Ji°φ Peterka

Nejprve se ale znovu vra¥me k zßv∞ru minulΘho dφlu, ve kterΘm jsme dosp∞li k velmi d∙le₧itΘmu zßv∞ru: tzv. modulaΦnφ rychlost, m∞°enß v Baudech a vyjad°ujφcφ poΦet zm∞n p°enßÜenΘho signßlu za jednotku Φasu, nßm jeÜt∞ ne°φkß nic o tom, kolik bit∙ je tφmto signßlem p°enßÜeno. Naproti tomu p°enosovß rychlost, m∞°enß v bitech za sekundu, nßm °φkß kolik datov²ch bit∙ je mo₧nΘ p°enΘst za Φasovou jednotku, a naopak nevypovφdß nic o zp∙sobu jak²m se toho dosahuje, neboli o Φetnosti zm∞n p°enßÜenΘho signßlu. Mezi ob∞ma veliΦinami p°itom zdaleka nemusφ platit rovnost - pokud se na vyjßd°enφ jednoho datovΘho bitu äspot°ebujφ" dv∞ zm∞ny p°enßÜenΘho signßlu (co₧ je dßno pou₧it²m zp∙sobem k≤dovßnφ jednotliv²ch bit∙), pak p°enosovß rychlost vychßzφ Φφseln∞ poloviΦnφ oproti rychlosti modulaΦnφ. Naopak, pokud jedna zm∞na p°enßÜenΘho signßlu je zm∞nou mezi Φty°mi mo₧n²mi stavy, pak ka₧dß takovßto zm∞na m∙₧e reprezentovat hned dva datovΘ bity, a p°enosovß rychlost bude tudφ₧ dvojnßsobnß oproti rychlosti p°enosovΘ. Ob∞ rychlosti se p°itom Φφseln∞ rovnajφ pouze v p°φpad∞, kdy je p°enßÜen² signßl pouze dvoustavov², a ka₧dß jeho zm∞na tak reprezentuje jeden jedin² datov² bit. Obecn∞ pak platφ vztah, kter² jsme si ji₧ takΘ uvedli v zßv∞ru minulΘho dφlu:

Rozdφl mezi modulaΦnφ a p°enosovou rychlostφ je nejmarkantn∞jÜφ u dneÜnφch telefonnφch modem∙. Ty toti₧ pou₧φvajφ Φasto dosti slo₧itΘ a komplikovanΘ metody modulace a k≤dovßnφ, dφky tomu dokß₧φ pracovat s relativn∞ velk²m poΦtem mo₧n²ch stav∙ p°enßÜenΘho signßlu, a sv²ch p°enosov²ch rychlostφ tudφ₧ dosahujφ i p°i relativn∞ nφzk²ch modulaΦnφch rychlostech. Na druhou stranu jim jinΘ °eÜenφ nezb²vß, proto₧e majφ k dispozici p°enosov² kanßl s pevn∞ danou Üφ°kou p°enosovΘho pßsma (300 a₧ 3400 Hz, neboli 3,1 kHz), a podle Nyquistova kritΘria (viz minule) na n∞m nemß smysl pou₧φvat vyÜÜφ modulaΦnφ rychlost ne₧ 6200 Baud∙ (tj. Φφseln∞ dvojnßsobnou oproti Üφ°ce pßsma). V praxi jsou ale stejn∞ pou₧φvßny jeÜt∞ ni₧Üφ modulaΦnφ rychlosti, jak ukazuje dneÜnφ tabulka. Z nφ vidφme, ₧e nap°φklad modem s p°enosovou rychlostφ 14,4 kilobit∙ za sekundu pracuje se signßlem, kter² se m∞nφ 2400-krßt za sekundu (tj. mß modulaΦnφ rychlost 2400 Bd), p°iΦem₧ tento signßl m∙₧e nab²vat celkem n=2⁶neboli 64 r∙zn²ch hodnot, a jedna zm∞na tohoto signßlu tudφ₧ reprezentuje Üest bit∙.

A jeÜt∞ jednu poznßmku: kdyby vßm n∞kdo nabφzel modem s p°enosovou rychlostφ nap°φklad 2400 Baud∙, obra¥te se k n∞mu zßdy. Plete si toti₧ hruÜky a jablka.

P°enosovß rychlost, v bitech za sekundu	ModulaΦnφ rychlost, v Baudech	n - poΦet rozliÜovan²ch stav∙ p°enßÜenΘho signßlu	log2(n) - poΦet bit∙, reprezentovan²ch jednou zm∞nou p°enßÜenΘho signßlu	oznaΦenφ p°enosovΘho standardu
2400	600	16	4	V.22bis
9600	2400	16	4	V.32
14400	2400	64	6	V.32bis
28800	2400-3200	512	9	V.34

Shannon∙v teorΘm

Odpov∞∩ zaΦneme hledat vzoreΦcφch a vztazφch, kterΘ jsme si ji₧ d°φve naznaΦili: jestli₧e maximßlnφ modulaΦnφ rychlost je podle Nyqistova kritΘria dvojnßsobnß oproti dostupnΘ Üφ°ce p°enosovΘho pßsma, a tato Üφ°ka p°enosovΘho pßsma je pro danou p°enosovou cestu fixovßna (je nem∞nnß), pak z toho jednoduÜe vypl²vß, ₧e modulaΦnφ rychlost nelze libovoln∞ dlouho zvyÜovat (a jejφ maximßlnφ hodnota je takΘ pevn∞ dßna). Jestli₧e p°enosovß rychlost zßvisφ na modulaΦnφ rychlosti podle dnes ji₧ jednou uvedenΘho vzoreΦku

Podφvejme se ale na tuto mo₧nost nejprve obyΦejn²m äselsk²m rozumem": budeme-li zvyÜovat poΦet mo₧n²ch stav∙ p°enßÜenΘho signßlu, bude Φφm dßl tφm t∞₧Üφ je sprßvn∞ rozpoznat, resp. rozliÜit od sebe. Intuitivn∞ je tedy vcelku z°ejmΘ, ₧e n∞co takovΘho nem∙₧eme d∞lat libovoln∞ dlouho, ale ₧e d°φve Φi pozd∞ji narazφme na mez, za kterou u₧ p°φjemce nebude schopen dostateΦn∞ p°esn∞ rozliÜit stavy p°ijφmanΘho signßlu.

Zajφmavou otßzkou ovÜem je, zda tato mez je dßna naÜimi momentßlnφmi schopnostmi, resp. dokonalostφ p°enosovΘ techniky a je mo₧nΘ oΦekßvat jejφ postupnΘ posouvßnφ, nebo zda jde o mez zßvislou na n∞Φem jinΘm, co nemß s dokonalostφ dostupnΘ techniky nic spoleΦnΘho (a co se tudφ₧ nemusφ posunout ani p°i sebedokonalejÜφ technice).

Odpov∞∩ je (bohu₧el) takovß, ₧e zmφn∞nß hranice je principißlnφho charakteru, a je nezßvislß na dokonalosti naÜφ techniky a technologie. Jin²mi slovy: i kdyby se v²robci modem∙ sna₧ili sebevφce, p°es onu magickou hranici se nikdy nedostanou.

Ale kde ona hranice le₧φ? Tφm, kdo tuto hranici nalezl (v roce 1948), byl zakladatel modernφ teorie informace, pan Claude Shannon. Ten toti₧ zjistil, ₧e maximßlnφ dosa₧itelnß p°enosovß rychlost zßvisφ jednak na dostupnΘ Üφ°ce p°enosovΘho pßsma (co₧ je ihned z°ejmΘ), ale pak u₧ jen na äkvalit∞" p°enßÜenΘho signßlu, vyjßd°enΘ tφm jak dob°e jej lze odliÜit od nep°φzniv²ch vliv∙, zejmΘna vÜudyp°φtomnΘho Üumu. KonkrΘtnφ vzoreΦek zßvislosti p°enosovΘ rychlosti na uveden²ch veliΦinßch, oznaΦovan² takΘ jako tzv. Shannon∙v teorΘm, je nßsledujφcφ:

P°itom pom∞r äsignßl/Üum" (tΘ₧: odstup signßlu od Üumu) je veliΦina, kterß je op∞t dßna reßln²mi obvodov²mi vlastnostmi konkrΘtnφ p°enosovΘ cesty, a v praxi v∞tÜinou nenφ mo₧nΘ ji v²razn∞ji ovlivnit (vyjad°uje toti₧ mφru toho, jak se do äu₧iteΦnΘho" signßlu p°imφchßvajφ jinΘ signßly ruÜivΘho charakteru). Nap°φklad kvalitnφ komutovanß linka analogovΘ ve°ejnΘ telefonnφ sφt∞ dosahuje odstupu signßl/Üum 1000:1. Dosazenφm tΘto hodnoty do Shannonova vzoreΦku (spolu s Üφ°kou p°enosovΘho pßsma 3,1 kHz) nßm vyjde, ₧e maximßlnφ dosa₧itelnß p°enosovß rychlost na b∞₧n²ch komutovan²ch linkßch ve°ejnΘ telefonnφ sφt∞ je kolem 30 000 bit∙ za sekundu!!

Kupte si perpetuum mobile!

Uv∞domme si dob°e, co prßv∞ vyslovenΘ tvrzenφ znamenß: Shannon∙v teorΘm je zcela nezßvisl² na technickΘ dokonalosti - nenajdete v n∞m ani vliv pou₧itΘ modulace, ani vliv pou₧itΘho k≤dovßnφ. To ale znamenß, ₧e sebedokonalejÜφ technika p°enosu dat nem∙₧e p°i pevn∞ danΘ Üφ°ce pßsma a kvalit∞ p°enosu (danΘ odstupem signßlu od Üumu) p°ekroΦit mez danou Shannonov²m teorΘmem. Snahy p°ekonat tuto mez pak majφ stejnou Üanci na ·sp∞ch, jako snahy sestrojit perpetuum mobile.

Jakß je ale souΦasnß praxe v oblasti telefonnφch modem∙ pro komutovanΘ linky ve°ejnΘ telefonnφ sφt∞? Dnes ji₧ existujφ (a jsou b∞₧n∞ k dostßnφ) modemy pro p°enosovou rychlost 28,8 kbps, kterΘ se teoretickΘ hranici vypl²vajφcφ z Shannonova teorΘmu velmi blφ₧φ. Sv∞dΦφ to mimo jinΘ i o vysp∞losti naÜφ souΦasnΘ techniky.

Na trhu vÜak ji₧ dnes jsou i modemy, dosahujφcφ p°enosovΘ rychlosti 33 kilobit∙, co₧ je nad hranicφ danou Shannonov²m teorΘmem (a nejde p°itom o podvod). Poda°ilo se tedy zkonstruovat perpetuum mobile, resp. vyvrßtit Shannon∙v teorΘm?

Nikoli, to skuteΦn∞ nejde. Zmφn∞nΘ modemy pro 33 kbps pln∞ respektujφ Shannon∙v teorΘm, nebo¥ pou₧φvajφ o n∞co v∞tÜφ Üφ°ku pßsma ne₧ p∙vodnφch 3,1 kHz. Dokß₧φ toti₧ vyu₧φt i okrajovΘ Φßsti p°enosovΘho spektra b∞₧n²ch komutovan²ch linek ve°ejnΘ telefonnφ sφt∞ (viz obrßzek), kterΘ ji₧ majφ natolik ÜpatnΘ p°enosovΘ vlastnosti, ₧e pro ostatnφ modemy nejsou pou₧itelnΘ - vlastn∞ si tφm dokß₧φ äroztßhnout" p∙vodnφ p°enosovΘ pßsmo o Üφ°ce 3,1 kHz.