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|000007b0| 6e 64 69 74 69 6f 6e 20 | 6f 66 0a 65 71 75 61 74 |ndition |of.equat|
|000007c0| 69 6f 6e 7e 5c 72 65 66 | 7b 70 72 6f 64 75 63 74 |ion~\ref|{product|
|000007d0| 7d 20 61 6e 64 20 62 65 | 63 61 75 73 65 20 6f 66 |} and be|cause of|
|000007e0| 20 4c 65 6d 6d 61 7e 5c | 72 65 66 7b 63 6f 6d 66 | Lemma~\|ref{comf|
|000007f0| 61 63 74 7d 2e 20 20 48 | 65 6e 63 65 2c 0a 74 68 |act}.  H|ence,.th|
|00000800| 69 73 20 65 71 75 61 74 | 69 6f 6e 20 63 61 6e 6e |is equat|ion cann|
|00000810| 6f 74 20 62 65 20 72 65 | 64 75 63 65 64 20 61 6e |ot be re|duced an|
|00000820| 64 20 69 73 20 63 61 6e | 6f 6e 69 63 61 6c 2e 0a |d is can|onical..|
|00000830| 0a 53 70 6c 69 74 20 65 | 71 75 61 74 69 6f 6e 20 |.Split e|quation |
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|000008d0| 27 7d 20 5c 70 72 6f 64 | 5f 7b 2d 69 7d 20 70 5f |'} \prod|_{-i} p_|
|000008e0| 69 28 78 29 5e 7b 2d 6e | 5f 69 2b 31 7d 20 3d 0a |i(x)^{-n|_i+1} =.|
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|00000910| 7d 20 5c 29 0a 5c 73 75 | 6d 5f 7b 69 7d 20 6e 5f |} \).\su|m_{i} n_|
|00000920| 69 20 7b 70 5f 69 27 7d | 28 78 29 20 5c 70 72 6f |i {p_i'}|(x) \pro|
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|00000950| 0a 5c 65 6e 64 7b 65 71 | 75 61 74 69 6f 6e 7d 0a |.\end{eq|uation}.|
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|00000980| 72 65 6e 75 6d 7d 20 6e | 6f 74 65 20 74 68 61 74 |renum} n|ote that|
|00000990| 20 65 78 70 6f 6e 65 6e | 74 73 20 24 2d 6e 5f 69 | exponen|ts $-n_i|
|000009a0| 2b 31 20 3e 0a 31 24 20 | 62 65 63 61 75 73 65 20 |+1 >.1$ |because |
|000009b0| 24 6e 5f 69 7e 3c 7e 30 | 24 2e 20 20 48 65 6e 63 |$n_i~<~0|$.  Henc|
|000009c0| 65 20 24 5c 70 72 6f 64 | 5f 7b 2d 69 7d 20 70 5f |e $\prod|_{-i} p_|
|000009d0| 69 28 78 29 5e 7b 2d 6e | 5f 69 2b 31 7d 24 20 63 |i(x)^{-n|_i+1}$ c|
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|000009f0| 69 6c 79 20 69 6e 20 66 | 61 63 74 20 62 79 20 73 |ily in f|act by s|
|00000a00| 71 75 61 72 65 66 72 65 | 65 20 66 61 63 74 6f 72 |quarefre|e factor|
|00000a10| 69 7a 61 74 69 6f 6e 29 | 2e 20 20 4e 6f 77 20 73 |ization)|.  Now s|
|00000a20| 65 67 72 65 67 61 74 65 | 20 74 68 65 20 74 65 72 |egregate| the ter|
|00000a30| 6d 73 0a 69 6e 20 74 68 | 65 20 73 75 6d 20 6f 66 |ms.in th|e sum of|
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|00000a50| 66 61 63 74 7d 20 61 73 | 20 77 65 6c 6c 2e 0a 24 |fact} as| well..$|
|00000a60| 24 5c 65 71 61 6c 69 67 | 6e 7b 26 5c 73 75 6d 5f |$\eqalig|n{&\sum_|
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|00000a80| 29 20 5c 70 72 6f 64 5f | 7b 6a 20 5c 6e 65 71 20 |) \prod_|{j \neq |
|00000a90| 69 7d 20 70 5f 6a 28 78 | 29 20 3d 20 5c 63 72 0a |i} p_j(x|) = \cr.|
|00000aa0| 26 5c 73 75 6d 5f 7b 2d | 69 7d 20 6e 5f 69 20 7b |&\sum_{-|i} n_i {|
|00000ab0| 70 5f 69 27 7d 28 78 29 | 20 5c 70 72 6f 64 5f 7b |p_i'}(x)| \prod_{|
|00000ac0| 2d 6a 20 5c 6e 65 71 20 | 2d 69 7d 20 70 5f 6a 28 |-j \neq |-i} p_j(|
|00000ad0| 78 29 20 5c 70 72 6f 64 | 5f 7b 2b 6b 7d 20 70 5f |x) \prod|_{+k} p_|
|00000ae0| 6b 28 78 29 20 2b 0a 5c | 73 75 6d 5f 7b 2b 69 7d |k(x) +.\|sum_{+i}|
|00000af0| 20 6e 5f 69 20 7b 70 5f | 69 27 7d 28 78 29 20 5c | n_i {p_|i'}(x) \|
|00000b00| 70 72 6f 64 5f 7b 2b 6a | 20 5c 6e 65 71 20 2b 69 |prod_{+j| \neq +i|
|00000b10| 7d 20 70 5f 6a 28 78 29 | 20 5c 70 72 6f 64 5f 7b |} p_j(x)| \prod_{|
|00000b20| 2d 6b 7d 20 70 5f 6b 28 | 78 29 20 5c 63 72 7d 24 |-k} p_k(|x) \cr}$|
|00000b30| 24 0a 53 75 62 73 74 69 | 74 75 74 69 6e 67 20 69 |$.Substi|tuting i|
|00000b40| 6e 74 6f 20 65 71 75 61 | 74 69 6f 6e 7e 5c 72 65 |nto equa|tion~\re|
|00000b50| 66 7b 72 65 6e 75 6d 7d | 20 79 69 65 6c 64 73 0a |f{renum}| yields.|
|00000b60| 5c 62 65 67 69 6e 7b 65 | 71 75 61 74 69 6f 6e 7d |\begin{e|quation}|
|00000b70| 0a 5c 6c 61 62 65 6c 7b | 62 69 67 6f 6e 65 7d 0a |.\label{|bigone}.|
|00000b80| 5c 65 71 61 6c 69 67 6e | 7b 0a 26 7b 79 27 7d 20 |\eqalign|{.&{y'} |
|00000b90| 5c 70 72 6f 64 5f 7b 2d | 69 7d 20 70 5f 69 28 78 |\prod_{-|i} p_i(x|
|00000ba0| 29 5e 7b 2d 6e 5f 69 2b | 31 7d 20 3d 20 5c 63 72 |)^{-n_i+|1} = \cr|
|00000bb0| 0a 26 7b 78 27 7d 20 5c | 28 20 5c 70 72 6f 64 5f |.&{x'} \|( \prod_|
|00000bc0| 7b 2b 69 7d 20 70 5f 69 | 28 78 29 5e 7b 6e 5f 69 |{+i} p_i|(x)^{n_i|
|00000bd0| 7d 20 5c 29 0a 5c 73 75 | 6d 5f 7b 2d 69 7d 20 6e |} \).\su|m_{-i} n|
|00000be0| 5f 69 20 7b 70 5f 69 27 | 7d 28 78 29 20 5c 70 72 |_i {p_i'|}(x) \pr|
|00000bf0| 6f 64 5f 7b 2d 6a 20 5c | 6e 65 71 20 2d 69 7d 20 |od_{-j \|neq -i} |
|00000c00| 70 5f 6a 28 78 29 20 2b | 20 5c 63 72 0a 26 7b 78 |p_j(x) +| \cr.&{x|
|00000c10| 27 7d 20 5c 28 20 5c 70 | 72 6f 64 5f 7b 2b 69 7d |'} \( \p|rod_{+i}|
|00000c20| 20 70 5f 69 28 78 29 5e | 7b 6e 5f 69 2d 31 7d 20 | p_i(x)^|{n_i-1} |
|00000c30| 5c 29 0a 5c 73 75 6d 5f | 7b 2b 69 7d 20 6e 5f 69 |\).\sum_|{+i} n_i|
|00000c40| 20 7b 70 5f 69 27 7d 28 | 78 29 20 5c 70 72 6f 64 | {p_i'}(|x) \prod|
|00000c50| 5f 7b 2b 6a 20 5c 6e 65 | 71 20 2b 69 7d 20 70 5f |_{+j \ne|q +i} p_|
|00000c60| 6a 28 78 29 20 5c 70 72 | 6f 64 5f 7b 2d 6b 7d 20 |j(x) \pr|od_{-k} |
|00000c70| 70 5f 6b 28 78 29 20 5c | 63 72 7d 0a 5c 65 6e 64 |p_k(x) \|cr}.\end|
|00000c80| 7b 65 71 75 61 74 69 6f | 6e 7d 0a 0a 54 68 65 20 |{equatio|n}..The |
|00000c90| 72 69 67 68 74 20 73 69 | 64 65 20 6f 66 20 74 68 |right si|de of th|
|00000ca0| 69 73 20 65 71 75 71 74 | 69 6f 6e 20 69 73 20 6e |is equqt|ion is n|
|00000cb0| 6f 77 20 67 72 6f 75 70 | 65 64 20 69 6e 74 6f 20 |ow group|ed into |
|00000cc0| 66 6f 75 72 20 70 6f 6c | 79 6e 6f 6d 69 61 6c 0a |four pol|ynomial.|
|00000cd0| 74 65 72 6d 73 20 24 41 | 20 7b 42 27 7d 20 2b 20 |terms $A| {B'} + |
|00000ce0| 7b 41 27 7d 20 42 24 20 | 77 68 65 72 65 0a 24 24 |{A'} B$ |where.$$|
|00000cf0| 5c 65 71 61 6c 69 67 6e | 7b 41 20 26 3d 20 20 5c |\eqalign|{A &=  \|
|00000d00| 70 72 6f 64 5f 7b 2b 69 | 7d 20 70 5f 69 28 78 29 |prod_{+i|} p_i(x)|
|00000d10| 5e 7b 6e 5f 69 7d 20 5c | 63 72 0a 09 20 20 20 42 |^{n_i} \|cr..   B|
|00000d20| 27 20 26 3d 20 5c 73 75 | 6d 5f 7b 2d 69 7d 20 6e |' &= \su|m_{-i} n|
|00000d30| 5f 69 20 7b 70 5f 69 27 | 7d 28 78 29 20 5c 70 72 |_i {p_i'|}(x) \pr|
|00000d40| 6f 64 5f 7b 2d 6a 20 5c | 6e 65 71 20 2d 69 7d 20 |od_{-j \|neq -i} |
|00000d50| 70 5f 6a 28 78 29 20 5c | 63 72 0a 09 20 20 20 41 |p_j(x) \|cr..   A|
|00000d60| 27 20 26 3d 20 20 5c 28 | 20 5c 70 72 6f 64 5f 7b |' &=  \(| \prod_{|
|00000d70| 2b 69 7d 20 70 5f 69 28 | 78 29 5e 7b 6e 5f 69 2d |+i} p_i(|x)^{n_i-|
|00000d80| 31 7d 20 5c 29 0a 5c 73 | 75 6d 5f 7b 2b 69 7d 20 |1} \).\s|um_{+i} |
|00000d90| 6e 5f 69 20 7b 70 5f 69 | 27 7d 28 78 29 20 5c 70 |n_i {p_i|'}(x) \p|
|00000da0| 72 6f 64 5f 7b 2b 6a 20 | 5c 6e 65 71 20 2b 69 7d |rod_{+j |\neq +i}|
|00000db0| 20 70 5f 6a 28 78 29 20 | 5c 63 72 0a 20 20 20 20 | p_j(x) |\cr.    |
|00000dc0| 20 20 20 20 20 20 20 42 | 20 26 3d 20 5c 70 72 6f |       B| &= \pro|
|00000dd0| 64 5f 7b 2d 6b 7d 20 70 | 5f 6b 28 78 29 20 5c 63 |d_{-k} p|_k(x) \c|
|00000de0| 72 7d 24 24 0a 24 41 24 | 20 69 73 20 74 68 65 20 |r}$$.$A$| is the |
|00000df0| 6f 72 69 67 69 6e 61 6c | 20 6e 75 6d 65 72 61 74 |original| numerat|
|00000e00| 6f 72 20 61 6e 64 20 24 | 41 27 24 20 69 74 27 73 |or and $|A'$ it's|
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|00000e20| 24 20 61 6e 64 20 24 42 | 27 24 0a 63 61 6e 20 62 |$ and $B|'$.can b|
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|00000ee0| 67 6f 6e 65 7d 20 62 79 | 20 24 42 24 20 61 6e 64 |gone} by| $B$ and|
|00000ef0| 20 24 42 27 24 0a 73 69 | 6d 75 6c 74 61 6e 65 6f | $B'$.si|multaneo|
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|000012f0| 2e 20 20 4e 6f 77 20 69 | 6e 0a 6f 72 64 65 72 20 |.  Now i|n.order |
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|00001520| 62 65 67 69 6e 7b 65 71 | 75 61 74 69 6f 6e 7d 0a |begin{eq|uation}.|
|00001530| 2d 6d 5f 69 20 7b 70 5f | 69 27 7d 20 5c 70 72 6f |-m_i {p_|i'} \pro|
|00001540| 64 5f 7b 6a 20 5c 6e 65 | 71 20 69 7d 20 70 5f 6a |d_{j \ne|q i} p_j|
|00001550| 28 78 29 20 3d 20 5c 73 | 75 6d 5f 7b 68 20 5c 6e |(x) = \s|um_{h \n|
|00001560| 65 71 20 69 7d 20 6d 5f | 68 20 7b 70 5f 68 27 7d |eq i} m_|h {p_h'}|
|00001570| 28 78 29 0a 5c 70 72 6f | 64 5f 7b 6a 20 5c 6e 65 |(x).\pro|d_{j \ne|
|00001580| 71 20 68 7d 20 70 5f 6a | 28 78 29 5c 6c 61 62 65 |q h} p_j|(x)\labe|
|00001590| 6c 7b 6c 69 6e 64 65 70 | 7d 0a 5c 65 6e 64 7b 65 |l{lindep|}.\end{e|
|000015a0| 71 75 61 74 69 6f 6e 7d | 0a 4e 6f 77 2c 20 24 70 |quation}|.Now, $p|
|000015b0| 5f 69 28 78 29 24 20 64 | 69 76 69 64 65 73 20 65 |_i(x)$ d|ivides e|
|000015c0| 76 65 72 79 20 74 65 72 | 6d 20 6f 6e 20 74 68 65 |very ter|m on the|
|000015d0| 20 72 69 67 68 74 20 73 | 69 64 65 20 6f 66 0a 65 | right s|ide of.e|
|000015e0| 71 75 61 74 69 6f 6e 7e | 5c 72 65 66 7b 6c 69 6e |quation~|\ref{lin|
|000015f0| 64 65 70 7d 20 73 6f 20 | 24 70 5f 69 28 78 29 24 |dep} so |$p_i(x)$|
|00001600| 20 6d 75 73 74 20 61 6c | 73 6f 20 64 69 76 69 64 | must al|so divid|
|00001610| 65 20 24 2d 6d 20 7b 70 | 5f 69 27 7d 28 78 29 0a |e $-m {p|_i'}(x).|
|00001620| 5c 70 72 6f 64 5f 7b 6a | 20 5c 6e 65 71 20 69 7d |\prod_{j| \neq i}|
|00001630| 20 70 5f 6a 28 78 29 24 | 2e 20 20 42 75 74 2c 20 | p_j(x)$|.  But, |
|00001640| 62 65 63 61 75 73 65 20 | 6f 66 20 73 71 75 61 72 |because |of squar|
|00001650| 65 66 72 65 65 2c 20 24 | 70 5f 69 28 78 29 24 20 |efree, $|p_i(x)$ |
|00001660| 64 6f 65 73 0a 6e 6f 74 | 20 64 69 76 69 64 65 20 |does.not| divide |
|00001670| 24 7b 70 5f 69 27 7d 28 | 78 29 24 20 61 6e 64 20 |${p_i'}(|x)$ and |
|00001680| 24 70 5f 69 28 78 29 24 | 20 64 6f 65 73 0a 6e 6f |$p_i(x)$| does.no|
|00001690| 74 20 64 69 76 69 64 65 | 20 24 7b 70 5f 6a 7d 28 |t divide| ${p_j}(|
|000016a0| 78 29 24 20 77 68 65 6e | 20 24 6a 20 5c 6e 65 71 |x)$ when| $j \neq|
|000016b0| 20 69 24 2e 20 20 48 65 | 6e 63 65 2c 20 74 68 65 | i$.  He|nce, the|
|000016c0| 72 65 20 65 78 69 73 74 | 73 20 61 20 75 6e 69 71 |re exist|s a uniq|
|000016d0| 75 65 0a 73 65 74 20 6f | 66 20 63 6f 65 66 66 69 |ue.set o|f coeffi|
|000016e0| 63 69 65 6e 74 73 20 73 | 61 74 69 73 66 79 69 6e |cients s|atisfyin|
|000016f0| 67 20 65 71 75 61 74 69 | 6f 6e 7e 5c 72 65 66 7b |g equati|on~\ref{|
|00001700| 79 27 79 7d 2e 0a 0a 5c | 65 6e 64 7b 64 6f 63 75 |y'y}...\|end{docu|
|00001710| 6d 65 6e 74 7d 0a       |                         |ment}.  |        |
+--------+-------------------------+-------------------------+--------+--------+