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Text File  |  1994-10-03  |  10KB  |  279 lines
  1. ;Formelsammlung
  2. [0]
  3. &
  4. {1993
  5. #
  6. &Alles was relativ wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich
  7. &falsch. (Pascal)
  8. #Statistik
  9. ºStatistik
  10. Fⁿr eine Stichprobe vom Umfang n aus einer 
  11. Grundgesamtheit gilt:
  12. &Mittelwert (arithmetisches Mittel)
  13. $1x$+$+$=--$-$- = (x$-1$+ + x$-2$+ + ... + x$-n$+) / n
  14. &Varianz s▓, Standardabweichung s
  15. ºVarianz
  16. $1s▓ = [ (x$-1$+ - x$+$+$=--$-$-)▓ + (x$-2$+ - x$+$+$=--$-$-)▓ + ... + (x$-n$+ - x$+$+$=--$-$-)▓ ] / (n-1)
  17. &empirische Stichprobenvarianz s$+$+$=--$-$-▓
  18. $1s$+$+$=--$-$-▓ = [ (x$-1$+ - x$+$+$=--$-$-)▓ + (x$-2$+ - x$+$+$=--$-$-)▓ + ... + (x$-n$+ - x$+$+$=--$-$-)▓ ] / n
  19. &Streu- oder Variationsbreite
  20. $1R = x$-max$+ - x$-min$+
  21. Bei Grundgesamtheiten vom Umfang N:
  22. &Mittelwert $m und Varianz $s▓
  23. $1$m = (x$-1$+ + x$-2$+ + ... + x$-N$+) / N
  24. $1$s▓ = [(x$-1$+ - $m)▓ + (x$-2$+ - $m)▓ + ... + (x$-n$+ - $m)▓ ] / N
  25. *
  26. #&Quadratisches Mittel 
  27. $1q = $╓( 1/n * (x$-1$+▓ + x$-2$+▓ + ... + x$-n$+▓))
  28. &Harmonisches Mittel
  29. $1h = n / (1/x$-1$+ + 1/x$-2$+ + ... 1/x$-n$+)
  30. &Median (Zentralwert Z)
  31. Anzahl n der Werte ungerade $▐ Z= x$-(n-1)/2+1$+
  32. Anzahl n gerade $▐ Z=(x$-n/2$+ + x$-n/2+1$+) / 2
  33. #Korrelationskoeffizient
  34. ºKorrelationskoeffizient
  35. Grad des Zusammenhangs der Zufallsgr÷▀en X und Y,
  36. fⁿr die n Paare von Einzelwerten x$-i$+, y$-i$+
  37. Summen$+$+
  38. $2  n$+$+
  39. $1a =   $S   (x$-i$+ - x$+$+$=--$-$-) (y$-i$+ - y$+$+$=--$-$-) $+$+
  40. $2i = 1$+$+
  41. $2  n$+$+
  42. $1b =   $S   (x$-i$+ - x$+$+$=--$-$-)$+2$-$+$+
  43. $2i = 1$+$+
  44. $2  n$+$+
  45. $1c =   $S   (y$-i$+ - y$+$+$=--$-$-)$+2$-$+$+
  46. $2i = 1$+$+
  47. Korelationskoeffizient$1r$-xy$+ = a / $╓( b c )
  48. Regressionsgerade$2y$-i$+ - y$+$+$=--$-$- = r$-xy$+ a$-y$+/s$-x$+ (x$-i$+ - x$+$+$=--$-$-)
  49. s$-x$+, s$-y$+ ... Standardabweichungen von x$-i$+, y$-i$+
  50. [1]
  51. #Wahrscheinlichkeitsrechnung
  52. ºWahrscheinlichkeitsrechnung
  53. Zufallsversuch ...
  54. ...Versuch mit mehreren m÷glichen Ergebnissen 
  55.    $w$-1$+, $w$-2$+, ..., $w$-n$+
  56. Ergebnismenge (Stichprobenraum) S...
  57. ...Menge aller m÷glichen Ereignisse ($w$-1$+, $w$-2$+, ..., $w$-n$+)
  58. Ereignis E ... Teilmenge der Ereignismenge S
  59. sicheres Ereignis ... tritt bei jedem Versuch ein
  60. unm÷gliches Ereignis $╞ ...
  61. ...tritt bei keiner Versuchsdurchfⁿhrung ein
  62. Elementarereignis {a} ...
  63. ...Ereignis mit nur einem Element
  64. Gegenereignis E$+$+$+$=$╛$-$-$-...
  65. ... KomplementΣrmenge von E
  66. Absolute HΣufigkeit H$-n$+($w) bzw. H$-n$+(E) des
  67. Eintretens von $w bzw. E...
  68. ...Anzahl des Eintretens von $w bzw. E bei n Versuchen
  69. Relative HΣufigkeit h($w) bzw. h(E)...
  70. ...h($w) = H$-n$+($w) / n
  71. *
  72. #Wahrscheinlichkeit
  73. ºWahrscheinlichkeit
  74. Bei einer hinreichend gro▀en Anzahl von Versuchen...
  75. relative HΣufigkeit ... Zahlenwert fⁿr Wahrscheinlichkeit
  76. P(E) ... Zahlenwert der Wahrscheinlichkeit
  77. &SΣtze
  78. $10 <= P(E) <= 1
  79. $1{a$-1$+, a$-2$+, ..., a$-k$+} aus S $▐
  80. $▐ P({a$-1$+, a$-2$+, ..., a$-k$+}) = P({a$-1$+}) + P({a$-2$+}) + ... + P({a$-k$+})
  81. $1P(S) = 1$3$1P($╞) = 0
  82. $1P(E$+$+$+$=$╛$-$-$-) = 1 P(E)
  83. $1E$-1$+ $═ E$-2$+ $▐ P(E$-11$+) <= P(E$-2$+)
  84. Additionssatz
  85. $1P(E$-1$+ $╚ E$-2$+) = P(E$-1$+) + P(E$-2$+) - P(E$-1$+ $╟ E$-2$+)
  86. #Gleichverteilung (klassische Wahrscheinlichkeit)
  87. ºLaplace-Experiment
  88. Ein Zufallsversuch hei▀t Laplace-Experiment, 
  89. wenn alle Elementarereignisse die gleiche
  90. Wahrscheinlichkeit haben.
  91. P(E) = Anzahl der fⁿr E gⁿnstigen Ergebnisse /
  92. $2/Anzahl der m÷glichen Ergebnisse
  93. [2]
  94. #&Bedingte Wahrscheinlichkeit
  95. ºBedingte Wahrscheinlichkeit
  96. n-stufiger Versuch ...
  97. $1Zusammenfassung von n Versuchen zu einem
  98. unabhΣngige Ereignisse
  99. $1Eintreten eines Ereignisses hat keinen Einflu▀
  100. $1auf das Eintreten eines anderen
  101. durch B bedingte Wahrscheinlichkeit P$-B$+(A) von A
  102. $1Wahrscheinlichkeit von A unter der Voraussetzung,
  103. $1da▀ B mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit
  104. $1eingetreten ist
  105. Definition
  106. $1P$-B$+(A) = P(A $╟ B) / P(B), falls P(B) > 0
  107. Muliplikationssatz
  108. $1P(A $╟ B) = P(B) * P$-B$+(A) = P(A) * P$-A$+(B),
  109. $1falls P(A) und P(B) > 0
  110. Fⁿr unabhΣngige Ereignisse A, B gilt
  111. $1P$-B$+(A) = P(A) und P$-A$+(B) = P(B) $▐
  112. $1$▐ P(A $╟ B) = P(A) * P(B)
  113. *
  114. #Zufallsgr÷▀en und Verteilung
  115. ºZufallsgr÷▀en
  116. Zufallsgr÷▀e X ...
  117. $1... Gr÷▀e, die bei verschiedenen, unter gleichen
  118. $1Bedingungen durchgefⁿhrten Versuchen,
  119. $1verschiedene Werte x$-1$+, x$-2$+, ... annehmen kann
  120. Diskrete Zufallsgr÷▀e ...
  121. $1X kann nur endlich viele Werte annehmen
  122. Stetige Zufallsgr÷▀e ...
  123. $1X kann beliebig viele Werte annehmen
  124. &Mittelwert (Erwartungswert) einer diskreten Zufallsgr÷▀e$+$+
  125. $2  n$+$+
  126. $1$m =   $S   x$-i$+ p$-i$+$1x$-i$+...Werte, p$-i$+ Wahrscheinlichkeit$+$+
  127. $2i = 1$-
  128. &Mittelwert einer stetigen Zufallsgr÷▀e
  129. $1$m = $-- $Ñ$+ $≥ $+$+$Ñ$-$- x * f(x) dx$1f(x) Dichtefunktion
  130. &Varianz einer diskreten Zufallsgr÷▀e$+$+
  131. $4  n$+$+
  132. $1V(X) = $s▓ =     $S   (x$-i$+ - $m)▓ p$-i$+$+$+
  133. $4i = 1$+$+
  134. Standardabweichung$1$s = $╓[ V(X) ]
  135. #&Interessante Erwartungswerte
  136. VervollstΣndigen einer Sammlung von n Bildern
  137. $1E = n $z(1)$-n$+ = n ( ln n + $g )
  138. [3]
  139. &
  140. Gleicher Geburtstag von n Personen
  141. $1E = $╓( n $p/2 ) - 1/3
  142. #Spezielle Verteilungen
  143. &Diskrete Gleichverteilung
  144. ºGleichverteilung
  145. n verschiedene Stellen x$-1$+, ..., x$-n$+ mit
  146. $1P(X = x$-i$+) = 1/n$2i=1, 2, ..., n
  147. &Hypergeometrische Verteilung
  148. ºHypergeometrische Verteilung
  149. $1P(X = k) = ( $+$+M$-$-$-$-$=k$+$+ ) ( $+$+N-M$-$-$-$-$=$=$=n-k$+$+ ) / ( $+$+N$-$-$-$-$=n$+$+ )
  150. Beispiel: Kugelziehen ohne Zurⁿcklegen
  151. N ... Anzahl der Kugeln
  152. M ... Anzahl der wei▀en Kugeln
  153. n ... Anzahl der gezogenen Kugeln
  154. k ... Anzahl der gezogenen wei▀en Kugeln
  155. #Binomialverteilung
  156. ºBinomialverteilung
  157. ... (Bernoullische oder Newtonsche Verteilung)
  158. $1b(n;p;k) = P(X=k) = ( $+$+n$-$-$-$-$=k$+$+ ) p$+k$-(1-p)$+n-k$-
  159. Beispiel: Kugelziehen mit Zurⁿcklegen
  160. N ... Anzahl der Kugeln
  161. p ... Anteil der wei▀en Kugeln
  162. *
  163. &
  164. n ... Anzahl der gezogenen Kugeln
  165. k ... Anzahl der gezogenen wei▀en Kugeln
  166. Mittelwert und Varianz
  167. $1$m = np$2$s = $╓[ np (1-p) ]
  168. &Poisson-Verteilung
  169. ºPoisson-Verteilung
  170. Binomialverteilung fⁿr n sehr gro▀ und p sehr klein
  171. $1b(n;p;k) = P(X=k) = $m$+k$- e$+-$m$- / k! mit $m = np
  172. &P≤lya-Verteilung
  173. ºP≤lya-Verteilung
  174. Modell: Aus einer Urne, die b schwarze und c wei▀e 
  175. Kugeln enthΣlt, wird eine Kugel zufΣllig gezogen; ist 
  176. sie wei▀, so legt man sie zusammen mit s weiteren 
  177. wei▀en in die Urne zurⁿck, ist sie schwarz, so wird 
  178. sie mit s weiteren schwarzen zurⁿckgelegt. Wird dieser 
  179. Vorgang n mal wiederholt, so ist die Zufallsgr÷▀e, da▀ 
  180. bei n Ziehungen k mal eine wei▀e Kugel gezogen wird 
  181. P≤lya-verteilt.
  182. $1P(X=k) = ( $+$+n$-$-$-$-$=k$+$+ ) B$-ks$+ C$-ks$+ / [ N (N+s) ... (N +(n-1)*s) ]
  183. wobei N die Anfangsanzahl aller Kugeln sowie
  184. $1B$-ks$+ = b(b+s) ...[b +(k-1)s] und 
  185. $1C$-ks$+ = c(c+s) ...[c+ (n-k-1)s]
  186. s ... Erh÷hungsma▀ (Ansteckungserh÷hung)
  187. [4]
  188. #Stetige Verteilungen
  189. ºStetige Verteilungen
  190. &Exponentialverteilung
  191. ºExponentialverteilung
  192. Dichtefunktion$1f(x) = $l e$+- $l x$- fⁿr x>=0
  193. $l ... Parameter der Verteilung, $l > 0
  194. &Maxwell-Verteilung
  195. ºMaxwell-Verteilung
  196. Dichtefunktion$1f(x) = 2x▓ / ($s $+3$-$╓(2$p)) e$+- x▓ / (2$s▓)$-
  197. $s ... Parameter der Verteilung
  198. Eine Zufallsgr÷▀e X, welche maxwellverteilt ist, kann 
  199. in der Form X = $s $╓(Y) dargestellt werden, wobei nun 
  200. Y eine $c▓-verteilte Zufallsgr÷▀e mit 3 Freiheitsgraden ist. 
  201. &Weibull-Verteilung
  202. Dichtefunktion$1f(x) = ab x$+b-1$- e$+- a x$+b$-$-, fⁿr x>0
  203. a,b ... Parameter, a>0, b>0
  204. fⁿr b=1 ... Exponentialverteilung
  205. #Gau▀sche Normalverteilung
  206. ºGau▀sche Normalverteilung
  207. Wird bei der Binomialverteilung n unendlich gro▀ und 
  208. p = 0.5, soliegt eine Gau▀verteilung vor.
  209. fⁿr $m=0 und $s▓=1 $█ Gau▀sche Normalverteilung
  210. &Lokale und globale NΣherung nach Laplace
  211. $1b(n;p;k) = 1/$s * $f[ (k-$m)/$s ] mit
  212. *
  213.  
  214. $1$f(z) = 1/$╓(2$p) e$+- z▓/2$- und z = (k-$m)/$s
  215. $1P(a$úX$úb) = $f[ (b+0.5-$m)/$s ] - $f[ (a+0.5-$m)/$s ] mit
  216. $1$F(X) = $-- $Ñ$+ $≥ $+$+x$-$-  $f(z) dz
  217. NΣherung fⁿr Verteilungsfunktion
  218. $1x = (1 + 0.2316419 t )$+-1$-
  219. fⁿr 0 < t < 2.5
  220. $1$F(t) = 1 - $f(t) [ 0.31938153 x - 0.356563782 x▓ +
  221. $3+ 1.781477937 x│ - 1.821255978 x$+4$- +
  222. $3+ 1.330274429 x$+5$- ] + $e
  223. $1| $e | < 7.5 * 10$+-8$-
  224. fⁿr t >= 2.5
  225. $1$F(t) = 1 - $f(t) [ t/ (t▓+2) * (1 + 6 t$+-2$- - 14 t$+-4$- - 28 t$+-6$-) /
  226. $3/ (1 + 5 t$+-2$- - 20 t$+-4$- - 4 t$+-6$-) ] + $e
  227. #Statistische Verteilungen
  228. ºStatistische Verteilungen
  229. &Student-t-Verteilung
  230. ºStudent-t-Verteilung
  231. Eine Zufallsgr÷▀e X ist t-verteilt mit n Freiheitsgraden, 
  232. mit Dichtefunktion
  233. $1f(x) = $G[ (n+1)/2 ] / $G[ n/2 ] / $╓(n$p) * ...
  234. $2...* (1 + x▓/n)$+- (n+1)/2$-
  235. $G(x) ... Eulersche Gamma-Funktion
  236. [5]
  237. #&$c▓-Verteilung
  238. ºChi▓-Verteilung
  239. Dichtfefunktion
  240. $1f(x) = [ x$+(n/2)-1$- e$+- x/2$- ] / [2$+n/2$- $G(n/2) ]
  241. #Statistische Tests
  242. ºStatistik-Tests
  243. {3043
  244. &$6Student-t-Test
  245. ºStudent-t-Test
  246. $6Freiheitsgrade n-1
  247. $6Testgr÷▀e$1t = | x - $m | / s * $╓n
  248.  
  249. &$c▓-Test ... Test von Verteilungen$+$+
  250. $4  k$+$+
  251. Testgr÷▀e$1$c▓ =  $S  (h$-i$+ - k$-i$+)▓ / k$-i$+$+$+
  252. $4i = 1
  253. absolute HΣufigkeiten ... h$-i$+
  254. theoretische HΣufigkeiten ... k$-i$+
  255. Klassenzahl ... k
  256. Anzahl der geschΣtzten Parameter ... m
  257. Freiheitsgrad f = k - m - 1
  258. &Normalverteilungstest
  259. Testgr÷▀e$1$l = $l$-$a$+ $s / $╓n
  260. $l$-$a$+ ... Tabellenwert fⁿr Irrtumswahrscheinlichkeit $a
  261. *
  262.  
  263. #Zufallsgeneratoren
  264. ºZufallsgeneratoren
  265. &Fibonacci-Generator
  266. ºFibonacci-Generator
  267. ... Zufallsgenerator Ordnung
  268. $1Z$-i$+ = (Z$-i-1$+  + Z$-i-2$+  ) mod m
  269. bestimmt Zufallszahl im Bereich 0 bis m-1 z.B. m=2$+28$-.
  270. Gⁿte:$1gleichverteilt nach Chi▓-Verteilungstests
  271. $2nicht gleichverteilt bei Chaos-Spiel
  272. &Generator 2
  273. $1Z$-i$+ = (2$+R$- * Z$-i-1$+  + C ) mod m
  274. und R>2 und geradem c (m z.B. 2$+25$-)
  275. &Generator 3
  276. $1Z$-i$+ = (S * Z$-i-1$+ ) mod m
  277. mit S=23 und m=10$+7$-+1
  278. [#]
  279.