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Text File  |  1992-08-04  |  9KB  |  228 lines
  1. % file: Example.tex                                 TeXsis version 2.15
  2. % $Revision: 15.3 $  :  $Date: 92/06/30 14:42:28 $  :  $Author: myers $
  3. %======================================================================*
  4. % This is a sample paper typeset with TeXsis, to give you a quick idea
  5. % of how it's done.  Note: this is just hacked together from an old
  6. % conference proceedings, so it's not a real paper.  -EAM
  7.  
  8.  
  9. \texsis         % this tells everyone that it's a TeXsis manuscript file
  10.  
  11.  
  12. % Saying \draft puts a time-stamp, page number, etc. on the page,
  13. % but you don't want it for the final version of the paper.
  14. %%\draft  
  15.  
  16.  
  17. % Document Format:  uncomment one of these lines to select the style
  18. % in which the paper is printed:
  19. %
  20. %\preprint                       % Preprint style
  21. %\nuclproc                       % Nuclear Physics Proceedings style
  22. %\twinout\tenpoint\def\Tbf{\twelvebf}\def\tbf{\tenbf}
  23. \PhysRev                        % Physical Review style
  24.  
  25. % ---
  26.  
  27. % some macros used in this paper:
  28.  
  29. \def\Kb{{\bar K^2 \over \beta_R}}
  30.  
  31. % ---
  32. % BEGIN:
  33.  
  34. \titlepage                              % begin title page material
  35. \title
  36. Noncompact nonlinear sigma models 
  37. and numerical quantum gravity
  38. \endtitle
  39. \author
  40. Eric Myers, Bryce DeWitt, Rob Harrington, and Arie Kapulkin
  41. Center for Relativity, Department of Physics\\ 
  42. University of Texas, Austin, Texas 78705 USA
  43. \endauthor
  44. \abstract
  45. Studying the $O(2,1)$ nonlinear sigma model is a useful step toward
  46. determining whether or not a consistent quantum theory of gravity (based
  47. on the Einstein-Hilbert action) exists.  Like gravity, the sigma model
  48. is not perturbatively renormalizable, and corresponding Feynman graphs
  49. in the two theories have the same na\"{\i}ve degrees of divergence.  Both
  50. theories also have a single overall dimensionful coupling constant, and
  51. both have a configuration space which is noncompact and curved. The
  52. sigma model allows one to study the renormalizability properties of such
  53. theories without the added complications of local symmetries.  
  54. \endabstract
  55. \bigskip
  56. \endtitlepage   % will start \doublecolumns for \nuclproc
  57.                                         
  58. % ---
  59. % Now start in on the text of the paper...
  60. % ---
  61.  
  62. Quantum Field Theory and the theory of General Relativity are,
  63. separately, probably the two most successful physical theories of this
  64. century.  This notwithstanding, nobody has yet been able to bring the
  65. two together into one complete and consistent quantum theory of gravity.
  66. One major impediment to such a theory is that, unlike gauge field
  67. theories, gravity with the Einstein-Hilbert action
  68. $$
  69. S = {1 \over 16\pi G_N} \int d^4x\,  \sqrt{g} R
  70. \EQN 1$$
  71. is not renormalizable, at least not by the usual methods of perturbation
  72. theory. This has lead a number of physicists to adopt the position that
  73. General Relativity is only the low energy limit of some other quantum
  74. theory, such as superstring theory.  An alternative view which one
  75. can adopt, however, is that the failure of perturbation theory in the
  76. case of gravity is not an indication that the theory is inconsistent,
  77. but only that the mathematical tools one has used are inadequate.  To
  78. pursue a quantum theory of gravity in this direction one needs a
  79. nonperturbative method of calculation: the methods of lattice field
  80. theory, which have already been applied to gauge theories, are
  81. immediately suggested.  One also needs a simple model with which to test
  82. the ideas of nonperturbative renormalizability without the complicated
  83. structure of the full theory of General Relativity.  This paper
  84. describes our work with such a model, the $O(2,1)$ noncompact nonlinear
  85. $\sigma$-model.\reference{DeWitt, 1989}
  86. B.S.~DeWitt, ``Nonlinear sigma models in 4 dimensions: a lattice definition,''
  87. lectures given at the International School of Cosmology and Gravitation,
  88. ``Ettore Majorana'' Centre for Scientific Culture, Erice, Sicily, May 1989
  89. \endreference\relax
  90.  
  91. The model we consider consists of three scalar fields $\varphi_a$
  92. described by the action
  93. $$
  94. S = \half \mu^2 \int d^4 x \, \eta^{ab}
  95.      \del_\mu \varphi_a \del^\mu \varphi_b  \,,
  96. \EQN 2$$
  97. with $\eta_{ab}={\rm diag}(-1,+1,+1)$ and with the fields obeying
  98. the constraint
  99. $$
  100. -\varphi_0^2 +  \varphi_1^2 +  \varphi_2^2 = -1
  101.         \qquad (\varphi_0 > 0)          \,.
  102. \EQN 3$$
  103. The manifold of constraint is the two dimensional surface of constant
  104. negative curvature represented schematically 
  105. in \Fig{1}.  It is the coset space
  106. $O(2,1)/O(2)\times Z_2$, but for simplicity we refer to \Eqs{2} and
  107. \Ep{3} as the $O(2,1)$ nonlinear $\sigma$-model.  There are several
  108. reasons this model is of interest:
  109.  
  110. \item{1)}
  111. For dimensionless fields $\varphi_a$ the coupling constant $\mu^2$ has
  112. units of $(length)^2$, the same as $1/G_N$ in the Einstein-Hilbert
  113. action.  Thus $\mu$ plays the role of the Planck mass in the theory.
  114. Furthermore this means that Feynman graphs in the $\sigma$-model have
  115. the same na\"{\i}ve degree of divergence as similar graphs in gravity,
  116. so that the model has the same renormalizability structure (actually the
  117. same perturbative non-renormalizability structure) as the theory of
  118. gravity. 
  119.  
  120. \item{2)}
  121. As in gravity, the fields of the $\sigma$-model obey a constraint,
  122. and the configuration space defined by the constraint is both {\it
  123. curved} and {\it noncompact}.
  124.  
  125. \item{3)}
  126. The surface of constraint is invariant under global $O(2,1)$
  127. transformations, but 
  128. % unlike gravity 
  129. there is no local symmetry in the
  130. model.  This is a great simplification which lets us study just the
  131. renormalizability properties of the model without the added
  132. complications introduced by local symmetries.
  133.  
  134. \item{4)}
  135. Unlike gravity, the Euclidean action of the $\sigma$-model is bounded
  136. from below.  The unboundedness of the gravitational action is a serious
  137. problem which must be dealt with at some point, but one which we want to
  138. avoid entirely for now.
  139.  
  140. \figure{1}
  141. \forceleft
  142. \vskip\colwidth         % just leave some space to glue in figure
  143. %%\epsfbox{o21.ps}        % or include with epsf
  144. \caption{The constraint surface of the $O(2,1)$ noncompact nonlinear
  145. $\sigma$-model.} 
  146. \endfigure
  147.  
  148. \medskip
  149.  
  150. The transcription of the $\sigma$-model to the lattice is more or less
  151. standard with one exception, our definition of the lattice derivative.
  152. Rather than using the simple difference between field values at
  153. neighboring lattice sites we use the geodesic distance between two
  154. points on the constraint surface.  The lattice action is thus
  155. $$
  156. S = \half \mu^2 \sum_x a^4 \sum_{\hat\mu}
  157.         [{ \Delta(\varphi(x+\hat\mu a), \varphi(x)) \over a}]^2 \,,
  158. \EQN 4$$
  159. where $\Delta(\varphi,\varphi^\prime)$ is the arc length between
  160. $\varphi$ and $\varphi^\prime$ on the manifold,
  161. $$
  162. \Delta(\varphi,\varphi^\prime) = 
  163.         \cosh^{-1}(-\eta^{ab} \varphi_a\varphi^\prime_b) \,.
  164. \EQN 5$$
  165. Our reason for this choice is that it is consistent with the idea that
  166. the fields be restricted only to the constraint surface of the
  167. $\sigma$-model.
  168. In contrast, simply taking the na\"{\i}ve difference between fields, as
  169. is usually done for compact $\sigma$-models, produces a difference
  170. vector which does not lie in the manifold of constraint.  While both
  171. methods lead to the same classical continuum limit there is nothing that
  172. guarantees that the quantum theories obtained from the two lattice
  173. definitions will be the same.
  174.  
  175.    It is convenient to factor the dependence on the lattice spacing $a$
  176. out to the front of \Eq{4} and to define the dimensionless coupling
  177. constant $\beta = \mu^2 a^2$.  If the theory is nonperturbatively
  178. renormalizable the Planck mass $\mu$ will be renormalized to $\mu_R$,
  179. which results in a renormalized dimensionless coupling constant
  180. $$
  181. \beta_R = \mu_R^2 a^2   \,.
  182. \EQN 6$$
  183. The renormalized Planck mass defines a characteristic length scale
  184. $1/\mu_R$ for the interactions of the theory.  The lattice approximation
  185. to the continuum theory will be reliable when $a \ll 1/\mu_R \ll L=Na$.
  186. Considering each inequality separately, this requires
  187. $$
  188. \mu_R a = \sqrt{\beta_R}  \ll 1 
  189. \qquad \hbox{\rm and} \qquad
  190.  N   \gg {1\over \sqrt{\beta_R}}
  191. \EQN 7$$
  192. In the continuum limit $a \to 0$, hence $\beta \to 0$, and for $\mu_R$
  193. to remain finite this requires $\beta_R \to 0$.  If this condition is
  194. not fulfilled then it would appear to be impossible to define a
  195. consistent quantum field theory from the $\sigma$-model, even
  196. nonperturbatively. 
  197.  
  198. %----------------------------
  199. \figure{2}
  200. \forceright             % force this to the righthand column
  201. \vskip\colwidth         % leave this much space 
  202. %%\epsfbox{beta.ps}       % or include with EPSF
  203. \caption{The renormalized dimensionless coupling constant $\beta_R$
  204. plotted against the bare coupling constant $\beta$ for an $N=10$
  205. lattice.} 
  206. \endfigure
  207. %----------------------------
  208.  
  209. In \Fig{2} we show $\beta_R$ plotted as a function of $\beta$ as
  210. obtained from Monte Carlo simulations on an $N=10$ lattice.  As can
  211. clearly be seen, $\beta_R$ vanishes nowhere.  We therefore conclude that
  212. the $O(2,1)$ nonlinear sigma model does not have an interacting
  213. continuum limit.  One may view $1/\mu_R$ as the renormalized coupling
  214. constant in the theory, in which case our result implies that the model
  215. is ``trivial'' (in the technical sense) in that the continuum limit is a
  216. free field theory.
  217.  
  218. This work was supported by NSF grants PHY\-8617103 and PHY\-8919177.
  219.  
  220. \smallskip
  221. %\nosechead{References}         % header for references
  222. %\nobreak
  223. \ListReferences
  224.  
  225. \bye
  226.  
  227. %>>> EOF Example.tex <<<
  228.