home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ ftp.pasteur.org/FAQ/ / ftp-pasteur-org-FAQ.zip / FAQ / physics-faq / part2 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1995-10-14  |  73.2 KB

  1. Path: senator-bedfellow.mit.edu!bloom-beacon.mit.edu!paperboy.osf.org!mogul.osf.org!columbus
  2. From: columbus@osf.org
  3. Newsgroups: sci.physics,sci.physics.research,sci.physics.cond-matter,sci.physics.particle,alt.sci.physics.new-theories,sci.answers,alt.answers,news.answers
  4. Subject: sci.physics Frequently Asked Questions (Part 2 of 4)
  5. Supersedes: <physics-faq-2-812040883@osf.org>
  6. Followup-To: sci.physics
  7. Date: 13 Oct 1995 14:40:54 GMT
  8. Organization: Open Software Foundation
  9. Lines: 1355
  10. Approved: news-answers-request@MIT.EDU
  11. Distribution: world
  12. Expires: 17-Nov 1995
  13. Message-ID: <physics-faq-2-813595189@osf.org>
  14. References: <physics-faq-1-813595189@osf.org>
  15. Reply-To: columbus@osf.org (Michael Weiss)
  16. NNTP-Posting-Host: mogul.osf.org
  17. Summary: This posting contains a list of Frequently Asked Questions 
  18.     (and their answers) about physics, and should be read by anyone who 
  19.     wishes to post to the sci.physics.* newsgroups.
  20. Keywords: Sci.physics FAQ
  21. X-Posting-Frequency: posted monthly
  22. Originator: columbus@mogul.osf.org
  23. Xref: senator-bedfellow.mit.edu sci.physics:147071 sci.physics.research:3041 sci.physics.cond-matter:556 sci.physics.particle:5896 alt.sci.physics.new-theories:21139 sci.answers:3264 alt.answers:12765 news.answers:55202
  24.  
  25. Posted-By: auto-faq 3.1.1.2
  26. Archive-name: physics-faq/part2
  27.  
  28. --------------------------------------------------------------------------------
  29.                FREQUENTLY ASKED QUESTIONS ON SCI.PHYSICS - Part 2/4
  30. --------------------------------------------------------------------------------
  31. Item 6.
  32.  
  33. Gravitational Radiation                         updated 20-May-1992 by SIC
  34. -----------------------                         original by Scott I. Chase
  35.  
  36.     Gravitational Radiation is to gravity what light is to
  37. electromagnetism. It is produced when massive bodies accelerate.  You can
  38. accelerate any body so as to produce such radiation, but due to the feeble
  39. strength of gravity, it is entirely undetectable except when produced by
  40. intense astrophysical sources such as supernovae, collisions of black
  41. holes, etc.  These are quite far from us, typically, but they are so
  42. intense that they dwarf all possible laboratory sources of such radiation. 
  43.  
  44.     Gravitational waves have a polarization pattern that causes objects
  45. to expand in one direction, while contracting in the perpendicular
  46. direction. That is, they have spin two.  This is because gravity waves are
  47. fluctuations in the tensorial metric of space-time. 
  48.  
  49.     All oscillating radiation fields can be quantized, and in the case
  50. of gravity,  the intermediate boson is called the "graviton" in analogy
  51. with the photon. But quantum gravity is hard, for several reasons: 
  52.         (1) The quantum field theory of gravity is hard, because gauge 
  53. interactions of spin-two fields are not renormalizable.  See Cheng and Li,
  54. Gauge Theory of Elementary Particle Physics (search for "power counting").
  55.         (2) There are conceptual problems - what does it mean to quantize
  56. geometry, or space-time?
  57.  
  58.     It is possible to quantize weak fluctuations in the gravitational
  59. field.  This gives rise to the spin-2 graviton.  But full quantum gravity
  60. has so far escaped formulation.  It is not likely to look much like the
  61. other quantum field theories.  In addition, there are models of gravity
  62. which include additional bosons with different spins.  Some are the
  63. consequence of non-Einsteinian models, such as Brans-Dicke which has a
  64. spin-0 component. Others are included by hand, to give "fifth force"
  65. components to gravity. For example, if you want to add a weak repulsive
  66. short range component, you will need a massive spin-1 boson.  (Even-spin
  67. bosons always attract.  Odd-spin bosons can attract or repel.)  If
  68. antigravity is real, then this has implications for the boson spectrum as
  69. well. 
  70.  
  71.     The spin-two polarization provides the method of detection.  Most
  72. experiments to date use a "Weber bar."  This is a cylindrical, very
  73. massive, bar suspended  by fine wire, free to oscillate in response to a
  74. passing graviton.   A high-sensitivity, low noise, capacitive transducer
  75. can turn the oscillations of the bar into an electric signal for analysis. 
  76. So far such searches have failed.  But they are expected to be
  77. insufficiently sensitive for typical  radiation intensity from known types
  78. of sources. 
  79.  
  80.     A more sensitive technique uses very long baseline laser
  81. interferometry.  This is the principle of LIGO (Laser Interferometric
  82. Gravity wave Observatory).  This is a two-armed detector, with
  83. perpendicular laser beams each travelling several km before meeting to
  84. produce an interference pattern which fluctuates if a gravity wave distorts
  85. the geometry of the detector.  To eliminate noise from seismic effects as
  86. well as human noise sources, two detectors separated by hundreds to
  87. thousands of miles are necessary.  A coincidence measurement then provides
  88. evidence of gravitational radiation.  In order to determine the source of
  89. the signal, a third detector, far from either of the first two, would be
  90. necessary.  Timing differences in the arrival of the signal to the three
  91. detectors would allow triangulation of the angular position in the sky of
  92. the signal. 
  93.  
  94.     The first stage of LIGO, a two detector setup in the U.S., has been
  95. approved by Congress in 1992.  LIGO researchers have started designing a
  96. prototype detector, and are hoping to enroll another nation, probably in
  97. Europe, to fund and be host to the third detector. 
  98.  
  99.     The speed of gravitational radiation (C_gw) depends upon the
  100. specific model of Gravitation that you use.  There are quite a few
  101. competing models (all consistent with all experiments to date) including of
  102. course Einstein's but also Brans-Dicke and several families of others.  
  103. All metric models can support gravity waves.  But not all predict radiation
  104. travelling at C_gw = C_em.  (C_em is the speed of electromagnetic waves.)
  105.  
  106.     There is a class of theories with "prior geometry", in which, as I
  107. understand it, there is an additional metric which does not depend only on
  108. the local matter density.  In such theories, C_gw != C_em in general. 
  109.  
  110.     However, there is good evidence that C_gw is in fact at least
  111. almost C_em. We observe high energy cosmic rays in the 10^20-10^21 eV
  112. region.  Such particles are travelling at up to (1-10^-18)*C_em.  If C_gw <
  113. C_em, then particles with C_gw < v < C_em will radiate Cerenkov
  114. gravitational radiation into the vacuum, and decelerate from the back
  115. reaction.  So evidence of these very fast cosmic rays is good evidence that
  116. C_gw >= (1-10^-18)*C_em, very close indeed to C_em.  Bottom line: in a
  117. purely Einsteinian universe, C_gw = C_em. However, a class of models not
  118. yet ruled out experimentally does make other predictions.  
  119.  
  120.     A definitive test would be produced by LIGO in coincidence with
  121. optical measurements of some catastrophic event which generates enough
  122. gravitational radiation to be detected.  Then the "time of flight" of both
  123. gravitons and photons from the source to the Earth could be measured, and
  124. strict direct limits could be set on C_gw. 
  125.  
  126.     For more information, see Gravitational Radiation (NATO ASI - 
  127. Les Houches 1982), specifically the introductory essay by Kip Thorne.
  128.  
  129. ********************************************************************************
  130. Item 7.
  131.  
  132. IS ENERGY CONSERVED IN GENERAL RELATIVITY?            original by Michael Weiss
  133. ------------------------------------------                    and John Baez
  134.     
  135.     In special cases, yes.  In general--- it depends on what you mean
  136. by "energy", and what you mean by "conserved". 
  137.  
  138.     In flat spacetime (the backdrop for special relativity) you can
  139. phrase energy conservation in two ways: as a differential equation, or as
  140. an equation involving integrals (gory details below).  The two formulations
  141. are mathematically equivalent.  But when you try to generalize this to
  142. curved spacetimes (the arena for general relativity) this equivalence
  143. breaks down.  The differential form extends with nary a hiccup; not so the
  144. integral form. 
  145.     
  146.     The differential form says, loosely speaking, that no energy is
  147. created in any infinitesimal piece of spacetime.  The integral form says
  148. the same for a finite-sized piece.  (This may remind you of the
  149. "divergence" and "flux" forms of Gauss's law in electrostatics, or the
  150. equation of continuity in fluid dynamics.  Hold on to that thought!) 
  151.  
  152.     An infinitesimal piece of spacetime "looks flat", while the effects
  153. of curvature become evident in a finite piece.  (The same holds for curved
  154. surfaces in space, of course).  GR relates curvature to gravity.  Now, even
  155. in Newtonian physics, you must include gravitational potential energy to
  156. get energy conservation.  And GR introduces the new phenomenon of
  157. gravitational waves; perhaps these carry energy as well?  Perhaps we need
  158. to include gravitational energy in some fashion, to arrive at a law of
  159. energy conservation for finite pieces of spacetime? 
  160.  
  161.     Casting about for a mathematical expression of these ideas,
  162. physicists came up with something called an energy pseudo-tensor. (In fact,
  163. several of 'em!)  Now, GR takes pride in treating all coordinate systems
  164. equally.  Mathematicians invented tensors precisely to meet this sort of
  165. demand--- if a tensor equation holds in one coordinate system, it holds in
  166. all.  Pseudo-tensors are not tensors (surprise!), and this alone raises
  167. eyebrows in some circles. In GR, one must always guard against mistaking
  168. artifacts of a particular coordinate system for real physical effects. 
  169. (See the FAQ entry on black holes for some examples.) 
  170.  
  171.     These pseudo-tensors have some rather strange properties.  If you
  172. choose the "wrong" coordinates, they are non-zero even in flat empty
  173. spacetime.  By another choice of coordinates, they can be made zero at any
  174. chosen point, even in a spacetime full of gravitational radiation.  For
  175. these reasons, most physicists who work in general relativity do not
  176. believe the pseudo-tensors give a good *local* definition of energy
  177. density, although their integrals are sometimes useful as a measure of
  178. total energy. 
  179.  
  180.     One other complaint about the pseudo-tensors deserves mention. 
  181. Einstein argued that all energy has mass, and all mass acts
  182. gravitationally.  Does "gravitational energy" itself act as a source of
  183. gravity?  Now, the Einstein field equations are 
  184.  
  185.             G_{mu,nu} = 8pi T_{mu,nu}
  186.  
  187.     Here G_{mu,nu} is the Einstein curvature tensor, which encodes
  188. information about the curvature of spacetime, and T_{mu,nu} is the
  189. so-called stress-energy tensor, which we will meet again below.  T_{mu,nu}
  190. represents the energy due to matter and electromagnetic fields, but
  191. includes NO contribution from "gravitational energy".  So one can argue
  192. that "gravitational energy" does NOT act as a source of gravity.  On the
  193. other hand, the Einstein field equations are non-linear; this implies that
  194. gravitational waves interact with each other (unlike light waves in
  195. Maxwell's (linear) theory).  So one can argue that "gravitational energy"
  196. IS a source of gravity. 
  197.  
  198.     In certain special cases, energy conservation works out with fewer
  199. caveats. The two main examples are static spacetimes and asymptotically
  200. flat spacetimes. 
  201.  
  202.     Let's look at four examples before plunging deeper into the math.
  203. Three examples involve redshift, the other, gravitational radiation. 
  204.  
  205. (1) Very fast objects emitting light.
  206.  
  207.     According to *special* relativity, you will see light coming from a
  208. receding object as redshifted.  So if you, and someone moving with the
  209. source, both measure the light's energy, you'll get different answers. 
  210. Note that this has nothing to do with energy conservation per se.  Even in
  211. Newtonian physics, kinetic energy (mv^2/2) depends on the choice of
  212. reference frame.  However, relativity serves up a new twist.  In Newtonian
  213. physics, energy conservation and momentum conservation are two separate
  214. laws.  Special relativity welds them into one law, the conservation of the
  215. *energy-momentum 4-vector*.  To learn the whole scoop on 4-vectors, read a
  216. text on SR, for example Taylor and Wheeler (see refs.)  For our purposes,
  217. it's enough to remark that 4-vectors are vectors in spacetime, which most
  218. people privately picture just like ordinary vectors (unless they have
  219. *very* active imaginations). 
  220.  
  221. (2) Very massive objects emitting light.
  222.  
  223.     Light from the Sun appears redshifted to an Earthbound astronomer. 
  224. In quasi-Newtonian terms, we might say that light loses kinetic energy as
  225. it climbs out of the gravitational well of the Sun, but gains potential
  226. energy.  General relativity looks at it differently.  In GR, gravity is
  227. described not by a "potential" but by the "metric" of spacetime.  But "no
  228. problem", as the saying goes.  The Schwarzschild metric describes spacetime
  229. around a massive object, if the object is spherically symmetrical,
  230. uncharged, and "alone in the universe".  The Schwarzschild metric is both
  231. static and asymptotically flat, and energy conservation holds without major
  232. pitfalls.  For further details, consult MTW, chapter 25. 
  233.  
  234. (3) Gravitational waves.
  235.  
  236.     A binary pulsar emits gravitational waves, according to GR, and one
  237. expects (innocent word!) that these waves will carry away energy.  So its
  238. orbital period should change.  Einstein derived a formula for the rate of
  239. change (known as the quadrapole formula), and in the centenary of
  240. Einstein's birth, Russell Hulse and Joseph Taylor reported that the binary
  241. pulsar PSR1913+16 bore out Einstein's predictions within a few percent. 
  242. Hulse and Taylor were awarded the Nobel prize in 1993. 
  243.  
  244.     Despite this success, Einstein's formula remained controversial for
  245. many years, partly because of the subtleties surrounding energy
  246. conservation in GR.  The need to understand this situation better has kept
  247. GR theoreticians busy over the last few years.  Einstein's formula now
  248. seems well-established, both theoretically and observationally. 
  249.  
  250. (4) Expansion of the universe leading to cosmological redshift.
  251.  
  252.     The Cosmic Background Radiation (CBR) has red-shifted over billions
  253. of years.  Each photon gets redder and redder.  What happens to this
  254. energy? Cosmologists model the expanding universe with
  255. Friedmann-Robertson-Walker (FRW) spacetimes.  (The familiar "expanding
  256. balloon speckled with galaxies" belongs to this class of models.)  The FRW
  257. spacetimes are neither static nor asymptotically flat.  Those who harbor no
  258. qualms about pseudo-tensors will say that radiant energy becomes
  259. gravitational energy.  Others will say that the energy is simply lost. 
  260.  
  261.     It's time to look at mathematical fine points.  There are many to
  262. choose from!  The definition of asymptotically flat, for example, calls for
  263. some care (see Stewart); one worries about "boundary conditions at
  264. infinity".  (In fact, both spatial infinity and "null infinity" clamor for
  265. attention--- leading to different kinds of total energy.)  The static case
  266. has close connections with Noether's theorem (see Goldstein or Arnold).  If
  267. the catch-phrase "time translation symmetry implies conservation of energy"
  268. rings a bell (perhaps from quantum mechanics), then you're on the right
  269. track. (Check out "Killing vector" in the index of MTW, Wald, or Sachs and
  270. Wu.) 
  271.  
  272.     But two issues call for more discussion.  Why does the equivalence
  273. between the two forms of energy conservation break down?  How do the
  274. pseudo-tensors slide around this difficulty? 
  275.  
  276.     We've seen already that we should be talking about the
  277. energy-momentum 4-vector, not just its time-like component (the energy). 
  278. Let's consider first the case of flat Minkowski spacetime.  Recall that the
  279. notion of "inertial frame" corresponds to a special kind of coordinate
  280. system (Minkowskian coordinates). 
  281.  
  282.     Pick an inertial reference frame.  Pick a volume V in this frame,
  283. and pick two times t=t_0 and t=t_1.  One formulation of energy-momentum
  284. conservation says that the energy-momentum inside V changes only because of
  285. energy-momentum flowing across the boundary surface (call it S).  It is
  286. "conceptually difficult, mathematically easy" to define a quantity T so
  287. that the captions on the Equation 1 (below) are correct.  (The quoted
  288. phrase comes from Sachs and Wu.) 
  289.  
  290.   Equation 1:  (valid in flat Minkowski spacetime, when Minkowskian
  291.                 coordinates are used) 
  292.  
  293.                                                t=t_1
  294.        /                  /                    /
  295.        |                  |                    |
  296.        | T dV     -       | T dV       =       | T dt dS
  297.        /                  /                    /
  298.       V,t=t_0           V,t=t_1               t=t_0
  299.  
  300.    p contained       p contained            p flowing out through
  301.    in volume V    -  in volume V       =    boundary S of V
  302.    at time t_0       at time t_1            during t=t_0 to t=t_1
  303.  
  304.    (Note: p = energy-momentum 4-vector)
  305.  
  306. T is called the stress-energy tensor.  You don't need to know what
  307. that means! ---just that you can integrate T, as shown, to get
  308. 4-vectors.  Equation 1 may remind you of Gauss's theorem, which deals
  309. with flux across a boundary.  If you look at Equation 1 in the right
  310. 4-dimensional frame of mind, you'll discover it really says that the
  311. flux across the boundary of a certain 4-dimensional hypervolume is
  312. zero.  (The hypervolume is swept out by V during the interval t=t_0
  313. to t=t_1.)  MTW, chapter 7, explains this with pictures galore.  (See
  314. also Wheeler.)
  315.  
  316.     A 4-dimensional analogue to Gauss's theorem shows that Equation 1
  317. is equivalent to: 
  318.  
  319.   Equation 2:  (valid in flat Minkowski spacetime, with Minkowskian
  320.                 coordinates)
  321.  
  322.        coord_div(T) = sum_mu (partial T/partial x_mu) = 0
  323.  
  324. We write "coord_div" for the divergence, for we will meet another
  325. divergence in a moment.  Proof?  Quite similar to Gauss's theorem: if
  326. the divergence is zero throughout the hypervolume, then the flux
  327. across the boundary must also be zero.  On the other hand, the flux
  328. out of an infinitesimally small hypervolume turns out to be the
  329. divergence times the measure of the hypervolume.
  330.  
  331.     Pass now to the general case of any spacetime satisfying Einstein's
  332. field equation.  It is easy to generalize the differential form of
  333. energy-momentum conservation, Equation 2: 
  334.  
  335.   Equation 3:  (valid in any GR spacetime)
  336.  
  337.         covariant_div(T) = sum_mu nabla_mu(T) = 0    
  338.  
  339.                     (where nabla_mu = covariant derivative)
  340.  
  341. (Side comment: Equation 3 is the correct generalization of Equation 1 for
  342. SR when non-Minkowskian coordinates are used.)
  343.  
  344.     GR relies heavily on the covariant derivative, because the
  345. covariant derivative of a tensor is a tensor, and as we've seen, GR loves
  346. tensors.  Equation 3 follows from Einstein's field equation (because
  347. something called Bianchi's identity says that covariant_div(G)=0). But
  348. Equation 3 is no longer equivalent to Equation 1! 
  349.  
  350.     Why not?  Well, the familiar form of Gauss's theorem (from
  351. electrostatics) holds for any spacetime, because essentially you are
  352. summing fluxes over a partition of the volume into infinitesimally small
  353. pieces.  The sum over the faces of one infinitesimal piece is a divergence.
  354.  But the total contribution from an interior face is zero, since what flows
  355. out of one piece flows into its neighbor.  So the integral of the
  356. divergence over the volume equals the flux through the boundary.  "QED". 
  357.  
  358.     But for the equivalence of Equations 1 and 3, we would need an
  359. extension of Gauss's theorem.  Now the flux through a face is not a scalar,
  360. but a vector (the flux of energy-momentum through the face). The argument
  361. just sketched involves adding these vectors, which are defined at different
  362. points in spacetime.  Such "remote vector comparison" runs into trouble
  363. precisely for curved spacetimes. 
  364.  
  365.     The mathematician Levi-Civita invented the standard solution to
  366. this problem, and dubbed it "parallel transport".  It's easy to picture
  367. parallel transport: just move the vector along a path, keeping its
  368. direction "as constant as possible".  (Naturally, some non-trivial
  369. mathematics lurks behind the phrase in quotation marks.  But even
  370. pop-science expositions of GR do a good job explaining parallel transport.)
  371.  The parallel transport of a vector depends on the transportation path; for
  372. the canonical example, imagine parallel transporting a vector on a sphere. 
  373. But parallel transportation over an "infinitesimal distance" suffers no
  374. such ambiguity. (It's not hard to see the connection with curvature.) 
  375.  
  376.     To compute a divergence, we need to compare quantities (here
  377. vectors) on opposite faces.  Using parallel transport for this leads to the
  378. covariant divergence.  This is well-defined, because we're dealing with an
  379. infinitesimal hypervolume.  But to add up fluxes all over a finite-sized
  380. hypervolume (as in the contemplated extension of Gauss's theorem) runs
  381. smack into the dependence on transportation path. So the flux integral is
  382. not well-defined, and we have no analogue for Gauss's theorem. 
  383.  
  384.     One way to get round this is to pick one coordinate system, and
  385. transport vectors so their *components* stay constant.  Partial derivatives
  386. replace covariant derivatives, and Gauss's theorem is restored.  The energy
  387. pseudo-tensors take this approach (at least some of them do).  If you can
  388. mangle Equation 3 (covariant_div(T) = 0) into the form: 
  389.  
  390.        coord_div(Theta) = 0
  391.  
  392. then you can get an "energy conservation law" in integral form.
  393. Einstein was the first to do this; Dirac, Landau and Lifshitz, and
  394. Weinberg all came up with variations on this theme.  We've said
  395. enough already on the pros and cons of this approach.
  396.  
  397.     We will not delve into definitions of energy in general relativity
  398. such as the Hamiltonian (amusingly, the energy of a closed universe always
  399. works out to zero according to this definition), various kinds of energy
  400. one hopes to obtain by "deparametrizing" Einstein's equations, or
  401. "quasilocal energy".  There's quite a bit to say about this sort of thing! 
  402. Indeed, the issue of energy in general relativity has a lot to do with the
  403. notorious "problem of time" in quantum gravity.... but that's another can
  404. of worms. 
  405.  
  406. References (vaguely in order of difficulty):
  407.  
  408.   Clifford Will, "The renaissance of general relativity", in "The New
  409.     Physics" (ed. Paul Davies) gives a semi-technical discussion of the
  410.     controversy over gravitational radiation.
  411.   Wheeler, "A Journey into Gravity and Spacetime".  Wheeler's try at
  412.     a "pop-science" treatment of GR.  Chapters 6 and 7 are a
  413.     tour-de-force: Wheeler tries for a non-technical explanation of
  414.     Cartan's formulation of Einstein's field equation.  It might be
  415.     easier just to read MTW!)
  416.   Taylor and Wheeler, "Spacetime Physics".
  417.   Goldstein, "Classical Mechanics".
  418.   Arnold, "Mathematical Methods in Classical Mechanics".
  419.   Misner, Thorne, and Wheeler (MTW), "Gravitation", chapters 7, 20,
  420.     and 25 
  421.   Wald, "General Relativity", Appendix E.  This has the Hamiltonian
  422.      formalism and a bit about deparametrizing, and chapter 11
  423.      discusses energy in asymptotically flat spacetimes.
  424.   H. A. Buchdahl, "Seventeen Simple Lectures on General Relativity Theory"
  425.     Lecture 15 derives the energy-loss formula for the binary star, and
  426.     criticizes the derivation.
  427.   Sachs and Wu, "General Relativity for Mathematicians", chapter 3
  428.   John Stewart, "Advanced General Relativity".  Chapter 3 ("Asymptopia")
  429.     shows just how careful one has to be in asymptotically flat spacetimes
  430.     to recover energy conservation.  Stewart also discusses the Bondi-Sachs
  431.     mass, another contender for "energy".
  432.   Damour, in "300 Years of Gravitation" (ed. Hawking and Israel). Damour
  433.     heads the "Paris group", which has been active in the theory of
  434.     gravitational radiation.
  435.   Penrose and Rindler, "Spinors and Spacetime", vol II, chapter 9.  The
  436.     Bondi-Sachs mass generalized.
  437.   J. David Brown and James York Jr., "Quasilocal energy in general
  438.     relativity", in "Mathematical Aspects of Classical Field Theory".
  439.  
  440. ********************************************************************************
  441. Item 8.
  442.  
  443. Olbers' Paradox                                updated: 24-JAN-1993 by SIC
  444. ---------------                                original by Scott I. Chase
  445.  
  446.     Why isn't the night sky as uniformly bright as the surface of the
  447. Sun? If the Universe has infinitely many stars, then it should be.  After
  448. all, if you move the Sun twice as far away from us, we will intercept
  449. one-fourth as many  photons, but the Sun will subtend one-fourth of the
  450. angular area.  So the areal intensity remains constant.  With infinitely
  451. many stars, every angular element of the sky should have a star, and the
  452. entire heavens should be as bright as the sun.  We should have the
  453. impression that we live in the center of a hollow black body whose
  454. temperature is about 6000 degrees Centigrade.   This is Olbers' paradox.  
  455. It can be traced as far back as Kepler in 1610.  It was rediscussed by 
  456. Halley and Cheseaux in the eighteen century, but was not popularized as 
  457. a paradox until Olbers took up the issue in the nineteenth century.
  458.  
  459.     There are many possible explanations which have been considered. 
  460. Here are a few: 
  461.         (1) There's too much dust to see the distant stars.
  462.         (2) The Universe has only a finite number of stars.
  463.         (3) The distribution of stars is not uniform.  So, for example,
  464.             there could be an infinity of stars, but they hide behind one
  465.             another so that only a finite angular area is subtended by them. 
  466.         (4) The Universe is expanding, so distant stars are red-shifted into
  467.             obscurity.
  468.         (5) The Universe is young.  Distant light hasn't even reached us yet.
  469.  
  470.     The first explanation is just plain wrong.  In a black body, the
  471. dust will  heat up too.  It does act like a radiation shield, exponentially
  472. damping the  distant starlight.  But you can't put enough dust into the
  473. universe to get rid of enough starlight without also obscuring our own Sun.
  474. So this idea is bad. 
  475.  
  476.     The premise of the second explanation may technically be correct.
  477. But the number of stars, finite as it might be, is still large enough to 
  478. light up the entire sky, i.e., the total amount of luminous matter  in the 
  479. Universe is too large to allow this escape.  The number of stars is close 
  480. enough to infinite for the purpose of lighting up the sky.  The third 
  481. explanation might be partially correct.  We just don't know.  If the stars 
  482. are distributed fractally, then there could be large patches of empty space, 
  483. and the sky could appear dark except in small areas. 
  484.  
  485.     But the final two possibilities are are surely each correct and
  486. partly responsible.  There are numerical arguments that suggest that the
  487. effect of the finite age of the Universe is the larger effect.  We live
  488. inside a spherical shell of "Observable Universe" which has radius equal to
  489. the lifetime of the Universe.  Objects more than about 15 billion years
  490. old are too far away for their light ever to reach us. 
  491.  
  492.     Historically, after Hubble discovered that the Universe was
  493. expanding, but before the Big Bang was firmly established by the discovery
  494. of the cosmic background radiation, Olbers' paradox was presented as proof
  495. of special relativity.  You needed the red-shift (an SR effect) to get rid
  496. of the starlight.  This effect certainly contributes.  But the finite age
  497. of the Universe is the most important effect. 
  498.  
  499. References:  Ap. J. _367_, 399 (1991). The author, Paul Wesson, is said to
  500. be on a personal crusade to end the confusion surrounding Olbers' paradox. 
  501.  
  502. _Darkness at Night: A Riddle of the Universe_, Edward Harrison, Harvard
  503. University Press, 1987
  504.  
  505. ********************************************************************************
  506. Item 9.
  507.  
  508. What is Dark Matter?                            updated 11-MAY-1993 by SIC
  509. --------------------                            original by Scott I. Chase
  510.  
  511.     The story of dark matter is best divided into two parts.  First we
  512. have the reasons that we know that it exists.  Second is the collection of
  513. possible explanations as to what it is. 
  514.  
  515. Why the Universe Needs Dark Matter
  516. ----------------------------------
  517.  
  518.     We believe that that the Universe is critically balanced between
  519. being open and closed.  We derive this fact from the observation of the
  520. large scale structure of the Universe.  It requires a certain amount of
  521. matter to accomplish this result.  Call it M. 
  522.  
  523.     We can estimate the total BARYONIC matter of the universe by
  524. studying Big Bang nucleosynthesis.  This is done by connecting the observed
  525. He/H ratio of the Universe today to the amount of baryonic matter present
  526. during the early hot phase when most of the helium was produced.  Once the 
  527. temperature of the Universe dropped below the neutron-proton mass difference, 
  528. neutrons began decaying into protons.  If the early baryon density was low, 
  529. then it was hard for a proton to find a neutron with which to make helium 
  530. before too many of the neutrons decayed away to account for the amount of 
  531. helium we see today.  So by measuring the He/H ratio today, we can estimate 
  532. the necessary baryon density shortly after the Big Bang, and, consequently, 
  533. the total number of baryons today.  It turns out that you need about 0.05 M 
  534. total baryonic matter to account for the known ratio of light isotopes.  So 
  535. only 1/20 of the total mass of the Universe is baryonic matter.
  536.  
  537.     Unfortunately, the best estimates of the total mass of everything
  538. that we can see with our telescopes is roughly 0.01 M.  Where is the other
  539. 99% of the stuff of the Universe?  Dark Matter!
  540.  
  541.     So there are two conclusions.  We only see 0.01 M out of 0.05 M 
  542. baryonic matter in the Universe.  The rest must be in baryonic dark matter
  543. halos surrounding galaxies.  And there must be some non-baryonic dark matter 
  544. to account for the remaining 95% of the matter required to give omega, the 
  545. mass of the Universe, in units of critical mass, equal to unity. 
  546.  
  547.     For those who distrust the conventional Big Bang models, and don't
  548. want to rely upon fancy cosmology to derive the presence of dark matter,
  549. there are other more direct means.   It has been observed in clusters of
  550. galaxies that the motion of galaxies within a cluster suggests that they
  551. are bound by a total gravitational force due to about 5-10 times as much
  552. matter as can be accounted for from luminous matter in said galaxies.  And 
  553. within an individual galaxy, you can measure the rate of rotation of the
  554. stars about the galactic center of rotation.  The resultant "rotation
  555. curve" is simply related to the distribution of matter in the galaxy.  The
  556. outer stars in galaxies seem to rotate too fast for the amount of matter
  557. that we see in the galaxy.  Again, we need about 5 times more matter than
  558. we can see via electromagnetic radiation.  These results can be explained
  559. by assuming that there is a "dark matter halo" surrounding every galaxy. 
  560.  
  561. What is Dark Matter
  562. -------------------
  563.  
  564.     This is the open question.  There are many possibilities, and
  565. nobody really knows much about this yet.  Here are a few of the many
  566. published suggestions, which are being currently hunted for by
  567. experimentalists all over the world.  Remember, you need at least one
  568. baryonic candidate and one non-baryonic candidate to make everything
  569. work out, so there there may be more than one correct choice among 
  570. the possibilities given here. 
  571.  
  572. (1) Normal matter which has so far eluded our gaze, such as 
  573.         (a) dark galaxies
  574.         (b) brown dwarfs
  575.         (c) planetary material (rock, dust, etc.)
  576.  
  577. (2) Massive Standard Model neutrinos.  If any of the neutrinos are massive,
  578. then this could be the missing mass.  On the other hand, if they are 
  579. too heavy, as the purported 17 KeV neutrino would have been, massive
  580. neutrinos create almost as many problems as they solve in this regard. 
  581.  
  582. (3) Exotica (See the "Particle Zoo" FAQ entry for some details)
  583.  
  584.     Massive exotica would provide the missing mass.  For our purposes, 
  585. these fall into two classes: those which have been proposed for other
  586. reasons but happen to solve the dark matter problem, and those which have
  587. been proposed specifically to provide the missing dark matter. 
  588.  
  589.     Examples of objects in the first class are axions, additional
  590. neutrinos, supersymmetric particles, and a host of others. Their properties
  591. are constrained by the theory which predicts them, but by virtue of their
  592. mass, they solve the dark matter problem if they exist in the correct
  593. abundance. 
  594.  
  595.     Particles in the second class are generally classed in loose groups. 
  596. Their properties are not specified, but they are merely required to be
  597. massive and have other properties such that they would so far have eluded
  598. discovery in the many experiments which have looked for new particles. 
  599. These include WIMPS (Weakly Interacting Massive Particles), CHAMPS, and a
  600. host of others. 
  601.  
  602. References:  _Dark Matter in the Universe_ (Jerusalem Winter School for
  603. Theoretical Physics, 1986-7), J.N. Bahcall, T. Piran, & S. Weinberg editors.
  604. _Dark Matter_ (Proceedings of the XXIIIrd Recontre de Moriond) J. Audouze and 
  605. J. Tran Thanh Van. editors.
  606.  
  607. ********************************************************************************
  608. Item 10.
  609.  
  610. Some Frequently Asked Questions About Black Holes   updated 02-FEB-1995 by MM 
  611. -------------------------------------------------   original by Matt McIrvin
  612.  
  613. Contents:
  614.  
  615. 1. What is a black hole, really?
  616. 2. What happens to you if you fall in?
  617. 3. Won't it take forever for you to fall in?  Won't it take forever
  618.    for the black hole to even form? 
  619. 4. Will you see the universe end?
  620. 5. What about Hawking radiation?  Won't the black hole evaporate 
  621.    before you get there?
  622. 6. How does the gravity get out of the black hole?
  623. 7. Where did you get that information?
  624.  
  625. 1. What is a black hole, really?
  626.  
  627.     In 1916, when general relativity was new, Karl Schwarzschild worked
  628. out a useful solution to the Einstein equation describing the evolution of
  629. spacetime geometry.  This solution, a possible shape of spacetime, would
  630. describe the effects of gravity *outside* a spherically symmetric,
  631. uncharged, nonrotating object (and would serve approximately to describe
  632. even slowly rotating objects like the Earth or Sun).  It worked in much the
  633. same way that you can treat the Earth as a point mass for purposes of
  634. Newtonian gravity if all you want to do is describe gravity *outside* the
  635. Earth's surface. 
  636.  
  637.     What such a solution really looks like is a "metric," which is a
  638. kind of generalization of the Pythagorean formula that gives the length of
  639. a line segment in the plane.  The metric is a formula that may be used to
  640. obtain the "length" of a curve in spacetime.  In the case of a curve
  641. corresponding to the motion of an object as time passes (a "timelike
  642. worldline,") the "length" computed by the metric is actually the elapsed
  643. time experienced by an object with that motion.  The actual formula depends
  644. on the coordinates chosen in which to express things, but it may be
  645. transformed into various coordinate systems without affecting anything
  646. physical, like the spacetime curvature.  Schwarzschild expressed his metric
  647. in terms of coordinates which, at large distances from the object,
  648. resembled spherical coordinates with an extra coordinate t for time. 
  649. Another coordinate, called r, functioned as a radial coordinate at large
  650. distances; out there it just gave the distance to the massive object. 
  651.  
  652.     Now, at small radii, the solution began to act strangely.  There
  653. was a "singularity" at the center, r=0, where the curvature of spacetime
  654. was infinite.  Surrounding that was a region where the "radial" direction
  655. of decreasing r was actually a direction in *time* rather than in space.
  656. Anything in that region, including light, would be obligated to fall toward
  657. the singularity, to be crushed as tidal forces diverged. This was separated
  658. >from the rest of the universe by a place where Schwarzschild's coordinates
  659. blew up, though nothing was wrong with the curvature of spacetime there. 
  660. (This was called the Schwarzschild radius.  Later, other coordinate systems
  661. were discovered in which the blow-up didn't happen; it was an artifact of
  662. the coordinates, a little like the problem of defining the longitude of the
  663. North Pole.  The physically important thing about the Schwarzschild radius
  664. was not the coordinate problem, but the fact that within it the direction
  665. into the hole became a direction in time.) 
  666.  
  667.     Nobody really worried about this at the time, because there was no
  668. known object that was dense enough for that inner region to actually be
  669. outside it, so for all known cases, this odd part of the solution would not
  670. apply.  Arthur Stanley Eddington considered the possibility of a dying star
  671. collapsing to such a density,  but rejected it as aesthetically unpleasant
  672. and proposed that some new physics must intervene.  In 1939, Oppenheimer
  673. and Snyder finally took seriously the possibility that stars a few times
  674. more massive than the sun might be doomed to collapse to such a state at
  675. the end of their lives. 
  676.  
  677.     Once the star gets smaller than the place where Schwarzschild's
  678. coordinates fail (called the Schwarzschild radius for an uncharged,
  679. nonrotating object, or the event horizon) there's no way it can avoid
  680. collapsing further.  It has to collapse all the way to a singularity for
  681. the same reason that you can't keep from moving into the future! Nothing
  682. else that goes into that region afterward can avoid it either, at least in
  683. this simple case.  The event horizon is a point of no return. 
  684.  
  685.     In 1971 John Archibald Wheeler named such a thing a black hole,
  686. since light could not escape from it.  Astronomers have many candidate
  687. objects they think are probably black holes, on the basis of several kinds
  688. of evidence (typically they are dark objects whose large mass can be
  689. deduced from their gravitational effects on other objects, and which
  690. sometimes emit X-rays, presumably from infalling matter).  But the
  691. properties of black holes I'll talk about here are entirely theoretical.
  692. They're based on general relativity, which is a theory that seems supported
  693. by available evidence. 
  694.  
  695. 2. What happens to you if you fall in?
  696.  
  697.     Suppose that, possessing a proper spacecraft and a self-destructive
  698. urge, I decide to go black-hole jumping and head for an uncharged,
  699. nonrotating ("Schwarzschild") black hole.  In this and other kinds of hole,
  700. I won't, before I fall in, be able to see anything within the event
  701. horizon.  But there's nothing *locally* special about the event horizon;
  702. when I get there it won't seem like a particularly unusual place, except
  703. that I will see strange optical distortions of the sky around me from all
  704. the bending of light that goes on.  But as soon as I fall through, I'm
  705. doomed.  No bungee will help me, since bungees can't keep Sunday from
  706. turning into Monday.  I have to hit the singularity eventually, and before
  707. I get there there will be enormous tidal forces-- forces due to the
  708. curvature of spacetime-- which will squash me and my spaceship in some
  709. directions and stretch them in another until I look like a piece of
  710. spaghetti.  At the singularity all of present physics is mute as to what
  711. will happen, but I won't care.  I'll be dead. 
  712.  
  713.     For ordinary black holes of a few solar masses, there are actually
  714. large tidal forces well outside the event horizon, so I probably wouldn't
  715. even make it into the hole alive and unstretched.  For a black hole of 8
  716. solar masses, for instance, the value of r at which tides become fatal is
  717. about 400 km, and the Schwarzschild radius is just 24 km.  But tidal
  718. stresses are proportional to M/r^3.  Therefore the fatal r goes as the cube
  719. root of the mass, whereas the Schwarzschild radius of the black hole is
  720. proportional to the mass.  So for black holes larger than about 1000 solar
  721. masses I could probably fall in alive, and for still larger ones I might
  722. not even notice the tidal forces until I'm through the horizon and doomed. 
  723.  
  724. 3. Won't it take forever for you to fall in?  Won't it take forever
  725.    for the black hole to even form?
  726.  
  727.     Not in any useful sense.  The time I experience before I hit the
  728. event horizon, and even until I hit the singularity-- the "proper time"
  729. calculated by using Schwarzschild's metric on my worldline -- is finite. 
  730. The same goes for the collapsing star; if I somehow stood on the surface of
  731. the star as it became a black hole, I would experience the star's demise in
  732. a finite time. 
  733.  
  734.     On my worldline as I fall into the black hole, it turns out that
  735. the Schwarzschild coordinate called t goes to infinity when I go through
  736. the event horizon.  That doesn't correspond to anyone's proper time,
  737. though; it's just a coordinate called t.  In fact, inside the event
  738. horizon, t is actually a *spatial* direction, and the future corresponds
  739. instead to decreasing r.  It's only outside the black hole that t even
  740. points in a direction of increasing time.  In any case, this doesn't
  741. indicate that I take forever to fall in, since the proper time involved is
  742. actually finite. 
  743.  
  744.     At large distances t *does* approach the proper time of someone who
  745. is at rest with respect to the black hole.  But there isn't any
  746. non-arbitrary sense in which you can call t at smaller r values "the proper
  747. time of a distant observer," since in general relativity there is no
  748. coordinate-independent way to say that two distant events are happening "at
  749. the same time."  The proper time of any observer is only defined locally. 
  750.  
  751.     A more physical sense in which it might be said that things take
  752. forever to fall in is provided by looking at the paths of emerging light
  753. rays.  The event horizon is what, in relativity parlance, is called a
  754. "lightlike surface"; light rays can remain there.  For an ideal
  755. Schwarzschild hole (which I am considering in this paragraph) the horizon
  756. lasts forever, so the light can stay there without escaping.  (If you
  757. wonder how this is reconciled with the fact that light has to travel at the
  758. constant speed c-- well, the horizon *is* traveling at c! Relative speeds
  759. in GR are also only unambiguously defined locally, and if you're at the
  760. event horizon you are necessarily falling in; it comes at you at the speed
  761. of light.)  Light beams aimed directly outward from just outside the
  762. horizon don't escape to large distances until late values of t.  For
  763. someone at a large distance from the black hole and approximately at rest
  764. with respect to it, the coordinate t does correspond well to proper time. 
  765.  
  766.     So if you, watching from a safe distance, attempt to witness my
  767. fall into the hole, you'll see me fall more and more slowly as the light
  768. delay increases.  You'll never see me actually *get to* the event horizon.
  769. My watch, to you, will tick more and more slowly, but will never reach the
  770. time that I see as I fall into the black hole.  Notice that this is really
  771. an optical effect caused by the paths of the light rays. 
  772.  
  773.     This is also true for the dying star itself.  If you attempt to
  774. witness the black hole's formation, you'll see the star collapse more and
  775. more slowly, never precisely reaching the Schwarzschild radius. 
  776.  
  777.     Now, this led early on to an image of a black hole as a strange
  778. sort of suspended-animation object, a "frozen star" with immobilized
  779. falling debris and gedankenexperiment astronauts hanging above it in
  780. eternally slowing precipitation.  This is, however, not what you'd see. The
  781. reason is that as things get closer to the event horizon, they also get
  782. *dimmer*.  Light from them is redshifted and dimmed, and if one considers
  783. that light is actually made up of discrete photons, the time of escape of
  784. *the last photon* is actually finite, and not very large.  So things would
  785. wink out as they got close, including the dying star, and the name "black
  786. hole" is justified. 
  787.  
  788.     As an example, take the eight-solar-mass black hole I mentioned
  789. before.  If you start timing from the moment the you see the object half a
  790. Schwarzschild radius away from the event horizon, the light will dim
  791. exponentially from that point on with a characteristic time of about 0.2
  792. milliseconds, and the time of the last photon is about a hundredth of a
  793. second later.  The times scale proportionally to the mass of the black
  794. hole.  If I jump into a black hole, I don't remain visible for long. 
  795.  
  796.     Also, if I jump in, I won't hit the surface of the "frozen star."
  797. It goes through the event horizon at another point in spacetime from
  798. where/when I do. 
  799.  
  800.     (Some have pointed out that I really go through the event horizon a
  801. little earlier than a naive calculation would imply.  The reason is that my
  802. addition to the black hole increases its mass, and therefore moves the
  803. event horizon out around me at finite Schwarzschild t coordinate.  This
  804. really doesn't change the situation with regard to whether an external
  805. observer sees me go through, since the event horizon is still lightlike;
  806. light emitted at the event horizon or within it will never escape to large
  807. distances, and light emitted just outside it will take a long time to get
  808. to an observer, timed, say, from when the observer saw me pass the point
  809. half a Schwarzschild radius outside the hole.) 
  810.  
  811.     All this is not to imply that the black hole can't also be used for
  812. temporal tricks much like the "twin paradox" mentioned elsewhere in this
  813. FAQ.  Suppose that I don't fall into the black hole-- instead, I stop and
  814. wait at a constant r value just outside the event horizon, burning
  815. tremendous amounts of rocket fuel and somehow withstanding the huge
  816. gravitational force that would result.  If I then return home, I'll have
  817. aged less than you.  In this case, general relativity can say something
  818. about the difference in proper time experienced by the two of us, because
  819. our ages can be compared *locally* at the start and end of the journey. 
  820.  
  821. 4. Will you see the universe end?
  822.  
  823.     If an external observer sees me slow down asymptotically as I fall,
  824. it might seem reasonable that I'd see the universe speed up
  825. asymptotically-- that I'd see the universe end in a spectacular flash as I
  826. went through the horizon.  This isn't the case, though.  What an external
  827. observer sees depends on what light does after I emit it.  What I see,
  828. however, depends on what light does before it gets to me.  And there's no
  829. way that light from future events far away can get to me.  Faraway events
  830. in the arbitrarily distant future never end up on my "past light-cone," the
  831. surface made of light rays that get to me at a given time. 
  832.  
  833.     That, at least, is the story for an uncharged, nonrotating black
  834. hole.  For charged or rotating holes, the story is different.  Such holes
  835. can contain, in the idealized solutions, "timelike wormholes" which serve
  836. as gateways to otherwise disconnected regions-- effectively, different
  837. universes.  Instead of hitting the singularity, I can go through the
  838. wormhole.  But at the entrance to the wormhole, which acts as a kind of
  839. inner event horizon, an infinite speed-up effect actually does occur.  If I
  840. fall into the wormhole I see the entire history of the universe outside
  841. play itself out to the end.  Even worse, as the picture speeds up the light
  842. gets blueshifted and more energetic, so that as I pass into the wormhole an
  843. "infinite blueshift" happens which fries me with hard radiation.  There is
  844. apparently good reason to believe that the infinite blueshift would imperil
  845. the wormhole itself, replacing it with a singularity no less pernicious
  846. than the one I've managed to miss.  In any case it would render wormhole
  847. travel an undertaking of questionable practicality. 
  848.  
  849. 5. What about Hawking radiation?  Won't the black hole evaporate
  850.    before you get there?
  851.  
  852.     (First, a caveat: Not a lot is really understood about evaporating
  853. black holes.  The following is largely deduced from information in Wald's
  854. GR text, but what really happens-- especially when the black hole gets very
  855. small-- is unclear.  So take the following with a grain of salt.) 
  856.  
  857. Short answer:  No, it won't.  This demands some elaboration.
  858.  
  859.     From thermodynamic arguments Stephen Hawking realized that a black
  860. hole should have a nonzero temperature, and ought therefore to emit
  861. blackbody radiation.  He eventually figured out a quantum- mechanical
  862. mechanism for this.  Suffice it to say that black holes should very, very
  863. slowly lose mass through radiation, a loss which accelerates as the hole
  864. gets smaller and eventually evaporates completely in a burst of radiation. 
  865. This happens in a finite time according to an outside observer. 
  866.  
  867.     But I just said that an outside observer would *never* observe an
  868. object actually entering the horizon!  If I jump in, will you see the black
  869. hole evaporate out from under me, leaving me intact but marooned in the
  870. very distant future from gravitational time dilation? 
  871.  
  872.     You won't, and the reason is that the discussion above only applies
  873. to a black hole that is not shrinking to nil from evaporation. Remember
  874. that the apparent slowing of my fall is due to the paths of outgoing light
  875. rays near the event horizon.  If the black hole *does* evaporate, the delay
  876. in escaping light caused by proximity to the event horizon can only last as
  877. long as the event horizon does!  Consider your external view of me as I
  878. fall in. 
  879.  
  880.     If the black hole is eternal, events happening to me (by my watch)
  881. closer and closer to the time I fall through happen divergingly later
  882. according to you (supposing that your vision is somehow not limited by the
  883. discreteness of photons, or the redshift). 
  884.  
  885.     If the black hole is mortal, you'll instead see those events happen
  886. closer and closer to the time the black hole evaporates.  Extrapolating,
  887. you would calculate my time of passage through the event horizon as the
  888. exact moment the hole disappears!  (Of course, even if you could see me,
  889. the image would be drowned out by all the radiation from the evaporating
  890. hole.)  I won't experience that cataclysm myself, though; I'll be through
  891. the horizon, leaving only my light behind. As far as I'm concerned, my
  892. grisly fate is unaffected by the evaporation. 
  893.  
  894.     All of this assumes you can see me at all, of course.  In practice
  895. the time of the last photon would have long been past.  Besides, there's
  896. the brilliant background of Hawking radiation to see through as the hole
  897. shrinks to nothing. 
  898.  
  899.     (Due to considerations I won't go into here, some physicists think
  900. that the black hole won't disappear completely, that a remnant hole will be
  901. left behind.  Current physics can't really decide the question, any more
  902. than it can decide what really happens at the singularity. If someone ever
  903. figures out quantum gravity, maybe that will provide an answer.) 
  904.  
  905. 6. How does the gravity get out of the black hole?
  906.  
  907. Purely in terms of general relativity, there is no problem here.  The
  908. gravity doesn't have to get out of the black hole.  General relativity
  909. is a local theory, which means that the field at a certain point in
  910. spacetime is determined entirely by things going on at places that can
  911. communicate with it at speeds less than or equal to c.  If a star 
  912. collapses into a black hole, the gravitational field outside the 
  913. black hole may be calculated entirely from the properties of the star
  914. and its external gravitational field *before* it becomes a black hole.
  915. Just as the light registering late stages in my fall takes longer and
  916. longer to get out to you at a large distance, the gravitational
  917. consequences of events late in the star's collapse take longer and
  918. longer to ripple out to the world at large.  In this sense the black
  919. hole *is* a kind of "frozen star": the gravitational field is a fossil
  920. field.  The same is true of the electromagnetic field that a black
  921. hole may possess.
  922.  
  923. Often this question is phrased in terms of gravitons, the hypothetical
  924. quanta of spacetime distortion.  If things like gravity correspond to the
  925. exchange of "particles" like gravitons, how can they get out of the
  926. event horizon to do their job?
  927.  
  928. Gravitons don't exist in general relativity, because GR is not a
  929. quantum theory.  They might be part of a theory of quantum gravity
  930. when it is completely developed, but even then it might not be best to
  931. describe gravitational attraction as produced by virtual gravitons.
  932. See the FAQ on virtual particles for a discussion of this.
  933.  
  934. Nevertheless, the question in this form is still worth asking, because
  935. black holes *can* have static electric fields, and we know that these
  936. may be described in terms of virtual photons.  So how do the virtual
  937. photons get out of the event horizon?  Well, for one thing, they can
  938. come from the charged matter prior to collapse, just like classical
  939. effects.  In addition, however, virtual particles aren't confined to
  940. the interiors of light cones: they can go faster than light!
  941. Consequently the event horizon, which is really just a surface that
  942. moves at the speed of light, presents no barrier.
  943.  
  944. I couldn't use these virtual photons after falling into the hole to
  945. communicate with you outside the hole; nor could I escape from the
  946. hole by somehow turning myself into virtual particles.  The reason is
  947. that virtual particles don't carry any *information* outside the light
  948. cone.  See the FAQ on virtual particles for details.
  949.  
  950. 7. Where did you get that information?
  951.  
  952.     The numbers concerning fatal radii, dimming, and the time of the
  953. last photon came from Misner, Thorne, and Wheeler's _Gravitation_ (San
  954. Francisco: W. H. Freeman & Co., 1973), pp. 860-862 and 872-873. Chapters 32
  955. and 33 (IMHO, the best part of the book) contain nice descriptions of some
  956. of the phenomena I've described. 
  957.  
  958.     Information about evaporation and wormholes came from Robert Wald's
  959. _General Relativity_ (Chicago: University of Chicago Press, 1984). The
  960. famous conformal diagram of an evaporating hole on page 413 has resolved
  961. several arguments on sci.physics (though its veracity is in question). 
  962.  
  963.     Steven Weinberg's _Gravitation and Cosmology_ (New York: John Wiley
  964. and Sons, 1972) provided me with the historical dates.  It discusses some
  965. properties of the Schwarzschild solution in chapter 8 and describes
  966. gravitational collapse in chapter 11. 
  967.  
  968. ********************************************************************************
  969. Item 11.
  970.  
  971. The Solar Neutrino Problem                          original by Bruce Scott
  972. --------------------------                updated 5-JUN-1994 by SIC
  973.  
  974. The Short Story:
  975.  
  976.     Fusion reactions in the core of the Sun produce a huge flux of
  977. neutrinos. These neutrinos can be detected on Earth using large underground
  978. detectors, and the flux measured to see if it agrees with theoretical
  979. calculations based upon our understanding of the workings of the Sun and
  980. the details of the Standard Model (SM) of particle physics. The measured
  981. flux is roughly one-half of the flux expected from theory. The cause of the
  982. deficit is a mystery.  Is our particle physics wrong? Is our model of the
  983. Solar interior wrong?  Are the experiments in error?  This is the "Solar
  984. Neutrino Problem." 
  985.  
  986.     There are precious few experiments which seem to stand in
  987. disagreement with the SM, which can be studied in the hope of making
  988. breakthroughs in particle physics.  The study of this problem may yield
  989. important new insights which may help us go beyond the Standard Model. 
  990. There are many experiments in progress, so stay tuned. 
  991.  
  992. The Long Story:
  993.  
  994.     A middle-aged main-sequence star like the Sun is in a
  995. slowly-evolving equilibrium, in which pressure exerted by the hot gas
  996. balances the self-gravity of the gas mass. Slow evolution results from the
  997. star radiating energy away in the form of light, fusion reactions occurring
  998. in the core heating the gas and replacing the energy lost by radiation, and
  999. slow structural adjustment to compensate the changes in entropy and
  1000. composition. 
  1001.  
  1002.     We cannot directly observe the center, because the mean-free path
  1003. of a photon against absorption or scattering is very short, so short that
  1004. the radiation-diffusion time scale is of order 10 million years. But the
  1005. main proton-proton reaction (PP1) in the Sun involves emission of a
  1006. neutrino: 
  1007.  
  1008.         p + p --> D + positron + neutrino(0.26 MeV),
  1009.  
  1010. which is directly observable since the cross-section for interaction with
  1011. ordinary matter is so small (the 0.26 MeV is the average energy carried
  1012. away by the neutrino).  Essentially all the neutrinos make it to the Earth.
  1013. Of course, this property also makes it difficult to detect the neutrinos.
  1014. The first experiments by Davis and collaborators, involving large tanks of
  1015. chloride fluid placed underground, could only detect higher-energy
  1016. neutrinos from small side-chains in the solar fusion: 
  1017.  
  1018.  
  1019.         PP2:    Be(7) + electron --> Li(7) + neutrino(0.80 MeV),
  1020.         PP3:    B(8) --> Be(8) + positron + neutrino(7.2 MeV).
  1021.  
  1022. Recently, however, the GALLEX experiment, using a gallium-solution detector
  1023. system, has observed the PP1 neutrinos to provide the first unambiguous
  1024. confirmation of proton-proton fusion in the Sun.
  1025.  
  1026.     There is a "neutrino problem", however, and that is the fact that
  1027. every experiment has measured a shortfall of neutrinos. About one- to
  1028. two-thirds of the neutrinos expected are observed, depending on
  1029. experimental error. In the case of GALLEX, the data read 80 units where 120
  1030. are expected, and the discrepancy is about two standard deviations. To
  1031. explain the shortfall, one of two things must be the case: (1) either the
  1032. temperature at the center is slightly less than we think it is, or (2)
  1033. something happens to the neutrinos during their flight over the
  1034. 150-million-km journey to Earth. A third possibility is that the Sun
  1035. undergoes relaxation oscillations in central temperature on a time scale
  1036. shorter than 10 Myr, but since no-one has a credible mechanism this
  1037. alternative is not seriously entertained. 
  1038.  
  1039. (1) The fusion reaction rate is a very strong function of the temperature,
  1040. because particles much faster than the thermal average account for most of
  1041. it. Reducing the temperature of the standard solar model by 6 per cent
  1042. would entirely explain GALLEX; indeed, Bahcall has recently published an
  1043. article arguing that there may be no solar neutrino problem at all.
  1044. However, the community of solar seismologists, who observe small
  1045. oscillations in spectral line strengths due to pressure waves traversing
  1046. through the Sun, argue that such a change is not permitted by their
  1047. results. 
  1048.  
  1049. (2) A mechanism (called MSW, after its authors) has been proposed, by which
  1050. the neutrinos self-interact to periodically change flavor between electron,
  1051. muon, and tau neutrino types. Here, we would only expect to observe a
  1052. fraction of the total, since only electron neutrinos are detected in the
  1053. experiments. (The fraction is not exactly 1/3 due to the details of the
  1054. theory.) Efforts continue to verify this theory in the laboratory. The MSW
  1055. phenomenon, also called "neutrino oscillation", requires that the three
  1056. neutrinos have finite and differing mass, which is also still unverified. 
  1057.  
  1058.     To use explanation (1) with the Sun in thermal equilibrium
  1059. generally requires stretching several independent observations to the
  1060. limits of their errors, and in particular the earlier chloride results must
  1061. be explained away as unreliable (there was significant scatter in the
  1062. earliest ones, casting doubt in some minds on the reliability of the
  1063. others).  Further data over longer times will yield better statistics so
  1064. that we will better know to what extent there is a problem. Explanation (2)
  1065. depends of course on a proposal whose veracity has not been determined.
  1066. Until the MSW phenomenon is observed or ruled out in the laboratory, the
  1067. matter will remain open. 
  1068.  
  1069.     In summary, fusion reactions in the Sun can only be observed
  1070. through their neutrino emission. Fewer neutrinos are observed than
  1071. expected, by two standard deviations in the best result to date. This can
  1072. be explained either by a slightly cooler center than expected or by a
  1073. particle-physics mechanism by which neutrinos oscillate between flavors.
  1074. The problem is not as severe as the earliest experiments indicated, and
  1075. further data with better statistics are needed to settle the matter. 
  1076.  
  1077. References:
  1078.  
  1079. [0] The main-sequence Sun: D. D. Clayton, Principles of Stellar Evolution
  1080.     and Nucleosynthesis, McGraw-Hill, 1968. Still the best text.
  1081. [0] Solar neutrino reviews: J. N. Bahcall and M. Pinsonneault, Reviews of
  1082.     Modern Physics, vol 64, p 885, 1992; S. Turck-Chieze and I. Lopes,
  1083.     Astrophysical Journal, vol 408, p 347, 1993. See also J. N. Bahcall,
  1084.     Neutrino Astrophysics (Cambridge, 1989).
  1085. [1] Experiments by R. Davis et al: See October 1990 Physics Today, p 17.
  1086. [2] The GALLEX team: two articles in Physics Letters B, vol 285, p 376
  1087.     and p 390. See August 1992 Physics Today, p 17. Note that 80 "units" 
  1088.     correspond to the production of 9 atoms of Ge(71) in 30 tons of
  1089.     solution containing 12 tons Ga(71), after three weeks of run time!
  1090. [3] Bahcall arguing for new physics: J. N. Bahcall and H. A. Bethe,
  1091.     Physical Review D, vol 47, p 1298, 1993; against new physics: J. N. 
  1092.     Bahcall et al, "Has a Standard Model Solution to the Solar Neutrino 
  1093.     Problem Been Found?", preprint IASSNS-94/13 received at the National
  1094.     Radio Astronomy Observatory, 1994.    
  1095. [4] The MSW mechanism, after Mikheyev, Smirnov, and Wolfenstein: See the
  1096.     second GALLEX paper.
  1097. [5] Solar seismology and standard solar models: J. Christensen-Dalsgaard 
  1098.     and W. Dappen, Astronomy and Astrophysics Reviews, vol 4, p 267, 1992;
  1099.     K. G. Librecht and M. F. Woodard, Science, vol 253, p 152, 1992. See
  1100.     also the second GALLEX paper. 
  1101.  
  1102. ********************************************************************************
  1103. Item 12.
  1104.  
  1105. The Expanding Universe                          original by Michael Weiss
  1106. ----------------------                updated 5-DEC-1994 by SIC 
  1107.  
  1108. Here are the answers to some commonly asked questions about exactly 
  1109. what it means to say that the Universe is expanding.
  1110.  
  1111. (1) IF THE UNIVERSE IS EXPANDING, DOES THAT MEAN ATOMS ARE GETTING BIGGER?
  1112. IS THE SOLAR SYSTEM EXPANDING?
  1113.  
  1114. Mrs. Felix:  Why don't you do your homework?
  1115. Allen Felix: The Universe is expanding.  Everything will fall
  1116.              apart, and we'll all die.  What's the point?
  1117. Mrs. Felix:  We live in Brooklyn.  Brooklyn is not expanding!
  1118.              Go do your homework.
  1119.  
  1120.                         -from "Annie Hall" by Woody Allen.
  1121.  
  1122. Mrs. Felix is right.  Neither Brooklyn, nor its atoms, nor the solar
  1123. system, nor even the galaxy, is expanding.  The Universe expands
  1124. (according to standard cosmological models) only when averaged over a very
  1125. large scale.
  1126.  
  1127.     The phrase "expansion of the Universe" refers both to experimental
  1128. observation and to theoretical cosmological models.  Lets look at them one
  1129. at a time, starting with the observations.
  1130.  
  1131. Observation
  1132. -----------
  1133.  
  1134.     The observation is Hubble's redshift law.  
  1135.  
  1136.     In 1929, Hubble reported that the light from distant galaxies is
  1137. redshifted.  If you interpret this redshift as a Doppler shift, then the
  1138. galaxies are receding according to the law: 
  1139.  
  1140.     (velocity of recession) = H * (distance from Earth)
  1141.  
  1142. H is called Hubble's constant; Hubble's original value for H was 550
  1143. kilometers per second per megaparsec (km/s/Mpc).  Current estimates range
  1144. >from 40 to 100 km/s/Mpc.  (Measuring redshift is easy; estimating distance
  1145. is hard.  Roughly speaking, astronomers fall into two "camps", some
  1146. favoring an H around 80 km/s/Mpc, others an H around 40-55). 
  1147.  
  1148.     Hubble's redshift formula does *not* imply that the Earth is in
  1149. particularly bad oder in the universe.  The familiar model of the universe
  1150. as an expanding balloon speckled with galaxies shows that Hubble's alter
  1151. ego on any other galaxy would make the same observation. 
  1152.  
  1153.     But astronomical objects in our neck of the woods--- our solar
  1154. system, our galaxy, nearby galaxies--- show no such Hubble redshifts.
  1155. Nearby stars and galaxies *do* show motion with respect to the Earth
  1156. (known as "peculiar velocities"), but this does not look like the
  1157. "Hubble flow" that is seen for distant galaxies.  For example, the
  1158. Andromeda galaxy shows blueshift instead of redshift.  So the verdict
  1159. of observation is: our galaxy is not expanding.
  1160.  
  1161.     By the way, Hubble's constant, is not, in spite of its name,
  1162. constant in time. In fact, it is decreasing.  Imagine a galaxy D
  1163. light-years from the Earth, receding at a velocity V = H*D.  D is
  1164. always increasing because of the recession.  But does V increase?  No.
  1165. In fact, V is decreasing.  (If you are fond of Newtonian analogies,
  1166. you could say that "gravitational attraction" is causing this
  1167. deceleration.  But be warned: some general relativists would object
  1168. strenuously to this way of speaking.)  So H is going down over time.
  1169. But it *is* constant over space, i.e., it is the same number for all
  1170. distant objects as we observe them today.
  1171.  
  1172. Theory 
  1173. ------
  1174.  
  1175. The theoretical models are, typically, Friedmann-Robertson-Walker (FRW) 
  1176. spacetimes.  
  1177.  
  1178.     Cosmologists model the universe using "spacetimes", that is to say,
  1179. solutions to the field equations of Einstein's theory of general
  1180. relativity.  The Russian mathematician Alexander Friedmann discovered an
  1181. important class of global solutions in 1923.  The familiar image of the
  1182. universe as an expanding balloon speckled with galaxies is a "movie
  1183. version" of one of Friedmann's solutions.  Robertson and Walker later
  1184. extended Friedmann's work, so you'll find references to
  1185. "Friedmann-Robertson-Walker" (FRW) spacetimes in the literature. 
  1186.  
  1187.     FRW spacetimes come in a great variety of styles--- expanding,
  1188. contracting, flat, curved, open, closed, ....  The "expanding balloon"
  1189. picture corresponds to just a few of these. 
  1190.  
  1191.     A concept called the metric plays a starring role in general
  1192. relativity. The metric encodes a lot of information; the part we care about
  1193. (for this FAQ entry) is distances between objects.  In an FRW expanding
  1194. universe, the distance between any two "points on the balloon" does
  1195. increase over time. However, the FRW model is NOT meant to describe OUR
  1196. spacetime accurately on a small scale--- where "small" is interpreted
  1197. pretty liberally! 
  1198.  
  1199.     You can picture this in a couple of ways.  You may want to think of
  1200. the "continuum approximation" in fluid dynamics--- by averaging the motion
  1201. of individual molecules over a large enough scale, you obtain a continuous
  1202. flow.  (Droplets can condense even as a gas expands.)  Similarly, it is
  1203. generally believed that if we average the actual metric of the universe
  1204. over a large enough scale, we'll get an FRW spacetime. 
  1205.  
  1206.     Or you may want to alter your picture of the "expanding balloon". 
  1207. The galaxies are not just painted on, but form part of the substance of the
  1208. balloon (poetically speaking), and locally affect its "elasticity". 
  1209.  
  1210.     The FRW spacetimes ignore these small-scale variations.  Think of a
  1211. uniformly elastic balloon, with the galaxies modelled as mere points.
  1212. "Points on the balloon" correspond to a mathematical concept known as a
  1213. *comoving geodesic*.  Any two comoving geodesics drift apart over time, in
  1214. an expanding FRW spacetime. 
  1215.  
  1216.     At the scale of the Solar System, we get a pretty good
  1217. approximation to the spacetime metric by using another solution to
  1218. Einstein's equations, known as the Schwarzschild metric.  Using evocative
  1219. but dubious terminology, we can say this models the gravitational field of
  1220. the Sun.  (Dubious because what does "gravitational field" mean in GR, if
  1221. it's not just a synonym for "metric"?)  The geodesics in the Schwarzschild
  1222. metric do NOT display the "drifting apart" behavior typical of the FRW
  1223. comoving geodesics--- or in more familiar terms, the Earth is not drifting
  1224. away from the Sun. 
  1225.  
  1226.     The "true metric" of the universe is, of course, fantastically
  1227. complicated; you can't expect idealized simple solutions (like the FRW and
  1228. Schwarzschild metrics) to capture all the complexity.  Our knowledge of the
  1229. large-scale structure of the universe is fragmentary and imprecise. 
  1230.  
  1231.     In old-fashioned, Newtonian terms, one says that the Solar System
  1232. is "gravitationally bound" (ditto the galaxy, the local group).  So the
  1233. Solar System is not expanding.  The case for Brooklyn is even clearer: it
  1234. is bound by atomic forces, and its atoms do not typically follow geodesics.
  1235. So Brooklyn is not expanding.  Now go do your homework. 
  1236.  
  1237. References: (My thanks to Jarle Brinchmann, who helped with this list.)
  1238.  
  1239. Misner, Thorne, and Wheeler, "Gravitation", chapters 27 and 29.  Page 719
  1240. discusses this very question; Box 29.4 outlines the "cosmic distance
  1241. ladder" and the difficulty of measuring cosmic distances; Box 29.5 presents
  1242. Hubble's work.  MTW refer to Noerdlinger and Petrosian, Ap.J., vol. 168
  1243. (1971), pp. 1--9, for an exact mathematical treatment of gravitationally
  1244. bound systems in an expanding universe.
  1245.  
  1246. M.V.Berry, "Principles of Cosmology and Gravitation".  Chapter 2 discusses
  1247. the cosmic distance ladder; chapters 6 and 7 explain FRW spacetimes.
  1248.  
  1249. Steven Weinberg, "The First Three Minutes", chapter 2.  A non-technical
  1250. treatment.
  1251.  
  1252. Hubble's original paper: "A Relation Between Distance And Radial
  1253. Velocity Among Extra-Galactic Nebulae", Proc. Natl. Acad. Sci., Vol. 15,
  1254. No. 3, pp. 168-173, March 1929.
  1255.  
  1256. Sidney van den Bergh, "The cosmic distance scale", Astronomy & Astrophysics
  1257. Review 1989 (1) 111-139.
  1258.  
  1259. M. Rowan-Robinson, "The Cosmological Distance Ladder", Freeman.
  1260.  
  1261. A new method has been devised recently to estimate Hubble's constant, using
  1262. gravitational lensing.  The method is described in:
  1263.  
  1264. \O Gr\on and Sjur Refsdal, "Gravitational Lenses and the age of the
  1265. universe", Eur. J. Phys. 13, 1992 178-183.
  1266.  
  1267. S. Refsdal & J. Surdej, Rep. Prog. Phys. 56, 1994 (117-185)
  1268.  
  1269. and H is estimated with this method in:
  1270.  
  1271. H.Dahle, S.J. Maddox, P.B. Lilje, to appear in ApJ Letters.
  1272.  
  1273. Two books may be consulted for what is known (or believed) about the
  1274. large-scale structure of the universe: 
  1275.  
  1276. P.J.E.Peebles, "An Introduction to Physical Cosmology".
  1277. T. Padmanabhan, "Structure Formation in the Universe".
  1278.  
  1279. ======================================================================
  1280.  
  1281. (2) WHAT CAUSES THE HUBBLE REDSHIFT?  ARE THE LIGHT-WAVES "STRETCHED" AS 
  1282. THE UNIVERSE EXPANDS, OR IS THE LIGHT DOPPLER-SHIFTED BECAUSE DISTANT 
  1283. GALAXIES ARE MOVING AWAY FROM US?
  1284.  
  1285.     In a word: yes.  In two sentences: the Doppler-shift explanation is
  1286. a linear approximation to the "stretched-light" explanation.  Switching
  1287. >from one viewpoint to the other amounts to a change of coordinate systems
  1288. in (curved) spacetime. 
  1289.  
  1290.     A detailed explanation requires looking at Friedmann-Robertson-Walker 
  1291. (FRW) models of spacetime.  The famous "expanding balloon speckled with
  1292. galaxies" provides a visual analogy for one of these; like any analogy, it
  1293. will mislead you if taken too literally, but handled with caution it can
  1294. furnish some insight. 
  1295.  
  1296.     Draw a latitude/longitude grid on the balloon.  These define
  1297. *co-moving* coordinates.  Imagine a couple of speckles ("galaxies")
  1298. imbedded in the rubber surface.  The co-moving coordinates of the speckles
  1299. don't change as the balloon expands, but the distance between the speckles
  1300. steadily increases.  In co-moving coordinates, we say that the speckles
  1301. don't move, but "space itself" stretches between them. 
  1302.  
  1303.     A bug starts crawling from one speckle to the other.  A second
  1304. after the first bug leaves, his brother follows him.  (Think of the bugs as
  1305. two light-pulses, or successive wave-crests in a beam of light.)  Clearly
  1306. the separation between the bugs will increase during their journey.  In
  1307. co-moving coordinates, light is "stretched" during its journey. 
  1308.  
  1309.     Now we switch to a different coordinate system, this one valid only
  1310. in a neighborhood (but one large enough to cover both speckles).  Imagine a
  1311. clear, flexible, non-stretching patch, attached to the balloon at one
  1312. speckle.  The patch clings to the surface of the balloon, which slides
  1313. beneath it as the balloon inflates.  (The bugs crawl along *under* the
  1314. patch.)  We draw a coordinate grid on the patch.  In the patch coordinates,
  1315. the second speckle recedes from the first speckle.  And so in patch
  1316. coordinates, we can regard the redshift as a Doppler shift. 
  1317.  
  1318.     Is this visually appealing?  I think so.  However, this explanation
  1319. glosses over one crucial point: the time coordinate.  FRW spacetimes come
  1320. fully-equipped with a specially distinguished time coordinate (called the
  1321. co-moving or cosmological time).  For example, a co-moving observer could
  1322. set her clock by the average density of surrounding speckles, or by the
  1323. temperature of the Cosmic Background Radiation.  (From a purely
  1324. mathematical standpoint, the co-moving time coordinate is singled out by a
  1325. certain symmetry property.) 
  1326.  
  1327.     We have many choices of time-coordinate to go with the
  1328. space-coordinates drawn on our patch.  Let's use cosmological time.  Notice
  1329. that this is *not* the choice usually made in Special Relativity: though
  1330. the two speckles separate rapidly, their cosmological clocks remain
  1331. synchronized. Bugs embarking on their journey from the "moving" speckle
  1332. appear to crawl "upstream" against flowing space as they head towards the
  1333. "home" speckle. The current diminishes as they approach home.  (In other
  1334. words, bug-speed is anisotropic in these coordinates.)  These differences
  1335. >from the usual SR picture are symptoms of a deeper fact: besides the
  1336. obvious "spatial" curvature of the balloon's surface, FRW spacetimes have
  1337. "temporal" curvature as well.  Indeed, not all FRW spacetimes exhibit
  1338. spatial curvature, but (with one exception) all have temporal curvature. 
  1339.  
  1340.     You can work out the magnitude of the redshift using patch
  1341. coordinates.  I leave this as an exercise, with a couple of hints. (1)
  1342. Since bug-speed is anisotropic far from the home speckle, consider also a
  1343. patch attached to the "moving" speckle.  Compute the initial distance
  1344. between the bugs (the "wavelength") in both patch coordinate systems, using
  1345. the standard *non-relativistic* Doppler formula for a stationary source,
  1346. moving receiver.  (2) Now think about how the bug-distance changes as the
  1347. bugs journey to the home speckle (this time sticking with home patch
  1348. coordinates).  The bug-distance does *not* propagate unchanged.  Consider
  1349. instead the analog of the period of a lightwave: the time between
  1350. bug-crossings of a grid line on the patch.  This *does* propagate almost
  1351. unchanged, *provided* the rate of balloon expansion stays pretty much the
  1352. same throughout the bugs' perilous trek.  The final result: the magnitude
  1353. of the redshift, computed using Doppler's formula, agrees to first-order
  1354. with magnitude computed using the "stretched-light" explanation.  (To the
  1355. cognoscenti: the assumptions are that Hx<<1 and (dH/dt)x<<1, where
  1356. H(t)=dR(t)/dt, R(t) is the scale factor, t is cosmological time, and x is
  1357. the average distance between the "speckles" (co-moving geodesics) during
  1358. the course of the journey.) 
  1359.  
  1360.     (This long-winded "proof of equivalence" between the Doppler and
  1361. "stretched-light" explanations substitutes a paragraph of imagery for a
  1362. half-page of calculus.)
  1363.  
  1364.     Let me close by emphasizing the word "approximation" from the first
  1365. paragraph of this entry.  The Doppler explanation fails for very large
  1366. redshifts, for then we must consider how Hubble's "constant" changes over
  1367. the course of the journey. 
  1368.  
  1369. References:
  1370.  
  1371. Misner, Thorne, and Wheeler, "Gravitation", chapter 29.
  1372.  
  1373. M.V.Berry, "Principles of Cosmology and Gravitation", chapter 6.
  1374.  
  1375. Steven Weinberg, "The First Three Minutes", chapter 2, especially pp. 13
  1376. and 30.
  1377.  
  1378. ********************************************************************************
  1379. END OF PART 2/4
  1380.