously, if you divide a luminance expressed in
  736. foot-Lamberts by pi you then have the luminance expressed in
  737. candles /foot^2.  (Bfl/pi=B)
  738.  
  739. Other luminance units are:
  740.                 stilb = 1 candle/square centimeter      sb
  741.                 apostilb = stilb/(pi X 10^4)=10^-4 L    asb
  742.                 nit = 1 candle/ square meter            nt
  743.                 Lambert = (1/pi) candle/square cm       L
  744.  
  745.     Below is a table of photometric units with short definitions.
  746.  
  747.   Symbol      Term                 Unit              Unit Definition
  748.  
  749.     Q      light quantity       lumen-hour          radiant energy
  750.                                 lumen-second        as corrected for
  751.                                                     eye's spectral response
  752.  
  753.     F      luminous flux        lumen               radiant energy flux
  754.                                                     as corrected for
  755.                                                     eye's spectral response
  756.  
  757.     I      luminous intensity   candle              one lumen per steradian
  758.                                 candela             one lumen per steradian
  759.                                 candlepower         one lumen per steradian
  760.  
  761.     E      illumination            foot-candle         lumen/foot^2
  762.                                 lux                 lumen/meter^2
  763.                                 phot                lumen/centimeter^2
  764.  
  765.     B      luminance            candle/foot^2       see unit def's. above
  766.                                 foot-Lambert   =    (1/pi) candles/foot^2
  767.                                 Lambert        =    (1/pi) candles/centimeter^2
  768.                                 stilb          =    1 candle/centimeter^2
  769.                                 nit            =    1 candle/meter^2
  770.  
  771. Note: A lumen-second is sometimes known as a Talbot.
  772. To review:
  773.  
  774.     Quantity of light, Q, is akin to a quantity of photons except
  775. that here the number of photons is pro-rated according to how bright
  776. they appear to the eye.
  777.     Luminous flux, F, is akin to the time rate of flow of photons except
  778. that the photons are pro-rated according to how bright they appear to the eye.
  779.     Luminous intensity, I, is the solid-angular density of luminous flux.
  780. Applies primarily to point sources.
  781.     Illumination, E, is the areal density of incident luminous flux.
  782.     Luminance, B, is the areal intensity of an extended source.
  783.  
  784.  
  785.                Photometry with a Photographic Light Meter
  786.     The first caveat to keep in mind is that the average unfiltered light
  787. meter doesn't have the same spectral sensitivity curve that the human eye
  788. does.  Each type of sensor used has its own curve.  Silicon blue cells aren't
  789. too bad.  The overall sensitivity of a cell is usually measured with a
  790. 2856K or 2870K incandescent lamp.  Less commonly it is measured with
  791. 6000K sunlight.
  792.     The basis of using a light meter is the fact that a light meter uses
  793. the Additive Photographic Exposure System, the system which uses
  794. Exposure Values:
  795.  
  796.          Ev = Av + Tv = Sv + Bv
  797.  
  798. where:   Ev = Exposure Value
  799.          Av = Aperture Value = lg2 N^2         where N = f-number
  800.          Tv = Time Value = lg2 (1/t)           where t = time in sec.s
  801.          Sv = Speed Value = lg2 (0.3 S)        where S = ASA speed
  802.          Bv = Brightness Value = lg2 Bfl
  803.  
  804. lg2 is logarithm base 2
  805.  
  806. from which, for example:
  807.         Av(N=f/1) = 0
  808.         Tv(t=1 sec) = 0
  809.         Sv(S=ASA 3.125) E
  810.         Bv( Bfl = 1 foot-Lambert) = 0
  811.  
  812. and therefore:
  813.         Bfl = 2^Bv
  814.         Ev (Sv = 0) = Bv
  815.  
  816.     From the preceeding two equations you can see that if you set the
  817. meter dial to an ASA speed of approximately 3.1 (same as Sv = 0), when
  818. you read a scene luminance level the Ev reading will be Bv from which you
  819. can calculate Bfl.  If you don't have an ASA setting of 3.1 on your dial, just
  820. use ASA 100 and subtract 5 from the Ev reading to get Bv.
  821. (Sv@ASA100=5)
  822.  
  823.                          Image Illumination
  824.     If you know the object luminance (photometric brightness), the
  825. f-number of the lens, and the image magnification, you can calculate the
  826. image illumination.  The image magnification is the quotient of any linear
  827. dimension in the image divided by the corresponding linear dimension on
  828. the object.  It is, in the usual photographic case, a number less than one.
  829. The f-number is the f-number for the lens when focussed at infinity - this
  830. is what's written on the lens.  The formula that relates these quantities is
  831. given below:
  832.  
  833.         Eimage = (t pi B)/[4 N^2 (1+m)^2]
  834. or:        Eimage = (t Bfl)/[4 N^2 (1+m)^2]
  835. where:    Eimage is in foot-candles  (divide by .0929 to get lux)
  836.            t   is the transmittance of the lens (usually .9 to .95 but lower
  837.                   for more surfaces in the lens or lack of anti-reflection
  838.                    coatings)
  839.            B   is the object luminance in candles/square foot
  840.            Bfl is the object luminance in foot-Lamberts
  841.            N   is the f-number of the lens
  842.            m   is the image magnification
  843.  
  844. References:
  845. G.E. Miniature Lamp Catalog
  846. Gilway Technical Lamp Catalog
  847. "Lenses in Photography" Rudolph Kingslake Rev.Ed.c1963 A.S.Barnes
  848. "Applied Optics & Optical Engr." Ed. by Kingslake c1965 Academic Press
  849. "The Lighting Primer" Bernard Boylan c1987 Iowa State Univ.
  850. "University Physics" Sears & Zemansky c1955 Addison-Wesley
  851.  
  852.  
  853. Acknowledgements
  854.  
  855. Thanks to John Bercovitz, donl mathis, and Bill Tyler for reviewing an
  856. earlier version of this file.  I've made extensive changes since their
  857. review, so any remaining bugs are mine, not a result of their
  858. oversight.  All of them told me it was too detailed.  I probably
  859. should have listened.  Thanks to Andy Young for pointing out that
  860. Lambert's law is only empirical.  Thanks to John Bercovitz for
  861. providing the material on photometry and illumination, for helping me
  862. improve the presentation, and for nudging me into dusting it off from
  863. time to time and touching it up.
  864.  
  865. Copyright (C) 1993, 1994, 1995, 1996 David M. Jacobson
  866.  
  867. Rec.photo.* readers are granted permission to make a reasonable number
  868. electronic or paper copies for their themselves, their friends and
  869. colleagues.  Other publication, or commercial or for-profit use is
  870. prohibited.
  871.