home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ ftp.pasteur.org/FAQ/ / ftp-pasteur-org-FAQ.zip / FAQ / physics-faq / part4 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1995-10-14  |  74.1 KB

  1. Path: senator-bedfellow.mit.edu!bloom-beacon.mit.edu!paperboy.osf.org!mogul.osf.org!columbus
  2. From: columbus@osf.org
  3. Newsgroups: sci.physics,sci.physics.research,sci.physics.cond-matter,sci.physics.particle,alt.sci.physics.new-theories,sci.answers,alt.answers,news.answers
  4. Subject: sci.physics Frequently Asked Questions (Part 4 of 4)
  5. Supersedes: <physics-faq-4-812040883@osf.org>
  6. Followup-To: sci.physics
  7. Date: 13 Oct 1995 14:41:04 GMT
  8. Organization: Open Software Foundation
  9. Lines: 1405
  10. Approved: news-answers-request@MIT.EDU
  11. Distribution: world
  12. Expires: 17-Nov 1995
  13. Message-ID: <physics-faq-4-813595189@osf.org>
  14. References: <physics-faq-1-813595189@osf.org>
  15. Reply-To: columbus@osf.org (Michael Weiss)
  16. NNTP-Posting-Host: mogul.osf.org
  17. Summary: This posting contains a list of Frequently Asked Questions 
  18.     (and their answers) about physics, and should be read by anyone who 
  19.     wishes to post to the sci.physics.* newsgroups.
  20. Keywords: Sci.physics FAQ
  21. X-Posting-Frequency: posted monthly
  22. Originator: columbus@mogul.osf.org
  23. Xref: senator-bedfellow.mit.edu sci.physics:147073 sci.physics.research:3043 sci.physics.cond-matter:558 sci.physics.particle:5898 alt.sci.physics.new-theories:21141 sci.answers:3266 alt.answers:12767 news.answers:55204
  24.  
  25. Posted-By: auto-faq 3.1.1.2
  26. Archive-name: physics-faq/part4
  27.  
  28. --------------------------------------------------------------------------------
  29.                FREQUENTLY ASKED QUESTIONS ON SCI.PHYSICS - Part 4/4
  30. --------------------------------------------------------------------------------
  31. Item 24. Special Relativistic Paradoxes - part (a) 
  32.  
  33. The Barn and the Pole                   updated 4-AUG-1992 by SIC
  34. ---------------------                   original by Robert Firth
  35.  
  36.     These are the props.  You own a barn, 40m long, with automatic
  37. doors at either end, that can be opened and closed simultaneously by a
  38. switch. You also have a pole, 80m long, which of course won't fit in the
  39. barn. 
  40.  
  41.     Now someone takes the pole and tries to run (at nearly the speed of
  42. light) through the barn with the pole horizontal.  Special Relativity (SR)
  43. says that a moving object is contracted in the direction of motion: this is
  44. called the Lorentz Contraction.  So, if the pole is set in motion
  45. lengthwise, then it will contract in the reference frame of a stationary
  46. observer. 
  47.  
  48.     You are that observer, sitting on the barn roof.  You see the pole
  49. coming towards you, and it has contracted to a bit less than 40m. So, as
  50. the pole passes through the barn, there is an instant when it is completely
  51. within the barn.  At that instant, you close both doors.  Of course, you
  52. open them again pretty quickly, but at least momentarily you had the
  53. contracted pole shut up in your barn.  The runner emerges from the far door
  54. unscathed. 
  55.  
  56.     But consider the problem from the point of view of the runner.  She
  57. will regard the pole as stationary, and the barn as approaching at high
  58. speed. In this reference frame, the pole is still 80m long, and the barn
  59. is less than 20 meters long.  Surely the runner is in trouble if the doors 
  60. close while she is inside.  The pole is sure to get caught. 
  61.  
  62.     Well does the pole get caught in the door or doesn't it?  You can't
  63. have it both ways.  This is the "Barn-pole paradox."  The answer is buried
  64. in the misuse of the word "simultaneously" back in the first sentence of
  65. the story.  In SR, that events separated in space that appear simultaneous
  66. in one frame of reference need not appear simultaneous in another frame of
  67. reference. The closing doors are two such separate events. 
  68.  
  69.     SR explains that the two doors are never closed at the same time in
  70. the runner's frame of reference.  So there is always room for the pole.  In
  71. fact, the Lorentz transformation for time is t'=(t-v*x/c^2)/sqrt(1-v^2/c^2).
  72. It's the v*x term in the numerator that causes the mischief here.  In the
  73. runner's frame the further event (larger x) happens earlier.  The far door 
  74. is closed first.  It opens before she gets there, and the near door closes 
  75. behind her. Safe again - either way you look at it, provided you remember 
  76. that simultaneity is not a constant of physics. 
  77.  
  78. References:  Taylor and Wheeler's _Spacetime Physics_ is the classic. 
  79. Feynman's _Lectures_ are interesting as well.
  80.  
  81. ********************************************************************************
  82. Item 24. Special Relativistic Paradoxes - part (b) 
  83.  
  84. The Twin Paradox                                updated 04-MAR-1994 by SIC
  85. ----------------                                original by Kurt Sonnenmoser
  86.  
  87. A Short Story about Space Travel:
  88.  
  89.     Two twins, conveniently named A and B, both know the rules of
  90. Special Relativity.  One of them, B, decides to travel out into space with
  91. a velocity near the speed of light for a time T, after which she returns to
  92. Earth. Meanwhile, her boring sister A sits at home posting to Usenet all
  93. day.  When B finally comes home, what do the two sisters find?  Special
  94. Relativity (SR) tells A that time was slowed down for the relativistic
  95. sister, B, so that upon her return to Earth, she knows that B will be
  96. younger than she is, which she suspects was the the ulterior motive of the
  97. trip from the start. 
  98.  
  99.     But B sees things differently.  She took the trip just to get away 
  100. >from the conspiracy theorists on Usenet, knowing full well that from her 
  101. point of view, sitting in the spaceship, it would be her sister, A, who 
  102. was travelling ultrarelativistically for the whole time, so that she would 
  103. arrive home to find that A was much younger than she was.  Unfortunate, but 
  104. worth it just to get away for a while. 
  105.  
  106.     What are we to conclude?  Which twin is really younger?  How can SR
  107. give two answers to the same question?  How do we avoid this apparent
  108. paradox? Maybe twinning is not allowed in SR?  Read on. 
  109.  
  110. Paradox Resolved:
  111.  
  112.     Much of the confusion surrounding the so-called Twin Paradox
  113. originates from the attempts to put the two twins into different frames ---
  114. without the useful concept of the proper time of a moving body. 
  115.  
  116.     SR offers a conceptually very clear treatment of this problem.
  117. First chose _one_ specific inertial frame of reference; let's call it S.
  118. Second define the paths that A and B take, their so-called world lines. As
  119. an example, take (ct,0,0,0) as representing the world line of A, and
  120. (ct,f(t),0,0) as representing the world line of B (assuming that the the
  121. rest frame of the Earth was inertial). The meaning of the above notation is
  122. that at time t, A is at the spatial location (x1,x2,x3)=(0,0,0) and B is at
  123. (x1,x2,x3)=(f(t),0,0) --- always with respect to S. 
  124.  
  125.     Let us now assume that A and B are at the same place at the time t1
  126. and again at a later time t2, and that they both carry high-quality clocks
  127. which indicate zero at time t1. High quality in this context means that the
  128. precision of the clock is independent of acceleration. [In principle, a
  129. bunch of muons provides such a device (unit of time: half-life of their
  130. decay).] 
  131.  
  132.     The correct expression for the time T such a clock will indicate at
  133. time t2 is the following [the second form is slightly less general than the
  134. first, but it's the good one for actual calculations]: 
  135.  
  136.             t2          t2      _______________ 
  137.             /           /      /             2 |
  138.       T  =  | d\tau  =  | dt \/  1 - [v(t)/c]              (1)
  139.             /           /
  140.           t1          t1
  141.  
  142. where d\tau is the so-called proper-time interval, defined by
  143.  
  144.               2         2      2      2      2
  145.      (c d\tau)  = (c dt)  - dx1  - dx2  - dx3 .
  146.  
  147. Furthermore,
  148.                    d                          d
  149.            v(t) = -- (x1(t), x2(t), x3(t)) = -- x(t)
  150.                   dt                         dt
  151.  
  152. is the velocity vector of the moving object. The physical interpretation
  153. of the proper-time interval, namely that it is the amount the clock time
  154. will advance if the clock moves by dx during dt, arises from considering
  155. the inertial frame in which the clock is at rest at time t --- its
  156. so-called momentary rest frame (see the literature cited below). [Notice
  157. that this argument is only of heuristic value, since one has to assume
  158. that the absolute value of the acceleration has no effect. The ultimate
  159. justification of this interpretation must come from experiment.]
  160.  
  161.     The integral in (1) can be difficult to evaluate, but certain
  162. important facts are immediately obvious. If the object is at rest with
  163. respect to S, one trivially obtains T = t2-t1. In all other cases, T must
  164. be strictly smaller than t2-t1, since the integrand is always less than or
  165. equal to unity. Conclusion: the traveling twin is younger. Furthermore, if
  166. she moves with constant velocity v most of the time (periods of
  167. acceleration short compared to the duration of the whole trip), T will
  168. approximately be given by      ____________                              
  169.                               /          2 | 
  170.                     (t2-t1) \/  1 - [v/c]    .             (2)
  171.  
  172. The last expression is exact for a round trip (e.g. a circle) with constant
  173. velocity v. [At the times t1 and t2, twin B flies past twin A and they
  174. compare their clocks.] 
  175.  
  176.     Now the big deal with SR, in the present context, is that T (or
  177. d\tau, respectively) is a so-called Lorentz scalar. In other words, its
  178. value does not depend on the choice of S. If we Lorentz transform the
  179. coordinates of the world lines of the twins to another inertial frame S',
  180. we will get the same result for T in S' as in S. This is a mathematical
  181. fact. It shows that the situation of the traveling twins cannot possibly
  182. lead to a paradox _within_ the framework of SR. It could at most be in
  183. conflict with experimental results, which is also not the case. 
  184.  
  185.     Of course the situation of the two twins is not symmetric, although
  186. one might be tempted by expression (2) to think the opposite. Twin A is
  187. at rest in one and the same inertial frame for all times, whereas twin B
  188. is not.  [Formula (1) does not hold in an accelerated frame.]  This breaks 
  189. the apparent symmetry of the two situations, and provides the clearest
  190. nonmathematical hint that one twin will in fact be younger than the other
  191. at the end of the trip.  To figure out *which* twin is the younger one, use
  192. the formulae above in a frame in which they are valid, and you will find
  193. that B is in fact younger, despite her expectations. 
  194.  
  195.     It is sometimes claimed that one has to resort to General
  196. Relativity in order to "resolve" the Twin "Paradox". This is not true. In
  197. flat, or nearly flat, space-time (no strong gravity), SR is completely
  198. sufficient, and it has also no problem with world lines corresponding to
  199. accelerated motion. 
  200.  
  201. References: 
  202.         Taylor and Wheeler, _Spacetime Physics_  (An *excellent* discussion)
  203.         Goldstein, _Classical Mechanics_, 2nd edition, Chap.7 (for a good 
  204.         general discussion of Lorentz transformations and other SR basics.) 
  205.  
  206. ********************************************************************************
  207. Item 24. Special Relativistic Paradoxes - part (c) 
  208.  
  209. The Superluminal Scissors                           updated 31-MAR-1993 
  210. -------------------------                           original by Scott I.Chase
  211.  
  212.  
  213.     A Gedankenexperiment:
  214.  
  215.     Imagine a huge pair of scissors, with blades one light-year long.
  216. The handle is only about two feet long, creating a huge lever arm,
  217. initially open by a few degrees.  Then you suddenly close the scissors. 
  218. This action takes about a tenth of a second.  Doesn't the contact point
  219. where the two blades touch move down the blades *much* faster than the
  220. speed of light? After all, the scissors close in a tenth of a second, but
  221. the blades are a light-year long.  That seems to mean that the contact
  222. point has moved down the blades at the remarkable speed of 10 light-years
  223. per second.  This is more than 10^8 times the speed of light!  But this
  224. seems to violate the most important rule of Special Relativity - no signal
  225. can travel faster than the speed of light.  What's going on here? 
  226.  
  227.     Explanation:
  228.  
  229.     We have mistakenly assumed that the scissors do in fact close when
  230. you close the handle.  But, in fact, according to Special Relativity, this
  231. is not at all what happens.  What *does* happen is that the blades of the
  232. scissors flex.  No matter what material you use for the scissors, SR sets a
  233. theoretical upper limit to the rigidity of the material.  In short, when
  234. you close the scissors, they bend. 
  235.  
  236.     The point at which the blades bend propagates down the blade at
  237. some speed less than the speed of light.  On the near side of this point,
  238. the scissors are closed.  On the far side of this point, the scissors
  239. remain open.  You have, in fact, sent a kind of wave down the scissors,
  240. carrying the information that the scissors have been closed.  But this wave
  241. does not travel faster than the speed of light.  It will take at least one
  242. year for the tips of the blades, at the far end of the scissors, to feel
  243. any force whatsoever, and, ultimately, to come together to completely close
  244. the scissors. 
  245.  
  246.     As a practical matter, this theoretical upper limit to the rigidity
  247. of the metal in the scissors is *far* higher than the rigidity of any real
  248. material, so it would, in practice, take much much longer to close a real
  249. pair of metal scissors with blades as long as these. 
  250.  
  251.     One can analyze this problem microscopically as well.  The
  252. electromagnetic force which binds the atoms of the scissors together
  253. propagates at the speeds of light. So if you displace some set of atoms in
  254. the scissor (such as the entire handles), the force will not propagate down
  255. the scissor instantaneously, This means that a scissor this big *must*
  256. cease to act as a rigid body. You can move parts of it without other parts
  257. moving at the same time. It takes some finite time for the changing forces
  258. on the scissor to propagate from atom to atom, letting the far tip of the
  259. blades "know" that the scissors have been closed. 
  260.  
  261.     Caveat:
  262.  
  263.     The contact point where the two blades meet is not a physical
  264. object.  So there is no fundamental reason why it could not move faster
  265. than the speed of light, provided that you arrange your experiment correctly.
  266. In fact it can be done with scissors provided that your scissors are short
  267. enough and wide open to start, very different conditions than those spelled
  268. out in the gedankenexperiment above.  In this case it will take you quite
  269. a while to bring the blades together - more than enough time for light to
  270. travel to the tips of the scissors.  When the blades finally come together,
  271. if they have the right shape, the contact point can indeed move faster
  272. than light.  
  273.  
  274.     Think about the simpler case of two rulers pinned together at an 
  275. edge point at the ends.  Slam the two rulers together and the contact point
  276. will move infinitely fast to the far end of the rulers at the instant
  277. they touch.  So long as the rulers are short enough that contact does not
  278. happen until the signal propagates to the far ends of the rulers, the 
  279. rulers will indeed be straight when they meet.  Only if the rulers are
  280. too long will they be bent like our very long scissors, above, when they
  281. touch.  The contact point can move faster than the speed of light, but
  282. the energy (or signal) of the closing force can not.
  283.  
  284.     An analogy, equivalent in terms of information content, is, say, a 
  285. line of strobe lights.  You want to light them up one at a time, so that 
  286. the `bright' spot travels faster than light.  To do so, you can send a 
  287. _luminal_ signal down the line, telling each strobe light to wait a 
  288. little while before flashing.  If you decrease the wait time with
  289. each successive strobe light, the apparent bright spot will travel faster
  290. than light, since the strobes on the end didn't wait as long after getting
  291. the go-ahead, as did the ones at the beginning.  But the bright spot
  292. can't pass the original signal, because then the strobe lights wouldn't
  293. know to flash.
  294.  
  295.  
  296. ********************************************************************************
  297.  
  298. Item 25.  Can You See the Lorentz-Fitzgerald Contraction?           12-Oct-1995
  299.           Or: Penrose-Terrell Rotation                              by Michael Weiss
  300.  
  301. People sometimes argue over whether the Lorentz-Fitzgerald contraction is
  302. "real" or not.  That's a topic for another FAQ entry, but here's a short
  303. answer: the contraction can be measured, but the measurement is
  304. frame-dependent.  Whether that makes it "real" or not has more to do with your
  305. choice of words than the physics.
  306.  
  307. Here we ask a subtly different question.  If you take a snapshot of a rapidly
  308. moving object, will it *look* flattened when you develop the film?  What is the
  309. difference between measuring and photographing?  Isn't seeing believing?  Not
  310. always!  When you take a snapshot, you capture the light-rays that hit the
  311. *film* at one instant (in the reference frame of the film).  These rays may
  312. have left the *object* at different instants; if the object is moving with
  313. respect to the film, then the photograph may give a distorted picture.
  314. (Strictly speaking snapshots aren't instantaneous, but we're idealizing.)
  315.  
  316. Oddly enough, though Einstein published his famous relativity paper in
  317. 1905, and Fitzgerald proposed his contraction several years earlier,
  318. no one seems to have asked this question until the late '50s.  Then
  319. Roger Penrose and James Terrell independently discovered that the
  320. object will *not* appear flattened [1,2].  People sometimes say that
  321. the object appears rotated, so this effect is called the
  322. Penrose-Terrell rotation.
  323.  
  324. Calling it a rotation can be a bit confusing though.  Rotating an object brings
  325. its backside into view, but it's hard to see how a contraction could do that.
  326. Among other things, this entry will try to explain in just what sense
  327. the Penrose-Terrell effect is a "rotation".
  328.  
  329. It will clarify matters to imagine *two* snapshots of the same object, taken by
  330. two cameras moving uniformly with respect to each other.  We'll call them *his*
  331. camera and *her* camera.  The cameras pass through each other at the origin at
  332. t=0, when they take their two snapshots.  Say that the object is at rest with
  333. respect to his camera, and moving with respect to hers.  By analysing the
  334. process of taking a snapshot, the meaning of "rotation" will become clearer.
  335.  
  336. How should we think of a snapshot?  Here's one way: consider a pinhole camera.
  337. (Just one camera, for the moment.)  The pinhole is located at the origin, and
  338. the film occupies a patch on a sphere surrounding the origin.  We'll ignore all
  339. technical difficulties(!), and pretend that the camera takes full spherical
  340. pictures: the film occupies the entire sphere.
  341.  
  342. We need more than just a pinhole and film, though: we also need a shutter.  At
  343. t=0, the shutter snaps open for an instant to let the light-rays through the
  344. pinhole; these spread out in all directions, and at t=1 (in the rest-frame of
  345. the camera) paint a picture on the spherical film.
  346.  
  347. Let's call points in the snapshot *pixels*.  Each pixel gets its color due to
  348. an event, namely a light-ray hitting the sphere at t=1.  Now let's consider his
  349. & her cameras, as we said before.  We'll use t for his time, and t' for hers.
  350. At t=t'=0, the two pinholes coincide at the origin, the two shutters snap
  351. simultaneously, and the light rays spread out.  At t=1 for *his* camera, they
  352. paint *his* pixels; at t'=1 for *her* camera, they paint *hers*.  So the
  353. definition of a snapshot is frame-dependent.  But you already knew that.  (Pop
  354. quiz: what shape does *he* think *her* film has?  Not spherical!)  (More
  355. technical difficulties: the rays have to pass right through one film to hit the
  356. other.)
  357.  
  358. So there's a one-one correspondence between pixels in the two snapshots.  Two
  359. pixels correspond if they are painted by the same light-ray.  You can see now
  360. that her snapshot is just a distortion of his (and vice versa).  You could take
  361. his snapshot, scan it into a computer, run an algorithm to move the pixels
  362. around, and print out hers.
  363.  
  364. So what does the pixel mapping look like?  Simple: if we put the usual
  365. latitude/longitude grid on the spheres, chosen so that the relative motion is
  366. along the north-south axis, then each pixel slides up towards the north pole
  367. along a line of longitude.  (Or down towards the south pole, depending on
  368. various choices I haven't specified.)  This should ring a bell if you know
  369. about the aberration of light: if our snapshots portray the night-sky, then the
  370. stars are white pixels, and aberration changes their apparent positions.
  371.  
  372. Now let's consider the object--- let's say a galaxy.  In passing from his
  373. snapshot to hers, the image of the galaxy slides up the sphere, keeping the
  374. same face to us.  In this sense, it has rotated.  Its apparent size will also
  375. change, but not its shape (to a first approximation).
  376.  
  377. The mathematical details are beautiful, but best left to the textbooks [3,4].
  378. Just to entice you if you have the background: if we regard the two spheres as
  379. Riemann spheres, then the pixel mapping is given by a fractional linear
  380. transformation.  Well-known facts from complex analysis now tell us two things.
  381. First, circles go to circles under the pixel mapping, so a sphere will *always*
  382. photograph as a sphere.  Second, shapes of objects are preserved in the
  383. infinitesimally small limit.  (If you know about the double-covering of SL(2),
  384. that also comes into play.  [3] is a good reference.)
  385.  
  386. References: [1] and [2] are the original articles.  [3] and [4] are textbook
  387. treatments.  [5] has beautiful computer-generated pictures of the
  388. Penrose-Terrell rotation.  The authors of [5] later made a video [6] of this
  389. and other effects of "SR photography".
  390.  
  391. [1] Penrose, R.,"The Apparent Shape of a Relativistically Moving Sphere", 
  392.     Proc. Camb. Phil. Soc., vol 55 Jul 1958.
  393. [2] Terrell, J., "Invisibility of the Lorentz Contraction",
  394.     Phys. Rev. vol 116 no. 4 pp. 1041-1045 (1959).    
  395. [3] Penrose, R., and W. Rindler, "Spinors and Space-Time", vol I chapter 1.
  396. [4] Marion, "Classical Dynamics", Section 10.5.
  397. [5] Hsiung, Ping-Kang, Robert H. Thibadeau, and Robert H. P. Dunn,
  398.     "Ray-Tracing Relativity", Pixel, vol 1 no. 1 (Jan/Feb 1990).
  399. [6] Hsiung, Ping-Kang, and Robert H. Thibadeau, "Spacetime
  400.     Visualizations," a video, Imaging Systems Lab, Robotics Institute,
  401.     Carnegie Mellon University.
  402.  
  403.  
  404.  
  405. ********************************************************************************
  406.  
  407. Item 26.  
  408. Tachyons                                        updated: 22-MAR-1993 by SIC
  409. --------                                        original by Scott I. Chase
  410.  
  411.                 There was a young lady named Bright,
  412.                 Whose speed was far faster than light.
  413.                 She went out one day,
  414.                 In a relative way,
  415.                 And returned the previous night!
  416.  
  417.                         -Reginald Buller
  418.  
  419.  
  420.     It is a well known fact that nothing can travel faster than the
  421. speed of light. At best, a massless particle travels at the speed of light.
  422. But is this really true?  In 1962, Bilaniuk, Deshpande, and Sudarshan, Am.
  423. J. Phys. _30_, 718 (1962), said "no".  A very readable paper is Bilaniuk
  424. and Sudarshan, Phys. Today _22_,43 (1969).  I give here a brief overview. 
  425.  
  426.     Draw a graph, with momentum (p) on the x-axis, and energy (E) on
  427. the y-axis.  Then draw the "light cone", two lines with the equations E =
  428. +/- p. This divides our 1+1 dimensional space-time into two regions.  Above
  429. and below are the "timelike" quadrants, and to the left and right are the
  430. "spacelike" quadrants. 
  431.  
  432.     Now the fundamental fact of relativity is that E^2 - p^2 = m^2. 
  433. (Let's take c=1 for the rest of the discussion.)  For any non-zero value of 
  434. m (mass), this is an hyperbola with branches in the timelike regions.  It 
  435. passes through the point (p,E) = (0,m), where the particle is at rest.  Any 
  436. particle with mass m is constrained to move on the upper branch of this 
  437. hyperbola.  (Otherwise, it is "off-shell", a term you hear in association
  438. with virtual particles - but that's another topic.) For massless particles, 
  439. E^2 = p^2, and the particle moves on the light-cone. 
  440.  
  441.     These two cases are given the names tardyon (or bradyon in more
  442. modern usage) and luxon, for "slow particle" and "light particle".  Tachyon
  443. is the name given to the supposed "fast particle" which would move with v>c. 
  444.  
  445.     Now another familiar relativistic equation is E =
  446. m*[1-(v/c)^2]^(-.5).  Tachyons (if they exist) have v > c.  This means that 
  447. E is imaginary!  Well, what if we take the rest mass m, and take it to be
  448. imaginary?  Then E is negative real, and E^2 - p^2 = m^2 < 0.  Or, p^2 -
  449. E^2 = M^2, where M is real.  This is a hyperbola with branches in the
  450. spacelike region of spacetime.  The energy and momentum of a tachyon must
  451. satisfy this relation.
  452.  
  453.     You can now deduce many interesting properties of tachyons.  For
  454. example, they accelerate (p goes up) if they lose energy (E goes down).
  455. Futhermore, a zero-energy tachyon is "transcendent," or infinitely fast.
  456. This has profound consequences.  For example, let's say that there were
  457. electrically charged tachyons.  Since they would move faster than the speed 
  458. of light in the vacuum, they should produce Cerenkov radiation. This would 
  459. *lower* their energy, causing them to accelerate more!  In other words, 
  460. charged tachyons would probably lead to a runaway reaction releasing an 
  461. arbitrarily large amount of energy.  This suggests that coming up with a 
  462. sensible theory of anything except free (noninteracting) tachyons is likely 
  463. to be difficult.  Heuristically, the problem is that we can get spontaneous 
  464. creation of tachyon-antitachyon pairs, then do a runaway reaction, making 
  465. the vacuum unstable.  To treat this precisely requires quantum field theory, 
  466. which gets complicated.  It is not easy to summarize results here.  However,
  467. one reasonably modern reference is _Tachyons, Monopoles, and Related
  468. Topics_, E. Recami, ed. (North-Holland, Amsterdam, 1978).
  469.  
  470.     However, tachyons are not entirely invisible.  You can imagine that
  471. you might produce them in some exotic nuclear reaction.  If they are
  472. charged, you could "see" them by detecting the Cerenkov light they produce
  473. as they speed away faster and faster.  Such experiments have been done.  So
  474. far, no tachyons have been found.  Even neutral tachyons can scatter off
  475. normal matter with experimentally observable consequences.  Again, no such
  476. tachyons have been found. 
  477.  
  478.     How about using tachyons to transmit information faster than the
  479. speed of light, in violation of Special Relativity?  It's worth noting 
  480. that when one considers the relativistic quantum mechanics of tachyons, the 
  481. question of whether they "really" go faster than the speed of light becomes 
  482. much more touchy!  In this framework, tachyons are *waves* that satisfy a
  483. wave equation.  Let's treat free tachyons of spin zero, for simplicity.   
  484. We'll set c = 1 to keep things less messy.  The wavefunction of a single 
  485. such tachyon can be expected to satisfy the usual equation for spin-zero 
  486. particles, the Klein-Gordon equation:
  487.  
  488.                 (BOX + m^2)phi = 0
  489.  
  490. where BOX is the D'Alembertian, which in 3+1 dimensions is just
  491.  
  492.                 BOX = (d/dt)^2 - (d/dx)^2 - (d/dy)^2 - (d/dz)^2.
  493.  
  494. The difference with tachyons is that m^2 is *negative*, and m is
  495. imaginary.
  496.  
  497. To simplify the math a bit, let's work in 1+1 dimensions, with
  498. coordinates x and t, so that
  499.  
  500.                 BOX = (d/dt)^2 - (d/dx)^2
  501.  
  502. Everything we'll say generalizes to the real-world 3+1-dimensional case.
  503. Now - regardless of m, any solution is a linear combination, or
  504. superposition, of solutions of the form
  505.  
  506.                 phi(t,x) = exp(-iEt + ipx)
  507.  
  508. where E^2 - p^2 = m^2.  When m^2 is negative there are two essentially
  509. different cases.  Either |p| >= |E|, in which case E is real and
  510. we get solutions that look like waves whose crests move along at the
  511. rate |p|/|E| >= 1, i.e., no slower than the speed of light.  Or |p| <
  512. |E|, in which case E is imaginary and we get solutions that look waves
  513. that amplify exponentially as time passes!
  514.  
  515. We can decide as we please whether or not we want to consider the second
  516. sort of solutions.   They seem weird, but then the whole business is
  517. weird, after all.
  518.  
  519. 1)    If we *do* permit the second sort of solution, we can solve the
  520. Klein-Gordon equation with any reasonable initial data - that is, any
  521. reasonable values of phi and its first time derivative at t = 0.  (For
  522. the precise definition of "reasonable," consult your local
  523. mathematician.)  This is typical of wave equations.  And, also typical
  524. of wave equations, we can prove the following thing: If the solution phi
  525. and its time derivative are zero outside the interval [-L,L] when t = 0,
  526. they will be zero outside the interval [-L-|t|, L+|t|] at any time t.
  527. In other words, localized disturbances do not spread with speed faster
  528. than the speed of light!  This seems to go against our notion that
  529. tachyons move faster than the speed of light, but it's a mathematical
  530. fact, known as "unit propagation velocity".
  531.  
  532. 2)    If we *don't* permit the second sort of solution, we can't solve the
  533. Klein-Gordon equation for all reasonable initial data, but only for initial
  534. data whose Fourier transforms vanish in the interval [-|m|,|m|].  By the
  535. Paley-Wiener theorem this has an odd consequence: it becomes
  536. impossible to solve the equation for initial data that vanish outside
  537. some interval [-L,L]!  In other words, we can no longer "localize" our
  538. tachyon in any bounded region in the first place, so it becomes
  539. impossible to decide whether or not there is "unit propagation
  540. velocity" in the precise sense of part 1).    Of course, the crests of
  541. the waves exp(-iEt + ipx) move faster than the speed of light, but these
  542. waves were never localized in the first place!
  543.  
  544.     The bottom line is that you can't use tachyons to send information 
  545. faster than the speed of light from one place to another.  Doing so would 
  546. require creating a message encoded some way in a localized tachyon field,
  547. and sending it off at superluminal speed toward the intended receiver. But 
  548. as we have seen you can't have it both ways - localized tachyon disturbances 
  549. are subluminal and superluminal disturbances are nonlocal.
  550.  
  551. ********************************************************************************
  552. Item 27.
  553.  
  554. The Particle Zoo                                updated 4-JUL-1995 by MCW
  555. ----------------                                original by Matt Austern
  556.  
  557.     If you look in the Particle Data Book, you will find more than 150
  558. particles listed there.  It isn't quite as bad as that, though... 
  559.  
  560.     The (observed) particles are divided into two major classes:
  561. the material particles, and the gauge bosons.  We'll discuss the gauge
  562. bosons further down.  The material particles in turn fall into three
  563. categories: leptons, mesons, and baryons. Leptons are particles that
  564. are like the electron: they have spin 1/2, and they do not undergo the
  565. strong interaction.  There are three charged leptons, the electron,
  566. muon, and tau, and three corresponding neutral leptons, or neutrinos.
  567. (The muon and the tau are both short-lived.)
  568.  
  569.     Mesons and baryons both undergo strong interactions.  The
  570. difference is that mesons have integral spin (0, 1,...), while baryons have
  571. half-integral spin (1/2, 3/2,...).  The most familiar baryons are the
  572. proton and the neutron; all others are short-lived.  The most familiar
  573. meson is the pion; its lifetime is 26 nanoseconds, and all other mesons
  574. decay even faster. 
  575.  
  576.     Most of those 150+ particles are mesons and baryons, or,
  577. collectively, hadrons.  The situation was enormously simplified in the
  578. 1960s by the "quark model," which says that hadrons are made out of
  579. spin-1/2 particles called quarks.  A meson, in this model, is made out
  580. of a quark and an anti-quark, and a baryon is made out of three
  581. quarks.  We don't see free quarks, but only hadrons; nevertheless, the
  582. evidence for quarks is compelling. Quark masses are not very well
  583. defined, since they are not free particles, but we can give estimates.
  584. The masses below are in GeV; the first is current mass and the second
  585. constituent mass (which includes some of the effects of the binding
  586. energy):
  587.  
  588.       Generation:       1             2            3
  589.       U-like:     u=.006/.311   c=1.50/1.65   t=91-200/91-200
  590.       D-like:     d=.010/.315   s=.200/.500   b=5.10/5.10
  591.  
  592.     In the quark model, there are only 12 elementary particles,
  593. which appear in three "generations."  The first generation consists of
  594. the up quark, the down quark, the electron, and the electron
  595. neutrino. (Each of these also has an associated antiparticle.)  These
  596. particles make up all of the ordinary matter we see around us.  There
  597. are two other generations, which are essentially the same, but with
  598. heavier particles.  The second consists of the charm quark, the
  599. strange quark, the muon, and the muon neutrino; and the third consists
  600. of the top quark, the bottom quark, the tau, and the tau neutrino.
  601. These three generations are sometimes called the "electron family",
  602. the "muon family", and the "tau family."
  603.  
  604.     Finally, according to quantum field theory, particles interact by
  605. exchanging "gauge bosons," which are also particles.  The most familiar on
  606. is the photon, which is responsible for electromagnetic interactions. 
  607. There are also eight gluons, which are responsible for strong interactions,
  608. and the W+, W-, and Z, which are responsible for weak interactions. 
  609.  
  610. The picture, then, is this:
  611.  
  612.                 FUNDAMENTAL PARTICLES OF MATTER
  613.   Charge        -------------------------
  614.     -1          |  e    |  mu   |  tau  |
  615.      0          | nu(e) |nu(mu) |nu(tau)|
  616.                 -------------------------       + antiparticles
  617.    -1/3         | down  |strange|bottom |
  618.     2/3         |  up   | charm |  top  |
  619.                 -------------------------
  620.  
  621.                         GAUGE BOSONS
  622.   Charge                                                Force
  623.      0                  photon                          electromagnetism
  624.      0                  gluons (8 of them)              strong force
  625.     +-1                 W+ and W-                       weak force
  626.      0                  Z                               weak force
  627.  
  628.     The Standard Model of particle physics also predicts the
  629. existence of a "Higgs boson," which has to do with breaking a symmetry
  630. involving these forces, and which is responsible for the masses of all the
  631. other particles.  It has not yet been found.  More complicated theories
  632. predict additional particles, including, for example, gauginos and sleptons
  633. and squarks (from supersymmetry), W' and Z' (additional weak bosons), X and
  634. Y bosons (from GUT theories), Majorons, familons, axions, paraleptons,
  635. ortholeptons, technipions (from technicolor models), B' (hadrons with
  636. fourth generation quarks), magnetic monopoles, e* (excited leptons), etc. 
  637. None of these "exotica" have yet been seen.  The search is on! 
  638.  
  639. REFERENCES:
  640.  
  641.     The best reference for information on which particles exist,
  642. their masses, etc., is the Particle Data Book.  It is published every
  643. two years; the most recent edition is Physical Review D vol.50 No.3
  644. part 1 August 1994.  The Web version can be accessed through
  645. http://pdg.lbl.gov/.
  646.  
  647.     There are several good books that discuss particle physics on a
  648. level accessible to anyone who knows a bit of quantum mechanics.  One is
  649. _Introduction to High Energy Physics_, by Perkins.  Another, which takes a
  650. more historical approach and includes many original papers, is
  651. _Experimental Foundations of Particle Physics_, by Cahn and Goldhaber. 
  652.  
  653.     For a book that is accessible to non-physicists, you could try _The
  654. Particle Explosion_ by Close, Sutton, and Marten.  This book has fantastic
  655. photography. 
  656.  
  657.     For a Web introduction by the folks at Fermilab, take a look
  658. at http://fnnews.fnal.gov/hep_overview.html .
  659. ********************************************************************************
  660. Item 28.                                         original by Scott I. Chase
  661.  
  662. Does Antimatter Fall Up or Down?
  663. --------------------------------
  664.  
  665. This question has never been subject to a successful direct experiment. 
  666. In other words, nobody has ever directly measured the gravititational 
  667. acceleration of antimatter.  So the bottom line is that we don't know yet.  
  668. However, there is a lot more to say than just that, with regard to both
  669. theory and experiment.  Here is a summary of the current state of affairs.
  670.  
  671. (1) Is is even theoretically possible for antimatter to fall up?
  672.  
  673. Answer: According to GR, antimatter falls down.
  674.  
  675. If you believe that General Relativity is the exact true theory of 
  676. gravity, then there is only one possible conclusion - by the equivalence
  677. principle, antiparticles must fall down with the same acceleration as 
  678. normal matter.
  679.  
  680. On the other hand: there are other models of gravity which are not ruled out 
  681. by direct experiment which are distinct from GR in that antiparticles can 
  682. fall down at different rates than normal matter, or even fall up, due to 
  683. additional forces which couple to the mass of the particle in ways which are 
  684. different than GR.  Some people don't like to call these new couplings 
  685. 'gravity.'  They call them, generically, the 'fifth force,' defining gravity 
  686. to be only the GR part of the force.  But this is mostly a semantic 
  687. distinction.  The bottom line is that antiparticles won't fall like normal 
  688. particles if one of these models is correct.  
  689.  
  690. There are also a variety of arguments, based upon different aspects of 
  691. physics, against the possibility of antigravity.  These include constraints
  692. imposed by conservation of energy (the "Morrison argument"), the detectable 
  693. effects of virtual antiparticles (the "Schiff argument"), and the absense
  694. of gravitational effect in kaon regeneration experiments.  Each of these
  695. does in fact rule out *some* models of antigravity.  But none of them 
  696. absolutely excludes all possible models of antigravity.  See the reference
  697. below for all the details on these issues.
  698.  
  699. (2) Haven't people done experiments to study this question?
  700.  
  701. There are no valid *direct* experimental tests of whether antiparticles
  702. fall up or down.  There was one well-known experiment by Fairbank at 
  703. Stanford in which he tried to measure the fall of positrons.  He found that
  704. they fell normally, but later analyses of his experiment revealed that
  705. he had not accounted for all the sources of stray electromagnetic fields.
  706. Because gravity is so much weaker than EM, this is a difficult experimental
  707. problem.  A modern assessment of the Fairbank experiment is that it was
  708. inconclusive.  
  709.  
  710. In order to reduce the effect of gravity, it would be nice to repeat the
  711. Fairbank experiment using objects with the same magnitude of electric 
  712. charge as positrons, but with much more mass, to increase the relative
  713. effect of gravity on the motion of the particle.  Antiprotons are 1836
  714. times more massive than positrons, so give you three orders of magnitude
  715. more sensitivity.  Unfortunately, making many slow antiprotons which you
  716. can watch fall is very difficult.  An experiment is under development
  717. at CERN right now to do just that, and within the next couple of years
  718. the results should be known.
  719.  
  720. Most people expect that antiprotons *will* fall.  But it is important
  721. to keep an open mind - we have never directly observed the effect of 
  722. gravity on antiparticles.  This experiment, if successful, will definitely
  723. be "one for the textbooks."
  724.  
  725. Reference: Nieto and Goldman, "The Arguments Against 'Antigravity' and 
  726. the Gravitational Acceleration of Antimatter,"  Physics Reports, v.205,
  727. No. 5, p.221.
  728.  
  729. ********************************************************************************
  730. Item 29.
  731.  
  732. What is the Mass of a Photon?                   updated 24-JUL-1992 by SIC
  733.                                                 original by Matt Austern
  734.  
  735. Or, "Does the mass of an object depend on its velocity?"
  736.  
  737.     This question usually comes up in the context of wondering whether
  738. photons are really "massless," since, after all, they have nonzero energy. 
  739. The problem is simply that people are using two different definitions of
  740. mass.  The overwhelming consensus among physicists today is to say that 
  741. photons are massless.  However, it is possible to assign a "relativistic 
  742. mass" to a photon which depends upon its wavelength.  This is based upon 
  743. an old usage of the word "mass" which, though not strictly wrong, is not 
  744. used much today.
  745.  
  746.     The old definition of mass, called "relativistic mass," assigns
  747. a mass to a particle proportional to its total energy E, and involved
  748. the speed of light, c, in the proportionality constant:
  749.  
  750.                 m = E / c^2.                                        (1) 
  751.  
  752. This definition gives every object a velocity-dependent mass.
  753.  
  754.     The modern definition assigns every object just one mass, an 
  755. invariant quantity that does not depend on velocity.  This is given by
  756.  
  757.                 m = E_0 / c^2,                                      (2)
  758.  
  759. where E_0 is the total energy of that object at rest.  
  760.  
  761.     The first definition is often used in popularizations, and in some
  762. elementary textbooks.  It was once used by practicing physicists, but for
  763. the last few decades, the vast majority of physicists have instead used the
  764. second definition.  Sometimes people will use the phrase "rest mass," or
  765. "invariant mass," but this is just for emphasis: mass is mass.  The
  766. "relativistic mass" is never used at all.  (If you see "relativistic mass"
  767. in your first-year physics textbook, complain! There is no reason for books
  768. to teach obsolete terminology.) 
  769.  
  770.     Note, by the way, that using the standard definition of mass, the
  771. one given by Eq. (2), the equation "E = m c^2" is *not* correct.  Using the
  772. standard definition, the relation between the mass and energy of an object
  773. can be written as 
  774.  
  775.                 E   = m c^2 / sqrt(1 -v^2/c^2),                     (3) 
  776. or as
  777.  
  778.                 E^2 = m^2 c^4  +  p^2 c^2,                          (4)
  779.  
  780. where v is the object's velocity, and p is its momentum.
  781.  
  782.     In one sense, any definition is just a matter of convention.  In
  783. practice, though, physicists now use this definition because it is much
  784. more convenient.  The "relativistic mass" of an object is really just the
  785. same as its energy, and there isn't any reason to have another word for
  786. energy: "energy" is a perfectly good word.  The mass of an object, though,
  787. is a fundamental and invariant property, and one for which we do need a
  788. word. 
  789.  
  790.     The "relativistic mass" is also sometimes confusing because it
  791. mistakenly leads people to think that they can just use it in the Newtonian
  792. relations 
  793.                 F = m a                                             (5) 
  794. and
  795.                 F = G m1 m2 / r^2.                                  (6)
  796.  
  797. In fact, though, there is no definition of mass for which these
  798. equations are true relativistically: they must be generalized.  The
  799. generalizations are more straightforward using the standard definition
  800. of mass than using "relativistic mass."
  801.  
  802.     Oh, and back to photons: people sometimes wonder whether it makes
  803. sense to talk about the "rest mass" of a particle that can never be at
  804. rest.  The answer, again, is that "rest mass" is really a misnomer, and it
  805. is not necessary for a particle to be at rest for the concept of mass to
  806. make sense.  Technically, it is the invariant length of the particle's
  807. four-momentum.  (You can see this from Eq. (4).)  For all photons this is
  808. zero. On the other hand, the "relativistic mass" of photons is frequency
  809. dependent. UV photons are more energetic than visible photons, and so are
  810. more "massive" in this sense, a statement which obscures more than it
  811. elucidates. 
  812.  
  813.     Reference: Lev Okun wrote a nice article on this subject in the 
  814. June 1989 issue of Physics Today, which includes a historical discussion 
  815. of the concept of mass in relativistic physics. 
  816.  
  817. ********************************************************************************
  818. Item 30.                                           original by David Brahm
  819.  
  820. Baryogenesis - Why Are There More Protons Than Antiprotons?
  821. -----------------------------------------------------------
  822.  
  823. (I) How do we really *know* that the universe is not matter-antimatter 
  824. symmetric?  
  825.  
  826. (a) The Moon:  Neil Armstrong did not annihilate, therefore the moon
  827. is made of matter.
  828. (b) The Sun:  Solar cosmic rays are matter, not antimatter.
  829. (c) The other Planets:  We have sent probes to almost all.  Their survival 
  830. demonstrates that the solar system is made of matter.
  831. (d) The Milky Way:  Cosmic rays sample material from the entire galaxy.
  832. In cosmic rays, protons outnumber antiprotons 10^4 to 1.
  833. (e) The Universe at large: This is tougher.  If there were antimatter
  834. galaxies then we should see gamma emissions from annihilation.  Its absence
  835. is strong evidence that at least the nearby clusters of galaxies (e.g., Virgo)
  836. are matter-dominated.  At larger scales there is little proof.
  837.     However,  there is a problem, called the "annihilation catastrophe"
  838. which probably eliminates the possibility of a matter-antimatter symmetric
  839. universe.  Essentially, causality prevents the separation of large chucks
  840. of antimatter from matter fast enough to prevent their mutual annihilation
  841. in in the early universe.  So the Universe is most likely matter dominated.
  842.  
  843. (II) How did it get that way?  
  844.  
  845.     Annihilation has made the asymmetry much greater today than in the
  846. early universe.  At the high temperature of the first microsecond, there 
  847. were large numbers of thermal quark-antiquark pairs.  K&T estimate 30 
  848. million antiquarks for every 30 million and 1 quarks during this epoch.  
  849. That's a tiny asymmetry.  Over time most of the antimatter has annihilated 
  850. with matter, leaving the very small initial excess of matter to dominate 
  851. the Universe.
  852.  
  853.     Here are a few possibilities for why we are matter dominated today:
  854.  
  855. a) The Universe just started that way.
  856.    Not only is this a rather sterile hypothesis, but it doesn't work under
  857.    the popular "inflation" theories, which dilute any initial abundances.
  858. b) Baryogenesis occurred around the Grand Unified (GUT) scale (very early).
  859.    Long thought to be the only viable candidate, GUT's generically have
  860.    baryon-violating reactions, such as proton decay (not yet observed).
  861. c) Baryogenesis occurred at the Electroweak Phase Transition (EWPT).
  862.    This is the era when the Higgs first acquired a vacuum expectation value
  863.    (vev), so other particles acquired masses.  Pure Standard Model physics.
  864.  
  865.     Sakharov enumerated 3 necessary conditions for baryogenesis:
  866.  
  867.     (1)  Baryon number violation.  If baryon number is conserved in all
  868. reactions, then the present baryon asymmetry can only reflect asymmetric
  869. initial conditions, and we are back to case (a), above.
  870.     (2) C and CP violation.  Even in the presence of B-violating
  871. reactions, without a preference for matter over antimatter the B-violation
  872. will take place at the same rate in both directions, leaving no excess.
  873.     (3) Thermodynamic Nonequilibrium.  Because CPT guarantees equal
  874. masses for baryons and antibaryons, chemical equilibrium would drive the 
  875. necessary reactions to correct for any developing asymmetry.  
  876.  
  877.     It turns out the Standard Model satisfies all 3 conditions:
  878.  
  879.     (1) Though the Standard Model conserves B classically (no terms in
  880. the Lagrangian violate B), quantum effects allow the universe to tunnel
  881. between vacua with different values of B.  This tunneling is _very_
  882. suppressed at energies/temperatures below 10 TeV (the "sphaleron mass"),
  883. _may_ occur at e.g. SSC energies (controversial), and _certainly_ occurs at
  884. higher temperatures.
  885.  
  886.     (2) C-violation is commonplace.  CP-violation (that's "charge
  887. conjugation" and "parity") has been experimentally observed in kaon
  888. decays, though strictly speaking the Standard Model probably has
  889. insufficient CP-violation to give the observed baryon asymmetry.
  890.  
  891.     (3) Thermal nonequilibrium is achieved during first-order phase
  892. transitions in the cooling early universe, such as the EWPT (at T = 100 GeV
  893. or so).  As bubbles of the "true vacuum" (with a nonzero Higgs vev)
  894. percolate and grow, baryogenesis can occur at or near the bubble walls.
  895.  
  896.     A major theoretical problem, in fact, is that there may be _too_
  897. _much_ B-violation in the Standard Model, so that after the EWPT is
  898. complete (and condition 3 above is no longer satisfied) any previously
  899. generated baryon asymmetry would be washed out.
  900.  
  901. References: Kolb and Turner, _The Early Universe_;
  902.   Dine, Huet, Singleton & Susskind, Phys.Lett.B257:351 (1991);
  903.   Dine, Leigh, Huet, Linde & Linde, Phys.Rev.D46:550 (1992).
  904.  
  905. ********************************************************************************
  906. Item 31.                                         
  907.  
  908. The EPR Paradox and Bell's Inequality Principle    updated 31-AUG-1993 by SIC
  909. -----------------------------------------------    original by John Blanton
  910.  
  911.     In 1935 Albert Einstein and two colleagues, Boris Podolsky and
  912. Nathan Rosen (EPR) developed a thought experiment to demonstrate what they
  913. felt was a lack of completeness in quantum mechanics.  This so-called "EPR
  914. paradox" has led to much subsequent, and still on-going, research. This 
  915. article is an introduction to EPR, Bell's inequality, and the real 
  916. experiments which have attempted to address the interesting issues raised 
  917. by this discussion.
  918.  
  919.     One of the principal features of quantum mechanics is that not all
  920. the classical physical observables of a system can be simultaneously known, 
  921. either in practice or in principle.  Instead, there may be several sets of 
  922. observables which give qualitatively different, but nonetheless complete
  923. (maximal possible) descriptions of a quantum mechanical system.  These sets 
  924. are sets of "good quantum numbers," and are also known as "maximal sets of 
  925. commuting observables."  Observables from different sets are "noncommuting 
  926. observables."  
  927.  
  928.     A well known example of noncommuting observables is position and
  929. momentum.  You can put a subatomic particle into a state of well-defined
  930. momentum, but then you cannot know where it is - it is, in fact, everywhere
  931. at once.  It's not just a matter of your inability to measure, but rather,
  932. an intrinsic property of the particle.  Conversely, you can put a particle
  933. in a definite position, but then its momentum is completely ill-defined.
  934. You can also create states of intermediate knowledge of both observables:
  935. If you confine the particle to some arbitrarily large region of space,
  936. you can define the momentum more and more precisely.  But you can never 
  937. know both, exactly, at the same time.
  938.  
  939.     Position and momentum are continuous observables.  But the same
  940. situation can arise for discrete observables such as spin.  The quantum
  941. mechanical spin of a particle along each of the three space axes is a set
  942. of mutually noncommuting observables.  You can only know the spin along one
  943. axis at a time.  A proton with spin "up" along the x-axis has undefined
  944. spin along the y and z axes.  You cannot simultaneously measure the x and y
  945. spin projections of a proton. EPR sought to demonstrate that this
  946. phenomenon could be exploited to construct an experiment which would
  947. demonstrate a paradox which they believed was inherent in the
  948. quantum-mechanical description of the world. 
  949.  
  950.     They imagined two physical systems that are allowed to interact
  951. initially so that they subsequently will be defined by a single Schrodinger
  952. wave equation (SWE).   [For simplicity, imagine a simple physical 
  953. realization of this idea - a neutral pion at rest in your lab, which decays
  954. into a pair of back-to-back photons.  The pair of photons is described
  955. by a single two-particle wave function.]  Once separated, the two systems
  956. [read: photons] are still described by the same SWE, and a measurement of 
  957. one observable of the first system will determine the measurement of the 
  958. corresponding observable of the second system.  [Example:  The neutral pion
  959. is a scalar particle - it has zero angular momentum.  So the two photons
  960. must speed off in opposite directions with opposite spin. If photon 1 
  961. is found to have spin up along the x-axis, then photon 2 *must* have spin
  962. down along the x-axis, since the total angular momentum of the final-state,
  963. two-photon, system must be the same as the angular momentum of the intial
  964. state, a single neutral pion.  You know the spin of photon 2 even without
  965. measuring it.] Likewise, the measurement of another observable of the first
  966. system will determine the measurement of the corresponding observable of the
  967. second system, even though the systems are no longer physically linked in
  968. the traditional sense of local coupling. 
  969.  
  970.     However, QM prohibits the simultaneous knowledge of more than one
  971. mutually noncommuting observable of either system.  The paradox of EPR is
  972. the following contradiction:  For our coupled systems, we can measure
  973. observable A of system I [for example, photon 1 has spin up along the
  974. x-axis; photon 2 must therefore have x-spin down.] and observable B of 
  975. system II [for example, photon 2 has spin down along the y-axis; therefore
  976. the y-spin of photon 1 must be up.] thereby revealing both observables for 
  977. both systems, contrary to QM.  
  978.  
  979.     QM dictates that this should be impossible, creating the
  980. paradoxical implication that measuring one system should "poison" any
  981. measurement of the other system, no matter what the distance between
  982. them. [In one commonly studied interpretation, the mechanism by which
  983. this proceeds is 'instantaneous collapse of the wavefunction'.  But
  984. the rules of QM do not require this interpretation, and several
  985. other perfectly valid interpretations exist.]  The second system
  986. would instantaneously be put into a state of well-defined observable A,
  987. and, consequently, ill-defined observable B, spoiling the measurement.
  988. Yet, one could imagine the two measurements were so far apart in
  989. space that special relativity would prohibit any influence of one
  990. measurement over the other.  [After the neutral-pion decay, we can wait until
  991. the two photons are a light-year apart, and then "simultaneously" measure
  992. the x-spin of photon 1 and the y-spin of photon 2.  QM suggests that if,
  993. for example, the measurement of the photon 1 x-spin happens first, this
  994. measurement must instantaneously force photon 2 into a state of ill-defined
  995. y-spin, even though it is light-years away from photon 1. 
  996.  
  997.     How do we reconcile the fact that photon 2 "knows" that the x-spin
  998. of photon 1 has been measured, even though they are separated by 
  999. light-years of space and far too little time has passed for information
  1000. to have travelled to it according to the rules of Special Relativity?  
  1001. There are basically two choices.  You can accept the postulates of QM
  1002. as a fact of life, in spite of its seemingly uncomfortable coexistence 
  1003. with special relativity, or you can postulate that QM is not complete, 
  1004. that there *was* more information available for the description of the 
  1005. two-particle system at the time it was created, carried away by both 
  1006. photons, and that you just didn't know it because QM does not properly 
  1007. account for it.  
  1008.  
  1009.     So, EPR postulated that the existence of hidden variables, some 
  1010. so-far unknown properties, of the systems should account for the discrepancy. 
  1011. Their claim was that QM theory is incomplete; it does not completely
  1012. describe the physical reality.  System II knows all about System I 
  1013. long before the scientist measures any of the observables, thereby
  1014. supposedly consigning the other noncommuting observables to obscurity.
  1015. No instantaneous action-at-a-distance is necessary in this picture, 
  1016. which postulates that each System has more parameters than are 
  1017. accounted by QM. Niels Bohr, one of the founders of QM, held the opposite 
  1018. view and defended a strict interpretation, the Copenhagen Interpretation, 
  1019. of QM. 
  1020.  
  1021.     In 1964 John S. Bell proposed a mechanism to test for the existence
  1022. of these hidden parameters, and he developed his inequality principle as
  1023. the basis for such a test. 
  1024.  
  1025.     Use the example of two photons configured in the singlet state,
  1026. consider this:  After separation, each photon will have spin values for
  1027. each of the three axes of space, and each spin can have one of two values;
  1028. call them up and down.  Call the axes A, B and C and call the spin in the A
  1029. axis A+ if it is up in that axis, otherwise call it A-.  Use similar
  1030. definitions for the other two axes. 
  1031.  
  1032.     Now perform the experiment.  Measure the spin in one axis of one
  1033. particle and the spin in another axis of the other photon.  If EPR were
  1034. correct, each photon will simultaneously have properties for spin in each
  1035. of axes A, B and C. 
  1036.  
  1037.     Look at the statistics.  Perform the measurements with a number of
  1038. sets of photons.  Use the symbol N(A+, B-) to designate the words "the
  1039. number of photons with A+ and B-."  Similarly for N(A+, B+), N(B-, C+),
  1040. etc.  Also use the designation N(A+, B-, C+) to mean "the number of photons
  1041. with A+, B- and C+," and so on.  It's easy to demonstrate that for a set of
  1042. photons 
  1043.  
  1044. (1)    N(A+, B-) = N(A+, B-, C+) + N(A+, B-, C-)
  1045.  
  1046. because all of the (A+, B-, C+) and all of the (A+, B-, C-) photons are
  1047. included in the designation (A+, B-), and nothing else is included in N(A+,
  1048. B-).  You can make this claim if these measurements are connected to some
  1049. real properties of the photons. 
  1050.  
  1051.     Let n[A+, B+] be the designation for "the number of measurements of
  1052. pairs of photons in which the first photon measured A+, and the second
  1053. photon measured B+."  Use a similar designation for the other possible
  1054. results.  This is necessary because this is all it is possible to measure. 
  1055. You can't measure both A and B of the same photon.  Bell demonstrated that
  1056. in an actual experiment, if (1) is true (indicating real properties), then
  1057. the following must be true: 
  1058.  
  1059. (2)    n[A+, B+] <= n[A+, C+] + n[B+, C-].
  1060.  
  1061.     Additional inequality relations can be written by just making the
  1062. appropriate permutations of the letters A, B and C and the two signs.  This
  1063. is Bell's inequality principle, and it is proved to be true if there are
  1064. real (perhaps hidden) parameters to account for the measurements. 
  1065.  
  1066.         At the time Bell's result first became known, the experimental
  1067. record was reviewed to see if any known results provided evidence against
  1068. locality. None did. Thus an effort began to develop tests of Bell's
  1069. inequality. A series of experiments was conducted by Aspect ending with one
  1070. in which polarizer angles were changed while the photons were `in flight'.
  1071. This was widely regarded at the time as being a reasonably conclusive
  1072. experiment confirming the predictions of QM. 
  1073.  
  1074.     Three years later Franson published a paper showing that the timing
  1075. constraints in this experiment were not adequate to confirm that locality
  1076. was violated. Aspect measured the time delays between detections of photon
  1077. pairs. The critical time delay is that between when a polarizer angle is
  1078. changed and when this affects the statistics of detecting photon pairs.
  1079. Aspect estimated this time based on the speed of a photon and the distance
  1080. between the polarizers and the detectors. Quantum mechanics does not allow
  1081. making assumptions about *where* a particle is between detections. We
  1082. cannot know *when* a particle traverses a polarizer unless we detect the
  1083. particle *at* the polarizer. 
  1084.  
  1085.     Experimental tests of Bell's inequality are ongoing but none has
  1086. yet fully addressed the issue raised by Franson. In addition there is an
  1087. issue of detector efficiency. By postulating new laws of physics one can
  1088. get the expected correlations without any nonlocal effects unless the
  1089. detectors are close to 90% efficient. The importance of these issues is a
  1090. matter of judgement. 
  1091.  
  1092.     The subject is alive theoretically as well.  In the 1970's 
  1093. Eberhard derived Bell's result without reference to local hidden variable 
  1094. theories; it applies to all local theories.  Eberhard also showed that the 
  1095. nonlocal effects that QM predicts cannot be used for superluminal 
  1096. communication.  The subject is not yet closed, and may yet provide more 
  1097. interesting insights into the subtleties of quantum mechanics.
  1098.  
  1099. REFERENCES:
  1100.  
  1101. 1.  A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen:  "Can quantum-mechanical 
  1102. description of physical reality be considered complete?"
  1103. Physical Review 41, 777 (15 May 1935).  (The original EPR paper)
  1104.  
  1105. 2.  D. Bohm:  Quantum Theory, Dover, New York (1957).  (Bohm
  1106. discusses some of his ideas concerning hidden variables.)
  1107.  
  1108. 3.  N. Herbert:  Quantum Reality, Doubleday.  (A very good
  1109. popular treatment of EPR and related issues)
  1110.  
  1111. 4.  M. Gardner: Science - Good, Bad and Bogus, Prometheus Books. 
  1112. (Martin Gardner gives a skeptics view of the fringe science
  1113. associated with EPR.)
  1114.  
  1115. 5.  J. Gribbin:  In Search of Schrodinger's Cat, Bantam Books. 
  1116. (A popular treatment of EPR and the paradox of "Schrodinger's
  1117. cat" that results from the Copenhagen interpretation)
  1118.  
  1119. 6.  N. Bohr:  "Can quantum-mechanical description of physical
  1120. reality be considered  complete?" Physical Review 48, 696 (15 Oct
  1121. 1935).  (Niels Bohr's response to EPR)
  1122.  
  1123. 7.  J. Bell:  "On the Einstein Podolsky Rosen paradox" Physics 1
  1124. #3, 195 (1964).
  1125.  
  1126. 8.  J. Bell:  "On the problem of hidden variables in quantum
  1127. mechanics" Reviews of  Modern Physics 38 #3, 447 (July 1966). 
  1128.  
  1129. 9.  D. Bohm, J. Bub:  "A proposed solution of the measurement
  1130. problem in quantum  mechanics by a hidden variable theory"
  1131. Reviews of Modern Physics 38  #3, 453 (July 1966).
  1132.  
  1133. 10.  B. DeWitt:  "Quantum mechanics and reality" Physics Today p.
  1134. 30 (Sept 1970).
  1135.  
  1136. 11.  J. Clauser, A. Shimony:  "Bell's theorem: experimental
  1137. tests and implications" Rep.  Prog. Phys. 41, 1881 (1978).
  1138.  
  1139. 12.  A. Aspect, Dalibard, Roger:  "Experimental test of Bell's
  1140. inequalities using time- varying analyzers" Physical Review
  1141. Letters 49 #25, 1804 (20 Dec 1982).
  1142.  
  1143. 13.  A. Aspect, P. Grangier, G. Roger:  "Experimental realization
  1144. of Einstein-Podolsky-Rosen-Bohm gedankenexperiment; a new
  1145. violation of Bell's inequalities" Physical  Review Letters 49
  1146. #2, 91 (12 July 1982).
  1147.  
  1148. 14.  A. Robinson: "Loophole closed in quantum mechanics test"
  1149. Science 219, 40 (7 Jan 1983).
  1150.  
  1151. 15.  B. d'Espagnat:  "The quantum theory and reality" Scientific
  1152. American 241 #5 (November 1979).
  1153.  
  1154. 16. "Bell's Theorem and Delayed Determinism", Franson, Physical Review D,
  1155. pgs. 2529-2532, Vol. 31, No. 10, May 1985.
  1156.  
  1157. 17. "Bell's Theorem without Hidden Variables", P. H. Eberhard, Il Nuovo 
  1158. Cimento, 38 B 1, pgs. 75-80, (1977).
  1159.  
  1160. 18. "Bell's Theorem and the Different Concepts of Locality", P. H. 
  1161. Eberhard, Il Nuovo Cimento 46 B, pgs. 392-419, (1978).
  1162.  
  1163. ********************************************************************************
  1164. Item 32.
  1165.  
  1166. Some Frequently Asked Questions About Virtual Particles 
  1167. -------------------------------------------------------
  1168.                                                        original By Matt McIrvin
  1169.  
  1170. Contents:
  1171.  
  1172.      1. What are virtual particles?
  1173.      2. How can they be responsible for attractive forces?
  1174.      3. Do they violate energy conservation?
  1175.      4. Do they go faster than light?  Do virtual particles contradict
  1176.         relativity or causality?
  1177.      5. I hear physicists saying that the "quantum of the gravitational
  1178.         force" is something called a graviton.  Doesn't general
  1179.         relativity say that gravity isn't a force at all?
  1180.  
  1181. 1. What are virtual particles?
  1182.  
  1183.     One of the first steps in the development of quantum mechanics was
  1184. Max Planck's idea that a harmonic oscillator (classically, anything that
  1185. wiggles like a mass bobbing on the end of an ideal spring) cannot have just
  1186. any energy.  Its possible energies come in a discrete set of equally spaced
  1187. levels. 
  1188.  
  1189.     An electromagnetic field wiggles in the same way when it possesses
  1190. waves.  Applying quantum mechanics to this oscillator reveals that it must
  1191. also have discrete, evenly spaced energy levels.  These energy levels are
  1192. what we usually identify as different numbers of photons. The higher the
  1193. energy level of a vibrational mode, the more photons there are.  In this
  1194. way, an electromagnetic wave acts as if it were made of particles.  The
  1195. electromagnetic field is a quantum field. 
  1196.  
  1197.     Electromagnetic fields can do things other than vibration.  For
  1198. instance, the electric field produces an attractive or repulsive force
  1199. between charged objects, which varies as the inverse square of distance. 
  1200. The force can change the momenta of the objects. 
  1201.  
  1202.     Can this be understood in terms of photons as well?  It turns out
  1203. that, in a sense, it can.  We can say that the particles exchange "virtual
  1204. photons" which carry the transferred momentum.  Here is a picture (a
  1205. "Feynman diagram") of the exchange of one virtual photon. 
  1206.  
  1207.                     \                /
  1208.                      \   <- p       / 
  1209.                       >~~~         /          ^ time
  1210.                      /    ~~~~    /           |
  1211.                     /         ~~~<            |
  1212.                    /              \            ---> space
  1213.                   /                \
  1214.  
  1215.     The lines on the left and right represent two charged particles,
  1216. and the wavy line (jagged because of the limitations of ASCII) is a virtual
  1217. photon, which transfers momentum from one to the other.  The particle that
  1218. emits the virtual photon loses momentum p in the recoil, and the other
  1219. particle gets the momentum. 
  1220.  
  1221.     This is a seemingly tidy explanation.  Forces don't happen because
  1222. of any sort of action at a distance, they happen because of virtual
  1223. particles that spew out of things and hit other things, knocking them
  1224. around.  However, this is misleading.  Virtual particles are really not
  1225. just like classical bullets. 
  1226.  
  1227. 2. How can they be responsible for attractive forces?
  1228.  
  1229.     The most obvious problem with a simple, classical picture of
  1230. virtual particles is that this sort of behavior can't possibly result in
  1231. attractive forces.  If I throw a ball at you, the recoil pushes me back;
  1232. when you catch the ball, you are pushed away from me.  How can this attract
  1233. us to each other?  The answer lies in Heisenberg's uncertainty principle. 
  1234.  
  1235.     Suppose that we are trying to calculate the probability (or,
  1236. actually, the probability amplitude) that some amount of momentum, p, gets
  1237. transferred between a couple of particles that are fairly well- localized. 
  1238. The uncertainty principle says that definite momentum is associated with a
  1239. huge uncertainty in position.  A virtual particle with momentum p
  1240. corresponds to a plane wave filling all of space, with no definite position
  1241. at all.  It doesn't matter which way the momentum points; that just
  1242. determines how the wavefronts are oriented.  Since the wave is everywhere,
  1243. the photon can be created by one particle and absorbed by the other, no
  1244. matter where they are.  If the momentum transferred by the wave points in
  1245. the direction from the receiving particle to the emitting one, the effect
  1246. is that of an attractive force. 
  1247.  
  1248.     The moral is that the lines in a Feynman diagram are not to be
  1249. interpreted literally as the paths of classical particles.  Usually, in
  1250. fact, this interpretation applies to an even lesser extent than in my
  1251. example, since in most Feynman diagrams the incoming and outgoing particles
  1252. are not very well localized; they're supposed to be plane waves too. 
  1253.  
  1254. 3. Do they violate energy conservation?
  1255.  
  1256.     We are really using the quantum-mechanical approximation method
  1257. known as perturbation theory.  In perturbation theory, systems can go
  1258. through intermediate "virtual states" that normally have energies different
  1259. >from that of the initial and final states.  This is because of another
  1260. uncertainty principle, which relates time and energy. 
  1261.  
  1262.     In the pictured example, we consider an intermediate state with a
  1263. virtual photon in it.  It isn't classically possible for a charged particle
  1264. to just emit a photon and remain unchanged (except for recoil) itself.  The
  1265. state with the photon in it has too much energy, assuming conservation of
  1266. momentum.  However, since the intermediate state lasts only a short time,
  1267. the state's energy becomes uncertain, and it can actually have the same
  1268. energy as the initial and final states.  This allows the system to pass
  1269. through this state with some probability without violating energy
  1270. conservation. 
  1271.  
  1272.     Some descriptions of this phenomenon instead say that the energy of
  1273. the *system* becomes uncertain for a short period of time, that energy is
  1274. somehow "borrowed" for a brief interval.  This is just another way of
  1275. talking about the same mathematics.  However, it obscures the fact that all
  1276. this talk of virtual states is just an approximation to quantum mechanics,
  1277. in which energy is conserved at all times.  The way I've described it also
  1278. corresponds to the usual way of talking about Feynman diagrams, in which
  1279. energy is conserved, but virtual particles can carry amounts of energy not
  1280. normally allowed by the laws of motion. 
  1281.  
  1282.     (General relativity creates a different set of problems for energy
  1283. conservation; that's described elsewhere in the sci.physics FAQ.)
  1284.  
  1285. 4. Do they go faster than light?  Do virtual particles contradict
  1286.    relativity or causality?
  1287.  
  1288.     In section 2, the virtual photon's plane wave is seemingly created
  1289. everywhere in space at once, and destroyed all at once.  Therefore, the
  1290. interaction can happen no matter how far the interacting particles are from
  1291. each other.  Quantum field theory is supposed to properly apply special
  1292. relativity to quantum mechanics.  Yet here we have something that, at least
  1293. at first glance, isn't supposed to be possible in special relativity: the
  1294. virtual photon can go from one interacting particle to the other faster
  1295. than light!  It turns out, if we sum up all possible momenta, that the
  1296. amplitude for transmission drops as the virtual particle's final position
  1297. gets further and further outside the light cone, but that's small
  1298. consolation.  This "superluminal" propagation had better not transmit any
  1299. information if we are to retain the principle of causality. 
  1300.  
  1301.     I'll give a plausibility argument that it doesn't in the context of
  1302. a thought experiment.  Let's try to send information faster than light with
  1303. a virtual particle. 
  1304.  
  1305.     Suppose that you and I make repeated measurements of a quantum
  1306. field at distant locations.  The electromagnetic field is sort of a
  1307. complicated thing, so I'll use the example of a field with just one
  1308. component, and call it F.  To make things even simpler, we'll assume that
  1309. there are no "charged" sources of the F field or real F particles
  1310. initially.  This means that our F measurements should fluctuate quantum-
  1311. mechanically around an average value of zero.  You measure F (really, an
  1312. average value of F over some small region) at one place, and I measure it a
  1313. little while later at a place far away.  We do this over and over, and wait
  1314. a long time between the repetitions, just to be safe. 
  1315.  
  1316.                                 .
  1317.                                 .
  1318.                                 .
  1319.                                    ------X
  1320.                              ------
  1321.                       X------
  1322.  
  1323.  
  1324.  
  1325.                                                      ^ time
  1326.                                    ------X me        |
  1327.                              ------                  |
  1328.                   you X------                         ---> space
  1329.  
  1330. After a large number of repeated field measurements we compare notes.
  1331. We discover that our results are not independent; the F values are
  1332. correlated with each other-- even though each individual set of
  1333. measurements just fluctuates around zero, the fluctuations are not
  1334. completely independent.  This is because of the propagation of virtual
  1335. quanta of the F field, represented by the diagonal lines.  It happens
  1336. even if the virtual particle has to go faster than light.
  1337.  
  1338.     However, this correlation transmits no information.  Neither of us
  1339. has any control over the results we get, and each set of results looks
  1340. completely random until we compare notes (this is just like the resolution
  1341. of the famous EPR "paradox"). 
  1342.  
  1343.     You can do things to fields other than measure them.  Might you
  1344. still be able to send a signal?  Suppose that you attempt, by some series
  1345. of actions, to send information to me by means of the virtual particle. If
  1346. we look at this from the perspective of someone moving to the right at a
  1347. high enough speed, special relativity says that in that reference frame,
  1348. the effect is going the other way: 
  1349.  
  1350.            .
  1351.             .
  1352.              .
  1353.  
  1354.           X------
  1355.                  ------
  1356.                        ------X
  1357.  
  1358.  
  1359.  
  1360.             you X------                        ^ time
  1361.                        ------                  |
  1362.                              ------X me        |
  1363.                                                 ---> space
  1364.  
  1365. Now it seems as if I'm affecting what happens to you rather than the
  1366. other way around.  (If the quanta of the F field are not the same as
  1367. their antiparticles, then the transmission of a virtual F particle
  1368. >from you to me now looks like the transmission of its antiparticle
  1369. >from me to you.)  If all this is to fit properly into special
  1370. relativity, then it shouldn't matter which of these processes "really"
  1371. happened; the two descriptions should be equally valid.
  1372.  
  1373.     We know that all of this was derived from quantum mechanics, using
  1374. perturbation theory.  In quantum mechanics, the future quantum state of a
  1375. system can be derived by applying the rules for time evolution to its
  1376. present quantum state.  No measurement I make when I "receive" the particle
  1377. can tell me whether you've "sent" it or not, because in one frame that
  1378. hasn't happened yet!  Since my present state must be derivable from past
  1379. events, if I have your message, I must have gotten it by other means.  The
  1380. virtual particle didn't "transmit" any information that I didn't have
  1381. already; it is useless as a means of faster-than-light communication. 
  1382.  
  1383.     The order of events does *not* vary in different frames if the
  1384. transmission is at the speed of light or slower.  Then, the use of virtual
  1385. particles as a communication channel is completely consistent with quantum
  1386. mechanics and relativity.  That's fortunate: since all particle
  1387. interactions occur over a finite time interval, in a sense *all* particles
  1388. are virtual to some extent. 
  1389.  
  1390. 5. I hear physicists saying that the "quantum of the gravitational
  1391.    force" is something called a graviton.  Doesn't general relativity
  1392.    say that gravity isn't a force at all?
  1393.  
  1394.     You don't have to accept that gravity is a "force" in order to
  1395. believe that gravitons might exist.  According to QM, anything that behaves
  1396. like a harmonic oscillator has discrete energy levels, as I said in part 1.
  1397.  General relativity allows gravitational waves, ripples in the geometry of
  1398. spacetime which travel at the speed of light.  Under a certain definition
  1399. of gravitational energy (a tricky subject), the wave can be said to carry
  1400. energy.  If QM is ever successfully applied to GR, it seems sensible to
  1401. expect that these oscillations will also possess discrete "gravitational
  1402. energies," corresponding to different numbers of gravitons. 
  1403.     
  1404.     Quantum gravity is not yet a complete, established theory, so
  1405. gravitons are still speculative.  It is also unlikely that individual
  1406. gravitons will be detected anytime in the near future. 
  1407.  
  1408.     Furthermore, it is not at all clear that it will be useful to think
  1409. of gravitational "forces," such as the one that sticks you to the earth's
  1410. surface, as mediated by virtual gravitons.  The notion of virtual particles
  1411. mediating static forces comes from perturbation theory, and if there is one
  1412. thing we know about quantum gravity, it's that the usual way of doing
  1413. perturbation theory doesn't work. 
  1414.  
  1415.     Quantum field theory is plagued with infinities, which show up in
  1416. diagrams in which virtual particles go in closed loops.  Normally these
  1417. infinities can be gotten rid of by "renormalization," in which infinite
  1418. "counterterms" cancel the infinite parts of the diagrams, leaving finite
  1419. results for experimentally observable quantities. Renormalization works for
  1420. QED and the other field theories used to describe particle interactions,
  1421. but it fails when applied to gravity. Graviton loops generate an infinite
  1422. family of counterterms.  The theory ends up with an infinite number of free
  1423. parameters, and it's no theory at all.  Other approaches to quantum gravity
  1424. are needed, and they might not describe static fields with virtual
  1425. gravitons. 
  1426.  
  1427. ********************************************************************************
  1428. END OF FAQ
  1429.  
  1430.