Uwa┐am za niezwykle wa┐ne, aby r≤wnanie logistyczne by│o wprowadzane we wczesnej fazie edukacji matematycznej. R≤wnanie to mo┐na badaµ fenomenologicznie przez przeprowadzanie jego iteracji na kalkulatorze lub nawet rΩcznie. Badanie jego nie wymaga u┐ywania tak skomplikowanych pojΩµ, jakich u┐ywamy przy rachunku r≤┐niczkowym. mo┐e jednak znacznie wzbogaciµ intuicjΩ ucznia dotycz▒c▒ uk│ad≤w nieliniowych. Powodzi│oby nam siΩ wszystkim lepiej nie tylko w pracy naukowej, ale r≤wnie┐ w ┐yciu politycznym i ekonomicznym, je┐eli szersza by│aby wiedza o tym, ┐e proste uk│ady nieliniowe niekoniecznie maj▒ prost▒ ewolucjΩ.

Robert M. May (Granice chaosu - Fraktale")

Fraktale to samopodobne zbiory punkt≤w na prostej, p│aszczy╝nie, przestrzeni, czasoprzestrzeni. Samopodobny oznacza, ┐e wszystkie czΩ╢ci fraktala s▒ podobne do ca│o╢ci.

Fraktale s▒ strukturami geometrycznymi, kt≤rych ╢cis│a definicja nie istnieje. Mo┐na powiedzieµ, ┐e fraktale s▒ przeciwie±stwem geometrii euklidesowej. Figury takie jak kwadrat, czy tr≤jk▒t stworzono do uproszczenia rzeczywistego obrazu przyrody i nie spotkamy ich w otaczaj▒cej nas rzeczywisto╢ci. Chmura nie jest elips▒, pie± drzewa walcem, a horyzont lini▒ prost▒ - ich kszta│ty s▒ o wiele bardziej skomplikowane i nie da siΩ ich opisaµ za pomoc▒ prostych figur geometrycznych. Mo┐na powiedzieµ, ┐e ich kszta│ty s▒ fraktalne.

W 1980r. Benoit Mandelbrot bada│ pewne wielomiany zespolone i uzyska│ interesuj▒ce wyniki. Otrzymane przez niego "bezkszta│tne figury" nazwa│ fraktalami, co z │aciny oznacza "podzielny, u│amkowy". Ta nazwa doskonale oddaje strukturΩ fraktali, bo charakteryzuje je wysokie samopodobie±stwo. W zwyk│ej geometrii, prostej przypisujemy wymiar 1, p│aszczy╝nie 2, przestrzeni 3. Dla fraktali wymiar nie jest liczb▒ ca│kowit▒.

Pos│uguj▒c siΩ liczbami rzeczywistymi czasami napotkaµ mo┐na przeszkody. Nie mo┐na np. wyci▒gn▒µ pierwiastka z liczby ujemnej. W tym celu wymy╢lono liczbΩ i tak▒, ┐e i*i=-1. Ta liczba nie mo┐e byµ oczywi╢cie liczb▒ rzeczywist▒, bo kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest dodatni lub r≤wny 0. PrzyjΩto, ┐e liczby, kt≤rych kwadraty s▒ ujemne bΩd▒ siΩ nazywaµ liczbami urojonymi.

Gdy wiadomo, ile wynosi pierwiastek z -1, bez trudu mo┐na wyci▒gn▒µ pierwiastek z dowolnej liczby. Je┐eli a to dodatnia liczba rzeczywista, to jest pierwiastkiem z ujemnej liczby -a.

Liczby zespolone powstaj▒ z dodawania do siebie liczb rzeczywistych i urojonych. Liczba zespolona ma postaµ: a+ib, gdzie liczby a i b to rzeczywista i urojona czΩ╢µ liczby zespolonej. Liczby zespolone dodaje siΩ i mno┐y tak samo jak rzeczywiste, pamiΩtaµ nale┐y tylko, ┐e i*i=-1.

(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)
(a+ib)*(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)

Fraktale s▒ graficzn▒ interpretacj▒ r≤wna± zespolonych.

AUTOMATY KOM╙RKOWE

Automaty kom≤rkowe powstaj▒ jako efekt dzia│ania zwyk│ych automat≤w wielostanowych poruszaj▒cych siΩ po p│aszczy╝nie.

SYMULACJE PROCES╙W MATEMATYCZNYCH I FIZYCZNYCH

Za pomoc▒ fraktali mo┐na uzyskaµ wizualizacje proces≤w osadzania elektrolitycznego, atraktory Henona, Lorenza, Loziego, Rossela, a tak┐e diagramy bifurkacji Feigenbauma.

FRAKTALE IFS

Fraktale IFS s▒ punktami sta│ymi operatora Hutchinsona dla uk│ad≤w odwzorowa± afinicznych w przestrzeni zupe│nej. Do fraktali IFS nale┐y Tr≤jk▒t Sierpi±skiego, Paproµ Barnsley'a, a tak┐e IFSowe drzewko powsta│e w wyniku przybli┐ania punktu sta│ego 5 odwzorowa± afinicznych.

KRZYWA KOCHA

Dzielimy odcinek na trzy czΩ╢ci. Usuwamy czΩ╢µ ╢rodkow▒. W jej miejsce wstawiamy tr≤jk▒t r≤wnoboczny o boku takim samym jak usuniΩta czΩ╢µ. Tak samo postΩpujemy z ka┐dym powsta│ym docinkiem. P│atek Kocha powstaje z po│▒czenia trzech Krzywych Kocha.

ZBI╙R CANTORA

Dzielimy odcinek na trzy czΩ╢ci. Usuwamy czΩ╢µ ╢rodkow▒. Tak samo postΩpujemy z kolejnymi powsta│ymi odcinkami i tak w niesko±czono╢µ.

ZBI╙R JULII

Zbiory Julii s▒ brzegami zbior≤w pewnych odwzorowa± na p│aszczy╝nie zespolonej. Sp≤jnych zbior≤w Julii na p│aszczy╝nie zespolonej jest continuum. Je┐eli jaki╢ zbi≤r Julii jest sp≤jny, to odpowiadaj▒cy mu punkt nale┐y do zbioru Mandelbrota.

ZBI╙R MANDELBROTA

Zbi≤r Mandelbrota powstaje poprzez zastosowanie wzoru rekurencyjnego Z α Z*Z+C, gdzie Z i C to liczby zespolone. Dla niekt≤rych warto╢ci Z i C ci▒g ten jest ograniczony, dla innych nie. Je┐eli ci▒g jest ograniczony, rysujemy czarny punkt o wsp≤│rzΩdnych odpowiadaj▒cych liczbie Z. W przeciwnym wypadku nie stawiamy nic, lub rysujemy punkt o kolorze odpowiadaj▒cym ilo╢ci iteracji, po jakiej ci▒g przekroczy│ warto╢µ graniczn▒. Aby narysowaµ ca│y zbi≤r trzeba zmieniµ Z w zakresie -1.5,1.7 (o╢ rzeczywista) oraz -1.2,1.2 (o╢ urojona). Jako warunek sko±czono╢ci przyjmuje siΩ, ┐e odleg│o╢µ Z od pocz▒tku uk│adu wsp≤│rzΩdnych ma byµ mniejsza od 2. Dla ka┐dego punktu pocz▒tkowo Z=C.

TR╙JKíT SIERPI╤SKIEGO

Tw≤rc▒ Tr≤jk▒ta Sierpi±skiego jest polski matematyk Wac│aw Sierpi±ski (1882-1969), jeden z najwybitniejszych polskich matematyk≤w.

Rysujemy tr≤jk▒t r≤wnoboczny (wype│niony). Wybieramy ╢rodki jego trzech bok≤w. Punkty wraz z wierzcho│kami pierwszego tr≤jk▒ta wyznaczaj▒ teraz cztery mniejsze tr≤jk▒ty, z kt≤rych usuwamy ╢rodkowy. Tak samo postΩpujemy z ka┐dym powsta│ym tr≤jk▒tem.

GRA W CHAOS

Nie jest to jedna gra, a niesko±czenie wiele gier, kt≤re podlegaj▒ tym samym zasadom. Do gry potrzebna jest kartka papieru i o│≤wek. Zaznaczamy na kartce trzy punkty numeruj▒c je 1, 2, 3. S▒ to bazy. Bierzemy kostkΩ, by m≤c wylosowaµ 1, 2, 3. KostkΩ tak▒ otrzymamy przerabiaj▒c zwyk│▒ kostkΩ, wystarczy, ┐e za sz≤stkΩ podstawimy jedynkΩ, za pi▒tkΩ dw≤jkΩ, za czw≤rkΩ tr≤jkΩ. Rozpoczynamy grΩ.

Najpierw wybieramy dowolny punkt na kartce i zaznaczamy go kropk▒. Jest to punkt wiod▒cy. Teraz rzucamy kostk▒. Je┐eli wypadnie np. 1 to wyznaczamy odcinek pomiΩdzy punktem wiod▒cym i baz▒ 1 oraz zaznaczamy punkt dok│adnie w ╢rodku tego odcinka (dok│adnie w po│owie miΩdzy punktem wiod▒cym i baz▒ 1). Otrzymali╢my nowy punkt wiod▒cy. Teraz zn≤w rzucamy kostk▒, by losowo otrzymaµ liczbΩ 1, 2 lub 3 i w zale┐no╢ci od rezultatu wyznaczyµ nowy punkt wiod▒cy w po│owie pomiΩdzy poprzednim punktem wiod▒cym, a losowo wybran▒ baz▒. Przy du┐ej liczbie powt≤rze± tej gry naszym oczom uka┐e siΩ wyra╝nie zarysowany Tr≤jk▒t Sierpi±skiego.

Podobne informacje o fraktalach znajdziecie na wielu stronach WWW - tak┐e polskich. Polecam stronΩ www.fraktale.prv.pl. Je┐eli chcesz zaj▒µ siΩ ich tworzeniem to albo naucz siΩ programowaµ w C albo ╢ci▒gnij sobie z witryny www.ultrafractal.com program Ultrafractal.

Maciej Buli±ski

_________________________ 56 _________________________

:: Poprzednia strona :: Menu :: NastΩpna strona ::