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Text File  |  1994-10-03  |  71KB  |  2,079 lines
  1. ;Formelsammlung
  2. [0]
  3. &
  4. {1992
  5. #
  6. #Funktionen
  7. ºFunktionen
  8. Eine Funktion f(x) ist eine eindeutige Abbildung
  9. einer Menge DB (Definitionsbereich) auf eine Menge
  10. WB (Wertebereich), d.h. jedem Argument x aus DB 
  11. wird  e i n d e u t i g  ein Funktionswert y aus WB 
  12. zugeordnet.
  13. &Darstellung
  14. $2kartesische Koordinaten$1  Polarkoordinaten
  15. explizit$2y = f(x)$4r = f($r)
  16. implizit$2F(x,y) = 0$3F(r,$r) = 0
  17. Parameter$2x = x(t)$4r = r(t)
  18. $4y = y(t)$4$r = $r(t)       
  19. &Symbolische Darstellung
  20. {3144
  21. $7als Wertetabelle
  22. *
  23.  
  24. {3143
  25. $6als Mengendiagramm
  26.  
  27. $6weiterhin als Wortvorschrift, 
  28. $6Definitionsgleichung
  29. bzw. in einem Koordinatensystem
  30. #Spezielle Funktionseigenschaften
  31. &Monotonie ($" x$-1$+<x$-2$+ $╬ D)
  32.   monoton wachsend$2f(x$-1$+) $ú f(x$-2$+)
  33.   monoton fallend$3f(x$-1$+) $│ f(x$-2$+)
  34.   strenge Monotonie$3f(x$-1$+) $╣ f(x$-2$+)
  35.   konstant$5f(x$-1$+) = f(x$-2$+)
  36. &PeriodizitΣt
  37.   Periode p$5f(x + kp) = f(x), k $╬ Z
  38. &Symmetrie
  39.   gerade Funktion$3f(-x) = f(x)
  40.   ungerade Funktion$2f(-x) = -f(x)
  41. &BeschrΣnktheit
  42.   beschrΣnkt in einem Intervall [a;b], wenn
  43.   Zahl B mit |f(x)| < B existiert
  44. [1]
  45. #Umkehrfunktion
  46. ºUmkehrfunktion
  47. Ist eine Funktion f(x) eine eineindeutige Abbildung 
  48. aus dem DB in den WB, so hei▀t die Funktion 
  49. &$3umkehrbar.
  50. Betrachtet man den WB einer umkehrbaren 
  51. Funktion f(x) als Definitionsbereich DB' und den
  52. Definitionsbereich DB von f(x) als Wertebereich WB', 
  53. so bildet die Umkehrabbildung $f die Umkehrfunktion 
  54. oder inverse Funktion von f(x).
  55. #Gleichung
  56. ºGleichung
  57. Ein Ausdruck (Aussageform), in dem zwei Terme T$-1$+ 
  58. und T$-2$+ durch das Gleichheitszeichen miteinander 
  59. verbunden sind, hei▀t Gleichung. Alle Belegungen der
  60. Variablen, welche die Aussageform in eine wahre
  61. Aussage umwandeln, hei▀en L÷sung der Gleichung.
  62.  
  63. Zwei Gleichungen hei▀en Σquivalent, wenn sie 
  64. gleiche Definitionsbereiche  u n d  gleiche L÷sungs-
  65. mengen haben.
  66. *
  67.  
  68. Eine Gleichung hei▀t ...
  69. erfⁿllbar, 
  70. $1wenn eine Teilmenge des DB als L÷sung existiert
  71. nicht erfⁿllbar, 
  72. $1wenn die L÷sungsmenge die leere Menge ist
  73. #Rationale Gleichung
  74. Eine Gleichung hei▀t rational, wenn ihre explizite 
  75. Rechenvorschrift durch eine endliche Anzahl von 
  76. rationalen Operationen, wie Addition, Subtraktion, 
  77. Mulitiplikation und Division, gebildet wird.
  78. #Lineare Funktionen und Gleichungen
  79. ºLineare Funktion
  80. {3006
  81. $6y = m * x + n$1( m,n $╬ R)
  82. $6DB: - $Ñ < x < $Ñ
  83. $6WB: - $Ñ < y < $Ñ , m $╣ 0
  84.  
  85. Der Graph ist eine Gerade mit dem Anstieg
  86. $1m = tan $f = (y$-2$+ - y$-1$+) / (x$-2$+ - x$-1$+)
  87. [2]
  88. #Lineare Gleichungen
  89. ºLineare Gleichung
  90. Allgemeine Form:$10 = ax + b; (a $╣ 0)
  91. L÷sung$3x = - b/a
  92. #Quadratische Funktionen
  93. ºQuadratische Funktionen
  94. Allgemeine Form:$1y = ax▓ + bx + c$1(a $╣ 0)
  95. {3045
  96. $7DB: - $Ñ < x < $Ñ
  97. $7Parabel mit Scheitelpunkt
  98. $7S(-b/(2a) ; (4ac-b▓)/(4a) )
  99. #
  100. Spezielle Funktionen
  101. $1y = x▓  (Normalparabel)
  102. $1WB: 0 $ú y < $Ñ$3Scheitel S(0;0)
  103. $1y = ax▓ + c
  104. $1WB: c $ú y < $Ñ fⁿr a>0$1Scheitel S(0;c)
  105. $1y = (x + d)▓ + e
  106. $1WB: e $ú y < $Ñ$3Scheitel S(-d;e)
  107. $1y = x▓ + px + q (Normalform)
  108. $1WB: -p▓/4+q $ú y < $Ñ$1Scheitel S(-p/2;-p▓/4+q)
  109. *
  110. #Quadratische Gleichungen
  111. ºQuadratische Gleichung
  112. Allgemeine Form:$10 = ax▓ + bx + c$1(a $╣ 0)
  113. Normalform:$20 = x▓ + px + q
  114. L÷sungen$2x$-1,2$+ = -p/2 ▒ $╓[ p▓/4 - q ]
  115. $4x$-1,2$+ = - b/(2a) ▒ $╓[ b▓ - 4ac ] /(2a)
  116. Diskriminante$1D = p▓/4 - q = b▓ - 4ac
  117. fⁿr D>0$2existieren zwei reelle L÷sungen
  118. fⁿr D=0$2existiert eine reelle Doppell÷sung
  119. fⁿr D<0$2existieren keine reellen L÷sungen
  120. $4existieren zwei zueinander konjugiert
  121. $4komplexe L÷sungen
  122. &Linearfaktorenzerlegung
  123. x$-1$+, x$-2$+ sind L÷sungen der Gleichung 0 = x▓ + px + q
  124. $2$█ x▓ + px + q = (x - x$-1$+) * (x - x$-2$+)
  125. &Wurzelsatz des Vieta
  126. ºWurzelsatz des Vieta
  127. x$-1$+, x$-2$+ sind L÷sungen der Gleichung 0 = x▓ + px + q
  128. $2$█ x$-1$+ + x$-2$+ = -p = - b/a und x$-1$+ * x$-2$+ = q = c/a
  129. [3]
  130. #Kubische Gleichungen
  131. ºKubische Gleichungen
  132. Allgemeine Form:$10 = ax│ + bx▓ + cx + d$1(a $╣ 0)
  133. Normalform:$20 = x│ + rx▓ + sx + t
  134. #&Cardanische Formel (nach Tartaglia)
  135. ºCardanische Formel
  136. Substitution$2x = y - r/3 fⁿhrt zur
  137. reduzierten Form$10 = y│ + py + q mit
  138. $3p = s - r▓/3 und q = 2r│/27 - sr/3 + t
  139. 1.Fall: q▓/4 + p│/27 $│ 0
  140. $3u = $+3$-$╓ [-q/2 + $╓( q▓/4 + p│/27 )]
  141. $3v = $+3$-$╓ [-q/2 - $╓( q▓/4 + p│/27 )]
  142. reelle L÷sung$2y$-1$+ = u + v
  143. komplexe L÷sung$1y$-2$+ = -(u + v)/2 + [(u - v)/2] * i $╓3
  144. $5y$-3$+ = -(u + v)/2 - [(u - v)/2] * i $╓3
  145.  
  146. 2.Fall: q▓/4 + p│/27 < 0 (Casus irreducibilis)
  147. 3 reelle L÷sungen$1y$-1$+ = 2 $+3$-$╓r * cos ($f/3)
  148. $5y$-2$+ = 2 $+3$-$╓r * cos ($f/3 + 120░)
  149. $5y$-3$+ = 2 $+3$-$╓r * cos ($f/3 + 240░)
  150. mit r = $╓(-p│/27) und cos $f = (-q/2) / $╓(-p│/27)
  151. *
  152. #Gleichung vierten Grades
  153. ºGleichung vierten Grades
  154. Allgemeine Form: 0 = Ax$+4$- + Bx│ + Cx▓ + Dx + E; (A $╣ 0)
  155. Normalform:$20 = x$+4$- + ax│ + bx▓ + cx + d
  156. #&Formel nach Ferrari
  157. Substitution$2x = y - a/4 fⁿhrt zur
  158. reduzierten Form$10 = y$+4$- + py▓ + qy + r
  159. L÷sungen$32y$-1$+ = $╓z$-1$+ + $╓z$-2$+ + $╓z$-3$+
  160. $52y$-2$+ = $╓z$-1$+ - $╓z$-2$+ - $╓z$-3$+
  161. $52y$-3$+ = - $╓z$-1$+ + $╓z$-2$+ - $╓z$-3$+
  162. $52y$-4$+ = - $╓z$-1$+ - $╓z$-2$+ + $╓z$-3$+
  163. z$-1$+, z$-2$+, z$-3$+ sind L÷sungen der kubischen Resolvente
  164. $5z│ + 2pz▓ + (p▓-r) z - q▓ = 0
  165. Nebenbedingung$1z$-1$+ * z$-2$+ * z$-3$+ = -q > 0
  166. &L÷sungsfΣlle
  167. z$-1$+, z$-2$+, z$-3$+$4y$-1$+, y$-2$+, y$-3$+, y$-4$+
  168. alle reel, >0$4vier reelle Werte
  169. genau eine positiv$2vier paarweise konjugiert
  170. $6komplexe Werte
  171. 2 konjugiert komplexe$12 reelle, 2 konjugiert komplexe
  172. [4]
  173. #Ganzrationale Gleichungen n.ten Grades
  174. ºGanzrationale Gleichungen n.ten Grades
  175. #Fundamentalsatz der Algebra
  176. ºFundamentalsatz der Algebra
  177. Jede Gleichung n.ten Grades
  178. $2a$-n$+x$+n$- + a$-n-1$+x$+n-1$- + ... + a$-1$+x + a$-0$+ = 0,
  179. in der die a$-i$+ reelle oder komplexe Zahlen bedeuten, hat
  180. genau n, nicht notwendig voneinander verschiedene, 
  181. komplexe L÷sungen x$-1$+, x$-2$+, ... x$-n$+ und es gilt (a$-n$+=1):
  182. $2x$+n$- + a$-n-1$+x$+n-1$- + ... + a$-1$+x + a$-0$+ =
  183. $2= (x - x$-1$+) * (x - x$-2$+) * ... (x - x$-n$+) = 0
  184. &Wurzelsatz des Vieta
  185. ºWurzelsatz des Vieta 2
  186. Fⁿr die L÷sungen git
  187. $2x$-1$+ + x$-2$+ + ... + x$-n$+ = - a$-n-1$+
  188. $2x$-1$+x$-2$+ + x$-1$+x$-3$+ + x$-2$+x$-3$+ + ... + x$-n-1$+x$-n$+ = a$-n-2$+
  189. $2x$-1$+x$-2$+x$-3$+ + x$-1$+x$-2$+x$-4$+ + ... + x$-n-2$+x$-n-1$+x$-n$+ = - a$-n-3$+
  190. $2...
  191. $2x$-1$+x$-2$+x$-3$+...x$-n$+ = (-1)$+n$- = a$-0$+
  192. &L÷sung durch Radikale
  193. Nach Abel (1824) sind Gleichung n.ten Grades mit 
  194. n>4 nicht vollstΣndig in Radikalen aufl÷sbar.
  195. *
  196. #Ganzrationale Funktionen
  197. ºGanzrationale Funktionen
  198. $1y = a$-n$+x$+n$- + a$-n-1$+x$+n-1$- + ... + a$-1$+x + a$-0$+, n>0
  199. &Horner-Schema zur Berechnung von f(x$-1$+)
  200. ºHorner-Schema
  201. a$-n$+$2a$-n-1$+$1a$-n-2$+$1...$1a$-1$+$2a$-0$+
  202. $2+$2+$3+$2+
  203. $2a$-n$+x$-1$+$1b$-n-1$+x$-1$+$1...$1b$-2$+x$-1$+$1b$-1$+x$-1$+
  204. ---------------------------------------------------------------------------
  205. a$-n$+$2b$-n-1$+$1b$-n-2$+$1...$1b$-1$+$2b$-0$+ = f(x$-1$+)
  206. #Nullstellen
  207. ºNullstelle einer Funktion
  208. Eine Zahl $a hei▀t Nullstelle einer Funktion y=f(x), 
  209. wenn der Zahl $a durch die Funktion die 0 zugeordnet 
  210. wird
  211. {3145
  212.  
  213. #
  214. Vielfachheit von Nullstellen bei ganzrationalen 
  215. Funktionen (Verlauf des Graphen) ...
  216. einfache Nullstelle ... Beispiel 1
  217. mehrfache Nullstelle ... Beispiel 2 und 3
  218. [5]
  219. #Descartessche Zeichenregel
  220. Gegeben sei die ganzrationale Funktion
  221. $1y = a$-n$+x$+n$- + a$-n-1$+x$+n-1$- + ... + a$-1$+x + a$-0$+, n>0
  222. Folge der Koeffizienten (Nullglieder werden ignoriert)
  223. $1a$-n$+, a$-n-1$+, ..., a$-1$+, a$-0$+
  224. Voraussetzung: a$-n$+ und a$-0$+ <>0
  225. Haben benachbarte Glieder unterschiedliche 
  226. Vorzeichen liegt ein Zeichenwechsel vor
  227. &Descartesssche Regel:
  228. Die Anzahl der Zeichenwechsel oder eine um eine 
  229. gerade Zahl kleiner Zahl ist der Anzahl der positiven 
  230. Nullstellen des Polynoms gleich.
  231. Die Anzahl der negativen Nullstellen ergibt sich analog 
  232. aus der Anzahl der Zeichenwechsel im Polynom f(-x).
  233. #Sturmscher Satz
  234. ºSturmscher Satz
  235. Gegeben sei ein Polynom $f(x) und deren Ableitung $f'(x). 
  236. Durch Polynomdivision erhΣlt man
  237. $2$f = q$-1$+ $f' - $f$-2$+$2$f' = q$-2$+ $f$-2$+ - $f$-3$+
  238. $2$f$-2$+ = q$-3$+ $f$-3$+ - $f$-4$+$2$f$-3$+ = q$-4$+ $f$-4$+ - $f$-5$+ ...
  239. Verfahren bricht nach endlich vielen Schritten ab.
  240. *
  241.  
  242. Die endliche Folge $f, $f', $f$-1$+, $f$-2$+, ..., $f$-r$+
  243. hei▀t Sturmsche Kette. 
  244. Fⁿr ein Argument x=a entsteht die Folge
  245. $1$f(a), $f'(a), $f$-1$+(a), $f$-2$+(a), ..., $f$-r$+(a)
  246. W(a) ist die Anzahl der Vorzeichenwechsel dieser Folge
  247. &Sturmscher Satz
  248. Ist $f(x) ein Polynom mit nur einfachen Nullstellen, ist 
  249. a<b und sind $f(a)<>0 und $f(b)<>0, so ist W(a)-W(b) 
  250. gleich der Anzahl der Nullstellen des Polynoms $f(x) 
  251. im abgeschlossenen Intervall [a;b].
  252. #Gebrochenrationale Funktionen
  253. ºGebrochenrationale Funktionen
  254. $1y = g(x) / h(x) mit
  255. $1g(x) = a$-n$+x$+n$- + a$-n-1$+x$+n-1$- + ... + a$-1$+x + a$-0$+
  256. $1h(x) = b$-m$+x$+m$- + b$-m-1$+x$+n-1$- + ... + b$-1$+x + b$-0$+, m>0
  257. x$-0$+ ist Nullstelle von f(x) $█
  258. $1u(x$-0$+) = 0 und v(x$-0$+) <>0
  259. x$-p$+ ist Polstelle von f(x) $█
  260. $1u(x$-p$+) <>0 und v(x$-p$+) = 0
  261. x$-u$+ ist Unstetigkeitsstelle ("Loch") von f(x) █
  262. $1u(x$-u$+) = 0 und v(x$-u$+) = 0
  263. [6]
  264. #Partialbruchzerlegung von f(x)/g(x)
  265. ºPartialbruchzerlegung
  266.  
  267. 1. g(x) = 0 hat nur einfache reelle Wurzeln x$-i$+
  268. $1f(x)/g(x) = A/(x-x$-1$+) + B/(x-x$-2$+) + C/(x-x$-3$+) + ...
  269. $1mit A = f(x$-1$+)/g'(x$-1$+), B = f(x$-2$+)/g'(x$-2$+), ...
  270. 2. ... reelle aber mehrfache auftretende Wurzeln 
  271. $1x$-1$+ $a mal, x$-2$+ $b mal, x$-3$+ $g mal ...
  272. $1f(x)/g(x) = A$-1$+/(x-x$-1$+)$+$a$- + A$-2$+/(x-x$-1$+)$+$a-1$- + ... +
  273. $1+ A$-$a$+/(x-x$-1$+) + B$-1$+/(x-x$-2$+)$+$b$- + ... + B$-$a$+/(x-x$-2$+) + ...
  274. 3. ... neben reellen auch einfache konjugiert komplex 
  275. $1auftretende Wurzeln
  276. $1x$-1$+ und x$-2$+ sind zueinander konjugiert komplex
  277. $1$▐ f(x)/g(x) = (Px + Q) / [(x-x$-1$+) (x+x$-12$+) ] =
  278. $1= (Px + Q) / (x▓ + px + q)
  279. 4. ... neben reellen auch mehrfache komplexe Wurzeln
  280. $1z.B. bei einer dreifachen reellen und zweifach 
  281. $1auftretenden konjugiert komplexen Wurzeln
  282. $1f(x)/g(x) = A$-1$+/(x-x$-1$+)│ + A$-2$+/(x-x$-1$+)▓ + A$-2$+/(x-x$-1$+) +
  283. $1+ (P$-1$+x + Q$-1$+) / (x▓ + px + q)▓ +
  284. $1+ (P$-2$+x + Q$-2$+) / (x▓ + px + q)
  285. *
  286. #Verhalten gebrochenrationaler Funktionen
  287. im Unendlichen
  288. $1y = f(x) = g(x) / h(x) mit
  289. $1g(x) = a$-n$+x$+n$- + a$-n-1$+x$+n-1$- + ... + a$-1$+x + a$-0$+
  290. $1h(x) = b$-m$+x$+m$- + b$-m-1$+x$+n-1$- + ... + b$-1$+x + b$-0$+, m>0
  291. 1. m>n : f(x) strebt fⁿr x $« $Ñ gegen 0
  292. 2. m=n : f(x) strebt fⁿr x $« $Ñ gegen a$-n$+/b$-m$+
  293. 3. m<n : f(x) strebt fⁿr x $« $Ñ gegen $Ñ
  294. #Wurzelfunktionen
  295. ºWurzelfunktionen
  296. {3047
  297. $7Allgemeine Form
  298. $7y = x$+p/q$- mit
  299. $7p,q $╬ Z, q>0, ggT(p,q)=1
  300.  
  301. #
  302. p>0$1DB: 0 $ú x < $Ñ$1WB: 0 $ú y < $Ñ
  303. p<0$1DB: 0 < x < $Ñ$1WB: 0 < y < $Ñ
  304. [7]
  305. #Potenzfunktionen
  306. ºPotenzfunktionen
  307. Allgemeine Form: y = x$+n$-
  308. {3046
  309.  
  310. #
  311. #
  312. #
  313. #
  314. #
  315. #
  316. #
  317. y = x$+2k$-, k = 1,2,3,...
  318. $1DB: - $Ñ < x < $Ñ$2WB: 0 $ú y < $Ñ
  319. *
  320. #
  321. y = x$+2k+1$-, k = 0,1,2,3,...
  322. $1DB: - $Ñ < x < $Ñ$3WB: - $Ñ < y < $Ñ
  323. y = x$+0$-
  324. $1DB: x < 0 und x > 0$2WB: y = 1
  325. y = x$+-2k$-, k = 1,2,3,...
  326. $1DB: - $Ñ < x < $Ñ, x$╣0$1WB: 0 $ú y < $Ñ
  327. y = x$+-2k-1$-, k = 1,2,3,...
  328. $1DB: - $Ñ < x < $Ñ, x$╣0$1WB: - $Ñ < y < $Ñ, y$╣0
  329. #Exponentialfunktionen und Gleichungen
  330. ºExponentialfunktionen
  331. {3048
  332. $7Allgemeine Form
  333. $7y = a$+x$- mit
  334. $7a>0 und a<>1
  335. $7DB: - $Ñ < x < $Ñ
  336. $7WB: 0 < y < $Ñ
  337. $7Gleichung a$+x$- = b
  338. $7L÷sung x = lg b / lg a
  339. y=a*e$+x$- ist einzige Funktion, welche identisch
  340. mit ihrer Ableitung ist
  341. [8]
  342. #&Funktion y = k * a$+x$-
  343. Faktor k bewirkt Stauchung oder Streckung
  344. ... ist identisch mit Parallelverschiebung in Richtung
  345. der x-Achse um -ln k
  346. #Logarithmusfunktionen
  347. ºLogarithmusfunktionen
  348. Umkehrung der Exponentialfunktion
  349. {3049
  350. $7Allgemeine Form
  351. $7y = log$-a$+x mit
  352. $7a>0 und a<>1
  353. $7DB: 0 < x < $Ñ
  354. $7WB: - $Ñ < y < $Ñ
  355. #&Funktion y = log$-a$+(kx)
  356. fⁿr posivites k ... Verschiebung um log$-a$+ k entlang
  357. der y-Achse
  358. fⁿr negatives k ... nur definiert fⁿr negatives x und 
  359. damit wegen k< 0 und x< 0, d.h. kx>0 identisch 
  360. *
  361. #Trigonometrische Funktionen
  362. ºTrigonometrische Funktionen
  363. {3050
  364. $5Sinus$2y = sin x = v
  365. $5Kosinus$1y = cos x = u
  366. $5Tangens$1y = tan x = w
  367. $5Kotangens$1y = cot x = 1/w
  368. $5Sekans$2y = sec x = 1/u
  369. $5Kosekans$1y = csc x = 1/v
  370. Komplementwinkelbeziehung
  371. sin ($p/2 - x) = cos x$2tan ($p/2 - x) = cot x
  372. {3007
  373. $8Sinus
  374. $8DB: - $Ñ < x < $Ñ
  375. $8WB: -1 $ú y $ú 1
  376. $8Periode 2$p
  377.  
  378. $8Kosinus
  379. $8DB: - $Ñ < x < $Ñ
  380. $8WB: -1 $ú y $ú 1
  381. $8Periode 2$p
  382. [9]
  383. #Trigonometrische Funktionen
  384. {3051
  385. $8Tangens
  386. $8DB: - $Ñ < x < $Ñ
  387. $8x $╣ $p/2 + k$p, k $╬ Z
  388. $8WB: - $Ñ < y < $Ñ
  389. $8Periode $p
  390.  
  391. $8Kotangens
  392. $8DB: - $Ñ < x < $Ñ
  393. $8x $╣ k$p, k $╬ Z
  394. $8WB: - $Ñ < y < $Ñ
  395. $8Periode $p
  396. {3052
  397. $8Sekans
  398. $8DB: - $Ñ < x < $Ñ mit
  399. $8x $╣ $p/2 + k$p, k $╬ Z
  400. $8WB: - $Ñ < y $ú -1 und
  401. $81 $ú y < $Ñ
  402. *
  403. #Spezielle Funktionswerte
  404. x$2sin x$2cos x$2tan x$2cot x
  405. 0$20$31$30$3-
  406. $p/6$11/2$2$╓3 /2$2$╓3 /3$2$╓3
  407. $p/4$1$╓2 /2$2$╓2 /2$21$31
  408. $p/3$1$╓3 /2$21/2$2$╓3$3$╓3 /3
  409. $p/2$11$30$3-$30
  410. 2$p/3$1$╓3 /2$2-1/2$2- $╓3$2- $╓3 /3
  411. 3$p/4$1$╓2 /2$2- $╓2 /2$2-1$3-1
  412. 5$p/6$11/2$2- $╓3 /2$2- $╓3 /3$2- $╓3
  413. $p$20$3-1$30$30
  414. #Quadrantenbeziehungen
  415. ºQuadrantenbeziehungen
  416. Quadrant$21.$22.$23.$24.
  417. Winkel$3x$2$p-x$2$p+x$12$p-x
  418. Sinus$3sin x$1sin x$1-sin x$1-sin x
  419. Kosinus$2cos x$1-cos x$1-cos x$1cos x
  420. Tangens$2tan x$1-tan x$1tan x$1-tan x
  421. Kotangens$2cot x$1-cot x$1cot x$1-cot x
  422. [10]
  423. #Spezielle trigonometrische Funktionen
  424. y = a sin (bx), a $╣ 0, b $╣ 0
  425. $1WB: - a $ú y $ú a, kleinste Periode 2$p/|b|
  426. $1Nullstellen$1x = k$p / b, k $╬ Z
  427. y = a sin (bx + c), a $╣ 0, b $╣ 0
  428. $1WB: - a $ú y $ú a, kleinste Periode 2$p/|b|
  429. $1Nullstellen$1x = (k$p - c) / b, k $╬ Z
  430. y = a cos (bx + c), a $╣ 0, b $╣ 0
  431. $1WB: - a $ú y $ú a, kleinste Periode 2$p/|b|
  432. $1Nullstellen$1x = (k$p + $p/2 - c) / b, k $╬ Z
  433. #Goniometrische Beziehungen
  434. ºGoniometrische Beziehungen
  435. tan x = sin x / cos x$2cot x = cos x / sin x
  436. ºAdditionstheoreme trigon.Funktionen
  437. sin▓ x + cos▓ x = 1$3tanx * cot x =1
  438. sec▓ x - tan▓ x = 1$3sin x * cosec x = 1
  439. 1 + tan▓ x = 1/cos▓ x$21+ cot▓ x = 1/sin▓ x
  440. sin▓ x = tan▓ x / (1 + tan▓ x)$1sin▓ x = 1 / (1 + cot▓ x)
  441. #Addition zweier Winkel
  442. sin( x ▒ y ) = sin x * cos y ▒ cos x * sin y
  443. cos( x+y ) = cos x * cos y - sin x * sin y
  444. *
  445.  
  446. cos( x-y ) = cos x * cos y + sin x * sin y
  447. tan( x+y ) = (tan x + tan y) / (1 - tan x * tan y)
  448. tan( x-y ) = (tan x - tan y) / (1 + tan x * tan y)
  449. cot( x+y ) = (cot x * cot y - 1) / (cot x + cot y)
  450. cot( x-y ) = (cot x * cot y + 1) / (cot x - cot y)
  451. #Summe und Differenz zweier Winkelfunktionen
  452. sin x + sin y = 2 sin( (x+y)/2 ) * cos ( (x-y)/2 )
  453. sin x - sin y = 2 cos( (x+y)/2 ) * sin ( (x-y)/2 )
  454. cos x + cos y = 2 cos( (x+y)/2 ) * cos ( (x-y)/2 )
  455. cos x - cos y = -2 sin( (x+y)/2 ) * sin ( (x-y)/2 )
  456. cos x + sin x = $╓2 * sin (45░+x) = $╓2 * cos (45░-x)
  457. cos x - sin x = $╓2 * sin (45░-x) = $╓2 * cos (45░+x)
  458. tan x ▒ tan y = sin ( x▒y ) / ( cos x * cos y )
  459. cot x ▒ cot y = ▒ sin ( x▒y ) / ( sin x * sin y )
  460. tan x + cot y = cos ( x-y ) / ( cos x * sin y )
  461. cot x - tan y = cos ( x+y ) / ( sin x * cos y )
  462. #Aufl÷sung doppelter Winkel
  463. sin 2x = 2 sin x cos x = 2 tan x / ( 1+ tan▓ x )
  464. cos 2x = cos▓ x - sin▓ x = 1 - 2 sin▓ x = 2 cos▓ x - 1
  465. [11]
  466. &
  467. tan 2x = 2 tan x / (1- tan▓ x) = 2(cot x - tan x)
  468. cot 2x = (cot▓ x - 1) / (2 cot x) = (cot x - tan x)/2
  469. #Aufl÷sung Vielfacher Winkel
  470. sin 3x = 3 sin x - 4 sin│ x
  471. cos 3x = 4 cos│ x - 3 cos x
  472. sin 4x = 8 cos│ x * sin x - 4 cos x * sinx
  473. cos 4x = 8 cos$+4$- x - 8 cos▓ x +1
  474. sin 5x = 16 sin x cos$+4$-x - 12 sin x cos▓ x + sin x
  475. cos 5x = 16 cos$+5$- x - 20 cos│ x + 5 cos x
  476. sin nx = n sin x cos$+n-1$- x - ( $+$+n$-$-$-$-$=3$+$+ ) sin│ x cos$+n-3$- x +
  477. $2+ ( $+$+n$-$-$-$-$=4$+$+ ) sin$+4$- x cos$+n-4$- x - + ...
  478. cos nx = cos$+n$- x - ( $+$+n$-$-$-$-$=2$+$+ ) sin▓ x cos$+n-2$- x +
  479. $2+ ( $+$+n$-$-$-$-$=5$+$+ ) sin$+5$- x cos$+n-5$- x - + ...
  480. tan 3x = (3 tan x - tan│ x) / (1 - 3 tan▓ x)
  481. tan 4x = (4 tan x - 4 tan│ x) / (1 - 6 tan▓ x + tan$+4$- x)
  482. cot 3x = (-3 cot x + cot│ x) / (3 cot▓ x - 1)
  483. cot 4x = (1 - 6 cot▓ x + cot$+4$- x) / (-4 cot x + 4 tan│ x)
  484. #Aufl÷sung halber Winkel
  485. sin x/2 = $╓( (1-cos x)/2 )
  486. *
  487.  
  488. cox x/2 = $╓( (1+cos x)/2 )
  489. tan x/2 = $╓( (1-cos x) / (1+cos x) ) = sin x / (1 +cos x)
  490. $2  = (1 - cos x) / sin x
  491. cot x/2 = $╓( (1+cos x) / (1-cos x) ) = sin x / (1 -cos x)
  492. #Produkt trigonometrischer Funktionen
  493. sin(x+y) * sin(x-y) = cos▓ y - cos▓ x
  494. cos(x+y) * cos(x-y) = cos▓ y - sin▓ x
  495. sin x * sin y = 1/2 [cos (x - y) - cos (x + y) ]
  496. sin x * cos y = 1/2 [sin (x - y) + sin (x + y) ]
  497. cos x * cos y = 1/2 [cos (x - y) + cos (x + y) ]
  498. tan x * tan y = (tan x + tan y) / (cot x + cot y)
  499. cot x * cot y = (cot x + cot y) / (tan x + tan y)
  500. tan x * cot y = (tan x + cot y) / (cot x + tan y)
  501. sin x * sin y * sin z = 
  502. = [sin(x+y-z) + sin(y+z-a) + sin(z+x-y) - sin(x+y+z)]/4
  503. cos x * cos y * cos z = 
  504. = [cos(x+y-z) + cos(y+z-a) + cos(z+x-y) + cos(x+y+z)]/4
  505. sin x * sin y * cos z = 
  506. = [-cos(x+y-z) + cos(y+z-a) + cos(z+x-y) - cos(x+y+z)]/4
  507. [12]
  508. &
  509. sin x * cos y * cos z = 
  510. = [sin(x+y-z) - sin(y+z-a) + sin(z+x-y) + sin(x+y+z)]/4
  511. #Potenzen trigonometrischer Funktionen
  512. sin▓ x = 1/2 (1 - cos 2x)
  513. cos▓ x = 1/2 (1 + cos 2x)
  514. tan▓ x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x)
  515. sin│ x = 1/4 (3 sin x - sin 3x)
  516. cos│ x = 1/4 (3 cos x + cos 3x)
  517. sin$+4$- x = 1/8 (cos 4x - 4 cos 2x + 3)
  518. cos$+4$- x = 1/8 (cos 4x + 4 cos 2x + 3)
  519. sin$+5$- x = 1/16 (10 sin x - 5 sin 3x + sin 5x)
  520. cos$+5$- x = 1/16 (10 cos x + 5 cos 3x + cos 5x)
  521. sin$+6$- x = 1/32 (10 - 15 cos 2x + 6 cos 4x - cos 6x)
  522. cos$+6$- x = 1/32 (10 + 15 cos 2x + 6 cos 4x + cos 6x)
  523. #Zusammenhang zu Exponentialfunktionen
  524. y = e$+ix$- = cos x + i sin x
  525. sin x = (e$+ix$- - e$+-ix$-) / 2$1cos x = (e$+ix$- + e$+-ix$-) / 2
  526. tan x = - i * (e$+ix$- - e$+-ix$-) / (e$+ix$- + e$+-ix$-) 
  527. cot x = i * (e$+ix$- + e$+-ix$-) / (e$+ix$- - e$+-ix$-) 
  528. *
  529. #Winkelfunktionen imaginΣrer Argumente
  530. y = sin ix = i sinh x$2y = cos ix = cosh x
  531. y = tan ix = i tanh x$2y = cot ix = -i coth x
  532. #Arkusfunktionen
  533. ºArkusfunktionen
  534. Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen
  535. {3056
  536. $7y = arcsin x
  537. $7DB: -1 $ú x $ú 1
  538. $7WB: -$p/2 $ú y $ú $p/2
  539. $7Nullstelle x$-0$+ = 0
  540. $7Wendestelle x$-0$+ = 0
  541. # 
  542. $7y = arccos x
  543. $7DB: -1 $ú x $ú 1
  544. $7WB: 0 $ú y $ú $p
  545. $7Nullstelle x$-0$+ = 1
  546. $7Wendestelle x$-0$+ = 0
  547. [13]
  548. &
  549. {3057
  550. $7y = arctan x
  551. $7DB: - $Ñ < x < $Ñ
  552. $7WB: -$p/2 < y < $p/2
  553. $7Nullstelle x$-0$+ = 0
  554. $7Asymptoten y= ▒ $p/2
  555.  
  556. y = arccot x
  557. DB: - $Ñ < x < $Ñ$2WB: 0 < y < $p
  558. keine Nullstelle; Asymptoten y = 0 und y = $p
  559. &Zusammenhang
  560. arcsin x = $p/2 - arccos x = arctan [x / $╓(1 - x▓) ]
  561. arccos x = $p/2 - arcsin x = arccot [x / $╓(1 - x▓) ]
  562. arctan x = $p/2 - arccot x = arcsin [x / $╓(1 + x▓) ]
  563. arccot x = $p/2 - arctan x = arccos [x / $╓(1 + x▓) ]
  564. arccot x = arctan 1/x, fⁿr x > 0
  565. $2=arctan 1/x + $p, fⁿr x < 0
  566. &Negative Argumente
  567. arcsin -x = - arcsin x$2arccos -x = $p - arccos x
  568. arctan -x = - arctan x$2arccot -x = $p - arccot x
  569. *
  570. #Summen und Differenzen
  571. ºAdditionstheoreme Arcus-Funktionen
  572. arcsin x + arcsin y =
  573. = arcsin [x $╓(1 - y▓) + y $╓(1 - x▓)] fⁿr x▓+y▓ $ú 1, xy $ú 0
  574. = $p - arcsin [x $╓(1 - y▓) + y $╓(1 - x▓)] fⁿr x,y>0, x▓+y▓ >1
  575. = -$p - arcsin [x $╓(1 - y▓) + y $╓(1 - x▓)] fⁿr x,y<0, x▓+y▓ > 1
  576. arcsin x - arcsin y =
  577. = arcsin [x $╓(1 - y▓) - y $╓(1 - x▓)] fⁿr x▓+y▓ $ú 1, 0 $ú xy
  578. = $p - arcsin [x $╓(1 - y▓) - y $╓(1 - x▓)] fⁿr x>0, y<0, x▓+y▓ >1
  579. = -$p - arcsin [x $╓(1 - y▓) - y $╓(1 - x▓)] fⁿr x<0, y>0, x▓+y▓ > 1
  580.  
  581. arccos x + arccos y =
  582. = arccos [xy - $╓(1 - y▓) * $╓(1 - x▓)] fⁿr 0 $ú x+y
  583. arccos x - arccos y =
  584. = - arccos [xy + $╓(1 - y▓) * $╓(1 - x▓)] fⁿr y $ú x
  585. = arccos [xy + $╓(1 - y▓) * $╓(1 - x▓)] fⁿr x $ú y
  586.  
  587. arctan x + arctan y =
  588. = arctan [ (x+y) / (1 - xy) ] fⁿr xy < 1
  589. = $p + arctan [ (x+y) / (1 - xy) ] fⁿr xy > 1, x > 0
  590. = -$p + arctan [ (x+y) / (1 - xy) ] fⁿr xy > 1, x < 0
  591. [14]
  592. &
  593. arctan x - arctan y =
  594. = arctan [ (x-y) / (1 - xy) ] fⁿr xy > -1
  595. = $p + arctan [ (x-y) / (1 - xy) ] fⁿr xy < -1, x > 0
  596. = -$p + arctan [ (x-y) / (1 - xy) ] fⁿr xy < -1, x < 0
  597. arccot x + arccot y =
  598. = arccot [ (xy - 1) / (x + y) ] fⁿr x<>-y
  599. arccot x - arccot y = 
  600. = arccot [ (xy + 1) / (y - x) ] fⁿr x<>y
  601. #&Zusammenhang zu logarithmischen Funktionen
  602. arcsin x = -i ln [ix + $╓( 1 - x▓ ) ]
  603. arccos x = -i ln [x + $╓( x▓ - 1 ) ]
  604. arctan x = 1/(2i) * ln [ (1+ix) / (1-ix) ]
  605. arccot x = -1/(2i) * ln [ (ix+1) / (ix-1) ]
  606. *
  607. #Hyperbolische Funktionen
  608. ºHyperbolische Funktionen
  609. {3133
  610. $7Sinus hyperbolicus
  611. $7y = sinh x
  612. $7y = (e$+x$- - e$+-x$-)/2
  613. $7DB: - $Ñ < x < $Ñ
  614. $7WB: - $Ñ < y < $Ñ
  615. $7Nullstelle x$-0$+ = 0
  616.  
  617. Cosinus hyperbolicus (Kettenlinie)
  618. $1y = cosh x = (e$+x$- + e$+-x$-)/2
  619. $1DB: - $Ñ < x < $Ñ$2WB: 1 $ú y < $Ñ
  620. $1keine Nullstelle
  621. Tangens hyperbolicus
  622. $1y = tanh x = sinh x / cosh x = (e$+x$- - e$+-x$-) / (e$+x$- + e$+-x$-)
  623. $1DB: - $Ñ < x < $Ñ$2WB: -1 $ú y $ú 1
  624. $1Nullstelle x$-0$+ = 0; Asymptoten y=1 und y=-1
  625. Kotangens hyperbolicus
  626. $1y = coth x = cosh x / sinh x = (e$+x$- + e$+-x$-) / (e$+x$- - e$+-x$-)
  627. $1DB: - $Ñ < x < $Ñ$2WB: - $Ñ < y < -1 und 1 < y < $Ñ
  628. $1keine Nullstelle; Asymptoten y=1 und y=-1
  629. [15]
  630. &
  631. {3058
  632. $7Secans hyperbolicus
  633. $7y = sch x 
  634. $7= 2 / (e$+x$- + e$+-x$-)
  635. $7Cosecans hyperbolicus
  636. $7y = csch x 
  637. $7= 2 / (e$+x$- - e$+-x$-)
  638. #Periode der Hyperbelfunktionen
  639. sinh (x + i 2k$p) = sinh x$2cosh (x + i 2k$p) = cosh x
  640. tanh (x + i k$p) = tanh x$2coth (x + i k$p) = coth x
  641. &Negative Argumente
  642. sinh (-x) = - sinh x$3cosh (-x) = cosh x
  643. tanh (-x) = - tanh x$3coth (-x) = - coth x
  644. #Additionstheoreme
  645. ºAdditionstheoreme hyperb.Funktionen
  646. sinh x + cosh x = e$+x$-$2sinh x - cosh x = - e$+-x$-
  647. cosh▓ x - sinh▓ x = 1$2tanh x = sinh x / cosh x
  648. 1 - tanh▓ x = 1 / cosh▓ x$1sch x = tanh x / sinh x
  649. sch▓ x + tanh▓ x = 1$2coth▓ x + csch▓ x = 1
  650. e$+2x$- = (1+tanh x) / (1-tanh x)
  651. *
  652.  
  653. sinh x = sgn x * $╓( cosh▓ x - 1) = tanh x / $╓(1 - tanh▓ x)
  654. cosh x = $╓( sinh▓ x + 1) = 1 / $╓(1 - tanh▓ x)
  655. tanh x = sinh x / $╓(1 + sinh▓ x)
  656. &Summe und Differenz der Argumente
  657. sinh (x ▒ y ) = sinh x cosh y ▒ cosh x sinh y
  658. cosh (x ▒ y ) = cosh x cosh y ▒ sinh x sinh y
  659. tanh (x ▒ y ) = (tanh x ▒ tanh y) / (1 ▒ tanh x tanh y)
  660. coth (x ▒ y ) = (1 ▒ coth x coth y) / (coth x ▒ coth y)
  661. &Doppelte und halbe Argumente
  662. sinh 2x = 2 sinh x cosh x
  663. cosh 2x = sinh▓ x + cosh▓ x
  664. tanh 2x = 2 tanh x / (1 + tanh▓ x)
  665. coth 2x = (1 + coth▓ x) / (2 coth x)
  666. sinh x/2 = sgn x * $╓ [ (cosh x - 1)/2 ] =
  667. $2= sinh x / $╓[ 2cosh x + 2 ]
  668. cosh x/2 = $╓ [ (cosh x + 1)/2 ] =
  669. $2= sinh x / $╓[ 2cosh x - 2 ]
  670. tanh x/2 = sinh x / (cosh x + 1) = (cosh x - 1)/ sinh x =
  671. $2= sgn x * $╓[ (cosh x - 1) / (cosh x + 1) ]
  672. coth x/2 = sinh x / (cosh x - 1) = (cosh x + 1)/ sinh x =
  673. $2= sgn x * $╓[ (cosh x + 1) / (cosh x - 1) ]
  674. [16]
  675. #Vielfache Argumente
  676. sinh 3x = sinh x (4 cosh2 x -1)
  677. sinh 4x = sinh x cosh x (8 cosh▓ x - 4)
  678. sinh 5x = sinh x (1 - 12 cosh2 x + 16 cosh$+4$-x)
  679. cosh 3x = cosh x (4 cosh▓ x - 3)
  680. cosh 4x = 1 - 8 cosh▓ x + 8 cosh$+4$- x
  681. cosh 5x = cosh x (5 - 20 cosh▓ x + 16 cosh$+4$- x)
  682. sinh nx = n cosh$+n-1$- x sinh x + ( $+$+n$-$-$-$-$=3$+$+ ) cosh$+n-3$- x sinh│ x +
  683. $2+ ( $+$+n$-$-$-$-$=5$+$+ ) cosh$+n-5$- x sinh$+5$- x + ...
  684. cosh nx = cosh$+n$- x + ( $+$+n$-$-$-$-$=2$+$+ ) cosh$+n-2$- x sinh▓ x +
  685. $2+ ( $+$+n$-$-$-$-$=4$+$+ ) cosh$+n-4$- x sinh$+n-4$- x + ...
  686. #Potenzen
  687. sinh▓ x = 1/2 (cosh 2x - 1)
  688. cosh▓ x = 1/2 (cosh 2x + 1)
  689. sinh│ x = 1/4 (-3 sinh x + sinh 3x)
  690. cosh│ x = 1/4 (3 cosh x + cosh 3x)
  691. sinh$+4$- x = 1/8 (3 - 4 cosh 2x + cosh 4x)
  692. cosh$+4$- x = 1/8 (3 + 4 cosh 2x + cosh 4x)
  693. sinh$+5$- x = 1/16 (10 sinh x - 5 sinh 3x + sinh 5x)
  694. cosh$+5$- x = 1/16 (10 cosh x + 5 cosh 3x + cosh 5x)
  695. *
  696.  
  697. sinh$+6$- x = 1/32 (-10 + 15 cosh 2x - 6 cosh 4x + cosh 6x)
  698. cosh$+6$- x = 1/32 (10 + 15 cosh 2x + 6 cosh 4x + cosh 6x)
  699. #Summen und Differenzen
  700. sinh x + sinh y = 2 sinh [(x+y)/2] cosh [(x-y)/2]
  701. sinh x - sinh y = 2 sinh [(x-y)/2] cosh [(x+y)/2]
  702. cosh x + cosh y = 2 cosh [(x+y)/2] cosh [(x-y)/2]
  703. cosh x - cosh y = 2 sinh [(x+y)/2] sinh [(x-y)/2]
  704. tanh x ▒ tanh y = sinh (x ▒ y) / (cosh x cosh y)
  705. coth x ▒ coth y = sinh (x ▒ y) / (sinh x sinh y)
  706. #Binome
  707. (sinh x + cosh x)$+n$- = sinh nx + cosh nx
  708. (cosh x - cosh x)$+n$- = cosh nx - sinh nx
  709. #Produkte
  710. sinh x sinh y = 1/2 [ cosh (x+y) - cosh (x-y) ]
  711. cosh x cosh y = 1/2 [ cosh (x+y) + cosh (x-y) ]
  712. sinh x cosh y = 1/2 [ sinh (x+y) + sinh (x-y) ]
  713. tanh x tanh y = (tanh x + tanh y) / (coth x + coth y)
  714. [17]
  715. #&Hyperbelfunktionen imaginΣrer Argumente
  716. cosh ix = cos x$2cosh x = cos ix
  717. sinh ix = i sinx  $2sinh x = -i sin ix
  718. tanh ix = i tan x$2tanh x = -i tan ix
  719. coth ix = -i cotx $2coth x = i cot ix
  720. #Areafunktionen
  721. ºAreafunktionen
  722. {3066
  723. #
  724. $9Umkehrung der
  725. $9hyperbolischen
  726. $9Funktionen
  727.  
  728. y = arsinh x $█ x = sinh y (Area sinus hyperbolicus)
  729. $1DB: - $Ñ < x < $Ñ$2WB: - $Ñ < y < $Ñ
  730. $1Nullstelle bei 0
  731. y = arcosh x $█ x = cosh y
  732. $1DB: 1 $ú x < $Ñ$2WB: 0 $ú y < $Ñ
  733. $1Nullstelle bei 1
  734. *
  735.  
  736. y = artanh x $█ x = tanh y
  737. $1DB: -1 $ú x $ú 1$2WB: - $Ñ < y < $Ñ
  738. $1Nullstelle x$-0$+ = 0; Asymptoten x=1 und x=-1
  739. y = arcoth x $█ x = coth y
  740. $1DB: - $Ñ < x < -1 und 1 < x < $Ñ
  741. $1WB: - $Ñ < y < $Ñ, y<>0
  742. $1keine Nullstelle; Asymptoten x=1 und x=-1 und y=0
  743. #&Darstellung durch andere Funktionen
  744. ▒ bedeutet + fⁿr x > 0, - fⁿr x < 0
  745. y = arsinh x = ▒ arcosh $╓(x▓ + 1) = artanh [x / $╓(x▓ + 1)] =
  746. $3= arcoth [$╓(x▓ + 1) / x]
  747. y = arcosh x = ▒ arsinh $╓(x▓ - 1) = ▒ artanh [$╓(x▓ - 1) / x] =
  748. $3= ▒ arcoth [x / $╓(x▓ - 1)]
  749. y = artanh x = arsinh [x / $╓(1 - x▓)] =
  750. $3= ▒ artcosh [1 / $╓(1 - x▓)] = arcoth (1/x)
  751. y = arcoth x = arsinh [1 / $╓(x▓ - 1)] =
  752. $3= ▒ artcosh [x / $╓(x▓ - 1)] = artanh (1/x)
  753. [18]
  754. #Summe und Differenzen
  755. arsinh x ▒ arsinh y = arsinh [x $╓(1+y▓) ▒ y $╓(1+x▓) ]
  756. arcosh x ▒ arcosh y = arcosh [xy ▒ $╓[(y▓-1)*(x▓-1)] ]
  757. artanh x ▒ artanh y = artanh [ (x ▒ y) / (1 ▒ xy) ]
  758. arcoth x ▒ arcoth y = arcoth [ (1 ▒ xy) / (x ▒ y) ]
  759. #Areafunktionen imaginΣrer Argumente
  760. arsinh ix = i arsinh x$2arcosh ix = i arcosh x
  761. artanh ix = i artanh x$2arcoth ix = - i arcoth x
  762. #Zusammenhang zu logarithmischen Funktionen
  763. arsinh x = ln [x + $╓( x▓ + 1 )]
  764. arcosh x = ln [x - $╓( x▓ - 1 )]; fⁿr x>1, y<0
  765. $2= ln [x + $╓( x▓ - 1 )]; fⁿr x>1, y>0
  766. artanh x = 1/2 ln [ (1+x) / (1-x)]; fⁿr |x|<1
  767. arcoth x = 1/2 ln [ (1+x) / (x-1)]; fⁿr |x|>1
  768. *
  769. #Algebraische Kurven 3.Ordnung
  770. ºKurven 3.Ordnung
  771. Kurve mit Funktionsgleichung f(x,y)=0 3.Grades
  772. Anmerkung: Fⁿr die Parameterdarstellungen x=x(t) bzw.
  773. y=y(t) gilt, wenn nicht anders angegeben, t $╬ R
  774. #&Semikubische Parabel (Neilsche Parabel)
  775. {3070
  776. $7y▓ = a x│
  777. $7Parameterdarstellung
  778. $7x = t▓
  779. $7y = a t│
  780. $7Krⁿmmung
  781. $7k = 6a/ [$╓x * (4 + 9a▓x)$+3/2$- )]
  782. BogenlΣnge von O bis Punkt P
  783. $1b = [ (4 + 9a▓x)$+3/2$- ) - 8 ] / (27 a▓)
  784. {3071
  785. &$7Kartesisches Blatt
  786.  
  787. $7x│ + y│ + 3axy = 0
  788. $8fⁿr a > 0
  789. [19]
  790. &
  791. Parameterdarstellung
  792. $1x = 3at / (1+ t│)$2y = 3at▓ / (1 + t│); t<> -1
  793. Polarkoordinaten
  794. $1r = (3a sin $f cos $f) / (sin│ $f + cos│ $f)
  795. Asymptote$2y = -x - a
  796. Scheitel$2S (3/2 a; 3/2 a)
  797. FlΣche zwischen Kurve und Asymptote = 3/2 a▓
  798. #&Zissoide
  799. {3072
  800. $7y▓ (a - x) = x│; x > 0
  801. $7Parameterdarstellung
  802. $7x = at▓ / (1 + t▓)
  803. $7y = at│ / (1 + t▓)
  804. $7Polarkoordinaten
  805. $7r = a sin▓ $f / cos $f
  806. Asymptote$2x = a
  807. FlΣche zwischen Kurve und Asymptote = 3/4 $p a▓
  808. *
  809.  
  810. {3073
  811. &$7Strophoide
  812. ºStrophoide
  813. $7(a - x) y▓ = (a + x) x▓
  814. $7Parameterdarstellung
  815. $7x = a (t▓ - 1) / (t▓ + 1)
  816. $7y = at (t▓ - 1) / (t▓ + 1)
  817.  
  818. Polarkoordinaten$1r = -a cos 2$f / cos $f
  819. Asymptote$2x = a
  820. FlΣcheninhalt der Schleife = 2a▓ - $pa▓ /2
  821. FlΣche zwischen Kurve und Asymptote = 2a▓ + $pa▓ /2
  822. #&Versiera der Agnesi
  823. {3086
  824. $7(x▓ + a▓) y - a│ = 0
  825. $7FlΣche zwischen Kurve
  826. $7und Asymptote $pa▓
  827. $7Asymptote y = 0
  828. [20]
  829. #Kurven 4.Ordnung
  830. ºKurven 4.Ordnung
  831. &Konchoide des Nikomedes
  832. ºKonchoide des Nikomedes
  833. {3074
  834. $7(x - a)▓ (x▓ + y▓) = b▓x▓
  835. $7Parameterdarstellung
  836. $7x = a + b cos t, a,b >0
  837. $7y = a tan t + b sin t
  838. Polarkoordinaten$1r = a / cos $f ▒ b
  839. Asymptote$3x = a
  840. Scheitel$3S$-1$+(a+b;0) und S$-2$+(a-b;0)
  841. Ursprung fⁿr$1b<a$2isolierter Punkt
  842. $4b > a$2Doppelpunkt
  843. $4b = a$2Rⁿckkehrpunkt
  844. FlΣche zwischen Σu▀erem Zweig und Asymptote = $Ñ
  845. &Kardioide (Herzkurve)
  846. {3075
  847. $7(x▓+y▓)(x▓+y▓-2ax) - a▓y▓ = 0
  848. $7Parameterdarstellung
  849. $7x = a cos t (1+ cos t)
  850. $7y = a sin t (1+ cos t)
  851. $70 $ú t < 2$p, a > 0
  852. *
  853.  
  854. Polarkoordinaten$2r = a ( 1+ cos $f )
  855. FlΣche in der Kurve$2A = 2$p a▓/2
  856. KurvenlΣnge$3s = 8a
  857. {3077
  858. &$7Cassinische Kurven
  859. ºCassinische Kurven
  860. $7Menge aller Punkte, deren
  861. $7AbstΣnde zu F$-1$+, F$-2$+
  862. $7konstantes Produkt a▓ 
  863. $7haben
  864. $1(x▓ + y▓)▓ - 2e▓ (x▓ - y▓) = a$+4$- - e$+4$-, e>0, a>0
  865. $1r▓ = e▓ cos 2$f ▒ $╓[ e$+4$- cos▓ 2$f + a$+4$- e$+4$- ]
  866. $1Abstand F$-1$+F$-2$+ = 2e
  867. #&Spezialfall a▓=e▓ = Lemniskate
  868. {3076
  869. $7(x▓+y▓)▓ = 2a▓ (x▓-y▓)
  870. $7Polarkoordinaten
  871. $7r = a $╓[ 2 cos 2$f ]
  872.  
  873. Ursprung ist Doppelpunkt und zugleich Wendepunkt
  874. Krⁿmmungsradius$2$r = 2a▓ / (3r)
  875. [21]
  876. &
  877. FlΣche einer Schleife$1A = a▓
  878. Wendetangenten im Ursprung y = ▒ x
  879. Gr÷▀te Ordinatenausdehnung = a
  880. #Zykloiden (Rollkurven)
  881. ºZykloiden
  882. &gew÷hnliche Zykloide
  883. Ein Punkt eines Kreises, der auf einer Geraden, ohne
  884. zu gleiten, abrollt, beschreibt eine gew÷hnliche Zykloide
  885. $1x = a arccos [(a-y)/a] - $╓[ y(2a-y) ], a > 0
  886. {3078
  887. $7Parameterdarstellung
  888. $7x = a (t - sin t)
  889. $7y = a (1 - cos t)
  890. $7Periode = 2$pa
  891.  
  892. LΣnge eines vollen Bogens = 8a
  893. FlΣche unter einem vollen Bogen = 3$p a▓
  894. Krⁿmmungsradius $r = 4a sin t/2
  895. Evolute einer Zykloide ist eine kongruente Zykloide
  896. *
  897. #&Verkⁿrzte oder verlΣngerte Zykloide (Trochoide)
  898. Der erzeugende Punkt liegt innerhalb bzw. au▀erhalb
  899. des abrollenden Kreises im Abstand c vom Kreis-
  900. mittelpunkt
  901. c < a ... verkⁿrzte, c > a verlΣngerte Zykloide
  902. {3079
  903. $7Parameterdarstellung
  904. $7x = at - c sin t
  905. $7y = a - c cos t
  906. #Epizykloide
  907. {3080
  908. &$7gew÷hnliche Epizykloide
  909. $7Der Kreis rollt auf der
  910. $7Peripherie eines festen
  911. $7Kreises ab
  912.  
  913. a ... Radius des festen Kreises
  914. b ... Radius des rollenden Kreises
  915. $1x = (a+b) cos (bt/a) - b cos [(a+b) t/a]
  916. $1y = (a+b) sin (bt/a) - b sin [(a+b) t/a]
  917. [22]
  918. &
  919. $1x = (a+b) cos $f - b cos [(a+b) $f/b]
  920. $1y = (a+b) sin $f - b sin [(a+b) $f/b]
  921. LΣnge eines Bogens = 8b (a+b)/a
  922. FlΣche zwischen einem vollen Bogen und Kreis
  923. $1A = $p b▓ (3a + 2b) / a
  924. VerhΣltnis a/b ist ...
  925. ganzzahlig $▐ Kurve besteht aus m zusammen-
  926. $1hΣngenden Bogen
  927. $1LΣnge der ganzen Kurve l = 8(a + b)
  928. rational $▐ Kurve schlie▀t sich nach einer Anzahl
  929. $1von Umdrehungen
  930. #&Verkⁿrzte und verlΣngerte Epizykloide (Epitrochoide)
  931. Der Punkt liegt innerhalb bzw. au▀erhalb der Peripherie
  932. des abrollenden Kreises im Abstand c vom Mittelpunkt
  933. {3082
  934. $7c < b verkⁿrzt, gestreckt
  935. $7c > b verlΣngert, 
  936. $8verschlungen
  937. *
  938.  
  939. $1x = (a+b) cos (bt/a) - c cos [(a+b) t/a]
  940. $1y = (a+b) sin (bt/a) - c sin [(a+b) t/a]
  941. $1x = (a+b) cos $f - c cos [(a+b) $f/b]
  942. $1y = (a+b) sin $f - c sin [(a+b) $f/b]
  943. Sonderfall: Fⁿr a=b wird die gew÷hnliche Zykloide zur
  944. Herzkurve (Kardioide).
  945. #Hypozykloide
  946. {3081
  947. &$6gew÷hnliche Hypozykloide
  948. $6Der Kreis rollt innerhalb der
  949. $6Peripherie eines festen
  950. $6Kreises ab
  951.  
  952. a ... Radius des festen Kreises
  953. b ... Radius des rollenden Kreises
  954. $1x = (a-b) cos (bt/a) + b cos [(a-b) t/a]
  955. $1y = (a-b) sin (bt/a) - b sin [(a-b) t/a]
  956. $1x = (a-b) cos $f + b cos [(a-b) $f/b]
  957. $1y = (a-b) sin $f - b sin [(a-b) $f/b]
  958. LΣnge eines Bogens = 8b (a-b)/a
  959. [23]
  960. &
  961. FlΣche zwischen einem vollen Bogen und Kreis
  962. $1A = $p b▓ (3a - 2b) / a
  963. VerhΣltnis a/b ist ...
  964. ganzzahlig $▐ Kurve besteht aus m zusammen-
  965. $1hΣngenden Bogen
  966. $1LΣnge der ganzen Kurve l = 8(a - b)
  967. rational $▐ Kurve schlie▀t sich nach einer Anzahl
  968. $1von Umdrehungen
  969. #&Verkⁿrzte und verlΣngerte Hypozykloide (Hypotrochoide)
  970. Der Punkt liegt innerhalb bzw. au▀erhalb der Peripherie
  971. des abrollenden Kreises im Abstand c vom Mittelpunkt
  972. {3083
  973. $7c < b verkⁿrzt, gestreckt
  974. $7c > b verlΣngert, 
  975. $8verschlungen
  976. #
  977. $1x = (a-b) cos (bt/a) + c cos [(a-b) t/a]
  978. $1y = (a-b) sin (bt/a) - c sin [(a-b) t/a]
  979. $1x = (a-b) cos $f + c cos [(a-b) $f/b]
  980. *
  981.  
  982. $1y = (a-b) sin $f - c sin [(a-b) $f/b]
  983. &SonderfΣlle
  984. {3088
  985. $7Fⁿr a/b = 4 wird die
  986. $7gew÷hnliche Hypozykloide
  987. $7zur
  988. &$7Astroide (Sternlinie)
  989. ºAstroide
  990. $7x$+2/3$- + y$+2/3$- = a$+2/3$-
  991. $6(x▓ + y▓ + a▓)│ + 27 a▓ x▓ y▓ = 0
  992. Parameterdarstellung
  993. $1x = a cos│ t/4$2y = a sin│ t/4
  994. Polarkoordinaten
  995. $1x = a cos│ $f$3y = a sin│ $f
  996.  
  997. die gew÷hnliche Hypozykloide wird fⁿr
  998. $1a/b=2 zu einer Geraden
  999. die verkⁿrzte / verlΣngerte Hypozykloide wird fⁿr
  1000. $1a/b=2 zu Ellipsen mit der Gleichung
  1001. $1x = (a/2 + c) cos t/2$2y = (a/2 - c) sin t/2
  1002. [24]
  1003. #Spirallinien
  1004. ºSpirallinien
  1005. {3084
  1006. &$7Logarithmische Spirale
  1007. $7r = a e$+k$f$-
  1008. $7... schneidet alle vom
  1009. $7Ursprung ausgehenden 
  1010. $7Strahlen unter Winkel $a
  1011. LΣnge des Bogens$2l = ( r$-2$+ - r$-1$+) / cos $a
  1012. Schnittwinkel$3cot $a = k
  1013. Krⁿmmungsradius$2$r = r $╓( 1 + k▓ )
  1014. &Archimedische Spirale
  1015. ºArchimedische Spirale
  1016. {3085
  1017. $7r = a $f
  1018. $7FlΣche eines Sektors
  1019. $7A = a▓/6 ($f$-2$+│ - $f$-1$+│)
  1020.  
  1021. $7Ein Punkt, der sich auf 
  1022. einem Lichtstrahl vom Ursprung mit konstanter 
  1023. Geschwindigkeit v bewegt, wΣhrend der Leitstrahl 
  1024. sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit $w um 
  1025. den Pol dreht, beschreibt eine Archimedische Spirale
  1026. *
  1027.  
  1028. Es gilt: a = v / $w
  1029. LΣnge des Bogens OP:
  1030. l = a/2 ($f $╓( $f▓ + 1 ) + arsinh $f ) $╗ a $f▓ / 2
  1031. Krⁿmmungsradius $r = (a▓ + r▓)$+3/2$- / (2a▓ + r▓) =
  1032. $5= [a ($f▓ + 1)$+3/2$- ] / ($f▓ + 2)
  1033. &Hyperbolische Spirale
  1034. {3087
  1035. $7Parameterdarstellung
  1036. $7x = a cos t / t
  1037. $7y = a sin t / t
  1038. $7Polarkoordinaten
  1039. $7r = a / $f
  1040. Asymptote y = a
  1041. FlΣche des Sektors A = a▓/2 (1/$f$-1$+ - 1/$f$-2$+)
  1042. Krⁿmmungsradius $r = a/$f [ $╓( 1 + $f▓ ) / $f ]│ =
  1043. $5= r [ r▓/a▓ + 1 ]$+3/2$-
  1044. [25]
  1045. #Zahlenfolgen
  1046. ºZahlenfolgen
  1047. Eine Zahlenfolge ist eine Funktion aus der Menge der
  1048. natⁿrlichen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen.
  1049. Symbol: (a$-k$+) = (a$-1$+; a$-2$+; ...; a$-k$+; ... )
  1050. Partialsumme:$1s$-n$+ = a$-1$+ + a$-2$+ + ... + a$-n$+ = $S a$-k$+
  1051. &Eigenschaften
  1052. $1konstant$4$" k gilt a$-k$+ = a$-k+1$+
  1053. $1monoton wachsend$2$" k gilt a$-k$+ $ú a$-k+1$+
  1054. $1monoton fallend$3$" k gilt a$-k+1$+ $ú a$-k$+
  1055. $1obere Schranke S$2$" k gilt a$-k$+ $ú S
  1056. $1untere Schranke S$2$" k gilt S $ú a$-k$+
  1057. $1G hei▀t obere Grenze $█ kleinste obere Schranke
  1058. $1G hei▀t untere Grenze $█ gr÷▀te untere Schranke
  1059. $1$e-Umgebung von a $█ offenes Intervall (a - $e,a + $e)
  1060. #Grenzwert
  1061. ºGrenzwert einer Folge
  1062. Grenzwert g von (a$-k$+) $█ Fⁿr jedes positive $e gilt fⁿr 
  1063. $1fast alle a$-n$+: a - $e < a$-n$+ < a + $e bzw. | a$-n$+ - g | < $e
  1064. (a$-k$+) hei▀t konvergent $█ Grenzwert existiert
  1065. (a$-k$+) hei▀t divergent $█ Grenzwert existiert nicht
  1066. Nullfolge $█ Grenzwert = 0
  1067. *
  1068. #Divergenz
  1069. bestimmt divergent $█ Grenzwert $Ñ oder - $Ñ
  1070. unbestimmt dviergent $█ Grenzwert existiert nicht
  1071. #&Arithmetische Zahlenfolgen
  1072. ºArithmetische Zahlenfolgen
  1073. Form: a, a+d, a+2d, a+3d, ..., a+ (k-1)d, d... Differenz
  1074. $1a$-k$+ = a$-1$+ + (k - 1) *d$2$1a$-k+1$+ - a$-k$+ = d
  1075. $1s$-n$+ = n/2 * (a$-1$+ + a$-n$+) = n*a$-1$+ + d/2 * n * (n-1)
  1076. d<0 fallende, d=0 konstante, d>0 wachsende Folge
  1077. &Geometrische Zahlenfolgen
  1078. ºGeometrische Zahlenfolgen
  1079. Form: a, aq, aq▓, aq│, ..., a*q$+n-1$-, q... Quotient
  1080. $1a$-k$+ = a$-1$+ * q$+k-1$-$2$1a$-k+1$+ / a$-k$+ = q
  1081. $1s$-n$+ = a$-1$+ * (q$+n$- - 1) / (q - 1) = (a$-n$+q - a$-1$+) / (q - 1)
  1082. 0<q<1 fallende, q=1 konstante, q>1 wachsende
  1083. q<0 alternierende Folge
  1084. #GrenzwertsΣtze
  1085. ºGrenzwertsΣtze fⁿr Folgen
  1086. Alle GrenzⁿbergΣnge erfolgen n $« $Ñ
  1087. $1lim (a$-n$+ ▒ b$-n$+ ) = lim a$-n$+ ▒ lim b$-n$+
  1088. $1lim (a$-n$+ * b$-n$+ ) = lim a$-n$+ * lim b$-n$+
  1089. $1lim (a$-n$+ / b$-n$+ ) = lim a$-n$+ / lim b$-n$+, falls lim b$-n$+ <>0
  1090. [26]
  1091. #Partialsummen von 1$+k$- + 2$+k$- + ... + n$+k$- =
  1092. ºSpezielle Partialsummen
  1093. k$1Summe
  1094. 1$1n(n+1)/2
  1095. 2$1n(n+1)(2n+1)/6
  1096. 3$1n▓(n+1)▓/4
  1097. 4$1n(n+1)(6n│+9n▓+n-1)/30
  1098. 5$1n▓(n+1)▓ [2(n▓+n)-1]/12
  1099. 6$1n(n+1) [6(n$+5$-+n│-n▓)+15n$+4$--n+1]/42
  1100. 7$1n▓(n+1)▓ [3n$+4$-+6n│-n▓-4n+2]/24
  1101. 8$1n(n+1) [10n$+7$-+35n$+6$-+25(n$+5$--n$+4$-)-17(n│-n▓)+3n-3]/90
  1102. 9$1n▓(n+1)▓ [2n$+6$-+6(n$+5$-+n)+n$+4$--8n│+n▓-3]/20
  1103. 10 n(n+1) [6n$+9$-+27n$+8$-+28(n$+7$--n$+6$-+n│-n▓)-38(n$+5$--n$+4$-)
  1104. $1-5n+5)/66
  1105. 11 n▓(n+1)▓(2n$+8$-+8n$+7$-+4n$+6$--16n$+5$--5n$+4$-+26n│-3n▓-20n
  1106. $1+10)/24
  1107. 12 n(n+1) [210n$+11$-+1155n$+10$-+1575(n$+9$--n$+8$-)-3430(n$+7$--n$+6$-)
  1108. $1+5150(n$+5$--n$+4$-)-3859(n│-n▓)+691(n-1)]/2730
  1109. 13 n▓(n+1)▓ [30n$+10$-+150n$+9$-+125n$+8$--400n$+7$--326n$+6$-
  1110. $1+1052n$+5$-+367n$+4$--1786n│+202n▓+1382n-691]/420
  1111. 14 n(n+1) [6n$+13$-+39n$+12$-+66(n$+11$--n$+10$-)-207(n$+9$--n$+8$-)
  1112. $1+508(n$+7$--n$+6$-)-779(n$+5$--n$+4$-)+586(n│-n▓)-105(n-1)]/90
  1113. *
  1114.  
  1115. 15$1n▓(n+1)▓ [3n$+12$-+18n$+11$-+21n$+10$--60n$+9$--83n$+8$-+226n$+7$-
  1116. $1+203n$+6$--632n$+5$--226n$+4$-+104n│-122n▓-840n+420
  1117. #&Partialsummen von Potenzen ungerader Zahlen 
  1118. $21$+k$- + 3$+k$- + ... + (2n-1)$+k$- =
  1119. k$1Summe
  1120. 1$1n▓
  1121. 2$1n(4n▓-1)/6
  1122. 3$12n$+4$--n▓
  1123. 4$1n [48n$+4$--40n▓+7]/15
  1124. 5$1n▓ [16n$+4$--20n▓+7]/3
  1125. 6$1n [192n$+6$--336n$+4$-+196n▓-31]/21
  1126. 7$1n▓ [48n$+6$--112n$+4$-+98n▓-31]/3
  1127. 8$1n [1280n$+8$--3840n$+6$-+4704n$+4$--2480n▓+381]/45
  1128. 9$1n▓ [256n$+8$--960$+6$-+1568n$+4$--1240n▓+381]/5
  1129. 10$1n [3072n$+10$--14080n$+8$-+29568n$+6$--32736n$+4$-+16764n▓
  1130. $1-2555]/33
  1131.  
  1132. Zweierpotenzen$11 + 2 + 2▓ + ... + 2$+n$- = 2$+n+1$- - 1
  1133. Potenzen$31 + z + z▓ + ... + z$+n$- = (z$+n+1$--1)/(z-1)
  1134. 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/[n(n+1)] = n/(n+1)
  1135. [27]
  1136. &
  1137. Grenzwerte (alle n $« $Ñ)
  1138. $1lim 1/n = 0$4lim $+n$-$╓n = 1
  1139. $1lim a$+n$-/n! = 0$3lim (1+1/n)$+n$- = e
  1140. $1lim n$+k$-/a$+n$- = 0, fⁿr a>1, k $╬ N
  1141. $1lim k$+n$- = 0 fⁿr |k|<1, = 1 fⁿr k=1, divergent fⁿr |k|>1
  1142. $1lim 1/(1+a$+n$-) = 1 fⁿr |a|<1, = 1/2 fⁿr a=1, 0 fⁿr |a|>1,
  1143. $3divergent fⁿr a= -1
  1144. Eulersche Konstante
  1145. ºEulersche Konstante
  1146. $1lim (1+ 1/2+ 1/3+ ... + 1/n - ln n) = 0.5772 = C
  1147. Stirlingsche Formel
  1148. $1lim n! / [n$+n$- e$+-n$- $╓n ] = $╓( 2$p )
  1149. #Reihen
  1150. ºReihen
  1151. Reihe $█ Folge der Partialsummen von (a$-n$+)
  1152. Eine Reihe ist ...
  1153. konvergent $█ Folge der Partialsummen konvergiert 
  1154. absolut konvergent $█ Folge der BetrΣge der Partial-
  1155. $1summen konvergiert
  1156. bestimmt divergent $█ Partialsummenfolge hat Grenzwert
  1157. $1$Ñ bzw. - $Ñ
  1158. unbestimmt divergent $█ kein Grenzwert vorhanden
  1159. *
  1160.  
  1161. alternierend $█ stΣndiger Vorzeichenwechsel der
  1162. $1Glieder der Reihe
  1163. #&Konvergenzkriterien
  1164. Hauptkritierium
  1165. $█ Partialfolge beschrΣnkt und (a$-n$+) Nullfolge
  1166. Notwendig aber nicht hinreichend
  1167. $█ Folge (a$-n$+) konvergiert gegen Null
  1168. Hinreichend aber nicht notwendig
  1169. $█ | a$-n+1$+ / a$-n$+ | < q < 1 (Quotientenkriterium)
  1170. $█ $+n$-$╓ |a$-n$+| < q < 1 (Wurzelkriterium)
  1171. #Summe der Reihe$+$+
  1172. $2  $Ñ$+$+
  1173. $1S =   $S  a$-i$+ $█ Grenzwert der Partialsummen$+$+
  1174. $2i = 1
  1175. ºGeometrische Reihe
  1176. &Geometrische Reihe$+$+
  1177. $2  $Ñ$+$+
  1178. $1S =   $S  a$-1$+q$+i-1$- = a$-1$+/(1-q), fⁿr |q| < 1$+$+
  1179. $2i = 1
  1180. &Harmonische Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... divergent
  1181. ºHarmonische Reihe
  1182. [28]
  1183. #Unendliche Reihen
  1184. ºUnendliche Reihen
  1185. 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... = e
  1186. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + - ... = ln 2
  1187. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2
  1188. 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + - ... = $p/4
  1189. 1 + 1/2▓ + 1/3▓ + 1/4▓ + ... = $p▓ / 6
  1190. 1 - 1/2▓ + 1/3▓ - 1/4▓ + - ... = $p▓ / 12
  1191. 1 + 1/3▓ + 1/5▓ + 1/7▓ + ... = $p▓ / 8
  1192. 1 + 1/2$+4$- + 1/3$+4$- + 1/4$+4$- + ... = $p$+4$- / 90
  1193. 1 + 1/2$+6$- + 1/3$+6$- + 1/4$+6$- + ... = $p$+6$- / 945
  1194. 1 + 1/2$+8$- + 1/3$+8$- + 1/4$+8$- + ... = $p$+8$- / 9450
  1195. 1/(1*2) + 1/(2*3) + 1/(3*4) + ... = 1
  1196. 1/(1*3) + 1/(3*5) + 1/(5*7) + ... = 1/2
  1197. #Riemannsche Zetafunktion$+$+
  1198. ºRiemannsche Zetafunktion
  1199. $2  $Ñ$+$+
  1200. $1S =   $S  1/i$+n$- = $z(n)$+$+, n>1
  1201. $2i = 1
  1202. fⁿr n=1 existiert kein endlicher Wert (harmonische Reihe)
  1203. Asymptotisches Verhalten fⁿr k $« $Ñ
  1204. $1$z(1) $╗ ln k + $g + 1/(2k) - 1/(12k▓) + 1/(120 k$+4$-)
  1205. $1$g = 0.5772156649 Eulersche Konstante
  1206. *
  1207.  
  1208. #Grenzwert einer Funktion
  1209. ºGrenzwert einer Funktion
  1210. Eine Funktion f(x) hat an der Stelle x$-0$+ einen Grenzwert 
  1211. g $╬ R $█ fⁿr jede gegen x$-0$+ konvergierende Folge (x$-n$+)
  1212. die Folge der Funktionswerte (f(x$-n$+)) gegen g strebt.
  1213. linksseitiger Grenzwert ... Konvergenz von links
  1214. rechtsseitiger Grenzwert ... Konvergenz von rechts
  1215. &GrenzwertsΣtze fⁿr Funktionen
  1216. ºGrenzwertsΣtze fⁿr Funktionen
  1217. Alle GrenzⁿbergΣnge erfolgen x $« x$-0$+
  1218. $1lim [c * u(x)] = c * lim u(x)
  1219. $1lim [u(x) ▒ v(x)] = lim u(x) ▒ lim v(x)
  1220. $1lim [u(x) * v(x)] = lim u(x) * lim v(x)
  1221. $1lim [u(x) / v(x)] = lim u(x) / lim v(x), falls lim v(x) <>0
  1222. $1lim [$+n$-$╓u(x)] = $+n$-$╓[ lim u(x) ]$-$-
  1223. $1lim [u(x)$+n$-] = [ lim u(x) ]$+n$-
  1224. #Regel von l'Hospital
  1225. ºRegel von l'Hospital
  1226. Ist f(a) = u = g(a) = v = 0 bzw. $Ñ und existieren in einer 
  1227. Umgebung von a sowohl die Ableitungen von f(x) und
  1228. g(x) als auch der Grenzwert x $« a fⁿr f'(x)/g'(x), so gilt
  1229.  lim f(x) / g(x) =$1 lim f'(x) / g'(x)$+$+
  1230. x$«a$3x$«a$-$-
  1231. [29]
  1232. &
  1233. Unbestimmte Ausdrⁿcke der Form "0 * $Ñ", "$Ñ - $Ñ", 
  1234. "0$+0$-", "$Ñ$+0$-", "1$+$Ñ$-" sind in die Form "0/0" bzw. "$Ñ / $Ñ" 
  1235. umzuwandeln.
  1236. Umwandlungen fⁿr Funktionen f und g:
  1237. "0 * $Ñ"$2f * g = f / (1/g)
  1238. "$Ñ - $Ñ"$2f - g = [1/g - 1/f] / [1/f * 1/g]
  1239. "0$+0$-", "$Ñ$+0$-", "1$+$Ñ$-"
  1240. $4f$+g$- = e$+g * ln f$- fⁿhrt zur Form "0 * $Ñ"
  1241. &Spezielle Grenzwerte
  1242. Grenzⁿbergang x $« 0
  1243. $1lim sin x / x =1$3lim tan x / x =1
  1244. $1lim arctan 1/x = $p/2 (rechtsseitiger Grenzwert)
  1245. $1lim arctan 1/x = - $p/2 (linksseitiger Grenzwert)
  1246. Grenzⁿbergang x $« 1
  1247. $1lim ln x / (x-1) =1$3
  1248. Grenzⁿbergang x $« $Ñ
  1249. $1lim x$+n$- / e$+n$- =0$3lim (1+1/x)$+x$- = e
  1250. $1lim sin x / x = 0
  1251. #Stetigkeit einer Funktion
  1252. ºStetigkeit einer Funktion
  1253. Die Funktion f(x) ist an der Stelle x$-0$+ stetig $█
  1254. *
  1255.  
  1256. $21. f(x) ist in x$-0$+ definiert
  1257. $22. der Grenzwert von f(x) mit x $« x$-0$+ existiert
  1258. $23. lim f(x) = f(x$-0$+)
  1259. $+$+$2   x $« x$-0$+$+$+
  1260. Eine Funktion ist ...
  1261. stetig $█ fⁿr alle x$-0$+ aus DB stetig
  1262. stⁿckweise stetig $█ fⁿr alle x$-0$+ aus DB stetig mit
  1263. $1Ausnahme endlich vieler Stellen
  1264. #Differentialrechnung
  1265. ºDifferentialrechnung
  1266. Voraussetzung: f(x) sei an der Stelle x$-0$+ definiert
  1267. &Differenzenquotient
  1268. $1D(h) = [f(x$-0$++h) - f(x$-0$+)] / h = $Dy / $Dx$+$+$+$+
  1269. {3055
  1270. ºDifferentialquotient
  1271. $7Eine Funktion f(x) ist in x$-0$+
  1272. $7differenzierbar $█$+$+
  1273. #
  1274. $7der Differentialquotient 
  1275. $7existiert
  1276.  
  1277. $1dy / dx = lim [f(x$-0$++h) - f(x$-0$+)] / h = f'(x$-0$+)$+$+
  1278. $3x $« x$-0$+$-$-
  1279. [30]
  1280. &
  1281. Differenzenquotient $█ Anstieg der Sekante
  1282. Differentialquotient $█ Anstieg der Tangente
  1283. 1.Ableitung f'(x$-0$+) $█ Differentialquotient in x$-0$+
  1284. 2.Ableitung f"(x$-0$+) = [f'(x$-0$+)]' = d$+2$-y / dx$+2$-
  1285. n.Ableitung f$+(n)$-(x$-0$+) = [f$+(n-1)$-(x$-0$+)]' = d$+n$-y / dx$+n$-
  1286. &Differential einer Funktion y = f(x)
  1287. $1dy = f'(x) dx
  1288. &Schreibweise$1Ableitung nach t: dx / dt = x$=$+$+ $╖$-$-
  1289. #MittelwertsΣtze der Differentialrechnung
  1290. ºMittelwertsΣtze d.Differentialrechnung
  1291. {3137
  1292. $6f(x), g(x) auf [a,b] stetig
  1293. $6und auf (a,b) differenzierbar
  1294. $6g'(x) <> 0 fⁿr alle x
  1295. $6dann existiert wenigstens ein
  1296. $x (a < $x < b) mit
  1297. 1. [f(b) - f(a)]/(b - a) = f'($x) bzw.
  1298. $1f(x+h) = f(x) + h * f'(x + $th) mit
  1299. $1a=x, b-a=h und $x=x+$th, (0<$t<1)
  1300. 2. [f(b) - f(a)] / [g(b) - g(a)] = f'($x) / g'($x)
  1301. *
  1302. #Differentiationsregeln
  1303. ºDifferentiationsregeln
  1304. $4f(x)$3f'(x)
  1305. Konstante$2c$30
  1306. Faktor$3c*v(x)$2c*v'(x)
  1307. Summe$2v(x)▒u(x)$1v'(x)▒u'(x)
  1308. Produkt$2v(x)*u(x)$1v'(x)*u(x)+v(x)*u'(x)
  1309. Quotient$2v(x)/u(x)$1[v'(x)*u(x)-v(x)*u'(x)]/(u▓(x))
  1310. Kettenregel$2u[v(x)]$2u'[v(x)] * v'(x)
  1311. Differentiation der Umkehrfunktion
  1312. Ist x=g(y) Umkehrfunktion von y=f(x) $▐ f'(x) * g'(y) = 1
  1313. #Partielle Ableitung
  1314. Fⁿr Funktion f(x,y) = 0 ist
  1315. $╢f(x,y) / $╢x = $╢f / $╢x = f$-x$+ die partielle Ableitung nach x
  1316. $╢f(x,y) / $╢y = $╢f / $╢y = f$-y$+ die partielle Ableitung nach y
  1317. #&Differentiation impliziter Funktionen f(x,y)=0
  1318. dy/dx = y' = - ( $╢f / $╢x ) / ( $╢f / $╢y ) = - f$-x$+ / f$-y$+
  1319. y" = - (f$-xx$+ f$-y$+▓ - 2 f$-xy$+ f$-x$+ f$-y$+ + f$-yy$+ f$-x$+▓) / f$-y$+│
  1320. [31]
  1321. #Ableitungsfunktionen
  1322. ºAbleitungsfunktionen
  1323. f(x)$3f'(x)
  1324. x$+n$-$3n * x$+n-1$-
  1325. 1/x$+n$-$3- n/x$+n+1$-
  1326. $╓x$31/(2 * $╓x)
  1327. $+n$-$╓x$3$+n$-$╓x / (nx)
  1328. $+n$-$╓(x$+m$-)$2m/n * $+n$-$╓(x$+m-n$-)
  1329. x$+x$-$3x$+x$- * (ln x + 1)
  1330. sin x$3cos x
  1331. cos x$3- sin x
  1332. tan x$31/cos▓x = 1 + tan▓ x
  1333. cot x$3-1/sin▓x = -1 - cot▓ x
  1334. e$+x$-$3e$+x$-
  1335. a$+x$-$3a$+x$- * ln a
  1336. ln x$31/x
  1337. log$-a$+x$31/(x * ln a)
  1338. arcsin x$21 / $╓( 1- x▓ )
  1339. arccos x$2- 1 / $╓( 1- x▓ )
  1340. arctan x$21 / ( 1+ x▓ ) fⁿr |x|<1
  1341. arccot x$2-1 / ( 1+ x▓ ) fⁿr |x|<1
  1342. sinh x$3cosh x
  1343. *
  1344.  
  1345. f(x)$3f'(x)
  1346. cosh x$2sinh x
  1347. tanh x$21/cosh▓ x = 1 - tanh▓ x
  1348. coth x$2 -1/sinh▓ x = 1 - coth▓ x
  1349. arsinh x$11/$╓[1+x▓]
  1350. arcosh x$11/$╓[x▓-1]
  1351. artanh x$11/(1-x▓) fⁿr |x|<1
  1352. arcoth x$11/(1-x▓) fⁿr |x|>1
  1353. #&Differentiation in Parameterform
  1354. x = x(t) und y= y(t)
  1355. dy / dx = (dy/dt) / (dx/dt) = y$=$+$+ $╖$-$- / x$=$+$+ $╖$-$-
  1356. d▓y / dx▓ = ( y$=$+$+$╖$╖$-$- x$=$+$+ $╖$-$- - x$=$+$+$╖$╖$-$- y$=$+$+ $╖$-$- ) / [ y$=$+$+ $╖$-$- ]$+3$-
  1357. #&Differentiation in Polarkoordinaten
  1358. y' = ( dr/d$f sin $f + r cos $f ) / ( dr/d$f cos $f - r sin $f )
  1359. #&Logarithmische Differentiation
  1360. y = u(x)$+v(x)$- $▐ ln y = v(x) ln u(x) $▐
  1361. $1$▐ y'/y = v'(x) ln u(x) + v(x) u'(x)/u(x) $▐
  1362. $1$▐ y' = u(x)$+v(x)$- [ v'(x) ln u(x) + v(x) u'(x) / u(x) ]
  1363. [32]
  1364. #Funktionsdiskussion
  1365. ºFunktionsdiskussion
  1366. f(x) hat an der Stelle x$-0$+
  1367. ein lokales Maximum $█ $$$e>0 $"x$╣x$-0$+: f(x) < f(x$-0$+)
  1368. ein lokales Minimum $█ $$$e>0 $"x$╣x$-0$+: f(x) > f(x$-0$+)
  1369. ein globales Maximum $█ $"x $╬ DB, x$╣x$-0$+: f(x) < f(x$-0$+)
  1370. ein globales Minimum $█ $"x $╬ DB, x$╣x$-0$+: f(x) > f(x$-0$+)
  1371. ºExtremstelle
  1372. #&Hinreichendes Kriterium
  1373. f(x) hat an der Stelle x$-0$+
  1374. ein lokales Maximum $█ f'(x$-0$+)=0 und f"(x$-0$+)<0
  1375. $1oder f"(x) wechselt das Vorzeichen von + nach -
  1376. ein lokales Minimum $█ f'(x$-0$+)=0 und f"(x$-0$+)>0
  1377. $1oder f"(x) wechselt das Vorzeichen von - nach +
  1378. #Monotonieverhalten
  1379. f(x) streng monoton wachsend in [a;b] $█
  1380. $1f'(x) > 0 fⁿr alle x $╬ [a;b]
  1381. f(x) streng monoton fallend in [a;b] $█
  1382. $1f'(x) < 0 fⁿr alle x $╬ [a;b]
  1383. *
  1384. #Krⁿmmung
  1385. f(x) ist konvex $█ f'(x) monoton wachsend $█
  1386. $1f"(x) $│ 0 fⁿr alle x $╬ [a;b]
  1387. f(x) ist konkav $█ f'(x) monoton fallend $█
  1388. $1f"(x) $ú 0 fⁿr alle x $╬ [a;b]
  1389. &Wendestelle ... Wechsel der Krⁿmmung
  1390. ºWendestelle
  1391. f(x) hat an der Stelle x$-0$+ 
  1392. eine Wendestelle $█ f"(x$-0$+)=0 und f'"(x$-0$+)<>0
  1393. einen Sattelpunkt (Horizontalwendepunkt) $█
  1394. $1$█ f'(x$-0$+)=0, f"(x$-0$+)=0 und f'"(x$-0$+)<>0
  1395. #Allgemeines Kriterium
  1396. Verschwinden die ersten (n-1) Ableitungen der 
  1397. Funktion f(x) an der Stelle x = x$-0$+ und ist
  1398. $1n gerade $█ x$-0$+ ist Extremstelle
  1399. $1n ungerade $█ x$-0$+ ist Wendestelle
  1400. #&Extremstellen unentwickelter Funktionen
  1401. $1f(x$-E$+,y$-E$+) = 0 und f$-x$+(x$-E$+,y$-E$+) = 0, f$-y$+(x$-E$+,y$-E$+) <> 0
  1402. $1Maximumbedingung$1f$-xx$+ / f$-y$+ > 0
  1403. $1Minimumbedingung$1f$-xx$+ / f$-y$+ < 0
  1404. [33]
  1405. #Extremstellen (Parameterdarstellung)
  1406. Bedingung fⁿr Extremum von x=x(t) und y=y(t) 
  1407. $1y$=$+$+ $╖$-$- = 0$2x$=$+$+ $╖$-$- <>0
  1408. $1Maximumbedingung$1y$=$+$+$╖$╖$-$- < 0
  1409. $1Minimumbedingung$1y$=$+$+$╖$╖$-$- > 0
  1410. #Extremstellen der Funktion z = f(x,y)
  1411. Maximal- und Minimalpunkt einer FlΣche
  1412. Bedingung:$1f$-x$+ = 0; f$-y$+ = 0; f$-xx$+f$-yy$+ - (f$-xy$+)▓ > 0
  1413. Maximum fⁿr f$-xx$+ < 0$1Minimum fⁿr f$-xx$+ > 0
  1414. Fⁿr f$-xx$+f$-yy$+ - (f$-xy$+)▓ < 0 liegt ein Sattel- oder Jochpunkt vor
  1415. #NΣherungsverfahren (Nullstellensuche)
  1416. ºNΣherungsverfahren (Nullstellensuche)
  1417. &Bisektion (Intervallhalbierungsverfahren)
  1418. ºBisektion
  1419. $1x$-m$+ = ( x$-1$+ + x$-2$+ ) / 2
  1420. ºRegula falsi
  1421. {3060
  1422. &$8Regula falsi
  1423. $8Sekanten-
  1424. $8nΣherungsverfahren
  1425.  
  1426. $2x$-2$+ = x$-0$+ - ( x$-1$+ - x$-0$+ ) / [ f(x$-1$+) - f(x$-0$+) ] * f(x$-0$+)
  1427. *
  1428. #&Newton-Verfahren (TangentennΣherungsverfahren)
  1429. ºNewton-Verfahren
  1430. {3061
  1431.  
  1432. #
  1433. $7x$-1$+ = x$-0$+ - f(x$-0$+) / f'(x$-0$+)
  1434. Konvergenzbedingung: 
  1435. $1f(x) * f"(x)/[f'(x)]▓ < 1, fⁿr alle x der Umgebung
  1436. Verfahren 2.Ordnung $█ quadratische Konvergenz
  1437. #Allgemeines Iterationsverfahren
  1438. ºAllgemeines Iterationsverfahren
  1439. {3041
  1440.  
  1441. #
  1442. #
  1443. Konvergenz$2Divergenz
  1444. f(x)=0 $▐ IterationsfΣhige Gleichung x$-i+1$+ = F(x$-i$+)
  1445. Lineare Form$2x$-i+1$+ = x$-i$+ - c*f(x$-i$+)
  1446. Parameter c entscheidet ⁿber Konvergenz
  1447. [34]
  1448. #&$d▓-Aitken-Iteration
  1449. ºAitken-Iteration
  1450. Jeder 3.Iterationsschritt erfolgt mit
  1451. $1x$-3i+3$+ = x$-3i$+ - (x$-3i+1$+ - x$-3i$+)▓ / (x$-3i+2$+ - 2x$-3i+1$+ + x$-3i$+)
  1452. &Steffensen-Iteration
  1453. ºSteffensen-Iteration
  1454. Nach einem normalen Iterationsschritt weitere mit
  1455. $1x$-i+1$+ = [(F(x$-i$+))▓ - x$-i$+ * F(F(x$-i$+))] / [2*F(x$-i$+) - x$-i$+ - F(F(x$-i$+))]
  1456. $1wobei gilt: x$-i+1$+ = F(x$-i$+) und x$-i+2$+ = F(x$-i+1$+) = F(F(x$-i$+))
  1457. [35]
  1458. #Integralrechnung
  1459. ºIntegralrechnung
  1460. &Stammfunktion
  1461. ºStammfunktion
  1462. f(x) und F(x) seien in I definiert, F(x) differenzierbar
  1463. F(x) hei▀t Stammfunktion $█ $"x $╬ I   F'(x) = f(x) 
  1464. &Unbestimmtes Integral
  1465. ºUnbestimmtes Integral
  1466. Unbestimmtes Integral $≥ f(x) dx = F(x) + c ist die Menge
  1467. aller Stammfunktionen F(x) von f(x)
  1468. &Integrationsregeln
  1469. ºIntegrationsregeln
  1470. $4f(x)$3F(x)
  1471. Konstante$2a$3a*x +c
  1472. Faktor$3a*f(x)$2a*F(x) +c
  1473. Summe$2v(x)▒u(x)$1$≥ v(x) dx ▒ $≥ u(x) dx
  1474. $4f(ax+b)$2$≥ f(x) dx = 1/a $≥ f(t) dt
  1475. $7mit t = ax+b
  1476. Substitution$1f[g(x)]*g'(x)$1$≥ f(u) du, mit u=g(x)
  1477. $4f'(x) / f(x)$1ln | f(x) | + c
  1478. $4f(x) * f'(x)$1f▓(x)/2
  1479. &Partielle Integration
  1480. ºPartielle Integration
  1481. $1$≥ u'(x) v (x) dx = u(x) v(x) - $≥ u(x) v'(x) dx
  1482. *
  1483. #Integration durch Partialbruchzerlegung
  1484. ºIntegration durch Partialbruchzerlegung
  1485. Partialbruchzerlegung von f(x)/g(x)
  1486. 1. g(x) = 0 hat nur einfache reelle Wurzeln x$-i$+
  1487. $1f(x)/g(x) = A/(x-x$-1$+) + B/(x-x$-2$+) + C/(x-x$-3$+) + ...
  1488. $1mit A = f(x$-1$+)/g'(x$-1$+), B = f(x$-2$+)/g'(x$-2$+), ...
  1489. 2. ... reelle aber mehrfache auftretende Wurzeln 
  1490. $1x$-1$+ $a mal, x$-2$+ $b mal, x$-3$+ $g mal ...
  1491. $1f(x)/g(x) = A$-1$+/(x-x$-1$+)$+$a$- + A$-2$+/(x-x$-1$+)$+$a-1$- + ... +
  1492. $1+ A$-$a$+/(x-x$-1$+) + B$-1$+/(x-x$-2$+)$+$b$- + ... + B$-$a$+/(x-x$-2$+) + ...
  1493. 3. ... neben reellen auch einfache konjugiert komplex 
  1494. $1auftretende Wurzeln
  1495. $1x$-1$+ und x$-2$+ sind zueinander konjugiert komplex
  1496. $1$▐ f(x)/g(x) = (Px + Q) / [(x-x$-1$+) (x+x$-12$+) ] =
  1497. $1= (Px + Q) / (x▓ + px + q)
  1498. $1$▐ $≥ (Px+Q)/(x▓+px+q) dx = P/2 * ln |x▓ +px +q|
  1499. 4. ... neben reellen auch mehrfache komplexe Wurzeln
  1500. $1z.B. bei einer dreifachen reellen und zweifach 
  1501. $1auftretenden konjugiert komplexen Wurzeln
  1502. $1f(x)/g(x) = A$-1$+/(x-x$-1$+)│ + A$-2$+/(x-x$-1$+)▓ + A$-2$+/(x-x$-1$+) +
  1503. $1+ (P$-1$+x + Q$-1$+) / (x▓ + px + q)▓ +
  1504. $1+ (P$-2$+x + Q$-2$+) / (x▓ + px + q)
  1505. [36]
  1506. #Stammfunktion von Funktionen
  1507. ºStammfunktion von Funktionen
  1508. f(x)$4F(x) + c
  1509. 1$5x
  1510. x$+n$- $41/(n+1) x$+n+1$-, n$╣-1
  1511. (ax+b)$+n$-$31/[a(n+1)] (ax+b)$+n+1$- , n $╣ -1
  1512. 1/x$4ln |x|
  1513. 1/(ax+b)$3ln(ax+b)/a
  1514. 1/(x*ln a)$31/ln a * ln x = log$-a$+x
  1515. sin x$4- cos x
  1516. sin▓ x$41/2 (x - sin x cos x)
  1517. cos x$4sin x
  1518. cos▓ x$41/2 (x + sinx cos x)
  1519. 1/cos▓ x$3tan x
  1520. 1/sin▓x$3-cot x
  1521. tan x$4 - ln | cos x |
  1522. cot x$4 ln | sin x |
  1523. a$+x$-$4a$+x$-/ln a
  1524. e$+x$-$4e$+x$-
  1525. $╓x$42/3 $╓x│
  1526. 1/$╓x$42 $╓x
  1527. 1/$╓[x▓ ▒ a▓]$2ln | x + $╓(x▓ ▒ a▓) |
  1528. *
  1529. #Stammfunktion von Funktionen
  1530. f(x)$5F(x) + c
  1531. sinh x$4cosh x
  1532. cosh x$4sinh x
  1533. tanh x$4ln cosh x
  1534. coth x$4ln | sinh x |
  1535. 1/cosh▓ x$3 tanh x
  1536. 1/sinh▓ x$3- coth x
  1537. 1/(a▓ + x▓)$3 1/a arctan x/a
  1538. 1/(a▓ - x▓)$3 1/a artanh x/a = 
  1539. $5= 1/(2a) ln [(a+x) / (a-x)], |x|<a
  1540. 1/(x▓ - a▓)$3-1/a arcoth x/a =
  1541. $5= 1/(2a) ln [(x-a) / (x+a)], |x|>a
  1542. 1/$╓(a▓ - x▓)$3arcsin x/a
  1543. 1/$╓(a▓ + x▓)$3arsinh x/a =
  1544. $5= ln [x + $╓(a▓ + x▓) ]
  1545. 1/$╓(x▓ - a▓)$3arcosh x/a =
  1546. $5= ln [x + $╓(x▓ - a▓) ]
  1547. [37]
  1548. #Integration durch Substitution
  1549. ºIntegration durch Substitution
  1550. $≥ f(x) dx = $≥ f[$f(t)] *  $f$=$+$+ $╖$-$-(t) dt mit x = $f(x) und dx = $f$=$+$+ $╖$-$-(t) dt
  1551. R(x) sei rationale Funktion
  1552. &1. $≥ R(x, $╓(a▓ - x▓)) dx
  1553. Substitution x = a sin t$3dx = a cos t dt
  1554. $1$▐ $≥ R(a sin t, a cos t) a cos t dt
  1555. &2. $≥ R(x, $╓(a▓ + x▓)) dx
  1556. Substitution x = a tan t$3dx = a dt/cos▓ t
  1557. $1$▐ $≥ R(a tan t, a/cos▓ t) a/cos▓ t dt
  1558. &3. $≥ R(x, $╓(x▓ - a▓)) dx
  1559. Substitution x = a/cos t$3dx = a sin t dt/cos▓ t
  1560. $1$▐ $≥ R(a/cos t, a tan t) a sin t/cos▓ t dt
  1561. &4. $≥ R(sin x, cos x, tan x, cot x) dx
  1562. Substitution tan x/2 = t$3dx = 2/(1+t▓) dt
  1563. $1$▐ $≥ R(2t/(1+t▓), (1-t▓)/(1+t▓), 2t/(1-t▓), (1-t▓)/(2t)) 
  1564. $22 dt/(1+t▓)
  1565. &5. $≥ R(sinh x, cosh x, tanh x, coth x) dx
  1566. Substitution tanh x/2 = t$2dx = 2/(1-t▓) dt
  1567. $1$▐ $≥ R(2t/(1-t▓), (1+t▓)/(1-t▓), 2t/(1+t▓), (1+t▓)/(2t)) 
  1568. $22 dt/(1-t▓)
  1569. *
  1570. #Integration durch Reihenentwicklung
  1571. &Integralsinus
  1572. Si(x) = $-0$+ $≥ $+x$- sin t / t dt = x - x│/(3*3!) + x$+5$-/(5*5!) - + ...
  1573. &Integralkosinus
  1574. Ci(x) = $-x$+ $≥ $+$Ñ$- cos t / t dt = C + ln |x| - x▓/(2*2!) + x$+4$-/(4*4!) 
  1575. $1 - + ..., C = 0.5772 ... Eulersche Konstante
  1576. &Exponentialintegral
  1577. Ei(x) = $-- $Ñ$+ $≥ $+x$- e$+t$- / t dt = C + ln |x| +x + x▓/(2*2!) +
  1578. $1+ x│/(3*3!) + ...
  1579. &Integrallogarithmus
  1580. Li(x) = $-0$+ $≥ $+x$- dt / ln t = C + ln |ln |x|| + ln x /(1*1!) +
  1581. $1+ (ln x)▓/(2*2!) + ...
  1582. #&Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
  1583. ºHauptsatz der Differential- und Integralrechnung
  1584. Ist f(x) in [a;b] stetig und F(x) irgendeine Stammfunktion
  1585. $2$█$-a$+ $≥ $+b$- f(x) dx = F(b) - F(a)
  1586. &Bestimmtes Integral
  1587. ºBestimmtes Integral
  1588. $1$-a$+$≥ $+b$- f(x) dx = - $-b$+ $≥ $+a$- f(x) dx 
  1589. $1$-a$+ $≥ $+a$- f(x) dx = 0
  1590. $1$-a$+ $≥ $+b$- f(x) dx = $-a$+ $≥ $+c$- f(x) dx + $-c$+ $≥ $+b$- f(x) dx 
  1591. [38]
  1592. #Integraltabelle
  1593. ºIntegraltabelle
  1594. die Integrationskonstante wurde weggelassen
  1595. &Trigonometrische Funktionen
  1596. $≥ dx/sin x = ln |tan x/2|
  1597. $≥ dx/cos x = ln |tan ($p/4 + x/2)|
  1598. $≥ dx/sin│ x = - cos x/(2 sin▓ x) + 1/2 ln |tan x/2|
  1599. $≥ dx/cos│ x = sin x/(2 cos▓ x) + 1/2 ln |tan ($p/4 + x/2)|
  1600. $≥ dx/(a▓ ▒ b▓ sin▓ x) =
  1601. $2= 1/[a $╓(a▓▒b▓)]  arctan [$╓(a▓▒b▓) tan x/a]
  1602. $≥ dx/(a▓ ▒ b▓ cos▓ x) =
  1603. $2= 1/[a $╓(a▓▒b▓)]  arctan [a tan x/$╓(a▓▒b▓)]
  1604. $≥ dx/(1 + sin x) = - tan ($p/4 - x/2)
  1605. $≥ dx/(1 - sin x) = tan ($p/4 + x/2)
  1606. $≥ dx/(1 + cos x) = tan x/2
  1607. $≥ dx/(1 - cos x) = - cot x/2
  1608. $≥ sin▓ x dx = 1/2 (x - sin x * cos x) = 1/4 (2x - sin 2x)
  1609. $≥ cos▓ x dx = 1/2 (x + sin x * cos x) = 1/4 (2x + sin 2x)
  1610. $≥ tan▓ x dx = tan x - x
  1611. $≥ cot▓ x dx = - cot x - x
  1612. $≥ dx/(tan x ▒ 1) = ▒ x/2 + 1/2 ln |sin x ▒ cos x|
  1613. $≥ dx/(1 + cot x) = x/2 - 1/2 ln |sin x + cos x|
  1614. *
  1615.  
  1616. $≥ dx/(1 - cot x) = x/2 + 1/2 ln |sin x - cos x|
  1617. $≥ sin nx sin mx dx =
  1618. $2= [ x sin(n-m)/(n-m) - x sin(n+m)/(n+m)] / 2
  1619. $≥ cos nx cos mx dx =
  1620. $2= [ x sin(n+m)/(n+m) + x sin(n-m)/(n-m)] / 2
  1621. $≥ sin nx cos mx dx =
  1622. $2= - [ x cos(n+m)/(n+m) + x cos(n-m)/(n-m)] / 2
  1623. #&Arkus-Funktionen
  1624. $≥ arcsin x dx = x arcsin x + $╓(1 - x▓)
  1625. $≥ arccos x dx = x arccos x - $╓(1 - x▓)
  1626. $≥ arctan x dx = x arctan x - 1/2 ln(1+x▓)
  1627. $≥ arccot x dx = x arccot x + 1/2 ln(1+x▓)
  1628. #&Hyperbolische Funktionen
  1629. $≥ sinh▓ x dx = (sinh x * cosh x - x)/2 = (sinh 2x - 2x)/4
  1630. $≥ cosh▓ x dx = (sinh x * cosh x + x)/2 = (sinh 2x + 2x)/4
  1631. $≥ dx/sinh x = ln | tanh x/2 |
  1632. $≥ dx/cosh x = 2 arctan e$+x$-
  1633. $≥ tanh▓ x dx = x - tanh x
  1634. $≥ coth▓ x dx = x - coth x
  1635. [39]
  1636. #&Area-Funktionen
  1637. $≥ arsinh x dx = x * arsinh x - $╓(x▓ + 1)
  1638. $≥ arcosh x dx = x * arcosh x - $╓(x▓ - 1)
  1639. $≥ artanh x dx = x * artanh x + 1/2 ln (1 - x▓)
  1640. $≥ arcoth x dx = x * arcoth x + 1/2 ln (x▓ - 1)
  1641. #&Logarithmus-Funktionen
  1642. $≥ ln x dx = x * ln x - x
  1643. $≥ x$+n$- ln x dx = x$+n+1$-/(n+1) * (ln x - 1/(n+1))
  1644. $≥ (ln x)$+n$- /x dx = (ln x)$+n+1$- / (n+1)
  1645. $≥ ln x / x$+n$- dx = - [ln x/[(n-1)x$+n-1$-] + 1/[(n-1)▓ x$+n-1$-]]
  1646. $≥ dx / [x (ln x)$+n$-] = - 1/ [(n-1) (ln x)$+n-1$-]
  1647. #&Exponential-Funktionen
  1648. $≥ dx / (a + b e$+cx$-) = x/a - ln |a + b e$+cx$-| /(ac)
  1649. $≥ e$+cx$- / (a + b e$+cx$-) dx = ln |a + b e$+cx$-| /(bc)
  1650. $≥ e$+ax$- sin bx dx = (a sin bx - b cos bx) * e$+ax$-/(a▓+b▓)
  1651. $≥ e$+ax$- cos bx dx = (a cos bx + b sin bx) * e$+ax$-/(a▓+b▓)
  1652. #&Gebrochenrationale Funktionen
  1653. $≥ x / (ax + b) dx = x/a - b/a▓ * ln |ax + b|
  1654. *
  1655.  
  1656. $≥ x / (ax + b)▓ dx = b/[a▓ (ax+b)] + ln |ax + b| /a▓
  1657. $≥ x / (ax + b)$+n$- dx =
  1658. $2= 1/a▓ [ b/[(n-1)(ax+b)$+n-1$- ] - 1/[(n-2)(ax+b)$+n-2$-] ]
  1659. $≥ dx / (x - a) = ln |x - a|
  1660. $≥ dx / (x - a)$+n$- = 1/[(n-1) (x-a)$+n-1$-]
  1661. $≥ dx / (a▓ + b▓x▓) = arctan (bx/a) /(ab)
  1662. $≥ dx / (a▓ - b▓x▓) = artanh (bx/a) /(ab)
  1663. $≥ x / (a▓ + b▓x▓) dx = ln (a▓+b▓x▓) /(2b▓)
  1664. $≥ x$+n-1$- / (x$+n$- + a) dx = ln |x$+n$- + a| /n
  1665. #&Wurzelfunktionen
  1666. $≥ $╓(x▓ + a▓) dx = 1/2 [x $╓(x▓ + a▓) + a▓ arsinh (x/a)]
  1667. $2= 1/2 [x $╓(x▓ + a▓) + a▓ ln (x + $╓(x▓ + a▓))]
  1668. $≥ $╓(x▓ - a▓) dx = 1/2 [x $╓(x▓ - a▓) - a▓ arcosh (x/a)]
  1669. $2= 1/2 [x $╓(x▓ - a▓) - a▓ ln (x + $╓(x▓ - a▓))]
  1670. $≥ $╓(a▓ - x▓) dx = 1/2 [x $╓(a▓ - x▓) + a▓ arsinh (x/a)]
  1671. $≥ dx / $╓(a▓ + b▓x▓) = ln [bx + $╓(a▓+b▓x▓)] /b
  1672. $≥ dx / $╓(a▓ - b▓x▓) = arcsin (bx/a) /b
  1673. [40]
  1674. #FlΣcheninhaltsberechnung
  1675. ºFlΣcheninhaltsberechnung
  1676. Gilt f(x) $│ 0 fⁿr alle x $╬ [a,b], so gilt A = $-a$+$≥ $+b$- f(x) dx
  1677. Gilt f(x) $ú 0 fⁿr alle x $╬ [a,b], so gilt A = | $-a$+$≥ $+b$- f(x) dx |
  1678. {3040
  1679. #
  1680. $6Besitzt f(x) in (a,b) n Nullstellen:
  1681. $1A = | $-a$+$≥ $+x$-1$+$- f(x) dx | + | $-x$-1$+$+$≥ $+x$-2$+$- f(x) dx | + ... +
  1682. $1+ | $-x$-n$+$+$≥ $+b$- f(x) dx |
  1683. &FlΣchenstⁿck zwischen 2 Funktionen f(x) und g(x)
  1684. {3062
  1685.  
  1686. $8f(x) und g(x) 
  1687. $8schneiden sich nicht
  1688. $8in [a,b]
  1689. $1A = | $-a $+$≥ $+b$- [ f(x)-g[x] ] dx |
  1690. {3063
  1691. $8f(x) und g(x) 
  1692. $8schneiden sich bei c
  1693. $8in [a,b]
  1694. $1A = | $-a $+$≥ $+c$- [ f(x)-g[x] ] dx | + | $-c $+$≥ $+b$- [ f(x)-g[x] ] dx |
  1695. *
  1696. #Numerische Integration (Quadratur)
  1697. ºNumerische Integration (Quadratur)
  1698. Das Intervall [a,b] wird in n Teilintervalle der LΣnge 
  1699. d=(b-a)/n zerlegt. 
  1700. Teilpunkte: x$-0$+=a, x$-1$+=a+d, ..., x$-n$+=a+nd=b
  1701. &Rechteckformel
  1702. {3064
  1703. $7FlΣche A wird durch 
  1704. $7Rechtecke angenΣhert
  1705. #
  1706. $1A = | $-a $+$≥ $+b$- f(x) dx | $╗ d (y$-0$+ + y$-1$+ + ... + y$-n-1$+)
  1707.  
  1708. &Trapezformel (Sekantenformel)
  1709. {3065
  1710. $7FlΣche A wird durch 
  1711. $7Trapeze angenΣhert
  1712. #
  1713. $1A = | $-a $+$≥ $+b$- f(x) dx | 
  1714. $2$╗ d/2 (y$-0$+ + 2y$-1$+ + 2y$-2$+ + ... + 2y$-n-1$+ + y$-1n$+)
  1715. [41]
  1716. #&Simpsonsche Regel
  1717. ºSimpsonsche Regel
  1718. Die FlΣche wird durch TeilflΣchen unter Parabelb÷gen
  1719. angenΣhert. (n gerade)
  1720. A = | $-a $+$≥ $+b$- f(x) dx | 
  1721. $╗ d/3 (y$-0$+ + 4y$-1$+ + 2y$-2$+ + 4y$-3$+ ... + 2y$-n-2$+ + 4y$-n-1$+ + y$-1n$+)
  1722. &Keplersche Fa▀regel
  1723. ºKeplersche Fa▀regel
  1724. Simpsonregel fⁿr 2 Teilintervalle; x$-m$+ = (a+b)/2
  1725. A = | $-a $+$≥ $+b$- f(x) dx | $╗ (b-a)/6 * [ f(a) + 4f(x$-m$+) + f(b) ]
  1726. &Newtonsche 3/8-Regel
  1727. A = | $-a $+$≥ $+b$- f(x) dx | 
  1728. $╗ 3/8 (b-a) (y$-0$+ + 3y$-1$+ + 3y$-2$+ + y$-3$+), 3 Stⁿtzstellen
  1729. &Tangentenformel
  1730. A = | $-a $+$≥ $+b$- f(x) dx | 
  1731. $╗ 2 (b-a)/n  (y$-1$+ + y$-3$+ + y$-5$+ + ... + y$-n-1$+), n gerade
  1732. #Newton-Cotes-Formeln
  1733. ºNewton-Cotes-Formeln
  1734. A = | $-a $+$≥ $+b$- f(x) dx |$+$+
  1735. $2    n$+$+
  1736. $╗ nh/P$-n$+  $S   f(a+ih) p$-in$+ + R$-n$+$+$+
  1737. $2  i = 0$+$+
  1738. mit P$-n$+ = p$-0n$+ + p$-1n$+ + ... + p$-1nn$+, h=(b-a)/n, 
  1739. p$-in$+ ... Gewichte$-$-$-
  1740. *
  1741. #
  1742. n$1P$-n$+$2p$-0$+ ... p$-n$+
  1743. 1$12$21, 1
  1744. 2$16$21, 4, 1
  1745. 3$18$21, 3, 3, 1
  1746. 4$190$27, 32, 12, 32, 7
  1747. 5$1288$119, 75, 50, 50, 75, 19
  1748. 6$1840$141, 216, 27, 272, 27, 216, 41
  1749. 7$117280$1751, 3577, 1323, 2989, 2989, 1323, 3577,
  1750. $3751
  1751. #&Romberg-Verfahren
  1752. ºRomberg-Verfahren
  1753. Sind T$-n$+ Werte der Trapezregel fⁿr n Teilintervalle und 
  1754. T$-2n$+ der Wert fⁿr 2n Teilintervalle, so ergibt sich eine 
  1755. bessere NΣherung mit:
  1756. $1S$-2n$+ = (4* T$-2n$+ - T$-n$+)/3, Konvergenzfaktor q = 1/16
  1757. $1R$-2n$+ = (16* S$-2n$+ - S$-n$+)/15, Konvergenz q = 1/64
  1758. &Steklov-Verfahren
  1759. Erweiterung des Rombergverfahrens mit
  1760. $1T$-mk$+ = (4$+m$-* T$-m-1,k+1$+ - T$-m-1,k$+) / (4$+m$--1)
  1761. [42]
  1762. #Monte-Carlo-Verfahren
  1763. Sind die x$-i$+ gleichverteilte Zufallszahlen im Intervall [0;1]
  1764. $1$▐ (1/n) * $S f(x$-i$+) $╗ $-0 $+$≥ $+1$- f(x) dx
  1765. $1rekursive Formel: I$-k$+ = [ I$-k-1$+ (k-1) + f(x$-k$+) ] /k
  1766. &Bessel-Quadratur
  1767. I $╗ (b-a)/n * (-1/24 * f(a-$Dx) + f(a)/2 + 25/14 * f(a+$Dx) +
  1768. $1+ f(a+2$Dx) + ... + f(b-2$Dx) + 25/24 * f(b-$Dx) + 
  1769. $1+ 1/2 *f(b) - 1/24 * f(b+$Dx))
  1770. #Offene Newton-Cotes-Formeln
  1771. Newton-Cotes-Formeln ohne Intervallgrenzen
  1772. A = | $-a $+$≥ $+b$- f(x) dx |$+$+
  1773. $2   n-1$+$+
  1774. $╗ nh/P$-n$+  $S   f(a+ih) p$-in$+ + R$-n$+$+$+
  1775. $2  i = 1$+$+
  1776. mit h=(b-a)/n, p$-in$+ ... Gewichte
  1777. n$1P$-n$+$2p$-0$+ ... p$-n$+
  1778. 2$11$21
  1779. 3$12$21, 1
  1780. 4$13$22, -1, 2
  1781. 5$124$211, 1, 1, 11
  1782. 6$120$211, -14, 26, -14, 11$-$-$-
  1783. *
  1784.  
  1785. #&Tschebyschow-Formel
  1786. I = 2/3 * h * [f(-h/2*$╓2) + f(0) + f(h/2*$╓2) ] + R$-2$+
  1787. #Gau▀-Legendre-Formeln$+$+
  1788. ºGau▀-Legendre-Formeln
  1789. $5  n$+$+
  1790. I = | $-- 1 $+$≥ $+1b$- f(x) dx | $╗ $S  C$-i$+ f(x$-i$+) + R$-n$+$+$+
  1791. $5i = 1$+$+
  1792. Sowohl die Gewichte C$-i$+ als auch die Stⁿtzstellen x$-i$+
  1793. $1sind variabel. 
  1794. Die x$-i$+ sind die Nullstellen der Legendre-Polynome
  1795. Integriert Polynome bis 2n-1.ten Grades mit R=0
  1796. n$1i$2x$-in$+$4A$-in$+
  1797. 1$11$20$42
  1798. 2$11$20.5773503$21
  1799. $12$2-0.5773503$21
  1800. 3$11$20.7745967$20.5555556
  1801. $12$20$40.8888889
  1802. $13$2-0.7745967$20.5555556
  1803. 4$11$20.8611363$20.3478548
  1804. $12$20.3399810$20.6521455
  1805. $13$2-0.3399810$20.6521455
  1806. $14$2-0.8611363$20.3478548$-$-
  1807. [43]
  1808. &
  1809. n$1i$2x$-in$+$4A$-in$+
  1810. 5$11$20.9061798$20.2369269
  1811. $12$20.5384693$20.4786287
  1812. $13$20$40.5688889
  1813. $14$2-0.5384693$20.4786287
  1814. $15$2-0.9061798$20.2369269
  1815. 6$11$20.9324700$20.1713245
  1816. $12$20.6612094$20.3607616
  1817. $13$20.2386192$20.4679139
  1818. $14$2-0.2386192$20.4679139
  1819. $15$2-0.6612094$20.3607616
  1820. $16$2-0.9324700$20.1713245
  1821. &Legendre-Polynome
  1822. ºLegendre-Polynome
  1823. P$-0$+(x) = 1
  1824. P$-1$+(x) = x
  1825. P$-2$+(x) = 1/2 * (3x▓ - 1)
  1826. P$-3$+(x) = 1/2 * (5x│ - 3x)
  1827. P$-4$+(x) = 1/8 * (35x$+4$- - 30x▓ + 3)
  1828. P$-5$+(x) = 1/8 * (63x$+5$- - 70x│ + 15x)
  1829. P$-6$+(x) = 1/16 * (231x$+6$- - 315x$+4$- +105x▓ - 5)
  1830. P$-7$+(x) = 1/16 * (429x$+7$- - 693x$+5$- + 315x│ - 35x)
  1831. *
  1832. #Differentialgeometrie
  1833. ºDifferentialgeometrie
  1834.  
  1835. {3000
  1836. &$5Leibnizsche Sektorenformel
  1837. ºLeibnizsche Sektorenformel
  1838. $5A = 1/2 $-$f$-1$+ $+$≥ $+$+$f$-2$+$-$- r▓ d$f, fⁿr r = f($f)
  1839.  
  1840. FlΣche zwischen den Kurven r = r$-1$+($f) und r = r$-2$+($f)
  1841. in den Grenzen $f$-1$+ und $f$-1
  1842. $1A = $-$f$-1$+ $+$≥ $+$+$f$-2$+$-$- $-r$-2$+($f$-1$+) $+$≥ $+$+r$-2$+($f$-2$+)$-$- r dr d$f$-$-
  1843. Sektorenformel: zwischen x=x(t) und y=y(t):
  1844. $1A = 1/2 $-t$-1$+ $+$≥ $+$+t$-2$+$-$- (x y$=$+$+ $╖$-$- - x$=$+$+ $╖$-$- y) dt
  1845. #BogenlΣnge (Rektifikation)
  1846. ºBogenlΣnge
  1847. LΣnge des Kurvenstⁿckes zwischen P$-1$+ und P$-2$+
  1848. y = f(x) $▐ s = $-a $+$≥$+ b$- $╓( 1 + y' ▓) dx$-$-
  1849. x = x(t) und y = y(t) $▐ s = $-t$-1$+ $+$≥ $+$+t$-2$+$-$- $╓[ y$=$+$+ $╖2$-$- + x$=$+$+ $╖2$-$- ] dt$-$-
  1850. r = r($f) $▐ s = $-$f$-1$+ $+$≥ $+$+$f$-2$+$-$- $╓[ r▓ + (dr/d$f)▓ ] d$f
  1851. [44]
  1852. #Rotationsk÷rper
  1853. ºRotationsk÷rper
  1854. &Volumen von Rotationsk÷rpern (Kubatur)
  1855. Bei Rotation eines FlΣchenstⁿckes unter f(x) im 
  1856. Intervall [a;b]
  1857. &y = f(x)
  1858. Rotation um x-Achse$2V = $p $-a $+$≥ $+b$- f▓(x) dx
  1859. Rotation um y-Achse$2V = | $p $-a $+$≥ $+b$- x▓ * f(x) dx |
  1860. &x = x(t) und y= y(t)
  1861. Rotation um x-Achse$2V = $p $-t$-1$+ $+$≥ $+$+t$-2$+$-$- y▓ x$=$+$+ $╖$-$- dt
  1862. Rotation um y-Achse$2V = $p $-t$-1$+ $+$≥ $+$+t$-2$+$-$- x▓ y$=$+$+ $╖$-$- dt
  1863. &r = r($f)
  1864. Rotation um x-Achse
  1865. $2V = $p $-$f$-1$+ $+$≥ $+$+$f$-2$+$-$- r▓ sin▓ $f (dr/d$f cos $f - r sin $f) d$f
  1866. Rotation um y-Achse
  1867. $2V = $p $-$f$-1$+ $+$≥ $+$+$f$-2$+$-$- r▓ cos▓ $f (dr/d$f sin $f + r cos $f) d$f
  1868. #&MantelflΣche von Rotationsk÷rpern (Komplanation)
  1869. &y = f(x)
  1870. Rotation um x-Achse
  1871. $2M = 2$p $-a $+$≥ $+b$- [f(x) * $╓(1 + [f'(x)]▓ ) ] dx
  1872. *
  1873. &
  1874. Rotation um y-Achse
  1875. $2M = 2$p $-f(a) $+$≥ $+f(b)$- [x * $╓(1 + (dx/dy)▓ ) ] dy
  1876. &x = x(t) und y= y(t)
  1877. Rotation um x-Achse
  1878. $2M = 2$p $-t$-1$+ $+$≥ $+$+t$-2$+$-$- y $╓[ x$=$+$+ $╖2$-$- + y$=$+$+ $╖2$-$- ] dt
  1879. Rotation um y-Achse
  1880. $2M = 2$p $-t$-1$+ $+$≥ $+$+t$-2$+$-$- x $╓[ x$=$+$+ $╖2$-$- + y$=$+$+ $╖2$-$- ] dt
  1881. &r = r($f)
  1882. Rotation um x-Achse
  1883. $2M = 2$p $-$f$-1$+ $+$≥ $+$+$f$-2$+$-$- r sin $f $╓[ r▓ + (dr/d$f)▓ ] d$f
  1884. Rotation um y-Achse
  1885. $2M = 2$p $-$f$-1$+ $+$≥ $+$+$f$-2$+$-$- r cos $f $╓[ r▓ + (dr/d$f)▓ ] d$f
  1886. #Tangentengleichungen
  1887. ºTangentengleichungen
  1888. Tangente im Punkt P$-0$+(x$-0$+;y$-0$+)
  1889. y = f(x) $▐$3 y - y$-0$+ = y'(x$-0$+) ( x - x$-0$+ )
  1890. f(x,y) = 0 $▐
  1891. $1$▐ (x - x$-0$+) $╢f(x$-0$+,y$-0$+)/$╢x + (y - y$-0$+) $╢f(x$-0$+,y$-0$+)/$╢y = 0
  1892. x = x(t), y = y(t) $▐$1 (x - x$-0$+) y$=$+$+ $╖$-$- - (y - y$-0$+) x$=$+$+ $╖$-$- = 0
  1893. [45]
  1894. #Normalengleichungen
  1895. ºNormalengleichungen
  1896. Normale im Punkt P$-0$+(x$-0$+;y$-0$+)
  1897. y = f(x) $▐$3 y - y$-0$+ = -1/y'(x$-0$+) ( x - x$-0$+ )
  1898. f(x,y) = 0 $▐
  1899. $1$▐ (x - x$-0$+) $╢f(x$-0$+,y$-0$+)/$╢y + (y - y$-0$+) $╢f(x$-0$+,y$-0$+)/$╢x = 0
  1900. x = x(t), y = y(t) $▐$1 (x - x$-0$+) x$=$+$+ $╖$-$- + (y - y$-0$+) y$=$+$+ $╖$-$- = 0
  1901. #Krⁿmmung einer Kurve
  1902. ºKrⁿmmung einer Kurve
  1903. {3042
  1904. #
  1905. Krⁿmmung am Punkt (x$-0$+,y$-0$+)
  1906. $3k = y"(x$-0$+) / (1 + y' ▓)$+3/2$-
  1907. Koordinaten des Krⁿmmungskreises
  1908. $1x$-m$+ = x$-0$+ - y' * (1 + y" ▓)/y"$1 y$-m$+ = y$-0$+ + (1 + y" ▓)/y"
  1909. Radius des Krⁿmmungskreises$1r = 1/k
  1910. Evolute = Kurve aller Krⁿmmungsmittelpunkten der 
  1911. $1Krⁿmmungskreise einer Funktion
  1912. *
  1913. #Lagrange-Interpolation
  1914. ºLagrange-Interpolation
  1915. Sind die (x$-i$+ ; y$-i$+ ) Stⁿtzstellen eines Polynoms P$-n$+(x)
  1916. n-1.ten Grades, so gilt
  1917. Ansatz$1P$-n$+(x) = L$-0$+(x) y$-0$+ + L$-1$+(x) y$-1$+ + ... + L$-n$+(x) y$-n$+
  1918. Lagrange-Polynome:
  1919. L$-i$+(x) =  (x-x$-0$+)(x-x$-1$+)...(x-x$-i-1$+)(x-x$-i+1$+)...(x-x$-n$+) / 
  1920. $2/ [ (x$-i$+-x$-0$+)(x$-i$+-x$-1$+)...(x$-i$+-x$-i-1$+)(x$-i$+-x$-i+1$+)...(x$-i$+-x$-n$+) ]
  1921. #Newton-Interpolation
  1922. ºNewton-Interpolation
  1923. Ansatz$1I$-n$+(x) = A$-0$+ + A$-1$+ (x-x$-0$+) + A$-2$+ (x-x$-0$+)(x-x$-1$+) + ...
  1924. $4+ ... + A$-n$+ (x-x$-0$+)(x-x$-1$+)...(x-x$-n-1$+)
  1925. $1A$-0$+ = y$-0$+
  1926. $1A$-1$+ = (y$-1$+ - y$-0$+) / (x$-1$+ - x$-0$+)
  1927. $1A$-2$+ = [(y$-1$+ - y$-0$+) - A$-1$+ (x$-2$+ - x$-0$+)] / [(x$-2$+ - x$-0$+) * (x$-2$+ - x$-0$+)]
  1928. $1usw...
  1929. #Taylor-Entwicklung
  1930. ºTaylor-Entwicklung
  1931. Entwicklung von f(x) an der Stelle x$-0$+ zu einer 
  1932. Potenzreihe
  1933. t(x) = f(x$-0$+) + f'(x$-0$+)/1! * (x-x$-0$+) + f"(x$-0$+)/2! * (x-x$-0$+)▓ + ... 
  1934. Restglied R$-n$+(x) = (x - x$-0$+)$+n+1$- f$+(n+1)$-(x$-0$+) / (n+1)!
  1935. [46]
  1936. #Potenzreihen
  1937. ºPotenzreihen
  1938. e$+x$- = 1 + x/1! + x▓/2! + x│/3! + ...
  1939. sin x = x - x│/3! + x$+5$-/5! - x$+7$-/7! + - ...
  1940. cos x = 1 - x▓/2! + x$+4$-/4! - x$+6$-/6! + - ...
  1941. sin▓ x = x▓ - 1/3 x$+4$- + 2/45 x$+6$- - + ...
  1942. cos▓ x = 1 - x▓ + 1/3 x$+4$- - 2/45 x$+6$- + - ...
  1943. tan x = x + 1/3 x│ + 2/15 x$+5$- + 17/315 x$+7$- + ...
  1944. cot x = 1/x - 1/3 x - 1/45 x│ - 22/945 x$+5$- - ...
  1945. sinh x = x/1! + x│/3! + x$+5$-/5! + x$+7$-/7! + ...
  1946. cosh x = 1 + x▓/2! + x$+4$-/4! + x$+6$-/6! + ...
  1947. arcsin x = x + 1/2 x│/3 + (1*3)/(2*4) x$+5$-/5 + ...
  1948. $2+ (1*3*5)/(2*4*6) x$+7$-/7 + ...
  1949. arctan x = x - x│/3 + x$+5$-/5 - x$+7$-/7 + - ...
  1950. arsinh x = x - 1/2 x│/3 + (1*3)/(2*4) x$+5$-/5 - ...
  1951. $2- (1*3*5)/(2*4*6) x$+7$-/7 + - ...
  1952. artanh x = x + x│/3 + x$+5$-/5 + x$+7$-/7 + ...
  1953. ln (1+x) = x - x▓/2 + x│/3 - x$+4$-/4 + - ...
  1954. ln [(1+x)/(1-x)] = 2 (x + x│/3 + x$+5$-/5 + x$+7$-/7 + ... )
  1955. ln u = ln v + 2 [(u-v)/(u+v) + 1/3 ((u-v)/(u+v))│ + ...
  1956. $2+ 1/5 ((u-v)/(u+v))$+5$- + ...]
  1957. *
  1958. #Binomische Reihe
  1959. ºBinomische Reihe
  1960. (a+b)$+n$- = ( $+$+n$-$-$-$-$=0$+$+ )a$+n$- + ( $+$+n$-$-$-$-$=1$+$+ )a$+n-1$-b + ( $+$+n$-$-$-$-$=2$+$+ )a$+n-2$-b$+2$- + ... +
  1961. $2$-$-+ ( $+$+n$-$-$-$-$=n-1$+$+ )ab$+n-1$- + ( $+$+n$-$-$-$-$=n$+$+ )b$+n$-
  1962. n ganzzahlig
  1963. (1▒x)$+n$- = 1 ▒ ( $+$+n$-$-$-$-$=1$+$+ )x + ( $+$+n$-$-$-$-$=2$+$+ )x▓ ▒ ... + (-1)$+n$- ( $+$+n$-$-$-$-$=n$+$+ )x$+n$-
  1964. $m nicht-ganzzahlig, |x|<=1
  1965. (1▒x)$+$m$- = 1 ▒ ( $+$+$m$-$-$-$-$=1$+$+ )x + ( $+$+$m$-$-$-$-$=2$+$+ )x▓ ▒ ... + (-1)$+n$- ( $+$+$m$-$-$-$-$=n$+$+ )x$+n$- + ...
  1966. |x|<=1
  1967. 1/(1+x) = 1 - x + x▓ - x│ + - ...
  1968. 1/(1-x) = 1 + x + x▓ + x│ + ...
  1969. 1/(1+x)▓ = 1 - 2x + 3x▓ - 4x│ + - ...
  1970. 1/(1-x)▓ = 1 + 2x + 3x▓ + 4x│ + ...
  1971. $╓(1▒x) = 1 ▒ x/2 - 1/(2*4) x▓ ▒ (1*3)/(2*4*6) x│ - ▒ ...
  1972. 1/$╓(1+x) = 1 - x/2 + (1*3)/(2*4) x▓ - ...
  1973. $2- (1*3*5)/(2*4*6) x│ + - ...
  1974. 1/$╓(1-x) = 1 + x/2 + (1*3)/(2*4) x▓ + ...
  1975. $2+ (1*3*5)/(2*4*6) x│ + ...
  1976. [47]
  1977. #NΣherungsformeln fⁿr kleine x
  1978. ºNΣherungsformeln fⁿr kleine x
  1979. Fehler < 0.001 bei 1.NΣherung fⁿr (... x)
  1980. Fehler < 0.001 bei 2.NΣherung fⁿr (... x)
  1981. $31.NΣherung$32.(nΣchstes) Glied
  1982. (1▒x)$+n$-$21▒nx (...<<1)$2+n(n-1)x▓/2
  1983. $╓(1▒x)$21▒x/2 (...0.089)$2- x▓/8 (...0.25)
  1984. $+q$-$╓(1+x)$+p$-$11+px/q$4+p(p-q)x▓/(2q▓)
  1985. (1+x)/(1-x)$11+2x (...0.022)$2+2x▓ (...0.077)
  1986. ((1+x)/(1-x))▓$11+4x (...0.011)$1+8x▓ (...0.043)
  1987. e$+x$-$21+x (...0.044)$2+x▓/2 (...0.17)
  1988. a$+x$-$21+x ln a$3+ln▓ a * x▓/2
  1989. ln (1+x)$1x (...0.044)$3- x▓/2 (...0.14)
  1990. sin x$2x (...0.18/10.4░)$2- x│/6 (...0.63/36░)
  1991. cos x$21 (...0.044/2.6░)$2- x▓/2 (...0.394/22.6░)
  1992. tan x$2x (...0.14/8.2░)$2+ x│/3 (...0.38/21.6░)
  1993. arcsin x$1x (...0.18)$3+ x│/6 (...0.42)
  1994. arccos x$1$p/2 - x (...0.18)$2- x│/6 (...0.42)
  1995. arctan x$1x (...0.14)$3- x│/3 (...0.35)
  1996. arccot x$1$p/2 - x (...0.14)$2+ x│/3 (...0.35)
  1997. sinh x$2x (...0.18)$3+ x│/6 (...0.65)
  1998. cosh x$11 (...0.044)$3+ x▓/2 (...0.39)
  1999. *
  2000.  
  2001. $31.NΣherung$32.(nΣchstes) Glied
  2002. tanh x$2x (...0.14)$3- x│/3 (...0.38)
  2003. arsinh x$1x (...0.18)$3- x│/6 (...0.43)
  2004. artanh x$1x (...0.14)$3+ x│/3 (...0.37)
  2005. #Spezielle Funktionen
  2006. {3136
  2007. #$8Gamma-Funktion
  2008. ºGamma-Funktion
  2009. #
  2010. $8$G(x) = $-0$+ $≥ $+$Ñ$- e$+-t$- t$+x-1$- dt
  2011. $8fⁿr x>0
  2012.  
  2013. $G(x) = lim (n! n$+x-1$-) / [x (x+1) ... (x+n-1) ]
  2014. mit Grenzⁿbergang n $« $Ñ
  2015. fⁿr x = 0, -1, -2, ... existieren Polstellen 1.Ordnung
  2016. &Eigenschaften
  2017. $G(x+1) = x $G(x)$2$G(x)  = (x-1)!
  2018. $G(1) = 1$3$G(2) = 1
  2019. $G($n+n+1) = ($n+n)($n+n-1)...($n+1)$n * $G($n)
  2020. [48]
  2021. #Gau▀sche Fehlerfunktion
  2022. ºGau▀sche Fehlerfunktion
  2023. $f(x) = e$+- x▓/2$- = 1 - x▓/(1!*2) + x$+4$-/(2!*2▓) - x$+6$-/(3!*2│) + - ...
  2024. &Gau▀sches Fehlerintegral
  2025. g(x) = e$+- x▓$- = 1 - x▓/1! + x$+4$-/2! - x$+6$-/3! + - ...
  2026. G(x) = 2/$╓$p $-- $Ñ$+ $≥ $+x$- e$+-t▓$- dt =
  2027. $1= 2/$╓$p [ x - x│/(1!*3) + x$+5$-/(2!*5) - x$+7$-/(3!*7) + - ...]
  2028. G($Ñ) = 1$3G(-x) = -G(x)
  2029. G'(x) = 2/$╓$p g(x)
  2030. $F(x) = 1/$╓(2$p) $-- $Ñ$+ $≥ $+x$- e$+-t▓/2$- dt =
  2031. $1= 1/2 + 1/$╓(2$p) [ x - x│/(1!*2*3) + x$+5$-/(2!*2▓*5) - ...
  2032. $1  - x$+7$-/(3!*2│*7) + - ...]
  2033. &Eigenschaften
  2034. $F(0) = 1/2$2$F(-x) = 1 - $F(x)
  2035. $F(-$Ñ) = 0$3$F($Ñ) = 1
  2036. #Integralsinus
  2037. ºIntegralsinus
  2038. Si(x) = $-0$+ $≥ $+x$- sin t / t dt = x - x│/(3*3!) + x$+5$-/(5*5!) - + ...
  2039. &Integralkosinus
  2040. Ci(x) = $-x$+ $≥ $+$Ñ$- cos t / t dt = C + ln |x| - x▓/(2*2!) + x$+4$-/(4*4!) 
  2041. $1 - + ..., C = 0.5772 ... Eulersche Konstante
  2042. *
  2043. #&Exponentialintegral
  2044. Ei(x) = $-- $Ñ$+ $≥ $+x$- e$+t$- / t dt = C + ln |x| +x + x▓/(2*2!) +
  2045. $1+ x│/(3*3!) + ...
  2046. &Integrallogarithmus
  2047. Li(x) = $-0$+ $≥ $+x$- dt / ln t = C + ln |ln |x|| + ln x /(1*1!) +
  2048. $1+ (ln x)▓/(2*2!) + ...
  2049. [49]
  2050. #Vektoranalysis
  2051. ºVektoranalysis
  2052. &Differentialoperatoren
  2053. ºDifferentialoperatoren
  2054. Nabla-Operator $╤ = $╢/$╢x i$+$+$=$«$-$- + $╢/$╢y j$+$+$=$«$-$- + $╢/$╢z k$+$+$=$«$-$-
  2055. Laplace-Operator $D = $╢▓/$╢x▓ + $╢▓/$╢y▓ + $╢▓/$╢z▓
  2056. #&Gradient eines Skalarfeldes $f(x,y,z)
  2057. grad $f = $╢$f/$╢x i$+$+$=$«$-$- + $╢$f/$╢y j$+$+$=$«$-$- + $╢$f/$╢z k$+$+$=$«$-$- = $╤$f
  2058. Vektorfeld v$+$+$=$«$-$- hei▀t Potentialfeld, wenn skalare Funktion
  2059. $f(x,y,z) existiert mit v$+$+$=$«$-$- = grad $f
  2060. Eigenschaften
  2061. 1. | grad $f | = $╓( $f$-x$+▓ + $f$-y$+▓ + $f$-z$+▓)
  2062. 2. grad $f steht senkrecht auf NiveauflΣchen
  2063. 3. $-A$+ $≥$=o $+B$- v$+$+$=$«$-$- dx$+$+$=$«$-$- = 0 $█ v$+$+$=$«$-$- ... Potentialvektor
  2064. 4. grad (c$f) = c grad $f
  2065. 5. grad ($f$-1$+ ▒ $f$-2$+) = grad ($f$-1$+) ▒ grad ($f$-2$+)
  2066. 6. grad ($f$-1$+$f$-2$+) = $f$-2$+ grad ($f$-1$+) + $f$-1$+ grad ($f$-2$+)
  2067. #&Divergenz eines Vektorfeldes v$+$+$=$«$-$-(x,y,z)
  2068. div v$+$+$=$«$-$- = $╤ v$+$+$=$«$-$-
  2069. Vektorfeld v$+$+$=$«$-$- mit div v$+$+$=$«$-$- = 0 hei▀t quellenfrei
  2070. *
  2071. #&Rotation eines Vektorfeldes v$+$+$=$«$-$-(x,y,z)
  2072. rot v$+$+$=$«$-$- = $╤ x v$+$+$=$«$-$-
  2073. Vektorfeld v$+$+$=$«$-$- mit rot v$+$+$=$«$-$- = 0 hei▀t wirbelfrei
  2074. &Beziehungen
  2075. rot grad $f = 0 ... Gradientenfeld ist wirbelfrei
  2076. div rot v$+$+$=$«$-$- = 0 ... Rotorfeld ist quellenfrei
  2077. div grad $f = $D $f
  2078. [#]
  2079.