home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Collection of Hack-Phreak Scene Programs / cleanhpvac.zip / cleanhpvac / MATHSCT1.ZIP / README.TYL < prev    next >
Text File  |  1989-09-16  |  6KB  |  148 lines
  1.                                  TAYLOR SERIES
  2.  
  3. This slide show consists of graphs of various functions together with some of
  4. their Taylor polynomials about the origin.
  5.  
  6. When viewing the slides, the following keys are operational:
  7.  
  8. HOME      takes you to the first slide in the sequence you selected
  9. END       takes you to the last slide in the sequence you selected
  10. UP ARROW  takes you to the previous slide in the sequence you selected
  11. F9        immediately quit the program
  12.  
  13. These keys do NOT operate like that while you are reading this document.
  14.  
  15. A.  exp(x)
  16.      This graphs exp(x) in the interval -2 < x < 2, and then overlays it with
  17. the polynomials
  18.      1
  19.      1 + x
  20.      1 + x + x^2/2!
  21.      1 + x + x^2/2! + x^3/3!
  22.      1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4!
  23.      1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!
  24. The radius of convergence of the Taylor series is infinity.
  25.  
  26. B.  sin(x)
  27.      This graphs sine(x) in the interval 0 < x < 2π, and then overlays it with
  28. the polynomials
  29.      x
  30.      x - x^3/3!
  31.      x - x^3/3! + x^5/5!
  32.      x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7!
  33.      x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + x^9/9!
  34.      x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + x^9/9! - x^11/11!
  35. The radius of convergence of the Taylor series is infinity.
  36.  
  37. C.  cos(x)
  38.      This graphs cosine(x) in the interval 0 < x < 2π, and then overlays it with
  39. the polynomials
  40.      1
  41.      1 - x^2/2!
  42.      1 - x^2/2! + x^4/4!
  43.      1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6!
  44.      1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + x^8/8!
  45.      1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + x^8/8! - x^10/10!
  46. The radius of convergence of the Taylor series is infinity.
  47.  
  48. D.  1/(1 - x), -1 < x < 1
  49.      This graphs 1/(1 - x) in the interval -1 < x < 1, and then overlays it with
  50. the polynomials
  51.      1
  52.      1 + x
  53.      1 + x + x^2
  54.      1 + x + x^2 + x^3
  55.      1 + x + x^2 + x^3 + x^4
  56.      1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5
  57. The radius of convergence of the Taylor series is 1.  Notice what is happening
  58. near -1.  The larger the polynomial, the better it is at approximating the
  59. function.
  60.  
  61. E.  1/(1 - x), -2 < x < 2
  62.      This graphs 1/(1 - x) in the interval -2 < x < 2, and then overlays it with
  63. the polynomials
  64.      1
  65.      1 + x
  66.      1 + x + x^2
  67.      1 + x + x^2 + x^3
  68.      1 + x + x^2 + x^3 + x^4
  69.      1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5
  70. The radius of convergence of the Taylor series is 1, but the function 1/(1-x) is
  71. defined for all x except 1.  This is a good way of graphically demonstrating
  72. that a function may a have a Taylor expansion valid in a smaller domain than the
  73. function is defined.  The interval of convergence is shown on the screen and it
  74. is easy to see that for x < -1 and x > 1, the approximation becomes worse as the
  75. number of terms increases, as distinct from what happens for -1 < x < 1.
  76.  
  77. F.  arc tan(x),  -1 < x < 1
  78.      This graphs arc tan(x) in the interval -1 < x < 1, and then overlays it
  79. with the polynomials
  80.      x
  81.      x - x^3/3
  82.      x - x^3/3 + x^5/5
  83.      x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7
  84.      x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + x^9/9
  85.      x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + x^9/9 - x^11/11
  86. The radius of convergence of the Taylor series is 1.
  87.  
  88. G.  arc tan(x),  -2 < x < 2
  89.      This graphs arc tan(x) in the interval -2 < x < 2, and then overlays it
  90. with the polynomials
  91.      x
  92.      x - x^3/3
  93.      x - x^3/3 + x^5/5
  94.      x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7
  95.      x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + x^9/9
  96.      x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + x^9/9 - x^11/11
  97. The radius of convergence of the Taylor series is 1, but the function arc tan(x)
  98. is defined for all x.  This is a good way of graphically demonstrating that a
  99. function may a have a Taylor expansion valid in a smaller domain than the
  100. function is defined.  The interval of convergence is shown on the screen and it
  101. is easy to see that for x outside this interval the approximation becomes worse
  102. as the number of terms increases.
  103.  
  104. H.  sqrt(1 + x),  -1 < x < 1
  105.      This graphs sqrt(1 + x) in the interval -1 < x < 1, and then overlays it
  106. with the polynomials
  107.      1
  108.      1 + x/2
  109.      1 + x/2 - x^2/8
  110.      1 + x/2 - x^2/8 + x^3/16
  111.      1 + x/2 - x^2/8 + x^3/16 - 5x^4/125
  112.      1 + x/2 - x^2/8 + x^3/16 - 5x^4/125 + 7x^5/256
  113. The radius of convergence of the Taylor series is 1.
  114.  
  115. I.  sqrt(1 + x),  -1 < x < 3
  116.      This graphs sqrt(1 + x) in the interval -1 < x < 3, and then overlays it
  117. with the polynomials
  118.      1
  119.      1 + x/2
  120.      1 + x/2 - x^2/8
  121.      1 + x/2 - x^2/8 + x^3/16
  122.      1 + x/2 - x^2/8 + x^3/16 - 5x^4/125
  123.      1 + x/2 - x^2/8 + x^3/16 - 5x^4/125 + 7x^5/256
  124. The radius of convergence of the Taylor series is 1, but the function sqrt(1+x)
  125. is defined for all x > -1.  This is a good way of graphically demonstrating that
  126. a function may a have a Taylor expansion valid in a smaller domain than the
  127. function is defined.  The interval of convergence is shown on the screen and it
  128. is easy to see that for x outside this interval the approximation becomes worse
  129. as the number of terms increases.
  130.  
  131. J.  log(1 + x), -2 < x < 2
  132.      This graphs log(1 + x) in the interval -2 < x < 2, and then overlays it
  133. with the polynomials
  134.      x
  135.      x - x^2/2
  136.      x - x^2/2 + x^3/3
  137.      x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4
  138.      x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5
  139.      x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 - x^6/6
  140. The radius of convergence of the Taylor series is 1, but the function log(1+x)
  141. is defined for all x > -1.  This is a good way of graphically demonstrating that
  142. a function may a have a Taylor expansion valid in a smaller domain than the
  143. function is defined.  The interval of convergence is shown on the screen and it
  144. is easy to see that for x > 1, the approximation becomes worse as the number of
  145. terms increases, as distinct from what happens for -1 < x < 1.
  146.  
  147. When you have finished reading this document, press Q to quit.
  148.