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Text File  |  1994-10-03  |  60KB  |  1,977 lines
  1. ;Formelsammlung
  2. [0]
  3. &
  4. {1991
  5.  
  6. #
  7. ºStrahlensatz
  8. {3008
  9. &$6Strahlensatz
  10.  
  11. $6Wird ein Strahlenbⁿschel von 
  12. $6einer Parallelenschar
  13. $6geschnitten, so gilt:
  14. 1. Die Abschnitte auf einem Strahl verhalten sich zu-
  15. einander wie die gleichliegenden Abschnitte auf einem
  16. anderen Strahl.$1z.B.:  SA / AB = SE / EF
  17. 2. Gleichliegende Parallelenabschnitte verhalten sich 
  18. zueinander wie die zugeh÷rigen Strahlenabschnitte auf 
  19. ein und demselben Strahl.
  20.    z.B.:  BD / AC = SB / SA 
  21. 3. Parallelenabschnitte auf einer Parallelen verhalten
  22. sich zueinander wie die zugeh÷rigen Parallelenab-
  23. schnitte auf einer anderen Parallele.
  24.    z.B.:  AC / CE = BD / DF
  25. *
  26. #Zentrische Streckung
  27. ºZentrische Streckung
  28. Die Vielecke ABCDE und A'B'C'D'E' sind Σhnlich,
  29. denn es gilt:
  30. {3009
  31. #
  32. $7   Streckungsfaktor
  33. $8k = A'B' / AB
  34. #
  35. #
  36. #
  37. 1. die Innenwinkel sind paarweise kongruent
  38. 2. A'B' = k * AB ; B'C' = k * BC ; C'D' = k * CD
  39.     D'E' = k * DE ; E'F' = k * EF
  40. Die Kongruenz ist ein Spezialfall der ─hnlichkeit mit k=1.
  41. Es gilt:$2Umfang$3u' = k * u
  42. $3FlΣcheninhalt$2A' = k▓ * A   
  43. $3Volumen$3V' = k│ * V   
  44. [1]
  45. #Winkel
  46. ºWinkel
  47. {3053
  48. $60░< $a <90░ ...spitzer Winkel
  49. $6$a = 90░ ...rechter Winkel
  50. $690░< $a <180░ ...stumpfer Winkel
  51. $6$a = 180░ ...gestreckter Winkel
  52.  
  53. Nebenwinkel$4$b + $g = 180░
  54. Supplementwinkel$3$b + $g = 180░
  55. Komplementwinkel$3$a + $e = 90░
  56. Scheitelwinkel$4$b = $d
  57. An geschnittenen Parallelen g || h gilt
  58. Stufenwinkel$4$a = $b
  59. Wechselwinkel$3$a = $d
  60. entgegengesetzte Winkel$1$a = $g
  61. #Winkelma▀e
  62. ºWinkelma▀e
  63. Gradma▀$21░ = 60' (Minute) = 3600" (Sekunde)
  64. Bogenma▀x$11 rad (Radiant); x arc = $a
  65. $2$a / arc $a = 180░ / $p, 1░ = 0.01745 rad
  66. Neugrad$21$+g$- (Gon), 90░ = 100$+g$-
  67. *
  68. #KongruenzsΣtze fⁿr Dreiecke
  69. ºKongruenzsΣtze am Dreieck
  70.  
  71. Dreiecke sind kongruent,
  72. - wenn sie in drei Seiten ⁿbereinstimmen (SSS)
  73. - wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen 
  74.   Winkel ⁿbereinstimmen (SWS)
  75. - wenn sie in einer Seite und den anliegenden Winkeln
  76.   ⁿbereinstimmen (WSW)
  77. - wenn sie in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der 
  78.   gr÷▀eren Seite ⁿbereinstimmen (SSW)
  79. º─hnlichkeitssΣtze am Dreieck
  80. #─hnlichkeitssΣtze fⁿr Dreiecke
  81. Dreiecke sind zueinander Σhnlich,
  82. - wenn sie im VerhΣltnis der 3 Seiten ⁿbereinstimmen
  83. - wenn sie im VerhΣltnis zweier Seiten un dem einge-
  84.   schlossenen Winkel ⁿbereinstimmen
  85. - wenn sie in zwei Winkel ⁿbereinstimmen 
  86.   (HauptΣhnlichkeitssatz)
  87. - wenn sie im VerhΣltnis zweier Seiten und dem Gegen-
  88.   winkel der gr÷▀eren Seite ⁿbereinstimmen
  89. [2]
  90. #Dreieck
  91. ºDreieck
  92. {3001
  93. #
  94. #
  95.  
  96. Durch zyklisches Vertauschen der Winkel und Seiten
  97. erhΣlt man weitere Beziehungen.
  98. Inkreisradius $r, Umkreisradius R
  99. Ankreisradien ... $r$-a$+, $r$-b$+, $r$-c$+
  100. FlΣcheninhalt
  101. $1A = c * h/2 = 1/2 a * b * sin $g
  102. $1A = 1/4 * a*b*c/R = 2 R▓ sin $a * sin $b * sin $g 
  103. $1A = a▓ * sin $b * sin $g / (2 * sin $a)
  104. $1A = $╓ ( $r $r$-a$+ $r$-b$+ $r$-c$+ ) = $r$-a$+ (s - a)
  105. $1A = s▓ tan $a/2 tan $b/2 tan $g/2
  106. $1A = $r▓ cot $a/2 cot $b/2 cot $g/2
  107. Heronische Dreiecksformel
  108. ºHeronische Dreiecksformel
  109. $1A = $r*s = $╓( s * (s - a) * (s - b) * (s - c) )
  110. *
  111.  
  112. Umfang$5u = a + b + c;
  113. $1s = u/2 = 4R cos $a/2 * cos $b/2 * cos $g/2 
  114. Innenwinkelsumme$2$a + $b + $g = 180░
  115. Au▀enwinkelsatz$3$b' = $a + $g
  116. Dreiecksungleichung (zyklisch vertauschen !)
  117. $3a + b > c $┘ a - b < c
  118. $3| a - b | < c
  119. Der kleinsten Seite liegt der kleinste Winkel gegenⁿber
  120. $3a < b $▐ $a < $b
  121. Sinussatz
  122. ºSinussatz
  123. $1a / sin $a = b / sin $b = c / sin $g
  124. Kosinussatz
  125. ºKosinussatz
  126. $1c▓ = a▓ + b▓ + 2 a * b * cos $g
  127. Tangenssatz
  128. $1tan[ ($a-$b)/2 ] = [(a-b) / (a+b)] * tan[($a+$b)/2]
  129. Halbwinkelsatz
  130. $1sin( $a/2 ) = $╓( (s - b)*(s - c) / (bc) )
  131. $1cos( $a/2 ) = $╓( [ (b+c)▓ - a▓ ] / (4bc) )
  132. $1tan( $a/2 ) = $╓( (s - b)/s * (s - c)/(s -a) ) 
  133. Verallgemeinerter H÷hensatz (p,q Abschnitte auf c)
  134. $1h▓ = p * q + a * b * cos $g
  135. [3]
  136. &
  137. Verallgemeinertes Satz des Pythagoras
  138. $2a▓ = b▓ + c▓ + 2 bp, fⁿr $a > 90░
  139. $2a▓ = b▓ + c▓ - 2 bp, fⁿr $a < 90░
  140. VerhΣltnis H÷hen-Seiten (h$-a$+,h$-b$+ H÷hen auf a,b)
  141. $2h$-a$+ / h$-b$+ = b / a
  142. $2h$-a$+ = b sin $g = c sin $b
  143. Projektionssatz$1a = b cos $g + c cos $b
  144. Inkreisradius
  145. $2$r = $╓( (s - a) * (s - b) * (s - c) / s )
  146. $2$r = 4R * sin $a/2 * sin $b/2 * sin $g/2
  147. $2$r = (s-a) tan $a/2 = s tan $a/2 tan $b/2 tan $g/2
  148. Umkreisradius
  149. $2R = 1/4 * abc/A = 1/2 * a/sin $a
  150. Abstand Inkreis- zum Umkreismittelpunkt
  151. $2x = $╓( R▓ - 2 $r R )
  152. Ankreise
  153. Ankreismittelpunkte ... Schnittpunkte der Innen- und
  154. Au▀enwinkelhalbierenden
  155. 2$r$-a$+ = A / (s -a)
  156. $21/$r$-a$+ = 1/h$-b$+ + 1/h$-c$+ - 1/h$-a$+ 
  157. $2$r$-a$+ + $r$-b$+ + $r$-c$+ = 4R + $r
  158. *
  159.  
  160. $1$r$-a$+ = s tan $a/2 = [$a cos $b/2 cos $g/2] / cos $a/2
  161. #&Schnittpunkte der Dreieckstransversalen
  162. ºDreieckstransversalen
  163. $1Seitenhalbierenden   $«  Schwerpunkt
  164. $1Winkelhalbierenden  $«  Inkreismittelpunkt
  165. $1Mittelsenkrechten     $«  Umkreismittelpunkt 
  166. Der Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende
  167. im VerhΣltnis 2 : 1.
  168. LΣnge der Seitenhalbierenden von a
  169. $1s$-a$+ = 1/2 $╓( 2 * (b▓+c▓) - a▓)
  170. $1= 1/2 $╓[ b▓ + c▓ + 2bc cos $a ]
  171. LΣnge der Winkelhalbierenden von $a
  172. $1w$-$a$+ = $╓( b * c * [(b+c)▓ - a▓]) / (b+c)
  173. $1= 2/(b+c) * $╓[ bcs (s-a) ] = 2bc cos ($a/2) / (b+c)
  174. #&Winkelbeziehungen
  175. sin $a + sin $b + sin $g = 4 cos $a/2 cos $b/2 cos $g/2
  176. cos $a + cos $b + cos $g = 1 + 4 sin $a/2 sin $b/2 sin $g/2
  177. sin 2$a + sin 2$b + sin 2$g = 4 sin $a sin $b sin $g
  178. cos 2$a + cos 2$b + cos 2$g = -1 - 4 cos $a cos $b cos $g
  179. tan $a + tan $b + tan $g = tan $a tan $b tan $g
  180. [4]
  181. &
  182. sin▓ $a + sin▓ $b + sin▓ $g = 2 + 2 cos $a cos $b cos $g
  183. cos▓ $a + cos▓ $b + cos▓ $g = 1 - 2 cos $a cos $b cos $g
  184. (sin $a + sin $b + sin $g) * (sin $a + sin $b - sin $g) *
  185. $1* (sin $a - sin $b + sin $g) * (-sin $a + sin $b + sin $g) =
  186. $1= 4 sin▓ $a sin▓ $b sin▓ $g
  187. cot $a cot $b + cot $a cot $g + cot $b cot $g = 1
  188. cot $a/2 + cot $b/2 + cot $g/2 = cot $a/2 cot $b/2 cot $g/2
  189. #&Mollweidesche Formeln
  190. $1(a + b) / c = cos [($a - $b)/2] / sin $g/2
  191. $1(a - b) / c = sin [($a - $b)/2] / cos $g/2
  192. #&Gleichseitiges Dreieck ($a=$b=$g=60░)
  193. $2A = a▓/4 * $╓3       h = a/2 * $╓3
  194. $2R = a/3 * $╓3        $r = a/6 * $╓3
  195. &Gleichschenkliges Dreieck (a=b)
  196. $2A = a▓/2 * sin $g = c▓/4 * tan $a
  197. $2h = 1/2 * $╓( 4a▓ - c▓ )
  198. *
  199. #Rechtwinkliges Dreieck
  200. ºRechtwinkliges Dreieck
  201.    FlΣcheninhalt         A = 1/2 * a * b = 1/2 a▓ * tan $b
  202.    H÷hensatz                    h = p * q
  203.    Kathetensatz                a▓ = p * c     b▓ = q * c
  204.    Satz des Pythagoras     c▓ = a▓ + b▓
  205. ºSatz des Pythagoras
  206. {3010
  207. #
  208. #
  209. #
  210. Winkel$5sin $a = cos $b = a / c
  211. $6tan $a = cot $b = a / b
  212. Umkreisradius$3R = c/2
  213. Abstand des Schwerpunktes von der Hypotenuse h/3
  214. Abstand des Schwerpunktes von der Kathete a ...b/3
  215. [5]
  216. #SphΣrische Trigonometrie
  217. ºSphΣrische Trigonometrie
  218. a,b,c ... Seiten$2$a,$b,$g ... Winkel
  219. {3018
  220.  
  221.  
  222.  
  223. R ... Radius der Kugel     $e ... sphΣrischer Exze▀
  224. sphΣrischer Exze▀                   $e = $a + $b + $g - $p
  225. FlΣcheninhalt im Kugelzweieck      A = 2R▓ * $a
  226. #Allgemeines sphΣrisches Dreieck
  227. FlΣcheninhalt$4A = R▓ * $e
  228. Umfang$52s = a + b +c
  229. Sinussatz       sin a : sin b : sin c = sin $a : sin $b : sin $g
  230. Seitenkosinussatz
  231. $1cos c = cos a cos b + sin a sin b cos $g
  232. Winkelkosinussatz
  233. $1cos $g = - cos $a cos $b + sin $a sin $b cos c
  234. Halbwinkelsatz
  235. $1tan $g/2 = $╓[ (sin(s-a)*sin(s-b)) / (sin s*sin(s-c)) ]
  236. $1sin $g/2 = $╓[ (sin(s-a)*sin(s-b)) / (sin a*sin b) ]
  237. *
  238. ºNepersche Analogien
  239.  
  240.     cos $g/2 = $╓[ (sin s*sin(s-c)) / (sin a*sin b) ]
  241. Halbseitensatz
  242.     tan c/2 = $╓[ (-cos $s*cos($s-$g)) / (cos($s-$a)*cos($s-$b)) ]
  243.     sin c/2 = $╓[ (-cos $s*cos($s-$g)) / (sin $a*sin $b) ]
  244.     cos c/2 = $╓[ (cos($s-$a)*cos($s-$b)) / (sin $a*sin ºb) ]
  245.     mit 2$s = $a + $b + $g
  246. #Nepersche Analogien
  247.     tan c/2 * cos ($a-$b)/2 = tan (a+b)/2 * cos ($a+$b)/2
  248.     tan c/2 * sin ($a-$b)/2 = tan (a-b)/2 * sin ($a+$b)/2
  249.     cot $g/2 * cos (a-b)/2 = tan ($a+$b)/2 * cos (a+b)/2
  250.     cot $g/2 * sin (a-b)/2 = tan ($a-$b)/2 * sin (a+b)/2
  251. #Delambresche Formeln
  252. ºDelambresche Formeln
  253.     sin $g/2 * sin (a+b)/2 = sin c/2 * cos ($a-$b)/2
  254.     sin $g/2 * cos (a+b)/2 = cos c/2 * cos ($a+$b)/2
  255.     cos $g/2 * sin (a-b)/2 = sin c/2 * sin ($a-$b)/2
  256.     cos $g/2 * cos (a-b)/2 = cos c/2 * sin ($a+$b)/2
  257. Umkreisradius r
  258.     cot r = $╓[ -cos($s-$a) * cos($s-$b) * cos($s-$g) / cos $s ]
  259.             = cot a/2 * cos ($s-$a)
  260. [6]
  261. #Gau▀-Mollweidesche Formeln
  262. ºGau▀-Mollweidesche Formeln
  263.     sin ($a+$b)/2 = cos (a-b)/2 * cos $g/2 / cos c/2
  264.     sin ($a-$b)/2 = sin (a-b)/2 * cos $g/2 / sin c/2
  265.     cos ($a+$b)/2 = cos (a+b)/2 * sin $g/2 / cos c/2
  266.     cos ($a-$b)/2 = sin (a+b)/2 * sin $g/2 / sin c/2
  267. &Fⁿnfstⁿckebeziehungen
  268.     sin a cos $b = cos b sin c - sin b cos c cos $a
  269.     sin $a cos b = cos $b sin $c + sin $b cos $c cos a
  270. &Weitere Beziehungen am sphΣrischen Dreieck
  271. Inkreisradius $r
  272.     tan $r = $╓ [ sin(s-a) * sin(s-b) * sin(s-c) / sin s ]
  273.               = tan $a/2 * sin (s-a)
  274. SphΣrischer Exze▀ $e
  275. tan $e/4 = $╓[tan s/2 *tan (s-a)/2 *tan (s-b)/2 *tan (s-c)/2]
  276. #Rechtwinkliges Kugeldreieck
  277. ºRechtwinkliges Kugeldreieck
  278. a,b ... Katheten, c ... Hypotenuse, $g = 90░
  279.     sin a = cos (90░-a) = sin $a * sin c = tan b * cot $a =
  280.             = cot (90░-b) * cot $a
  281.     cos c = sin (90░-a) * sin(90░-b) = cos a * cos b
  282.              = cot $a * cot $b
  283. *
  284.  
  285.     cos $a = sin (90░-a) * sin $b = cos a * sin $b = 
  286.                = tan b cot c = cot (90░-a) * cot c
  287. Weitere Gleichungen durch Austausch von a und b, 
  288. sowie $a und $b.
  289. &Nepersche Regel
  290. ºNepersche Regel
  291. {3134
  292. &$6Rechtwinkliges 
  293. &$6sphΣrisches Dreieck
  294.  
  295. Es ist der Kosinus eines Stⁿckes gleich dem
  296. Produkt der
  297. $11. Kotangens der anliegenden Stⁿcke
  298. $12. Sinus der nicht anliegenden Stⁿcke
  299. {3135
  300. &$6Rechtseitiges 
  301. &$6sphΣrisches Dreieck
  302.  
  303. Dabei sind 
  304. 1. der rechte Winkel auszulassen und die
  305. Katheten durch ihre Komplemente zu ersetzen
  306. [7]
  307. &
  308. 2. die 90░-Seite auszulassen und die ihr
  309. anliegenden Winkel durch ihre Komplemente,
  310. der gegenⁿberliegende durch sein
  311. Supplement zu ersetzen
  312. #Viereck
  313. ºViereck
  314. {3015
  315.  
  316. #
  317. $8e,f  Diagonale
  318. $8$a,$b,$g,$d  Innenwinkel
  319. $e ... Winkel zwischen e und f
  320. Innenwinkelsumme     $a + $b + $g + $d = 360░    
  321. Umfang                       u = a + b + c + d
  322. Halbumfang                     s = u / 2
  323. FlΣcheninhalt
  324.    A = e * f * sin $e =
  325.       = $╓( (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd cos▓[($a+$g)/2] )
  326.       = $╓( (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd cos▓[($b+$d)/2] ) 
  327. *
  328. #Spezielle Vierecke
  329. Quadrat$2A = a▓      u = 4a
  330. $4e = f = $╓2 * a, e $^ f
  331. Rechteck$2A = a*b    u = 2(a+b)    e = f = $╓(a▓+b▓)
  332. $4$a = $b = $g = $d = 90░
  333. &Parallelogramm (h ... H÷he auf a)
  334. ºParallelogramm
  335. {3019
  336. $9A = a*h
  337. $9   = ab sin $a
  338. $9u = 2(a+b)
  339. $3$a = $g, $b = $d, $a+$b = $a + $d = 180░
  340. $3e▓ + f▓ = 2 ( a▓ + b▓ )
  341. Diaogonalen halbieren einander
  342. Rhombus (a=b=c=d, a||c, b|| d, e $^ f)
  343. $3A = ef/2 = a▓ * sin $a
  344. $3e▓ + f▓ = 4 a▓
  345. Trapez (a || c)
  346. {3054
  347. $7m = (a+c)/2
  348. $7A = h/2 * (a+c) = mh
  349. [8]
  350. &
  351. gleichschenkliges Trapez (b=d)
  352. $2A = (a - d cos $a) * d sin $a
  353. $2A = (c + d cos $a) * d sin $a
  354. Drachenviereck (a=b, c=d, e $^ f)
  355. $2A = ef/2,  u = 2 (a + c)
  356. Tangentenviereck $█ a + c = b + d
  357. Sehnenviereck      $█ $a + $g = $b + $d = 180░
  358. $2a * c + b * d = e * f
  359. $2A = $╓( (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) )
  360. $2e = $╓[ (ac+bd) (bc + ad) / (ab+cd) ]
  361. Radius des Umkreises =
  362. = 1/4 $╓[ (ab+cd) (ac+bd) (bc+ad) / [(s-a) (s-b) (s-c) (s-d)] ]
  363. #RegelmΣ▀ige N-Ecke
  364. ºRegelmΣ▀ige N-Ecke
  365. {3014
  366. $7n ... Eckenzahl
  367. $7s ... SeitenlΣnge
  368. $7r ... Radius des 
  369. $7umbeschriebenen Kreises
  370. $7$r ... Radius des 
  371. $7einbeschriebenen Kreises
  372. *
  373. &
  374. s$-2n$+ ... SeitenlΣnge des 2n-Ecks
  375. $a ... Innenwinkel$1$f ... Zentriwinkel
  376. $a = (2n-4)/n * 90░$1$f = 360/n
  377. SeitenlΣnge$2s = 2 r sin($p/n)
  378. Inkreis$3$r = 1/2 $╓[ 4r▓ - s▓ ] = r cos 180░/n
  379. H÷he$4h = r cos($p/n)
  380. Seite des 2n-Ecks$1s$-2n$+ = $╓[ 2r▓ + r $╓( 4r▓ - s▓ ) ]
  381. FlΣcheninhalt$2A = n/2 * r▓ * sin(2$p/n)
  382. Anzahl der Diagonalen = n (n-3) / 2
  383. #SeitenlΣngen in AbhΣngigkeit von r und n
  384.   n$2SeitenlΣnge s            
  385.   3$2$╓3 r           
  386.   4$2$╓2 r           
  387.   5$2r/2 * $╓[ 10-2 $╓5 ]
  388.   6$2r
  389.   8$2r $╓[ 2 - $╓2 ]
  390.   10$1r/2 * ( $╓5-1 )
  391.   12$1r $╓[ 2- $╓3 ]
  392.   15$1r/2 * $╓[ 7 - $╓5 - $╓( 30 - 6 $╓5 )]
  393.   16$1r $╓[ 2 - $╓( 2 + $╓2 )]
  394. [9]
  395. &
  396.   17$20.367 499 04 r
  397.   20$2r $╓[ 2 - $╓[ (5 + $╓5)/2 ]]
  398.   24$2r $╓[ 2 - $╓( 2 + $╓3 )]    
  399. #FlΣchengr÷▀e in AbhΣngigkeit von r und n
  400.   n$2FlΣcheninhalt            
  401.   3$23/4 r▓ $╓3
  402.   4$22 r▓
  403.   5$25/8 r▓ $╓( 10+2 $╓5 )
  404.   6$23/2 r▓ $╓3
  405.   8$22 r▓ $╓2
  406.   10$25/4 r▓ $╓( 10-2 $╓5)
  407.   12$23 r▓
  408.   15$215/8 r▓ $╓[ 7 + $╓5 - $╓( 30 + 6 $╓5 )]
  409.   16$24 r▓ $╓( 2 - $╓2)
  410.   17$23.0706 r
  411.   20$25/2 r▓ $╓( 6 - 2 $╓5 )
  412.   24$26 r▓ $╓( 2 - $╓3 )   
  413. *
  414. #Inkreisradien $r in AbhΣngigkeit von n
  415.   n$3Inkreisradien $r
  416.   4$3s/2 = r/2 $╓2
  417.   5$3s/10 $╓( 25 + 10 $╓5 ) = r/4 ($╓5 + 1)
  418.   6$3r/2 $╓3
  419.   8$3r/2 $╓( 2 + $╓2 ) = s/2 ($╓2 + 1)
  420.   10$2s/2 $╓(5 + 2$╓5 ) = r/3 $╓( 10 + 2$╓5 )
  421.  
  422. NΣherung fⁿr Seite des regelm. Neunecks (r=1)
  423.   s $╗ (2$╓5 + 1) / 8
  424.  
  425. Darstellung fⁿr den Cosinus des Zentriwinkels des
  426. regelmΣ▀igen 17-Ecks
  427.   = -1/16 + 1/16 $╓17 + 1/16 $╓( 34 - 2 $╓17 ) +
  428.     + 1/8 $╓[ 17 + 3 $╓17 - $╓( 34 - 2 $╓17 ) 
  429.     - 2 $╓( 34 + 2 $╓17 )]
  430. Es sind ausschlie▀lich diejenigen regelmΣ▀igen 
  431. N-Ecke mit Zirkel und Lineal konstruierbar, deren 
  432. ungerade Eckenzahl n ein Produkt Fermatscher 
  433. Primzahlen 2$+2$+k$- $-+1  (alle in 1.Potenz) ist.
  434. Bekannt sind f = 3, 5, 17, 257, 65537
  435. [10]
  436. #Kreis
  437. ºKreis
  438. Geometrischer Ort aller Punkte der Ebene, welche von
  439. einem festen Mittelpunkt konstanten Abstand haben.
  440.  
  441. {3016
  442. $8r ... Radius
  443. $8b ... BogenlΣnge
  444. $8$a ... Zentriwinkel
  445. $8s ... Segmentsehne
  446. #
  447. FlΣcheninhalt$1A = $p * r▓
  448. Umfang$2u = 2 $p * r 
  449. Sehne$2s = 2 $╓( 2hr - h▓ ) = 2r sin $a/2
  450. H÷he$3h = r - $╓( r▓ - s▓/4 ) = s/2 * tan $a/4
  451. Kreisbogen$1b / u = $a / (2$p)
  452. ...Schwerpunkt liegt auf der Winkelhalbierenden im
  453.    Abstand rs/b vom Mittelpunkt
  454. Kreissektor$3A = 1/2 b * r 
  455. ...Schwerpunkt liegt auf der Symmetrieachse im
  456.    Abstand 2/3 * rs/b vom Mittelpunkt
  457. *
  458. &
  459. Kreissegment$2A = 1/2 [ br - s(r-h) ]
  460. Kreisring (r...innerer, R...Σu▀erer Radius)
  461. FlΣcheninhalt$2A = $p ( R▓ - r▓ )
  462. {3020
  463.  
  464. #
  465. $9Arbelos
  466. FlΣcheninhalt    A = $p/4 * q * (2r - q)
  467. {3021
  468.  
  469. #
  470. #
  471. #
  472. M÷ndchen des Hippokrates
  473. ºM÷ndchen des Hippokrates
  474. Die Summe der FlΣcheninhalte der M÷ndchen ist 
  475. gleich dem FlΣcheninhalt des Dreiecks.
  476. [11]
  477. #Winkel am Kreis
  478. ºWinkel am Kreis
  479. Peripheriewinkelsatz    $b = 2$a
  480. Sehnentangentenwinkel   $g = $a       
  481. Thales-Satz: Der Peripheriewinkel ⁿber dem 
  482. ºThales-Satz
  483. Durchmesser ist ein rechter Winkel.
  484. {3012
  485.  
  486. $6$a ... Zentriwinkel
  487. $6$b ... Peripheriewinkel
  488.  
  489. Tangente und Berⁿhrungsradius sind senkrecht
  490. zueinander
  491. {3011
  492. #
  493. #
  494. Sehnensatz             PB * PC = PA * PD
  495. Sekantensatz          SA * SB = SC * SD
  496. Tangentensatz        SA * SB = ST▓
  497. *
  498. #Ellipse
  499. ºEllipse
  500. a ... gro▀e Halbachse, b ... kleine Halbachse
  501. e ... lineare ExzentrizitΣt
  502. {3017
  503. #
  504. #
  505. a = AM,  b = CM,  e = FM = $╓( a▓-b▓ )
  506. FlΣcheninhalt             A = $p * a * b
  507. Umfang mit   $l = (a-b) / (a+b)
  508. $1u = 2$pa [1 -(e/2)▓ - [ (1*3*e▓) / (2*4) ]▓ /3 - ... ]
  509. $1u = $p(a+b) * [ 1 + $l$+2$-/4 + $l$+4$-/64 + $l$+6$-/256 + ... ]
  510. NΣherungsformeln
  511. $1u = 3/2 * (a+b) - $╓(a*b)
  512. $1u = $p * (a+b) * (64 - 3$l$+4$-) / (64 - 16$l$+2$- )
  513. Sektor AXM, x ... Entfernung M bis Lotpunkt von X
  514. $1A = ab/2 * arccos (x/a)
  515. Segment AXY, y = XY/2
  516. $1A = ab * arccos (x/a) - xy
  517. [12]
  518. #K÷rper
  519. ºK÷rper
  520. &Eulerscher Polyedersatz
  521. ºEulerscher Polyedersatz
  522. Ist e die Anzahl der Ecken, f die Anzahl der FlΣchen
  523. und k die Anzahl der Kanten, so ist fⁿr ein konvexes
  524. Polyeder$2e - k + f =2
  525. (konvex ... alle Raumdiagonalen liegen im Innern)
  526. &Satz des Cavalieri
  527. ºSatz des Cavalieri
  528. K÷rper mit gleichen H÷hen haben gleiches Volumen, 
  529. wenn die FlΣcheninhalte ihrer Querschnitte fⁿr jedes 
  530. 0 $ú a $ú h ⁿbereinstimmen.
  531. &Guldinsche Regel
  532. ºGuldinsche Regel
  533. Das Volumen eines Rotationsk÷rpers ist gleich dem
  534. Produkt aus dem Inhalt der erzeugenden FlΣche A und
  535. dem Umfang des von ihrem Schwerpunkt beschriebe-
  536. nen Kreises
  537. $1V = 2$pR A = 2$ M$-x$+$2M$-x$+ ... statisches Moment
  538. Die MantelflΣche des Rotationsk÷rpers ist das Produkt
  539. aus der LΣnge des erzeugenden Linienzuges l und dem
  540. Unfang des von seinem Schwerpunkt beschriebenen
  541. Kreises
  542. $1M = 2$p R l
  543. *
  544. #&Quader/Wⁿrfel
  545. {3022
  546. #
  547. $7a,b,c KantenlΣngen
  548. $7e Diagonale
  549.  
  550. Volumen$3V = a * b * c
  551. OberflΣche$2A = 2 ( a*b + a*c + b*c )
  552. MantelflΣche$2M = 2 ( a*c + b*c )
  553. Diagonale$3e = $╓( a▓ + b▓ + c▓ )
  554. &Prisma
  555. ºPrisma
  556. {3037
  557. $5Volumen
  558. $5V = G * h$1G ... GrundflΣche
  559. $5OberflΣche
  560. $5A = 2 * G + M
  561.  
  562. Schief abgeschnittenes 3seitiges gerades Prisma
  563. mit den 3 H÷henkanten a, b und c
  564. $1V = (a + b + c) G/3
  565. [13]
  566. &
  567. RegelmΣ▀iges n-seitiges Prisma
  568. n$2Volumen$2OberflΣche      
  569. 3$2a▓h/4 $╓3$23/2 a▓ $╓3 + 3 ah
  570. 4$22 a▓ h$34 a▓ + 4 ah
  571. 5$25a▓h/8 $╓(10+2$╓5)$15a▓/4 $╓(10+2$╓5) + 5ah
  572. 6$23/2 a▓h $╓3$23a▓ $╓3 + 6 ah
  573. #Pyramide
  574. ºPyramide
  575. {3002
  576. $6Volumen$1V = 1/3 * A * h
  577. $6OberflΣche$1A = G + M
  578. $6Seitenlinie (quadr.Pyramide)
  579. $6s = $╓( h▓ + a▓/2 )
  580. $6Winkel (quadr.Pyramide)
  581. $6$a = arctan ( $╓2 h / a )
  582. tan $a = tan $b / $╓2$2cos $a = $╓2 sin $g/2
  583. Schwerpunkt liegt auf der H÷he im Abstand
  584. h/4 von der GrundflΣche
  585. &RegelmΣ▀ige n-seitige Pyramide
  586. $2tan $a = tan $b cos $p/n
  587. $2cos $a = sin $g/2 / sin $p/n
  588. *
  589. &
  590. n$2Volumen$3OberflΣche      
  591. 3$23/4 a▓h $╓3$3a▓ $╓3
  592. 4$21/3 a▓ h$3a (a + 2h$-s$+)
  593. 5$25a▓h/24 $╓(10+2$╓5)$1
  594. 6$21/2 a▓h $╓3$33a/2 (a$÷3 + 2h$-s$+)
  595. h$-s$+ ... H÷he eines begrenzenden Dreiecks
  596. #&Fⁿr ein beliebiges Tetraeder (siehe Bild) gilt:
  597. {3035
  598. $8| 0$1f▓$1e▓$1a▓$11 |$+
  599. $8| f▓$10$1d▓$1b▓$11 |$+
  600. $5V▓ = 1/288$1| e▓$1d▓$10$1c▓$11 |$+
  601. $8| a▓$1b▓$1c▓$10$11 |$+
  602. $8| 1$11$11$11$10 |
  603. #&Obelisk
  604. Grund- und DeckflΣche sind Rechtecke mit den
  605. Seiten a,b und c,d
  606. Volumen$3V = h [b(2a + c) + d(2c + a)]
  607. [14]
  608. #Pyramidenstumpf
  609. ºPyramidenstumpf
  610. {3003
  611. $7G ... GrundflΣche
  612. $7D ... DeckflΣche
  613. $7h$-s$+ ... H÷he einer
  614. $8SeitenflΣche
  615.  
  616. Volumen$3V = h/3 (G + $╓(G*D) + D)
  617. $5V $╗ h/2 * (G + D)
  618. &Quadratischer Pyramidenstumpf
  619. Volumen$3V = h/3 (a▓ + ab + b▓)
  620. OberflΣche$2A = a▓ + b▓ + 2(a+b) h$-s$+
  621. MantelflΣche$2M = 2(a+b) h$-s$+
  622. Seitenlinie$3s = $╓[ h▓ + ($╓2 a/2 - $╓2 b/2)▓]
  623. Winkel$3$a = arcsin (h/s)
  624. Seitenh÷he$2h$-s$+ = $╓[ s▓ - (a-b)▓/4 ]
  625. &RegelmΣ▀iger dreiseitiger Pyramidenstumpf
  626. Volumen$3V = $╓3/12 h (a▓ + ab + b▓)
  627. OberflΣche$2A = $╓3/4 (a▓+b▓) + 3/2 h$-s$+ (a+b)
  628. MantelflΣche$2M = 3/2 h$-s$+ (a+b)
  629. *
  630. #&RegelmΣ▀iger sechsseitiger Pyramidenstumpf
  631. Volumen$3V = $╓3/2 h (a▓ + ab + b▓)
  632. OberflΣche$3A = 3$╓3/2 (a▓+b▓) + 3 h$-s$+ (a+b)
  633. MantelflΣche$2M = 3 h$-s$+ (a+b)
  634. {3032
  635. &$7Keil
  636. $7Volumen
  637. $7V = 1/6 b h (2a + c)
  638.  
  639. #Zylinder
  640. ºZylinder
  641. Volumen$3V = $p r▓ h
  642. OberflΣche$3A = 2 $p r▓ + 2 $p r h
  643. MantelfΣche$2M = 2 $p r h
  644. {3029
  645. #
  646. #
  647. $5Hohlzylinder (R > r)
  648. [15]
  649. &
  650. Volumen$3V = $p h (R▓ - r▓)
  651. OberflΣche$2A= 2 $p h (R+r) + 2 $p (R▓ - r▓)
  652. MantelflΣche$2M = 2 $p h (R+r)
  653. {3030
  654. $5SchrΣg abgeschnittener
  655. $5Kreiszylinder
  656.  
  657. $5Volumen$1V = $p r▓ (h + H)/2
  658. OberflΣche$2A = $p r [h + H + r + $╓[r▓ + (H-h)▓/4 ]]
  659. MantelflΣche$2M = $p r (h + H)
  660. Schnittwinkel zur Ebene$1$a = arctan [(H-h)/(2r)]
  661. {3031
  662. $6 Zylinderhuf (-abschnitt)
  663. $6 $a = $f / 2
  664. #
  665. Volumen$2V = h [a (3r▓ - a▓) + 3r▓ (b - r) $a] / (3b)
  666. $4= h r│ [sin $a - (sin│ $a)/3 - $a cos $a] / b
  667. MantelflΣche$1M = 2 r h [(b - r) $a + a] / b
  668. Fⁿr a=b=r
  669. V = 2r▓h/3,  M = 2rh,  A = M + $pr▓/2 + $pr/2 $╓(r▓+h▓)
  670. *
  671. #Kreiskegel
  672. ºKreiskegel
  673. {3004
  674. $6Volumen$1V = $p/3 r▓ h
  675. $6OberflΣche$1A = $p r (r + s)
  676. $6MantelflΣche$1M = $p r s
  677. $6Seitenlinie$1s = $╓( r▓ + h▓ )
  678. $6Winkel$2$a = arcsin (h/s)
  679. #Kegelstumpf
  680. {3005
  681. $6Volumen
  682. $6V = $p/3 h (r▓ + R▓ + r*R)
  683. $6OberflΣche
  684. $6A = $p (r▓ + R▓) + $p s (r + R)
  685. MantelflΣche$3M = $p s (r + R)
  686. Seitenlinie$4s = $╓[ (R - r)▓ + h▓ ]
  687. Winkel$4$a = arcsin (h/s)
  688. NΣherung, falls G $╗ D$1V $╗ $p/2 h (R▓ + r▓)
  689. Schwerpunkt liegt auf der Achse im Abstand
  690. $1h/4 * (R▓ + 2rR + 3r▓) / (R▓ + rR + r▓)
  691. von der GrundflΣche
  692. [16]
  693. #Kugel
  694. ºKugel
  695. {3027
  696.  
  697. $6Volumen$1V = 4$p/3 r│
  698. $6OberflΣche$1A = 4$p r▓
  699. #
  700. &Kugelsegment (...abschnitt)
  701. Volumen$3V = $p/3 h▓ (3 r - h)
  702. $5V = $p/6 h (3$r▓ + h▓)
  703. OberflΣche$2A = $p h (4 r - h) = $p (2$r▓ + h▓)
  704. Kreisradius$2$r = $╓[ h (2 r - h) ]
  705. &Kugelkappe
  706. OberflΣche$2A = 2$p r h = $p ($r▓ + h▓)
  707.  
  708. &Kugelsektor (...ausschnitt)
  709. Volumen$3V = 2$p/3 r▓ h
  710. OberflΣche$2A = $p $r r + 2 $p r h
  711. $5A = $pr (2h + $╓[ h (2r - h) ] )
  712. Kegelmantel$2M = $p $r h
  713. *
  714. #Kugelzone (...schicht)
  715. {3028
  716. $7Volumen
  717. $7V = $p/6 h (3r▓ + 3R▓ + h▓)
  718. $7OberflΣche
  719. $7A = $p (2$rh + r▓ + R▓)
  720.  
  721. MantelflΣche$1M = 2$p $r h
  722. Radius$3$r▓ = R▓ + (R▓ - r▓ - h▓)▓ / (2h)▓
  723. &Einbeschriebener Kegelstumpf
  724. Volumen$2V = $p/6 h (3r▓ + 3R▓ + h▓) - $p/6 h l▓
  725. mit$4l = $╓[ h▓ + (R-r)▓ ]
  726. #Torus
  727. ºTorus
  728. {3033
  729.  
  730. $6Volumen$1V = 2$p▓ R r▓
  731. $6OberflΣche$1A = 4$p▓ R r
  732. [17]
  733. #Ellipsoid
  734. ºEllipsoid
  735. {3038
  736. $6Volumen$1V = 4/3 $p a b c
  737. $6Rotationsellipsoid (b=c)
  738. $6Volumen$1V = 4/3 $p a b▓
  739. $6Rotationsellipsoid (a=c)
  740. $6Volumen$1V = 4/3 $p a▓ b
  741. &Paraboloid
  742. ºParaboloid
  743. {3039
  744. $6Volumen$1V = $p/2 a b h
  745. $6Rotationsparaboloid
  746. $6Volumen$1V = $p/2 r▓ h
  747. $6Schwerpunkt S liegt auf der 
  748. $6Achse im Abstand 2/3 h 
  749. $6vom Scheitel
  750. #&Abgestumpftes Rotationsparaboloid
  751. Grund- und DeckflΣche parallele Kreise
  752. $1V = $p/2 h (r▓ + R▓)
  753. *
  754. #&Rotationshyperboloid
  755. ºHyperboloid
  756. Grund- und DeckflΣche parallele Kreise
  757. a, b ... Halbachsen
  758. einschalig$2V = $p/3 h (2a▓ + r▓)
  759. zweischalig$2V = $p/3 h (3 $r▓ - b▓h▓/a▓)
  760. #Tonne (Fa▀)
  761. Grund- und DeckflΣche parallele Kreise
  762. {3034
  763. $5Kreistonnenk÷rper
  764. $5Volumen
  765. $6V $╗ 0.262 h (2D▓ + d▓)
  766. $6V $╗ 0.0873 h (2D + d)▓
  767. SphΣrische und elliptische Krⁿmmung
  768. Volumen$2V = $p h (2D▓ + d▓) /12
  769. Parabolische Krⁿmmung
  770. Volumen$2V = $p h (2D▓ + Dd + 3d▓/4) /15
  771. $4V $╗ 0.05236 h (8D▓ + 4 Dd + 3d▓)
  772. [18]
  773. #Platonische K÷rper
  774. ºPlatonische K÷rper
  775. ... haben kongruente regulΣre Vielecke als Seiten-
  776. flΣchen. Es existieren im R$+3$- 5 derartige K÷rper.
  777. $4Kanten$2Ecken$2FlΣchen
  778. Tetraeder$26$34$34
  779. Hexaeder$212$38$36
  780. Oktaeder$212$36$38
  781. Ikosaeder$230$312$320
  782. Dodekaeder$130$320$312
  783. #&RegelmΣ▀iges Tetraeder
  784. {3023
  785. $5 ... besteht aus 4 Dreiecken
  786. $5Volumen$2V = a│/12 $╓2
  787. $5OberflΣche$2A = a▓ $╓3
  788. $5GrundflΣche$1G = a▓/4 $╓3
  789. H÷he$4h = a/3 $╓6 2 $╗ 0.8165 a
  790. Seitenh÷he$2s = a/2 $╓3 $╗ 0.8660 a
  791. Umkugelradius$1r$-u$+ = a/4 $╓6
  792. Mittelkugelradius$1r$-m$+ = a/2 $╓3
  793. Inkugelradius$2r$-i$+ = a/12 $╓6
  794. *
  795.  
  796. FlΣchenwinkel$3$f = 70░32'44"
  797. SchlΣfli-Symbol$3{ 3 ; 3 }
  798. {3096
  799. &$5Volumen
  800. $5 * 1/6 = V, Punktkoordinaten a,b,c
  801. #&Hexaeder = Wⁿrfel
  802. Umkugelradius$3r$-u$+ = a/2 $╓3
  803. Mittelkugelradius$2r$-m$+ = a/2 $╓2
  804. Inkugelradius$3r$-i$+ = a/2
  805. FlΣchenwinkel$3$f = 90░
  806. SchlΣfli-Symbol$3{ 4 ; 3 }
  807. #&RegelmΣ▀iges Oktaeder
  808. {3024
  809. $6 ... besteht aus 8 Dreiecken
  810.  
  811. $6Volumen$1V = a│/3 $╓2
  812. $6OberflΣche$1A = 2 a▓ $╓3
  813. $6H÷he$2h = a/2 $╓2
  814. $6Seitenh÷he$1s = a/2 $╓3
  815. [19]
  816. &
  817. Umkugelradius$2r$-u$+ = a/2 $╓2
  818. Mittelkugelradius$2r$-m$+ = a/2
  819. Inkugelradius$3r$-i$+ = a/6 $╓6
  820. FlΣchenwinkel$3$f = 109░28'14"
  821. SchlΣfli-Symbol$2{ 3 ; 4 }
  822. #&Ikosaeder
  823. {3025
  824. $6 ... besteht aus 20 Dreiecken
  825.  
  826. $7Volumen
  827. $7V = 5/12 a│ (3 + $╓5)
  828. $7OberflΣche
  829. $7A = 5a▓ $╓3
  830. Umkugelradius$2r$-u$+ = a/4 $╓( 10 + 2$╓5 )
  831. Mittelkugelradius$2r$-m$+ = a/4 $╓( 6 + 2$╓5 )
  832. Inkugelradius$3r$-i$+ = a/12 (3 + $╓5) $╓3
  833. FlΣchenwinkel$3$f = 116░35' 5"
  834. SchlΣfli-Symbol$2{ 3 ; 5 }
  835. *
  836. #&Dodekaeder
  837. {3026
  838. $6 ... besteht aus 12 Fⁿnfecken
  839.  
  840. $7Volumen
  841. $7V = 1/4 a│ (15 + 7$╓5)
  842. $7OberflΣche
  843. $7A = 3a▓ $╓( 25 + 10$╓5 ]
  844. Umkugelradius$3r$-u$+ = a/4 (1 + $╓5) $╓3
  845. Mittelkugelradius$2r$-m$+ = a/4 (3 + $╓5)
  846. Inkugelradius$3r$-i$+ = a/20 $╓[ 10 (25 + 11$╓5) ]
  847. FlΣchenwinkel$3$f = 138░11'26"
  848. SchlΣfli-Symbol$3{ 5 ; 3 }
  849. [20]
  850. #Archimedische K÷rper
  851. ºArchimedische K÷rper
  852. Es existieren genau 13 halbregulΣre konvexe Polyeder,
  853. welche von mindestens 2 und h÷chstens 3 verschiede-
  854. nen kongruenten N-Ecken begrenzt werden.
  855.  
  856. K÷rper$2an einer Ecke zusammentr. N-Ecke
  857. 1 abgest.Tetraeder$36$13$16
  858. 2 abgest.Hexader$48$13$18
  859. 3 abgest.Dodekeader$310$13$110
  860. 4 abgest.Oktaeder$46$14$16
  861. 5 abgest.Kuboktaeder$38$14$16
  862. 6 abgest.Ikosidodekaeder$210$14$16
  863. 7 "Fu▀ball"$55$16$16
  864. 8 Kuboktaeder$43$14$13$14
  865. 9 Ikosidodekaeder$43$15$13$15
  866. 10 Rhombenkuboktaeder$24$13$14$14
  867. 11 Rhombenikosidodekaeder$15$14$13$14
  868. 12 abgeschr.Hexader$33$13$13$13$14
  869. 13 abgeschr.Dodekaeder$23$13$13$13$15
  870.  
  871. abgest. ... abgestumpft / abgesch. ... abgeschrΣgt
  872. *
  873. #RegelmΣ▀ige Polytope im 4-dimens.Raum
  874. ºRegelmΣ▀ige Polytope
  875. Im vier-dimensionalen Raum existieren 6 regulΣre 
  876. Polytope, welche von 3-dimensionalen regulΣren 
  877. Polyedern begrenzt werden.
  878.  
  879. Polytop$3SchlΣfli-Symbol
  880. Simplex$33, 3, 3$25 Tetraeder
  881. Hyperwⁿrfel$24, 3, 3$28 Wⁿrfel
  882. 24-Zell$43, 4, 3$224 Oktaeder
  883. 120-Zell$35, 3, 3$2120 Dodekaeder
  884. 16-Zell$43, 3, 4$216 Tetraeder
  885. 600-Zell$33, 3, 5$2600 Tetraeder
  886. #&RegelmΣ▀ige Polytope im R$+n$-, n>4
  887. (n+1)-Zell$2begrenzt von n+1 n-Zelle
  888. 2n-Zell$3begrenzt von 2n (2n-2)-Zelle
  889. 2$+n$--Zell$3begrenzt von 2$+n$- n-Zelle
  890. [21]
  891. #Analytische Geometrie der Ebene
  892. ºAnalytische Geometrie der Ebene
  893. &Koordinatensysteme
  894. ºKoordinatensysteme
  895. {3067
  896. $7kartesisch 
  897. $7Koordinaten von P: x,y
  898. $70...Koordinatenursprung
  899.  
  900. Polarkoordinaten
  901. $1r ... Radius$1$f ... Polarwinkel, Phase, Anomalie
  902. &Koordinatentransformation
  903. $1x = r cos $f$2y = r sin $f
  904. $1r = $╓( x▓+y▓ )$2cos $f = x / r, sin $f = y/r
  905. &Parallelverschiebung (Translation) kartesischer K.
  906. x,y ... Koordinaten im ursprⁿnglichen System
  907. x',y' ... Koordinaten im neuen System
  908. $1x = x' + c$2y = y' + d
  909. &Drehung (Rotation) um (0;0) mit Winkel $f
  910. $1x = x cos $f - y' sin $f
  911. $1y = x' sin $f + y' cos $f
  912. $1x' = x cos $f + y sin $f
  913. $1y' = - x sin $f + y cos $f
  914. *
  915. #&Schiefwinkliges Koordinatensystem
  916. x,y...Koordinaten im rechtwinkligen System
  917. x',y'...Koordinaten im schiefwinkligen System
  918. $f$-1$+...Winkel zwischen x- und x'-Achse
  919. $f$-2$+...Winkel zwischen y- und y'-Achse
  920. $1x = x' cos $f$-1$+ + y' cos $f$-2$+
  921. $1y = x' sin $f$-1$+ + y' sin $f$-2$+
  922. $1x' = (-x sin $f$-2$+ + y cos $f$-2$+) / sin($f$-1$+ - $f$-2$+)
  923. $1y' = (x sin $f$-1$+ + y cos $f$-1$+) / sin($f$-1$+ - $f$-2$+)
  924. #Strecke / TeilverhΣltnis
  925. ºTeilverhΣltnis
  926. LΣnge einer Strecke
  927. $1s = $╓[ (x$-2$+ - x$-1$+)▓ + (y$-2$+ - y$-1$+)▓ ]
  928. Teilung einer Strecke P$-1$+P$-2$+ im VerhΣltnis $l im 
  929. Teilpunkt T(x$-t$+,y$-t$+)
  930. $1x$-t$+ = (x$-1$+ + $l x$-2$+) / (1 + $l)
  931. $1y$-t$+ = (y$-1$+ + $l y$-2$+) / (1 + $l)
  932. $l > 0 innerer ..., $l < 0 Σu▀erer Teilpunkt
  933. Mittelpunkt$1x$-m$+ = (x$-1$+ + x$-2$+) / 2$1y$-m$+ = (y$-1$+ + y$-2$+) / 2
  934. Entfernung P$-1$+P$-2$+ in Polarkoordinaten
  935. $1e = $╓[r$-1$+▓ + r$-2$+▓ - 2 r$-1$+r$-2$+ cos ($f$-2$+ - $f$-1$+) ]
  936. [22]
  937. #&DreiecksflΣche P$-1$+P$-2$+P$-3$+
  938. $12A = x$-1$+ (y$-2$+ - y$-3$+) + x$-2$+ (y$-3$+ - y$-1$+) + x$-3$+ (y$-1$+ - y$-2$+)
  939. #Geradengleichungen
  940. ºGeradengleichungen
  941. {3068
  942. $7Kartesische Normalform
  943. $7y = mx + n
  944. $7Anstieg m = tan $a
  945. Punktrichtungsgleichung durch P$-0$+
  946. $1y - y$-0$+ = m ( x - x$-0$+ )
  947. Zweipunktegleichung durch P$-1$+ und P$-2$+
  948. $1( y - y$-1$+) ( x$-2$+ - x$-1$+ ) = ( x - x$-1$+) ( y$-2$+ - y$-1$+ )
  949. Achsenabschnittsgleichung
  950. $1x / a + y / b = 1
  951. Allgemeine Form$2Ax + By + C = 0
  952. &Hessesche Normalenform
  953. ºHessesche Geradengleichung
  954. $1x * cos $f + y * sin $f - p = 0
  955. p ... Abstand der Geraden vom Ursprung 0
  956. $f ... Winkel zwischen positiver x-Achse und Lot p
  957. $1cos $f = A / $╓( A▓ + B▓ )$1sin $f = B / $╓( A▓ + B▓ )
  958. $1p = C / $╓( A▓ + B▓ )
  959. *
  960.  
  961. $1(Ax + BY + C) / ▒ $╓(A▓ + B▓) = 0
  962. Vorzeichen so wΣhlen, da▀ Absolutglied auf der linken
  963. Seite negativ wird
  964. &Gerade in Polarkoordinaten
  965. $1r = p / cos($a - $f), g nicht durch Pol
  966. &Abstand eines Punktes von einer Geraden
  967. $1d = x$-1$+ * cos $f + y$-1$+ sin $f - p =
  968. $1  = (Ax$-1$+ + By$-1$+ + C) / $╓( A▓ + B▓ )
  969. &Lagebeziehung zweier Geraden
  970. ºLagebeziehung zweier Geraden
  971. $1g: y = m$-1$+x + n$-1$+$1h: y = m$-2$+x + n$-2$+
  972. Schnittwinkel $y:$1tan $y = ( m$-2$+ - m$-1$+ ) / ( 1 + m$-1$+ m$-2$+ )
  973. $1g || h $▐ m$-1$+ = m$-2$+
  974. $1g $^ h $▐ m$-1$+ = -1 / m$-2$+
  975. Spezielle Geraden
  976. $1durch den Ursprung ... y = mx
  977. $1parallel zur x-Achse ... y = b
  978. $1parallel zur y-Achse ... x = a
  979. &Winkelhalbierende zweier Geraden
  980. g : a x + b y + c = 0
  981. h : d x + e y + f = 0
  982. $1(ax+by+c) / ▒$╓(a▓+b▓) ▒ (dx+ey+f) / ▒$╓(d▓+e▓) = 0
  983. [23]
  984. &
  985. g : x cos $a + y sin $a - p = 0
  986. h : x cos $b + y sin $b - q = 0
  987. $1x (cos $a ▒ cos $b) + y (sin $a ▒ sin $b) - (p ▒ q) = 0
  988. #Kegelschnitte
  989. ºKegelschnitte
  990. &Kurven 2.Ordnung
  991. ºKurven 2.Ordnung
  992. $1a x▓ + 2b x y + c y▓ + 2d x + 2e y + f = 0
  993. {3089
  994. $6Schnitt eines Doppelkegels mit
  995. $6einer Ebene
  996. $6Neigungswinkel der Seitenlinie
  997. $6des Kegels $f
  998. #
  999. Ellipse$1$f < $a $ú 180░$1Kreis$1$a = 90░
  1000. Parabel$1$a = $f$3Hyperbel$10 $ú $a < $f
  1001. Bei Schnitt durch Spitze entstehen
  1002. $1Punkt, Gerade bzw. Geradenpaar
  1003. *
  1004. #Ellipse
  1005. ºEllipse (analytisch)
  1006. ... Menge aller der Punkte einer Ebene, deren Entfer-
  1007. nungen von zwei festen Punkten; den Brennpunkten 
  1008. F$-1$+, F$-2$+; konstant gr÷▀er F$-1$+F$-2$+ = 2e ist.
  1009. M...Mittelpunkt; A,B...Hauptscheitel
  1010. AB = 2a ... Hauptachse; a ... gro▀e Halbachse
  1011. CD = 2b ... Nebenachse; b...kleine Halbachse
  1012. {3121,25
  1013. #
  1014. #
  1015. lineare ExzentrizitΣt$3e = $╓( a▓ - b▓ )
  1016. numerische ExzentrizitΣt$2$e = e/a < 1
  1017. Brennpunkte$4F$-1/2$+ (▒e ; 0)
  1018. Parameter$5p = b▓ / a
  1019. Mittelpunktsgleichung (parallel zu Achsen)
  1020. M(0;0)$3x▓/a▓ + y▓/b▓ = 1
  1021. M(c,d)$3(x-c)▓/a▓ + (y-d)▓/b▓ = 1
  1022. Parameterform
  1023. M(0;0)$3x = a cos t$2y = b sin t
  1024. [24]
  1025. &
  1026. M(c;d)$3x = a cos t + c$1y = b sin t + d
  1027. t ... exzentrische Anomalie
  1028. Scheitelgleichung M(a;0)$1y▓ = 2 p x - p/a x▓
  1029. #&Allgemeine Gleichung Kurve 2.Ordnung
  1030. Ellipsenbedingung (achsparallel)
  1031. $1sgn a = sgn c und b = 0 und a<>c
  1032. #&Ellipse in Polarkoordinaten
  1033. F$-1$+ = Pol$2r = p / (1 - $e cos $f)
  1034. M = Pol$2r▓ = b▓ / (1 - $e▓ cos▓ $f)
  1035. &LΣnge der Brennstrahlen PF$-1$+ und PF$-2$+
  1036. $1PF$-1$+ = a + $e x$1PF$-2$+ = a - $e x
  1037. &Schnitt der Gerade y=mx+n mit einer Ellipse 
  1038. in Mittelpunktslage
  1039. x$-1;2$+ = - (a▓mn)/(b▓+a▓m▓) ▒ ab/(b▓+a▓m▓) $╓[ a▓m▓ + b▓ - n▓]
  1040. y$-1;2$+ = b▓n▓/(b▓+a▓m▓) ▒ abm/(b▓+a▓m▓) $╓[ a▓m▓ + b▓ - n▓]
  1041. Diskriminante D = a▓m▓ + b▓ - n▓
  1042. D>0 ... Ellipse wird von der Geraden geschnitten
  1043. D=0 ... Ellipse wird von der Geraden berⁿhrt
  1044. D<0 ... Ellipse wird von der Geraden gemieden
  1045. *
  1046. #&Tangente und Normale fⁿr Mittelpunktslage M(0;0)
  1047. Tangente in P$2xx$-1$+/a▓ + yy$-1$+/b▓ = 1
  1048. TangentenlΣnge (bis zum Schnitt mit x-Achse)
  1049. $1t = $╓[ y$-1$+▓ + (a▓ / x$-1$+ - x$-1$+)▓ ]
  1050. Normale in P$2y-y$-1$+ = a▓y$-1$+ (x-x$-1$+) / (b▓x$-1$+)
  1051. NormalenlΣnge$1n = b $╓( a$+4$- - e▓x$-1$+▓ ) / a▓
  1052. Subtangente (Projektion auf x-Achse)
  1053. $1s$-t$+ = | a▓ / x$-1$+ - x$-1$+ |
  1054. Subnormale
  1055. $1s$-n$+ = | b▓ x$-1$+ / a▓ |
  1056. &Tangente und Normale fⁿr Mittelpunkt M(c;d)
  1057. Tangente$1(x - c)(x$-1$+ - c) / a▓ + (y - d)(y$-1$+ - d) / b▓ = 1
  1058. Normale$1y - y$-1$+ = a▓(y$-1$+ - d) / [b▓(x$-1$+ - c)] (x - x$-1$+)
  1059. &Durchmesser der Ellipse
  1060. m ... Richtungsfaktor der zugeordneten parallelen 
  1061. Sehnen, welche vom Durchmesser halbiert werden
  1062. $1y = - b▓x/ (a▓m) 
  1063. &Krⁿmmungsradius $r und Krⁿmmungsmittelpunkt M($x,$h)
  1064. bei Mittelpunktslage M(0;0)
  1065. im Punkt P$-0$+
  1066. $1$r = 1/(ab)$+4$- $╓[ (a$+4$-y$-0$+▓ + b$+4$-x$-0$+▓)│ ]
  1067. [25]
  1068. &
  1069. $1$x = e▓ x$-0$+│ / a$+4$-
  1070. $1$h = - e▓ y$-0$+│ / b$+4$- = - $e│ a▓ y$-0$+│ / b$+4$-
  1071. im Hauptscheitel A(-a;0)
  1072. $1$r = b▓/a = p$2$x = e▓/a$1$h = 0
  1073. im Nebenscheitel D(0,-b)
  1074. $1$r = a▓/b$2$x = 0$2$h = e▓/b
  1075. Hauptkreis der Ellipse$1x▓ + y▓ = a▓
  1076. Nebenkreis der Ellipse$1x▓ + y▓ = b▓
  1077. &Evolute der Ellipse
  1078. $1(ax / e▓)$+2/3$- + (by / e▓)$+2/3$- = 1 ... Astroide
  1079. #Kreis
  1080. ºKreis (analytisch)
  1081. Mittelpunktsgleichung$1x▓ + y▓ = r▓
  1082. Parameterform$3x = r cos t$1y = r sin t
  1083. Allgemeine Kreisgleichung M(c;d)
  1084. $1(x - c)▓ + (y - d)▓ = r▓
  1085. Parameterform$2x = r cos t + c$1y = r sin t + d
  1086. Scheitelgleichung M(r;0)$1y▓ = 2rx - x▓
  1087. Allgemeine Gleichung 2.Grades
  1088. Kreisgleichungsbedingung
  1089. $1a= c und b = 0 und d▓ + e▓ - af > 0
  1090. *
  1091.  
  1092. $1$▐ Kreisgleichung ax▓ + cy▓ + 2dx + 2ey + f = 0
  1093. $1$▐ Mittelpunkt M (-d/a ; -e/a )
  1094. $1$▐ Radius r = 1/a $╓( d▓ + e▓ - af )
  1095. &Kreis in Polarkoordinaten
  1096. M(r$-0$+,$f$-0$+)$2r▓ - 2r r$-0$+ cos($f - $f$-0$+) + r$-0$+▓ = R▓
  1097. M(0,0)$2r = R
  1098. M(R,0)$2r = 2 R cos $f
  1099. M(R,$f$-0$+)$2r = 2 R cos($f - $f$-0$+)
  1100. M(r$-0$+,0)$2R▓ = r▓ - 2r r$-0$+ cos $f + r$-0$+▓
  1101. &Schnittpunkt Kreis-Gerade
  1102. y = mx + n und x▓ + y▓ = r▓
  1103. $1x$-1;2$+ = -nm/(1+m▓) ▒ $╓[ r▓(1+m▓) - n▓ ]/(1+m▓) 
  1104. $1y$-1;2$+ = n/(1+m▓) ▒ m $╓[ r▓(1+m▓) - n▓ ]/(1+m▓) 
  1105. Radikand r▓(1+m▓) - n▓ = Diskriminante D
  1106. D>0 ... Kreis wird von der Geraden geschnitten
  1107. D=0 ... Kreis wird von der Geraden berⁿhrt
  1108. D<0 ... Kreis wird von der Geraden gemieden
  1109. #&Tangente und Normale fⁿr M(0;0)
  1110. Tangente$3xx$-0$+ + yy$-0$+ = r▓
  1111. Normale$3yx$-0$+ + xy$-0$+ = 0
  1112. [26]
  1113. &
  1114. {3069
  1115. $6TangentenlΣnge
  1116. $6t = | r y$-0$+ / x$-0$+ |
  1117. $6NormalenlΣnge
  1118. $6n = r
  1119.  
  1120. Subtangente$2s$-t$+ = | y$-0$+▓ / x$-0$+ |
  1121. Subnormale$2s$-n$+ = x$-0$+
  1122. &Tangente und Normale fⁿr M(c;d)
  1123. Tangente$3(x-c)(x$-0$+-c) + (y-d)(y$-0$+-d) = r▓
  1124. Normale$3(y-y$-0$+)(x$-0$+-c) = (x-x$-0$+)(y$-0$+-d)
  1125. {3122
  1126. &$8Polare
  1127. ºPolare
  1128. $8Verbindungslinie 
  1129. $8der 
  1130. $6Tangentenberⁿhrungspunkte
  1131. Kreimittelpunkt M(c;d)$1(x-c) (x$-0$+-c) + (y-d) (y$-0$+-d) = r▓
  1132. zur Geraden ax + by + e = 0 als Polare geh÷rt der
  1133. Pol$2P$-0$+ ( -ar▓/e ; - br▓/e )
  1134. &Harmonische Teilung
  1135. $1| P$-3$+S | : | SP$-4$+ | = | P$-3$+P$-0$+ | : | P$-0$+P$-4$+ |
  1136. *
  1137.  
  1138. {3123
  1139. #$6Potenz p an einem Kreis
  1140. $6Mittelpunkt M(c;d)
  1141. $6p = (x$-0$+ - c)▓ + (y$-0$+ - d)▓ - r▓
  1142. Der Punkt P$-0$+ liegt fⁿr
  1143. $1p > 0$1au▀erhalb des Kreises
  1144. $1p = 0$1auf der Kreisperipherie
  1145. $1p < 0$1innerhalb des Kreises
  1146. &Chordale (Potenzlinie) von zwei Kreisen
  1147. $1(x - c$-1$+)▓ + (y - d$-1$+)▓ - r$-1$+▓ = (x - c$-2$+)▓ + (y - d$-2$+)▓ - r$-2$+▓
  1148. &Kreisevolvente
  1149. $1x = r (cos t + t sin t)$1y = r (sin t - t cos t)
  1150. #Parabel
  1151. ºParabel
  1152. ... Menge aller Punkte einer Ebene, die von einem 
  1153. festen Punkt (Brennpunkt) F der Ebene und einer 
  1154. festen Geraden der gleichen Ebene (Leitlinie) l gleichen
  1155. Abstand haben
  1156. Scheitelgleichung (parallel zu Achsen)
  1157. S(0;0)$6y▓ = 2px
  1158. [27]
  1159. &
  1160. Brennpunkt$4F$-1$+ (p/2 ; 0)
  1161. Parameterform$4x = t▓$1y = ▒ k*t
  1162. S(c,d)$6(y-d)▓ = 2p (x.-c)
  1163. numerische ExzentrizitΣt$1$e = 1
  1164. {3124
  1165. $62p...Parameter
  1166. $6S...Scheitelpunkt
  1167. $6F...Brennpunkt, Fokus
  1168. $6l ... Leitlinie, Direktrix
  1169. $6SF = SD = p/2...Brennweite
  1170. $6Tangente in S
  1171. $7...Scheiteltangente
  1172. #&Allgemeine Gleichung bei achsparalleler Lage
  1173. $1(y - d)▓ = 2p (x - c)$2Scheitel S(c;d)
  1174. Parameterform$2x = t▓ + c$1y = ▒ kt + d
  1175. Allgemeine Gleichung 2.Grades
  1176. $1ax▓ + 2b xy + cy▓ + 2d x + 2e y + f = 0
  1177. Bedingung fⁿr achsparallele Parabel
  1178. $1a= 0 und b = 0
  1179. nichtachsparallel $▐ ac - b▓ = 0
  1180. *
  1181. #&GeΣnderte ╓ffnungsrichtung der Parabel
  1182. nach links$2(y - d)▓ = -2 p (x - c)
  1183. nach oben$2(x - c)▓ = 2 p (y - d)
  1184. nach unten$2(x - c)▓ = -2 p (y - d)
  1185. &Parabel in Polarkoordinaten
  1186. Polargleichung$1r = p / (1 - $e cos $f); $e = 1
  1187. Pol = Scheitel$1r = 2p cos $f (1 + cot▓ $f)
  1188. #Schnittpunkt Parabel-Gerade
  1189. fⁿr y▓ = 2px und y = mx+n
  1190. $1x$-1;2$+ = (p - bm)/m▓ ▒ 1/m▓ $╓[ p (p - 2nm) ]
  1191. $1y$-1;2$+ = p/m ▒ 1/m $╓[ p (p - 2nm) ]
  1192. Radikand p (p - 2nm) = D (Diskriminante)
  1193. D > 0$2Parabel wird von der Geraden geschnitten
  1194. D = 0$2Parabel wird von der Geraden berⁿhrt
  1195. D < 0$2Parabel wird von der Geraden gemieden
  1196. #Tangente und Normale
  1197. &fⁿr S(0;0) $█ y▓ = 2px
  1198. Tangente in P$2yy$-1$+ = p (x + x$-1$+)
  1199. Normale in P$2y - y$-1$+ = - y$-1$+/p (x - x$-1$+)
  1200. [28]
  1201. &
  1202. TangentenlΣnge$1t = $╓[ y$-1$+▓ + 4 x$-1$+▓ ]
  1203. NormalenlΣnge$1n = $╓[ y$-1$+▓ + p▓ ]
  1204. Subtangente$2s$-t$+ = 2 x$-1$+
  1205. Subnormale$2s$-n$+ = p
  1206. &fⁿr beliebige achsparallele Lage (y-d)▓ =2p(x-c)
  1207. Tangente in P$2(y-d) (y$-1$+-d) = p (x + x$-1$+ - 2c)
  1208. Normale in P$2p (y - y$-1$+) = - (y$-1$+ - d) (x - x$-1$+)
  1209. &Polare
  1210. fⁿr y▓=2px, P$-0$+ ... Pol$2y y$-0$+ = p (x + x$-0$+)
  1211. &Krⁿmmung
  1212. fⁿr y▓=2px und p$-0$+
  1213. Krⁿmmungsradius$1$r = $╓[ (y$-0$+▓ + p▓)│ ] / p▓
  1214. Krⁿmmungsmittelpunkt$1( 3x$-0$++p ; - y$-0$+│ /p▓ )
  1215. im Scheitel $r =|p| mit Mittelpunkt (p;0)
  1216. Evolute der Parabel y▓ = 2px
  1217. $1y▓ = 8 (x - p)│ / (27 p) ... Neilsche Parabel
  1218. {3125
  1219. $4Parabelsegment
  1220. $4A = | (y$-1$+ - y$-2$+)▓ / (12 p) |
  1221. $4Sehne senkrecht zur Parabelachse
  1222. $4A = 4/3 x$-1$+ y$-1$+
  1223. *
  1224.  
  1225. LΣnge des Parabelbogens OP fⁿr y▓=2px
  1226. $1l = y$-0$+/(2p) $╓( p▓ + y$-0$+▓ ) + p/2 arsinh (y$-0$+/p)
  1227. NΣherung fⁿr kleines x$-0$+/y$-0$+
  1228. $1l $╗ y$-0$+ [1 + 2/3 (x$-0$+/y$-0$+)▓ - 2/5 (x$-0$+/y$-0$+)$+4$- ]
  1229. LΣnge des Brennstrahls
  1230. $1l = x$-0$+ + p/2
  1231. #Hyperbel
  1232. ºHyperbel
  1233. ... ist die Menge der Punkte einer Ebene, deren Entfer-
  1234. nungen von zwei festen Punkten (den Brennpunkten) 
  1235. eine konstante Differenz ergeben
  1236. $1F$-1$+P - PF$-2$+ = const < F$-1$+F$-2$+
  1237. {3126
  1238. $8A,B... Hauptscheitel
  1239. $8C,D... imaginΣre 
  1240. $9Nebenscheitel
  1241. $8AB = 2a reelle Achse
  1242. $8CD = 2b imaginΣre
  1243. $9Achse
  1244. a...gro▀e, b...kleine Halbachse
  1245. lineare ExzentrizitΣt$3e = $╓( a▓ + b▓ )
  1246. [29]
  1247. &
  1248. numerische ExzentrizitΣt$1$e = e/a > 1
  1249. Brennpunkte$4F$-1/2$+ (▒e ; 0)
  1250. Parameter$52p = 2b▓ / a
  1251. Mittelpunktsgleichung (parallel zu Achsen)
  1252. M(0;0)$5x▓/a▓ - y▓/b▓ = 1
  1253. gleichseitige Hyperbel $█ a=b $█ x▓-y▓ = a▓
  1254. Parameterform
  1255. $1x = a / cos t$2y = ▒ b/a $╓(x▓ - a▓)
  1256. $1x = ▒ a cosh t$2y = b sinh t
  1257. M(c,d)$5(x-c)▓/a▓ - (y-d)▓/b▓ = 1
  1258. Scheitelgleichung M(-a;0)$1y▓ = 2px + p/a x▓
  1259. &Allgemeine Gleichung 2.Grades
  1260. $1ax▓ + 2b xy + cy▓ + 2d x + 2e y + f = 0
  1261. Hyperbelbedingung$1sgn a <> sgn c und b=0
  1262. eine Gleichung der Form y = (ax+b)/(cx+d) mit
  1263. ad-bc<>0 und c<>0 stellt eine Hyperbel dar, deren 
  1264. Asymptoten zu den Koordinatenachsen parallel sind
  1265. &Inverse Gleichungen
  1266. $1M(0,0)$2y▓/a▓ - x▓/b▓ = 1
  1267. $1M(0,-a)$2x▓ 0 2py + p/a y▓
  1268. *
  1269. #&Brennstrahlen fⁿr x▓/a▓-y▓/b▓=1
  1270. $1PF$-1$+ = $ex + a$2PF$-2$+ = $ex - a
  1271. &Hyperbelgleichung in Polarkoordinaten
  1272. F$-2$+=Pol$2r = p / (1 - $e cos $f); $e > 1
  1273. M=Pol$2r▓ = b▓ / ($e▓ cos▓ $f - 1)
  1274. #Schnittpunkt Hyperbel-Gerade
  1275. fⁿr x▓/a▓-y▓/b▓=1 und y=mx+n
  1276. $1x$-1;2$+ = a▓mn/(b▓-a▓m▓) ▒ ab/(b▓-a▓m▓) $╓( b▓+n▓-a▓m▓ )
  1277. $1y$-1;2$+ = b▓n/(b▓-a▓m▓) ▒ abm/(b▓-a▓m▓) $╓( b▓+n▓-a▓m▓ )
  1278. Radikand b▓+n▓-a▓m▓ = D (Diskriminante)
  1279. D > 0$2Hyperbel wird von der Geraden geschnitten
  1280. D = 0$2Hyperbel wird von der Geraden berⁿhrt
  1281. D < 0$2Hyperbel wird von der Geraden gemieden
  1282. &Sonderfall fⁿr b▓-a▓m▓ = 0, m<>0 und n<>0
  1283. Gerade schneidet in (- (n▓+b▓)/(2mn) ; (n▓-b▓) / (2n) ) 
  1284. und ist zu einer Asymptote parallel
  1285. &Sonderfall fⁿr b▓-a▓m▓ = 0, m<>0 und n = 0
  1286. Gerade ist Asymptote
  1287. [30]
  1288. #Tangenten und Normalen
  1289. fⁿr x▓/a▓-y▓/b▓ $█ M(0;0)
  1290. Tangente in P$1xx$-1$+/a▓ - yy$-1$+/b▓ = 1
  1291. Normale in P$2y-y$-1$+ = - a▓y$-1$+ (x-x$-1$+) / (b▓x$-1$+)
  1292. TangentenlΣnge$1t = $╓[ y$-1$+▓ + (x$-1$+ - a▓/x$-1$+)▓ ]
  1293. NormalenlΣnge$1n = b/a▓ $╓[ e▓ x$-1$+▓ - a$+4$- ]
  1294. Subtangente$2s$-t$+ = | x$-1$+ - a▓ / x$-1$+ |
  1295. Subnormale$2s$-n$+ = | b▓ x$-1$+/a▓ |
  1296. Asymptoten$2x/a ▒ y/b = 0
  1297. #Allgemeine Gleichung 2.Grades
  1298. ºAllgemeine Gleichung 2.Grades
  1299. ... Kegelschnitte oder Kurven 2.Ordnung/2.Grades
  1300. $1A*x▓ + B*x*y + C*y▓ + D*x + E*y + F = 0 
  1301. fⁿr B=0 $▐ Kurven parallel zu den Koordinatenachsen
  1302. &Hauptachsentransformation
  1303. $1x = x' * cos $a - y' sin $a$2y = x' * sin $a + y' cos $a 
  1304. Drehwinkel $a $▐ Ausrichtung zu den Koordinatenachsen
  1305. $1tan 2$a = B / (A - C)
  1306. &Transformation zur Entfernung der linearen Glieder
  1307. $1x' = x" + g$2y' = y" + h 
  1308. *
  1309. #&Analyse mit N = D▓/A + E▓/C - F
  1310. N>0, A>0 und C>0 bzw. N<0, A<0 und C<0 $▐
  1311. $1$▐ ... Ellipse mit x▓/(N/A) + y▓/(N/C) = 1
  1312. $1$▐ ... Halbachsen $╓(N/A) und $╓(N/C).
  1313. N>0, A*C<0 bzw. N<0, A*C<0 $▐ ... Hyperbel
  1314. AC=0 aber nicht A=C=0 und E<>0 $1$▐ ... Parabel
  1315. #&Analyse fⁿr 
  1316. $1A*x▓ + B*y▓ + 2*C*x*y + 2*D*x + 2*E*y + F = 0 mit
  1317. U = ABF + 2*CBE - BD▓ - FC▓ - AE▓ und V = AB - C▓
  1318. U <> 0 $█ nicht zerfallender Kegelschnitt
  1319. $1V > 0 $█ Ellipse (evtl. imaginΣr)
  1320. $1V = 0 $█ Parabel
  1321. $1V < 0 $█ Hyperbel
  1322. U = 0 $█ zerfallender Kegelschnitt
  1323. $1V > 0 $█ imaginΣres Geradenpaar mit Schnittpunkt
  1324. $1V = 0 $█ paralleles Geradenpaar
  1325. $1V < 0 $█ reelles Geradenpaar mit Schnittpunkt
  1326. [31]
  1327. #FlΣchen 2.Ordnung
  1328. ºFlΣchen 2.Ordnung
  1329. ... Punktmengen des Raumes R│, deren Koordinaten 
  1330. der Gleichung genⁿgen:
  1331. a$-11$+x▓ + a$-22$+y▓ + a$-33$+z▓ + 2a$-12$+xy + 2a$-13$+xz + ...
  1332. $1...+ 2a$-23$+yz + 2a$-1$+x + 2a$-2$+y + 2a$-3$+z + a = 0
  1333. Hauptachsentransformation $▐ Normalform 
  1334. &Normalform 1: b$-1$+x▓ + b$-2$+y▓ + b$-3$+z▓ + c = 0
  1335. &Normalform 2: b$-1$+x▓ + b$-2$+y▓ + m*z + n = 0
  1336. evtl. Umbennen der Variablen notwendig
  1337. &Arten der FlΣchen 2.Ordnung
  1338. - singulΣren Gebilde, Doppelkegel, Zylinder
  1339. - Ebenen (reelle oder nichtreelle Erzeugende)
  1340. #&MittelpunktsflΣchen
  1341. {3038
  1342. $6- Ellipsoid $█ 
  1343. $6alle b$-i$+ > 0 und c < 0
  1344. $6Gleichung 
  1345. $6x▓/a▓ + y▓/b▓ + z▓/c▓ = 1 
  1346.  
  1347. a,b,c Halbachsen, fⁿr a=b=c ... Kugel
  1348. *
  1349.  
  1350. - Hyperboloid $█ ein b$-i$+ < 0
  1351. c<0 ... einschaliges Hyperboloid mit a,b reelle Achsen
  1352. Gleichung x▓/a▓ + y▓/b▓ - z▓/c▓ = 1 
  1353. c>0 ... zweischaliges
  1354. Gleichung x▓/a▓ + y▓/b▓ - z▓/c▓ = -1 
  1355. c=0 ... Doppelkegel.
  1356. - Nullteilige FlΣche 2.Ordnung
  1357. Gleichung - x▓/a▓ - y▓/b▓ - z▓/c▓ = 1
  1358. {3039
  1359. &$6Paraboloide 
  1360. $6- Paraboloid $█ Normalform 2
  1361. $6... elliptisches Paraboloid
  1362. $6 Gleichung 2z = x▓/a▓ + y▓/b▓
  1363. $6- hyperbolisches Paraboloid 
  1364. $6Gleichung 2z = x▓/a▓ - y▓/b▓
  1365. {3130,150
  1366. Hyperbolisches Paraboloid
  1367. [32]
  1368. #&Kegel
  1369. {3131
  1370. $6- Reeller Kegel
  1371. $6x▓/a▓ + y▓/b▓ - z▓/c▓ = 0
  1372.  
  1373. - Kegel ohne reelle Erzeugende
  1374. $6x▓/a▓ + y▓/b▓ + z▓/c▓ = 0
  1375. - Gerader Kreiskegel
  1376. $1x▓ + y▓ - z▓ tan▓ $a = 0; $a halber ╓ffnungswinkel
  1377. #&Zylinder
  1378. Elliptischer Zylinder$3x▓/a▓ + y▓/b▓ - 1 = 0
  1379. Hyperbolischer Zylinder$2x▓/a▓ - y▓/b▓ - 1 = 0
  1380. Nullteiliger elliptischer Zylinder$1x▓/a▓ + y▓/b▓ + 1 = 0
  1381. Parabolischer Zylinder$3y▓ - 2px = 0
  1382. Gerader Kreiszylinder$3x▓ + y▓ + z▓ = r▓
  1383. *
  1384. #Analytische Geometrie des Raumes
  1385. ºAnalytische Geometrie des Raumes
  1386. &Kugelkoordinaten (O;r,$l,$f)
  1387. ºKugelkoordinaten
  1388. LΣngenkoordinate$1-$p <= $l <= $p
  1389. Breitenkoordinate$1-$p/2 <= $f <= $p/2
  1390. Radiusvektor$2r
  1391. Umwandlung zu kartesischen Koordinaten
  1392. $1r = $╓( x▓ + y▓ + z▓ )
  1393. $1x<>0:$2tan $l = y/x
  1394. $1x = 0:$2$l = $p/2 fⁿr y = r
  1395. $1x = 0:$2$l = -$p/2 fⁿr y = -r
  1396. $1tan $f = z / $╓(x▓ + y▓)$2sin $f = z/r
  1397. $1x = r cos $f cos $l$2y = r cos $f sin $l
  1398. $1z = r sin $f
  1399. &Zylinderkoordinaten (O,r,$f,z)
  1400. ºZylinderkoordinaten
  1401. Radiusvektor, Modul, Leitstrahl ... r
  1402. Phase, Polarwinkel, Argument ... $f
  1403. Beziehung zu kartesischen Koordinaten
  1404. $1r = $╓( x▓ + y▓ )
  1405. $1sin $f = y/r$3cos $f = x/r
  1406. $1x = r cos $f$3y = r sin $f
  1407. [33]
  1408. #Geradengleichungen
  1409. ºGeradengleichung
  1410. {3092
  1411.  
  1412. $7Punktrichtungsgleichung
  1413. $7x$+$+$+$=$«$-$-$- = x$-0$+$+$+$+$=$«$-$-$- + t * a$+$+$+$=$«$-$-$-
  1414. $7Zweipunktegleichung
  1415. $7x$+$+$+$=$«$-$-$- = x$-1$+$+$+$+$=$«$-$-$- + t * (x$-2$+$+$+$+$=$«$-$-$- - x$-1$+$+$+$+$=$«$-$-$-)
  1416. allgemeine Gleichung
  1417. $1a$-1$+x + b$-1$+y + c$-1$+z + d$-1$+ = 0, a$-2$+x + b$-2$+y + c$-2$+z + d$-2$+ = 0
  1418. ... Schnitt der zwei Ebenen E$-1$+ und E$-2$+
  1419. #&Spezielle Geraden
  1420. ... parallel zur x,y-Ebene$1y = mx + b , z = c
  1421. ... parallel zur x-Achse$2y = b , z = c
  1422. ... durch den Ursprung$2y = mx , z = nx
  1423. Richtwinkel zwischen der Geraden in 
  1424. allgemeiner Form und den Achsen
  1425. $1cos $a = (b$-1$+c$-1$+ - b$-2$+c$-2$+) / n
  1426. $1cos $b = (a$-2$+c$-1$+ - a$-1$+c$-2$+) / n
  1427. $1cos $g = (a$-1$+b$-2$+ - a$-2$+b$-1$+) / n
  1428. *
  1429. &
  1430. mit n▓ = (b$-1$+c$-2$+ - b$-2$+c$-1$+)▓ + (a$-2$+c$-1$+ - a$-1$+c$-2$+)▓ + (a$-1$+b$-2$+ - b$-1$+a$-2$+)▓
  1431. #&Geradengleichung mit Richtwinkeln
  1432. $1(x - x$-0$+) / cos $a = (y - y$-0$+) / cos $b
  1433. #&Lagebeziehung von Geraden
  1434. $1g: x$+$+$+$=$«$-$-$- = x$-0$+$+$+$+$=$«$-$-$- + t * a$+$+$+$=$«$-$-$-$1h: x$+$+$+$=$«$-$-$- = x$-1$+$+$+$+$=$«$-$-$- + r * b$+$+$+$=$«$-$-$-
  1435. 1. g,h liegen in einer Ebene $█
  1436. $1$█ a$+$+$+$=$«$-$-$-, b$+$+$+$=$«$-$-$- und (x$-1$+$+$+$+$=$«$-$-$- - x$-0$+$+$+$+$=$«$-$-$-) komplanar)
  1437. 1a) ... und g || h $█ a$+$+$+$=$«$-$-$- ist Vielfaches von b$+$+$+$=$«$-$-$-
  1438. 1b) ... g,h schneiden sich in einem Punkt S
  1439. 2. g,h sind windschief $█
  1440. $1$█ a$+$+$+$=$«$-$-$-, b$+$+$+$=$«$-$-$- und (x$-1$+$+$+$+$=$«$-$-$- - x$-0$+$+$+$+$=$«$-$-$-) nicht komplanar)
  1441. #&Abstand eines Punktes P$-1$+ von einer Geraden
  1442. $1d = | a$+$+$+$=$«$-$-$-/|a$+$+$+$=$«$-$-$-|  x (x$-1$+$+$+$+$=$«$-$-$- - x$-0$+$+$+$+$=$«$-$-$-) |
  1443. #&Schnittwinkel zweier Geraden
  1444. $1cos $a = (a$+$+$+$=$«$-$-$- * b$+$+$+$=$«$-$-$-) / ( |a$+$+$+$=$«$-$-$-| |b$+$+$+$=$«$-$-$-| )
  1445. &Abstand windschiefer Geraden
  1446. $1d = | [ (a$+$+$+$=$«$-$-$- x b$+$+$+$=$«$-$-$-) * (x$-1$+$+$+$+$=$«$-$-$- - x$-0$+$+$+$+$=$«$-$-$-) ] / (a$+$+$+$=$«$-$-$- x b$+$+$+$=$«$-$-$-) |
  1447. [34]
  1448. #Ebenengleichung
  1449. ºEbenengleichung
  1450. Ebene durch den Punkt P$-0$+ mit den 
  1451. Richtungsvektoren a$+$+$+$=$«$-$-$-, b$+$+$+$=$«$-$-$-
  1452. $1x$+$+$+$=$«$-$-$- = x$+$+$+$=$«$-$-$-$-0$+ + r a$+$+$+$=$«$-$-$- + s b$+$+$+$=$«$-$-$-
  1453. &Dreipunktegleichung
  1454. ... durch die nicht kollinearen Punkte P$-1$+, P$-2$+ und P$-3$+
  1455. $1x$+$+$+$=$«$-$-$- = x$+$+$+$=$«$-$-$-$-1$+ + r (x$+$+$+$=$«$-$-$-$-2$+ - x$+$+$+$=$«$-$-$-$-1$+) + s (x$+$+$+$=$«$-$-$-$-3$+ - x$+$+$+$=$«$-$-$-$-1$+)
  1456. Punkt-Normalenform
  1457. $1n$+$+$+$=$«$-$-$- * (x$+$+$+$=$«$-$-$- - x$+$+$+$=$«$-$-$-$-0$+) = 0$2n$+$+$+$=$«$-$-$- * x$+$+$+$=$«$-$-$- - d = 0
  1458. $1n$-1$+ x + n$-2$+ y + n$-3$+ z - d = 0 (Koordinatenform)
  1459. Normalenvektor$1n$+$+$+$=$«$-$-$- = (n$-1$+, n$-2$+, n$-3$+)
  1460. #&Hessesche Normalenform
  1461. $1n$+$+$+$=$«$-o$-$- * x$+$+$+$=$«$-$-$- - d / | n$+$+$+$=$«$-$-$- | = 0
  1462. Einheits-Normalenvektor$1n$+$+$+$=$«$-o$-$- = n$+$+$+$=$«$-$-$- / | n$+$+$+$=$«$-$-$- |
  1463. $7| n$+$+$+$=$«$-o$-$- | = 1
  1464. &Allgemeine Gleichung
  1465. $1E: ax + by + cz + d = 0
  1466. SonderfΣlle der Ebene
  1467. d=0 ... geht durch den Ursprung
  1468. a=0 ... parallel zur x-Achse
  1469. *
  1470.  
  1471. a=b=0 ... parallel zur x-y-Ebene
  1472. a=d=0 ... geht durch die x-Achse
  1473. Spezielle Ebenen, z.B. z = 0 ... x-y-Ebene
  1474. &Ebene durch den Punkt P$-0$+
  1475. $1a (x - x$-0$+) + b (y - y$-0$+) + c (z - z$-0$+) = 0
  1476. &Abschnittsform der Ebenengleichung
  1477. $1x / a' + y / b' + z / c' = 0 mit
  1478. $1a' = -d/a; b' = -d/b und c' = -d/c
  1479. &Hessesche Normalenform (2.Form)
  1480. $1x cos $a + y cos $b + z cos $g - p = 0
  1481. p ... Lot vom Ursprung auf die Ebene
  1482. $1(ax + by + cz + d) / ▒$╓(a▓ + b▓ + c▓) = 0
  1483. wobei die Wurzel das entgegengesetzte Vorzeichen 
  1484. von d hat
  1485. #&Richtungskosinus der Ebene
  1486. $1cos $a = -a sgn d / $╓(a▓ + b▓ + c▓)
  1487. $1cos $b = -b sgn d / $╓(a▓ + b▓ + c▓)
  1488. $1cos $g = -c sgn d / $╓(a▓ + b▓ + c▓)
  1489. &Lot vom Ursprung auf die Ebene
  1490. $1p = | d / $╓(a▓ + b▓ + c▓) |
  1491. [35]
  1492. #Abstand d eines Punktes P$-0$+ von der Ebene
  1493. $╖$1d = n$+$+$+$=$«$-o$-$- r$-0$+$+$+$+$=$«$-$-$- - p
  1494. d < 0 ... P$-0$+ und Ursprung auf derselben Seite der Ebene
  1495. d > 0 ... auf verschiedenen Seiten
  1496. $╖$1d = n$+$+$+$=$«$-o$-$- (r$-1$+$+$+$+$=$«$-$-$- - r$-0$+$+$+$+$=$«$-$-$-)
  1497. r$-1$+$+$+$+$=$«$-$-$- ... Ortsvektor zu einem Ebenenpunkt
  1498. $╖$1d' = (ax$-0$+ + by$-0$+ + cz$-0$+ + d) / -$╓(a▓ + b▓ + c▓) * sgn d
  1499. $╖$1d = x$-0$+ cos $a + y$-0$+ cos $b + z$-0$+ cos $g - p
  1500. &Schnittpunkt Gerade / Ebene
  1501. ºSchnittpunkt Gerade / Ebene
  1502. $╖$1g : (x - x$-1$+) / cos $a = (y - y$-1$+) / cos $b und E : E = 0
  1503. $1x$-s$+ = x$-1$+ - t cos $a$2y$-s$+ = y$-1$+ - t cos $b
  1504. $1z$-s$+ = z$-1$+ - t cos $g
  1505. t = (ax$-1$+ +by$-1$+ +cz$-1$+ + d) / (a cos $a +b cos $b +c cos $g)
  1506. a cos $a +b cos $b +c cos $g = 0 $█ g parallel zu E
  1507. $╖$1g : x$+$+$+$=$«$-$-$- = x$-1$+$+$+$+$=$«$-$-$- + t$-0$+ a$+$+$+$=$«$-$-$- und E : n$+$+$+$=$«$-$-$- * x$+$+$+$=$«$-$-$- + d = 0
  1508. $1t$-0$+ = - (d - n$+$+$+$=$«$-$-$- * x$-1$+$+$+$+$=$«$-$-$-) / (n$+$+$+$=$«$-$-$- * a$+$+$+$=$«$-$-$-)
  1509. $1x$-0$+$+$+$+$=$«$-$-$- = x$-1$+$+$+$+$=$«$-$-$- + t$-0$+ a$+$+$+$=$«$-$-$-
  1510. Gerade durch P$-1$+ senkrecht zur Ebene E
  1511. $1(x - x$-1$+) / a = (y - y$-1$+) / b = (z - z$-1$+) / c
  1512. *
  1513. #&Winkel $f zwischen Gerade und Ebene
  1514. $╖$1g : x$+$+$+$=$«$-$-$- = x$-1$+$+$+$+$=$«$-$-$- + t$-0$+ a$+$+$+$=$«$-$-$- und E : n$+$+$+$=$«$-$-$- * x$+$+$+$=$«$-$-$- = n$+$+$+$=$«$-$-$- * x$-0$+$+$+$+$=$«$-$-$-
  1515. $1$f = arcsin | n$+$+$+$=$«$-$-$- * a$+$+$+$=$«$-$-$- / ( | n$+$+$+$=$«$-$-$- | * | a$+$+$+$=$«$-$-$- | ) |
  1516. &Schnittgerade zweier Ebenen
  1517. ºSchnittgerade zweier Ebenen
  1518. $╖$1E$-1$+ : n$-1$+$+$+$+$=$«$-$-$- * x$+$+$+$=$«$-$-$- + d$-1$+ = 0 und E$-2$+ : n$-2$+$+$+$+$=$«$-$-$- * x$+$+$+$=$«$-$-$- + d$-2$+ = 0
  1519. $1x$-1$+$+$+$+$=$«$-$-$- = x$-0$+$+$+$+$=$«$-$-$- + t (n$-1$+$+$+$+$=$«$-$-$- x n$-2$+$+$+$+$=$«$-$-$-)
  1520. &Winkel $f zwischen zwei Ebenen
  1521. $1cos $f = (n$-1$+$+$+$+$=$«$-$-$- * n$-2$+$+$+$+$=$«$-$-$-) / ( | n$-1$+$+$+$+$=$«$-$-$- | | n$-2$+$+$+$+$=$«$-$-$- | )
  1522. &Winkelhalbierende Ebenen zweier Ebenen
  1523. - sgn d$-1$+ (a$-1$+x + b$-1$+y + c$-1$+z + d$-1$+) / $╓(a$-1$+▓ + b$-1$+▓ + c$-1$+▓) ▒
  1524. $1▒ (a$-2$+x + b$-2$+y + c$-2$+z + d$-2$+) / $╓(a$-2$+▓ + b$-2$+▓ + c$-2$+▓) = 0
  1525. #&Schwerpunkt S eines Dreiecks P$-1$+P$-2$+P$-3$+
  1526. $1x$-s$+ = (x$-1$+ + x$-2$+ + x$-3$+) / 3$1y$-s$+ = (y$-1$+ + y$-2$+ + y$-3$+) / 3
  1527. $1z$-s$+ = (z$-1$+ + z$-2$+ + z$-3$+) / 3
  1528. Fⁿr materielle Punkte in den Dreiecksecken
  1529. $1x$-s$+ = (m$-1$+x$-1$+ + m$-2$+x$-2$+ + m$-3$+x$-3$+) / (m$-1$+ + m$-2$+ + m$-3$+)
  1530. $1y$-s$+ = (m$-1$+y$-1$+ + m$-2$+y$-2$+ + m$-3$+y$-3$+) / (m$-1$+ + m$-2$+ + m$-3$+)
  1531. $1z$-s$+ = (m$-1$+z$-1$+ + m$-2$+z$-2$+ + m$-3$+z$-3$+) / (m$-1$+ + m$-2$+ + m$-3$+)
  1532. [36]
  1533. #Euklidische Geometrie
  1534. ºEuklidische Geometrie
  1535. Axiomatisierung der Euklidischen Geometrie
  1536. nach Hilbert (1900) und Schur (1909)
  1537. &Inzidenzaxiome
  1538. 1. Zu je zwei verschiedenen Punkten existiert genau 
  1539. eine Gerade durch diese Punkte; jede Gerade enthΣlt 
  1540. mindestens zwei verschiedene Punkte.
  1541. 2. Nicht alle Punkte liegen auf einer einzigen Geraden.
  1542. 3. Parallelenaxiom: Zu jeder Geraden g und jedem 
  1543. Punkt P au▀erhalb g existiert genau eine Gerade durch 
  1544. P, die keinen Punkt mit g gemeinsam hat.
  1545. #&Anordnungsaxiome
  1546. 1. Wenn R zwischen P und Q liegt, so liegt R auch 
  1547. zwischen Q und P und P,Q,R sind verschiedene Punkte, 
  1548. die auf einer gemeinsamen Geraden liegen.
  1549. 2. Von je drei verschiedenen Punkten einer Geraden 
  1550. liegt stets genau einer zwischen den anderen beiden.
  1551. 3. Axiom von Pasch: Liegen Punkte P,Q,R nicht auf 
  1552. einer gemeinsamen Geraden und schneidet eine Gerade 
  1553. g die Gerade PQ in einem Punkt Z zwischen P und Q, 
  1554. *
  1555.  
  1556. so liegt R auf g oder g verlΣuft durch einen Punkt S, der 
  1557. zwischen P und R oder zwischen Q und R liegt.
  1558. #&Bewegungsaxiome
  1559. 1. Sind $a,$b Bewegungen, so ist auch ihre Hinterein-
  1560. anderausfⁿhrung $b*$a eine Bewegung.
  1561. 2. Die identische Abbildung der Ebene auf sich ist eine 
  1562. Bewegung.
  1563. 3. Die Bewegungen erhalten die Zwischen-Beziehungen.
  1564. 4. Sind F und F' Fahnen, so existiert genau eine Bewe-
  1565. gung, die F in F' ⁿberfⁿhrt.
  1566. 5. Zu je zwei Punkten P,Q existiert eine diese Punkte 
  1567. vertauschende Bewegung; zu je zwei Halbgeraden mit 
  1568. gemeinsamen Anfangspunkten existiert eine diese 
  1569. Halbgeraden vertauschende Bewegung.
  1570.  
  1571. Eine Fahne ist ein Tripel (P,h,H), bestehend aus einem 
  1572. Punkt P, einer Halbgeraden h einer Geraden g mit dem 
  1573. Anfangspunkt P und einer Halbgeraden H, die von g 
  1574. begrenzt wird.
  1575. [37]
  1576. #Fraktale
  1577. ºFraktale
  1578. &Feigenbaum-Diagramme
  1579. Iteration ⁿber p = p f(x), z.B. p = x * (p▓ -1)
  1580. &Feigenbaum-Konstante
  1581. ºFeigenbaum-Konstante
  1582. $1$d = lim (s$-n$+ - s$-n-1$+) / (s$-n-1$+ - s$-n-2$+)
  1583. $1s$-i$+ ... superattraktive Parameter
  1584. $1s$-1$+ = 2
  1585. $1s$-2$+ = 1 + $╓5 = 3.236067978...
  1586. NΣherung mittels Newton-Verfahren
  1587. $1s$-n$+ $╗ N(a) = a - g(a) / g'(a)
  1588. Berechnung der Funktionswerte g(a), g'(a)
  1589. $1fⁿr N = 2$+n-1$-
  1590. $1g(a) = x$-N$+ - 1/2$2g'(a) = x'$-N$+
  1591. Die x$-i$+ und x'$-i$+ sind NΣherungen der Rekursion
  1592. $1x$-k+1$+ = a x$-k$+ (1 - x$-k$+)
  1593. $1x'$-k+1$+ = x$-k$+ (1 - x$-k$+) + a (1 - 2x$-k$+) x'$-k$+
  1594. $1x$-0$+ = 1/2 und x'$-0$+ = 0 fⁿr k=0, ..., N-1
  1595. AnfangsschΣtzwert fⁿr a = s$-n+1$+
  1596. $1s$-n+1$+ = s$-n$+ + (s$-n$+ - s$-n-1$+) / $d$-n$+
  1597. NΣherung der Feigenbaumkonstante
  1598. $1$d$-n$+ = (s$-n$+ - s$-n-1$+) / (s$-n-1$+ - s$-n-2$+)
  1599. *
  1600. &
  1601. $1AnfangsschΣtzung $d$-2$+ = 4
  1602. ! Eine Rechnergenauigkeit von 18 Stellen erm÷glicht
  1603. die Berechnung auf maximal 9 Stellen
  1604. #&Tabelle der NΣherungen
  1605. n=3$2s = 3.498561699330348210
  1606. $3$d = 4.708943013493023640
  1607. n=4$2s = 3.554640862768824870
  1608. $3$d = 4.680770998278802880
  1609. n=5$2s = 3.566667379856268510
  1610. $3$d = 4.662959610894031280
  1611. n=6$2s = 3.569243531637110340
  1612. $3$d = 4.668403925918399630
  1613. n=7$2s = 3.569795293749944620
  1614. $3$d = 4.668953740967627760
  1615. n=8$2s = 3.569913465422348510
  1616. $3$d = 4.669157181328856740
  1617. n=9$2s = 3.569938774233305490
  1618. $3$d = 4.669191002484840300
  1619. n=10$2s = 3.569944194608064930
  1620. $3$d = 4.669199470548766980
  1621. [38]
  1622. &
  1623. n=11$2s = 3.569945355486468590
  1624. $3$d = 4.669201134576838590
  1625. n=12$2s = 3.569945604111078440
  1626. $3$d = 4.669201509645291840
  1627. n=13$2s = 3.569945657358856500
  1628. $3$d = 4.669201587299666310
  1629. n=14$2s = 3.569945668762899970
  1630. $3$d = 4.669201602829750400
  1631. n=15$2s = 3.569945671205296850
  1632. $3$d = 4.669201622952224960
  1633. ... ab der 16.NΣherung verschlechtert sich der Wert
  1634. genauerer NΣherungswert
  1635. $1$d = 4.699201660910299097 ...
  1636. #Attraktoren
  1637. ºAttraktoren
  1638. &R÷ssler-Attraktor
  1639. $1dx/dt = - y - z$2dy/dt = x + a*y
  1640. $1dz/dt = b*x - c*z + x*z 
  1641. &R÷ssler-Attraktor 2
  1642. $1dx/dt = y + a*x$2dy/dt = - x - z
  1643. $1dz/dt = b*y - c*z + y*z
  1644. *
  1645. #&Lorenz-Attraktor
  1646. ºLorenz-Attraktor
  1647. $1dx/dt = a*( y- x)$2dy/dt = b*x - y + x*z
  1648. $1dz/dt = x*y - c*z 
  1649. &Lorenz-Attraktor 2
  1650. $1norm = $╓(x▓+y▓)
  1651. $1dx/dt = (-a-1)*x + (a-b)*y + (1-a)*norm + y*z
  1652. $1dy/dt = (b-a)*x - (a+1)*y + (b+a)*norm - x*z - norm*z
  1653. $1dz/dt = y/2 - c*z
  1654. &Henon-Attraktor
  1655. $1x = y - a * x▓ +1$4y = b *x 
  1656. &Martin-Attraktor
  1657. $1x = y * (1+sin(a*x)) - b * $╓| x |$1y = c - x 
  1658. &Hopalong-Attraktor
  1659. $1x = y - sgn ( x ) * $╓(| b*x-c |)$1y = a - x
  1660. &Gingerbread-Attraktor
  1661. $1x = 1 - y + | x |$4y = x
  1662. [39]
  1663. #Mandelbrotmengen
  1664. ºMandelbrotmengen
  1665. {3117
  1666. $9z▓ + c
  1667. #
  1668. {3118
  1669.  
  1670. $6z│ + c
  1671. #
  1672. {3119,100
  1673.  
  1674. $3z$+4$- - c
  1675.  
  1676. {3120
  1677.  
  1678. $6Rochen
  1679. *
  1680. &
  1681. Komplexe Iterationsgleichung
  1682. &Mandelbrotmenge$1y = x$+z$-+1 
  1683. ... jede komplexe Zahl als Paar zweier Koordinaten x,y
  1684. Iterationsgleichung$1z$-n$+ = z$-n-1$+▓ + c
  1685. Startwerte x = y = 0
  1686. Abbruch |z| > 4 bzw. n Iterationen
  1687. weitere klassische Fraktale
  1688. $1Mandelbrot z│+c bzw. z$+4$-+c
  1689. $1Mandelsinus x=x*sin(x)-y▓-cr und y=2*x*y-ci
  1690. &Fraktale als Transformationen konzentrischer Kreis 
  1691. modulo Farbanzahl nach Connett:
  1692. $1Pixelfarbe = a*(x▓-y▓) modulo 15; a ... Konstante
  1693. &Fraktale nach Pickover
  1694. Konstante c=0.5, Abbruch nach |x|>9, |y|>9 oder 
  1695. Iteration>10
  1696. Farbgebung aus Betrag der komplexen Zahl
  1697. #Julia-Mengen
  1698. ºJulia-Mengen
  1699. ... WΣhrend bei der Mandelbrotmenge; jeweils vom 
  1700. Startpunkt z=(0;0) ausgehend; die FΣrbung des Pixels 
  1701. durch die verΣnderliche Konstante c (Koordinaten des 
  1702. [40]
  1703. &
  1704. Punktes) bestimmt wird; bleibt die zur Iteration wichtige 
  1705. Konstante c konstant. Als Startwert z werden die Punkt-
  1706. koordinaten der Gau▀schen Zahlenebene genutzt.
  1707. #IFS-Transformationen
  1708. ºIFS-Transformationen
  1709. ... zweidimensionale IFS entstehen durch multiplikative 
  1710. Verknⁿpfung quadratischer Matrizen mit Spaltenvek-
  1711. toren (affine Transformationen).
  1712. Die jeweilige Matrix des Index i wird durch zufΣllige Wahl 
  1713. aus einer gewissen Grundgesamtheit getroffen. 
  1714. #&Quelle: "Fractal Mania" von Phil Laplate
  1715. {3099,160
  1716. P$185$27$27$21
  1717. A$10.85$10.2$2-0.15$10
  1718. B$10.04$1-0.26$10.28$10$4Farn
  1719. C$1-0.04$10.23$10.26$10
  1720. D$10.85$10.22$10.24$10.16
  1721. E$10$20$20$20
  1722. F$11.6$21.6$20.44$10
  1723. *
  1724. #&Seehund
  1725. {3102,170
  1726. P$125$225$225$225
  1727. A$1-0.5$1-0.5$1-0.5$1-0.5
  1728. B$10$20$20$20
  1729. C$10$20$21$20
  1730. D$10.5$20.5$20.5$20.5
  1731. E$10$22$20$22
  1732. F$10$20$21$21
  1733.  
  1734. {3101,130
  1735.  
  1736. &Spirale
  1737. P$189.5652$15.2174$25.2174
  1738. A$10.787879$1-0.121212$10.181818
  1739. B$1-0.424242$10.257576$1-0.136364
  1740. C$10.242424$10.151515$10.090909
  1741. D$10.859848$10.053030$10.181818
  1742. E$11.758647$1-6.721654$16.086107
  1743. F$11.408065$11.377236$11.568035
  1744. [41]
  1745. #&Sierpinski-Teppich
  1746. P$1je 12.5
  1747. A$1je 0.33
  1748. B$1je 0
  1749. C$1je 0
  1750. D$1je 0.33
  1751. E$11  Y  1  Y  Y/2  Y  1  Y/2
  1752. F$11  1  Y  Y  1  Y/2  Y/2  Y
  1753. Y...bestimmt die Gr÷▀e der Abbildung
  1754.  
  1755. &Schneeflocken
  1756. {3103,150
  1757. P$1je 20
  1758. A$1je 0.33
  1759. B$1je 0
  1760. C$1je 0
  1761. D$1je 0.33
  1762. E$11  X  1  X  X/2
  1763. F$11  1  X  X  X/2
  1764. X...bestimmt die Gr÷▀e der Abbildung
  1765. *
  1766. #&Swirl5
  1767. {3105,150
  1768. P$191.2675$18.7325
  1769. A$10.745455$1-0.424242
  1770. B$1-0.459091$1-0.065152
  1771. C$10.406061$1-0.175758
  1772. D$10.887121$1-0.218182
  1773. E$11.460279$13.809567
  1774. F$10.691072$16.741476
  1775. #&Kristall
  1776. {3106,150
  1777. P$174.7826$125.2174
  1778. A$10.696970$10.090909
  1779. B$1-0.481061$1-0.443182
  1780. C$1-0.393939$10.515152
  1781. D$1-0.662879$1-0.094697
  1782. E$12.147003$14.286558
  1783. F$110.310288$12.925762
  1784. [42]
  1785. #&Koralle
  1786. {3107,150
  1787.  
  1788. P$140$315$345
  1789. A$10.307692$10.307692$10
  1790. B$1-0.531469$1-0.076923$10.545455
  1791. C$1-0.461538$10.153846$10.692308
  1792. D$1-0.293706$1-0.447552$1-0.195804
  1793. E$15.401953$1-1.295248$1-4.893637
  1794. F$18.655175$14.152990$17.269794
  1795. {3108,140
  1796. &ZickZack
  1797. P$188.8128$111.1872
  1798. A$1-0.632407$1-0.036111
  1799. B$1-0.614815$10.444444
  1800. C$1-0.545370$10.210185
  1801. D$10.659259$10.037037
  1802. E$13.840822$12.071081
  1803. F$11.282321$18.330552
  1804. *
  1805. #&Drache
  1806. {3109,150
  1807. P$178.7473$121.2527
  1808. A$10.824074$10.088272
  1809. B$10.281482$10.520988
  1810. C$1-0.212346$1-0.463889
  1811. D$10.864198$1-0.377778
  1812. E$1-1.882290$10.785360
  1813. F$1-0.110607$18.095795
  1814. {3110,160
  1815. &BinΣr
  1816. P$1je 33.3333
  1817. A$10.5$30.5$30
  1818. B$10$30$3-0.5
  1819. C$10$30$30.5
  1820. D$10.5$30.5$30
  1821. E$1-2.563477$12.436544$14.873085
  1822. F$1-0.000003$1-0.000003$17.563492
  1823. [43]
  1824. #&Dreieck
  1825. {3111,150
  1826. P$1je 33.333333
  1827. A$1je 0.5
  1828. B$1je 0
  1829. C$1je 0
  1830. D$1je 0.5
  1831. E$10$20$25
  1832. F$10$25$25
  1833. {3112,150
  1834. &Baum
  1835. P$15$240$240$215
  1836. A$10$20.42$10.42$10.1
  1837. B$10$2-0.42$10.42$10
  1838. C$10$20.42$1-0.42$10
  1839. D$10.5$20.42$10.42$10.1
  1840. E$1je 0
  1841. F$10$22$22$22
  1842. *
  1843. #&Koch3
  1844. {3113,150
  1845. P$115.1515$125.3788
  1846. $125.3788$115.1515
  1847. $118.9394
  1848. A$10.307692$10.192308$10.192308$10.307692
  1849. $10.384615
  1850. B$10$3-0.205882$10.205882$10
  1851. $10
  1852. C$10$30.653846$1-0.653846$10
  1853. $10
  1854. D$10.294118$10.088235$10.088235$10.294118
  1855. $1-0.294118
  1856. E$14.119164$1-0.68884$10.66858$1-4.13653
  1857. $1-0.007718
  1858. F$11.604278$15.978916$15.962514$11.604278
  1859. $12.941176
  1860. [44]
  1861. #&Zweig
  1862. {3115,150
  1863. P$1je 33.333333
  1864. A$10.387$10.441$1-0.468
  1865. B$10.43$1-0.091$10.02
  1866. C$10.43$1-0.009$1-0.113
  1867. D$1-0.387$1-0.322$10.015
  1868. E$12.56$14.219$14
  1869. F$15.22$15.059$14
  1870. {3114,150
  1871. &Savannen-Baum
  1872. P$1je 20
  1873. A$10.195$10.462$1-0.058$1-0.035$1-0.637
  1874. B$1-0.488$10.414$1-0.07$10.07$10
  1875. C$10.344$1-0.252$10.453$1-0.469$10
  1876. D$10.443$10.361$1-0.111$1-0.022$10.501
  1877. E$10.4431$10.2511$10.5976$10.4884$10.8562
  1878. F$10.2452$10.5692$10.0969$10.5069$10.2513
  1879. *
  1880. #&Cantor-Garten
  1881. {3116,150
  1882. P$1je 33.333333
  1883. A$10.336$10$20
  1884. B$10$20.333$1-0.333
  1885. C$10$21$21
  1886. D$10.335$10$20
  1887. E$10.662$11.333$10.666
  1888. F$11.333$10$20
  1889. #&Felsen
  1890. P$1je 25
  1891. A$10.5$20.5$2-0.4$1-0.5
  1892. B$1je 0
  1893. C$10$20$21$20
  1894. D$10.5$20.5$20.4$20.5
  1895. E$10$22$20$22
  1896. F$10$20$21$21
  1897. [45]
  1898. &
  1899. {3100
  1900. &$7Floor
  1901.  
  1902. #
  1903. A$10$30.5$30
  1904. B$1-0.5$20$30.5
  1905. C$10.5$30$3-0.5
  1906. D$10$30.5$30
  1907. E$1-1.732366$1-0.027891$11.620804
  1908. F$13.366182$15.014877$13.310401
  1909. P$133.333333$133.333333$133.333333
  1910. {3127,120
  1911. &2 BΣume
  1912. P$1je 33.33333
  1913. A$10$20$20.5
  1914. B$1-0.5$10.5$20
  1915. C$10.5$1-0.5$20
  1916. D$10$20$2-0.5
  1917. E$15$25$22.5
  1918. F$10$25$25
  1919. *
  1920. #&Weihnachtsbaum
  1921. {3128,140
  1922. P$1je 33.33333
  1923. A$10$20$20.5
  1924. B$1-0.5$10.5$20
  1925. C$10.5$2-0.5$10
  1926. D$10$20$20.5
  1927. E$10.5$20.5$20.25
  1928. F$10$20.5$20.5
  1929. #Chaos-Spiel
  1930. ºChaos-Spiel
  1931. Gegeben seien drei Punkte P1, P2 und P3 der Ebene, 
  1932. welche ein gleichseitiges Dreieck bilden. Weiterhin 
  1933. sei ein vierter Punkt P gegeben. Per Zufall wird nun 
  1934. eine Zahl von 1 bis 3 gewΣhlt. Wⁿrfelt man eine 1, so 
  1935. werden die neuen Koordinaten von P als Mittelpunkt 
  1936. der Strecke PP1 gesetzt, bei einer 2 strebt P um die 
  1937. HΣlfte der Strecke in Richtung P2.
  1938. &Ergebnis: Sierpinski-Dreieck
  1939. [46]
  1940. #L-System
  1941. ºL-System
  1942. ... rekursive Definitionsgleichungen 
  1943. $1F= f(F, G, + , - , [ , ] , / , \ , ! , | )
  1944. Syntax
  1945. $1F$2Zeichnen einer Linie 
  1946. $1G$2Bewegen ohne Zeichnen der Linie 
  1947. $1+$2Drehung der Zeichenrichtung um einen 
  1948. $3Winkel nach oben
  1949. $1-$2Drehung der Zeichenrichtung um einen 
  1950. $3Winkel nach unten
  1951. $1/nn$1Drehung der Zeichenrichtung um den 
  1952. $3Winkel nn in Grad nach oben
  1953. $1\nn$1Drehung der Zeichenrichtung um den 
  1954. $3Winkel nn in Grad nach unten
  1955. $1|$2Drehung der Zeichenrichtung um 180░
  1956. $1!$2Vertauschen der Wirkung z.B. +,- 
  1957. $1[$2Speichern der aktuellen Zeichenposition 
  1958. $3(PUSH)
  1959. $1]$2Einstellen der zuletzt abgespeicherten 
  1960. $3Zeichenposition (POP)
  1961. *
  1962. #&Kochkurve
  1963. {3129
  1964.  
  1965. #
  1966. Def.: F = F + F -- F + F$1Dimension d = 1.261859
  1967. Weitere Fraktale
  1968. $1QuadKoch ... F+FF-FF-F-F+F+FF-F-F+F+FF+FF-F
  1969. $1Plant ... F[+F]F[-F]F
  1970. $1Plant3 ... FF-[-F+F+F]+[+F-F-F]
  1971. $1Bush ... FF-[-F+F+F]+[+F-F-F]
  1972. $1Peano ... F-F+F+F+F-F-F-F+F
  1973. $1Sierpinski ... F[-F]F
  1974. $1Sierpinski Square ... FF+F+F+F+FF
  1975. $1Curve1 ... FF-F-F-F-F-F+F
  1976. [#]
  1977.