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Text File  |  1996-02-20  |  6.7 KB  |  153 lines
  1. THINKING WELL AND THINKING LOGICALLY
  2. by Mark Hodes
  3.  
  4. I. The Thesis
  5.  
  6. The literature of skepticism has generated its share of cliches.
  7. Skeptics claim to use scientific reasoning, to think logically,
  8. to be guided by evidence in forming beliefs as though these are
  9. clear-cut descriptions of well-understood activities. Thinking
  10. logically, by implication, is taken as an explication of thinking well
  11. or clearly. Those who think logically are regarded as less likely to
  12. err by adopting false beliefs or rejecting true ones. I will argue
  13. that thinking logically is not all it's cracked up to be, and that
  14. thinking logically is not the same as thinking well.
  15.  
  16. II. Contrapositives
  17.  
  18. In the propositional calculus of elementary symbolic logic, p -> q,
  19. material implication, has the following truth table:
  20.  
  21.     p   q   p->q
  22.   --------------
  23. 1.  T   T    T
  24. 2.  T   F    F
  25. 3.  F   T    T
  26. 4.  F   F    T
  27.  
  28. Exemplar:
  29. If most live birds fly, then 8 - 3 = 5 (true).
  30. If most live birds fly, then 8 - 3 = 4 (false).
  31. If pigs fly, then 8 - 3 = 5 (true).
  32. If pigs fly, then 8 - 3 = 4 (true).
  33.  
  34. Line 3 is true because the sentence makes no claim if in fact pigs do
  35. not fly. If in line 4 it seems strange that F -> F is T, consider the
  36. sentence "If I am president of France, then I have a chauffeur." I
  37. assure my readers that both the hypothesis and conclusion are false,
  38. though intuitively (as well as logically) the sentence is true.
  39.  
  40. The next step in my argument is to consider the CONTRAPOSITIVE of
  41. p -> q. This is the sentence (not q) -> (not p). For example, if an
  42. exemplar of p -> q is "If something is a dog, then it is an animal",
  43. then the exemplar of (not q) -> (not p) would be "If something is not
  44. an animal, then it is not a dog." A conditional sentence and its
  45. contrapositive are logically equivalent. Their truth tables are:
  46.  
  47. 1  2   3       4        5            6
  48. p  q  p->q  (not q)  (not p)  (not q)->(not p)
  49. ----------------------------------------------
  50. T  T   T       F        F            T
  51. T  F   F       T        F            F
  52. F  T   T       F        T            T
  53. F  F   T       T        T            T
  54.  
  55. The entries in columns 4 and 5 are derived as the opposites of the
  56. entries in 2 and 1, respectively. The matching entries in columns 3
  57. and 6 demonstrate the logical equivalence of the sentences p -> q and
  58. (not q) -> (not p).
  59.  
  60. In case you still are not convinced of the logical equivalence of a
  61. sentence and its contrapositive, select a conditional sentence and try
  62. to imagine a world in which it is true, but its contrapositive is
  63. false (or vice versa). Your inability to do this should convince you
  64. of their synonymity.
  65.  
  66. III. Induction
  67.  
  68. A primary epistemological activity of science is the generation of
  69. probably true or well-confirmed generalizations from evidence. The
  70. more extensive and diverse the evidence, the more soundly based are
  71. the generalizations. A single apparently disconfirming instance can,
  72. however, jeopardize any general statement.
  73.  
  74. The following hackneyed example is often given as a model for
  75. inductive generalization. You observe a crow and notice that it is
  76. black. You seek out many other crows and find (surprise) that they,
  77. too, are black. You conclude, tentatively, that all crows are black.
  78.  
  79. As the years roll by, you have occasion to observe other black crows,
  80. and never observe a crow that is not black. Your observations of black
  81. crows occur under widely varying conditions. Each new observation in
  82. the absence of disconfirming instances strengthens your belief that
  83. all crows are black.
  84.  
  85. Originally, of course, being black was not a defining characteristic
  86. of crows. After years of study, you reformulate the concept of
  87. crowness by including melanism amongst the theoretical baggage of
  88. being a crow. You are awarded the Nobel Prize for Avian Trivia and
  89. retire to Woodshole, where you spend your declining years wiring
  90. flowers to the grave of Burt Lancaster to commemorate his portrayal of
  91. the Bird Man of Alcatraz.
  92.  
  93. IV. Is Science Logical?
  94.  
  95. The general statement involved in our example of generalization is "If
  96. something is a crow, then it is black." We have seen that this
  97. statement is logically equivalent to its contrapositive, "If something
  98. is black, then it is not a crow", or, more simply, "All non-blacks are
  99. non-crows." Now, if science really proceeds logically, any evidence
  100. that tends to confirm a statement should tend to confirm any logically
  101. equivalent statement to exactly the same extent. Similarly,
  102. disconfirming evidence should be equipotent in respect to a statement
  103. and its contrapositive. We have arrived at the end of my garden path.
  104. So you see the paradox?
  105.  
  106. V. The Paradox
  107.  
  108. Our Nobel Laureate could have confirmed his hypothesis by observing
  109. non-blacks and noticing that they never turn out to be crows. He
  110. could, for example, have gone to Sears, inventoried all non-black
  111. items, noticed that none was a crow, and proclaimed his tentative
  112. conclusion, "All crows are black." Notice that if Sears does not sell
  113. parrots, the generalization "All parrots are black" is equally well
  114. confirmed.
  115.  
  116. Receiving a grant from William Proxmire, our savant could then have
  117. toured the shopping malls of Europe, sampling non-black merchandise,
  118. finding no crows, and proclaiming, "All non-blacks are non-crows", or,
  119. equivalently, "All crows are black."
  120.  
  121. Now, you may feel that I have cheated in some way, because non-blacks
  122. are so much more numerous than crows. I am not sure how this affects
  123. the prinicple involved, but it does create an apparent asymmetry
  124. between the original condition and its contrapositive. Consider,
  125. however, an astronomer attempting to support her thesis, "All type G
  126. stars have planetary systems."
  127.  
  128. Lacking the funding for adequate telescope time, she peers from the
  129. roof of her observatory onto the used car lot below. She proceeds by
  130. examining all Chevrolets failing to have planetary systems, and notes
  131. that none of them is a type G star. Given the frequency-of-repair
  132. records of GM cars, there are surely more type G stars than
  133. Chevrolets. So, here the numerical asymmetry is in the opposite
  134. direction.
  135.  
  136. There is some rationale for our stargazer's procedure. The more
  137. diverse the confirmatory evidence, the more effective the
  138. confirmation. Chevrolets are more diverse (remember the '59 Impala?),
  139. though less numerous, than type G stars. Nevertheless, we would be a
  140. bit uncomfortable accepting our astronomer's conclusion on the basis
  141. of such evidence. She would be laughed off the roof of the
  142. observatory.
  143.  
  144. VI. The Lineus Bottomus
  145.  
  146. Our conclusion is that sentences that are logically equivalent are not
  147. necessarily epistemologically equivalent. This would come as no
  148. surprise to serious students of science, for the philosophical and
  149. psychological literature is replete with such examples. Ours is merely
  150. a cautionary tale for those who believe that thinking logically is an
  151. adequate explication of thinking well. Sorry, Mr. Spock.
  152.  
  153.