home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Simtel MSDOS - Coast to Coast / simteldosarchivecoasttocoast2.iso / calculat / sm30a.zip / SYMBMATH.H36 < prev    next >
Text File  |  1993-11-07  |  3KB  |  102 lines
  1.             4.4    Limits  
  2.                         4.4.1  One-sided Limits
  3.     You can finds real or complex limits, and discontinuity or
  4. one-sided value.
  5.     First find the expression value by subs(y, x = x0) or the
  6. function value by f(x0) when x = x0.
  7.         If the result is the discont (i.e. discontinuity), then use the
  8. one-sided value x0+zero or x0-zero to try to find the one-sided function
  9. or expression value.
  10.     For a function f(x), you can evaluate the left- or right-sided 
  11. function value, similar you evaluate the normal function value:       
  12.         f(x0-zero)
  13.         f(x0+zero)
  14.     For an expression y, you can evaluate its one-sided expression 
  15. value by
  16.         subs(y, x = x0-zero)
  17.         subs(y, x = x0+zero)
  18.     The discont (discontinuity) means that the expression has
  19. a discontinuity and only has the one-sided value at x=x0. You should 
  20. use x0+zero or x0-zero to find the one-sided value. The value of 
  21. f(x0+zero) or f(x0-zero) is the right-sided or left-sided function value
  22. as approaching x0 from positive (+inf) or negative (-inf) direction, 
  23. respectively, i.e. as x = x0+ or x = x0-.
  24.         If the result is undefined (indeterminate forms, e.g. 0/0,
  25. inf/inf, 0*inf, and 0^0), then find its limit by 
  26.         lim(y, x = x0)
  27.         If the limit is discont, then you can find a left-
  28. or right-sided limit when x approaches to x0 from positive (+inf) 
  29. or negative (-inf) direction at discontinuity by 
  30.  
  31.         lim(y, x = x0+zero)
  32.         lim(y, x = x0-zero)
  33.  
  34.     Example 4.4.2. 
  35.         Evaluate y=exp(1/x) at x=0, if the result is discontinuty, find
  36. its left-sided and right-sided values (i.e. when x approaches 0 from
  37. positive and negative directions).
  38.  
  39. IN:  y:=exp(1/x)
  40. IN:  subs(y, x = 0)
  41. OUT: discont               # discontinuty at x=0
  42. IN:  subs(y, x = 0+zero), subs(y, x = 0-zero)
  43. OUT: inf, 0
  44.  
  45.       Example 4.4.3:
  46. How to handle the following one-sided values ?
  47.  
  48. Let f(x) = 1 when x < 1, f(x) = 1 when x > 1 (and not defined at x = 1).
  49. Let g(x) = 1 when x < 1, g(x) = 1 when x > 1, and g(1) = 2.
  50. Let h(x) = 1 when x < 1, h(x) = 2 when x >= 1.
  51. Let k(x) = 1 when x < 1, k(x) = 2 when x > 1, and k(1) = 3.
  52.  
  53. Now ask SymbMath to compute 
  54.  
  55. (1) the limit as x approaches 1,
  56. (2) the limit as x approaches 1 from the left, and
  57. (3) the limit as x approaches 1 from the right
  58.  
  59. for each of the above piecewise defined functiuons.
  60.  
  61. # define functions
  62. f(x_) :=  if(x<1 or x>1, 1)
  63. f(1+zero):=1
  64. f(1-zero):=1
  65. g(x_) := if( x<1 or x>1, 1)
  66. g(1):=2
  67. g(1+zero):=1
  68. g(1-zero):=1
  69. h(x_) := if( x<1, 1, 2)
  70. h(1+zero):=2
  71. h(1-zero):=1
  72. k(x_) := if( x<1, 1, if( x>1, 2))
  73. k(1):=3
  74. k(1+zero):=2
  75. k(1-zero):=1
  76. # evaluate functions
  77. IN:  f(1), g(1), h(1), k(1)
  78. OUT: f(1), 2, 2, 3
  79. IN:  f(1+zero), g(1+zero), h(1+zero), k(1+zero)
  80. # right-hand side value at x=1+
  81. OUT: 1, 1, 1, 1
  82. IN:  f(1-zero), g(1-zero), h(1-zero), k(1-zero)
  83. # left-hand side value at x=1-
  84. OUT: 1, 1, 2, 2
  85.  
  86.     Example 4.4.1. 
  87. Find limits of types 0/0 and inf/inf.
  88.  
  89. IN:  p:=(x^2-4)/(2*x-4)
  90. IN:  subs(p, x = 2)
  91. OUT: undefined
  92. IN:  lim(p, x = 2)
  93. OUT: 2
  94. IN:  subs(p, x = inf)
  95. OUT: undefined
  96. IN:  lim(p, x = inf)
  97. OUT: inf
  98.  
  99.                         4.4.2  Numeric limits: NLim()
  100.         If symbolic limit sometines fall, you should try numeric limit by
  101.                         nlim(y, x=x0)
  102.