The Best of the Best

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Text File | 1994-10-03 | 68KB | 1,983 lines

;Formelsammlung [0] & * {1998 [1] #Griechisches Alphabet ºGriechisches Alphabet $A $a$1Alpha$3$N $n$1Ny $B $b$1Beta$3$X $x$1Xi $G $g$1Gamma$2$O $o$1Omikron $D $d$1Delta$3$P $p$1Pi $E $e$1Epsilon$3$R $r$1Rho $Z $z$1Zeta$3$S $s$1Sigma $H $h$1Eta$3$T $t$1Tau $Q $q$1Theta$3$U $u$1Ypsilon $I $i$2Jota$3$F $f$1Phi $K $k$1Kappa$3$C $c$1Chi $L $l$1Lambda$2$Y $y$1Psi $M $m$1My$4$W $w$1Omega #R÷mische Zahlzeichen ºR÷mische Zahlzeichen I$1 V$1 X$2 L$2 C$2 D$2 M 1$1 5$1 10$1 50$1 100$1 500$1 1000 * #Mathematische Zeichen ºMathematische Zeichen $╬$2Element von$2$╧$2nicht Element $═$2Teilmenge$3$╠$2echte Teilmenge $╦$2nicht Teilmenge$1$╞$2leere Menge $╟$2Durchschnitt$2$╚$2Vereinigung $"$2fⁿr alle...$3$$$2es existiert... $╪$2Negation$3$┘$2Konjunktion $┌$2Disjunktion$3$█$1─quivalenz $▐$1Implikation$3$«$1gegen =$2ist gleich$3$║$2identisch $╗$2rund$4$@$2kongruent $~$2proportional$2a$╜b$1a teilt b $S$2Summe$3$P$2Produkt $╨$2Winkel$4$^$2senkrecht $¡$¡$1gleich gerichtet$2||$2parallel n!$2FakultΣt$3lim$2Grenzwert f(x)$2Funktion$3f'(x)$11.Ableitung $Dx$1Differenz$3dx$2Differential $╢x$2part.Differential$2$╓$2Wurzel $≥$2Integral [2] #Zahlenwerte einiger Konstanten ºZahlenkonstante $p$33.141 592 653 59 $p/180$20.017 453 292 519 94 $p▓$39.869 604 401 089 $╓$p$31.772 453 850 906 $╓2$p$32.506 628 274 631 1/$p$30.318 309 886 183 8 1/$╓$p$20.564 189 583 547 8 │$╓$p$31.464 591 887 562 e$32.718 281 828 459 e▓$37.389 056 098 931 $╓e$31.648 721 270 7 e$+$p$-$323.140 692 632 78 e$+-$p$-$30.043 213 918 263 77 1/e$30.367 879 441 171 4 lg e$30.434 294 481 903 3 1/lg e$22.302 585 092 994 $F$34.699 201 660 910 299 097 $4(Feigenbaumkonstante) C$30.577 216 (Eulersche Konstante) * #Zahlenbereiche ºZahlenbereiche N Menge der natⁿrlichen Zahlen Z Menge der ganzen Zahlen Q Menge der nichtnegativen gebrochenen Zahlen P Menge der rationalen Zahlen R Menge der reellen Zahlen IR Menge der irrationalen Zahlen C Menge der komplexen Zahlen I Menge der imaginΣren Zahlen #Intervallschreibweise ºIntervalle, Mengen [a,b] oder <a,b>$1abgeschlossenes Intervall (a,b) oder ]a,b[$1offenes Intervall (a,b]$4links offenes Intervall [a,b)$4rechts offenes Intervall #Mengen {1;2;3}$3endliche Menge {1;3;5;...}$3unendliche Menge [1;2]$4geoordnetes Paar [3] #Mengenoperationen ºMengenoperationen $╖Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn sie beide die gleichen Elemente enthalten. $╖Komplement zu A: alle x aus der Grundgesamtheit, welche nicht in A sind $3Vereinigung Durchschnitt {3013,48 # # $3Differenz symmetr.Differenz $╖Vereinigung A$╚B: alle x, welche aus A oder aus B $╖Durchschnitt: alle x, welche gleichzeitig in A und in B $╖Differenz: alle x, welche in A aber nicht in B $╖symmetrische Differenz: alle x, welche entweder in A oder in B enthalten sind $╖Eine Menge A ist Teilmenge von B, wenn alle Elemente aus A auch in B enthalten sind. A $═ B * $╖Die leere Menge $╞ enthΣlt keine Elemente. $╖Zwei Mengen A und B sind gleichmΣchtig A ~ B, wenn eine eineindeutige Abbildung der einen auf die andere Menge existiert. B.: N ~ Z, N ~ P, N und R sind nicht gleichmΣchtig $╖Die Potenzmenge P(A) einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A. $╖Die Produktmenge A $┤ B ist die Menge aller Paare, deren erstes Glied zu A und deren zweites zu B geh÷ren. #Regeln Die Vereinigung und der Durchschnitt sind kommutativ, assoziativ und zueinander wechselseitig distributiv. $1A $╚ A = A$3A $╟ A = A $1A $╚ $╞ = A$3A $╟ $╞ = $╞ $1A \ B = A \ (A $╚ B) = (A $╟ B) \ B $1A \ (B $╟ C) = (A \ B) $╚ (A \ C) $1A \ A = $╞$3(A \ B) $╟ B = $╞ $1A $╚ B = (A \ B) $╚ (B \ A) $╚ (A $╟ B) $1A $═ B $█ A $╚ B = B $█ A $╟ B = A [4] #Aussagenlogik ºAussagenlogik Eine Aussage p ist ein sprachliches Gebilde, dem man einen Wahrheitswert (wahr oder falsch, 0 oder 1, true oder false) zuordnen kann. #Aussagenverknⁿpfungen Negation, NICHT, non$5$╪p Konjunktion, UND, et$5p $┘ q Disjunktion, Alternative, ODER, vel$2p $┌ q Antivalenz, Entwer-Oder, aut$3p $┼ q Implikation, Wenn-Dann, seq$3p $▐ q ─quivalenz, Genau-Dann-Wenn,Σq$2p $█ q Wahrheitswertetabelle p $1q$1p$┘q$1p$┌q$1p$┼q$1p$▐q$1p$█q W$1W$1W$2W$2F$2W$2W W$1F$1F$2W$2W$2F$2F F$2W$1F$2W$2W$2W$2F F$2F$1F$2F$2F$2W$2W ZusammenhΣnge: p$▐q $█ $╪p $┌ q$1(p $█ q) $█ ($╪p $┌ q) $┘ ($╪q $┌ p) p$┼q $█ (p $┌ q) $┘ ($╪p $┌ $╪q) * #&Funktionell vollstΣndige Funktionen Nicodsche Funktion, Weder-noch, NOR ºNicodsche Funktion $3p $┤ q = $╪(p $┌ q) Sheffersche Funktion, Nicht sowohl-als auch, NAND ºSheffersche Funktion $3p | q = $╪(p $┘ q) Darstellung aussagenlogischer Funktionen mit NAND $3p $┘ q $█ (p|p) | (q|q) $3p $┌ q $█ (p|q) | (p|q) $3p $┼ q $█ [(p|p) | (q|q)] | (p|q)B) $3p $▐ q = [(p|p) | q] | [(p|p) | q] Weitere Funktion: Inhibition $█ $╪p $┘ q #Aussagenlogische Gesetze ºAussagenlogische Gesetze Gesetz vom ausgeschlossenen Widerspruch ºGesetz vom ausgeschlossenen Widerspruch $3$╪ ( p $┘ $╪p ) Abtrennungsregel$2p $┘ ( p $▐ q ) $▐ q Fallunterscheidung$2 [( p $┌ q ) $┘ $╪p ] $▐ q Kettenschlu▀$2[( p$▐q ) $┘ ( q$▐r )] $▐ ( p$▐r ) Indirekter Schlu▀$2p $┘ ( $╪q $▐ $╪p ) $▐ q KommutativitΣt$3p $┘ q $█ q $┘ p $6p $┌ q $█ q $┌ p [5] & Doppelte Verneinung$1$╪$╪ p $█ p DeMorgan-Regel$2$╪ ( p $┘ q ) $█ ($╪ p $┌ $╪ q ) $6$╪ ( p $┌ q ) $█ ($╪ p $┘ $╪ q ) Umformulierung von Implikationen (Kontraposition) $1( p $▐ q ) $█ ( $╪q $▐ $╪p ) $█ ( $╪( p $┘ $╪q )) $1$█ ( $╪p $┌ q ) Umformulierung mit zwei Voraussetzungen $1( ( p $┘ q ) $▐ r ) $█ ( $╪r $▐ $╪( p $┘ q) ) $1$█ ( ($╪r $┘ q) $▐ $╪p ) $█ ( (p $┘ $╪r) $▐ $╪q ) $1$█ ( p $▐ ( q $▐ r )) $█ ( q $▐ ( p $▐ r )) #Peanosche Axiome ºPeanosche Axiome Axiome der natⁿrlichen Zahlen (1891): 1. 0 ist eine Zahl 2. Jede Zahl n hat genau einen Nachfolder n' 3. 0 ist nicht Nachfolger einer Zahl 4. Jede Zahl ist Nachfolger h÷chstens einer Zahl 5. Von allen Mengen, die die Zahl 0 und mit der Zahl n auch deren Nachfolger n' enthalten, ist die Menge N der natⁿrlichen Zahlen die kleinste. * #Zahlentheorie ºZahlentheorie &Grundgleichung der Zahlentheorie: ºGrundgleichung der Zahlentheorie: $" a,b $╬ Z, a,b>0 existiert genau ein Paar q, r $╬ Z mit $3a = q * b + r und 0 $ú r < b ggT(a,b) $1$█ gr÷▀ter gemeinsamer Teiler von a und b ºGr÷▀ter gemeinsamer Teiler $4$$x,y $╬ Z mit ggT(a,b) = a*x + b*y $4$" a>b $▐ ggT(a,b) = ggT(a-b,b) kgV(a,b) $1$█ kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches ºKleinstes gemeinschaftliches Vielfache $4von a und b $4kgV(a,b) = a*b / ggT(a,b) #&TeilbarkeitssΣtze ºTeilbarkeitssΣtze Ist r = 0, so hei▀t b Teiler von a, b | a 1.$2a | b und b | c $▐ a | c$2(TransitivitΣt) 2.$2a | b und a | c $▐ a | (b + c) 3.$2a | b und a | (b + c) $▐ a | c 4.$2a | b und a | c $▐ a | b*c 5.$2a | c und b | c und ggT(a,b)=1 $▐ a*b | c 6.$2a*b | c $▐ a | c und b | c [6] #&Primzahl Eine Zahl p>1 hei▀t Primzahl genau dann, wenn sie genau 2 Teiler besitzt, nΣmlich sich selbst und 1. #&Prinzip der vollstΣndigen Induktion ºPrinzip der vollstΣndigen Induktion Die Aussage "Fⁿr alle natⁿrlichen Zahlen n$│n$-0$+ gilt H(n) ist wahr $█$11. H(n) ist richtig fⁿr n = n$-0$+ $12. Aus der Gⁿltigkeit von H(n) fⁿr n=k folgt $1fⁿr beliebiges k die Gⁿltigkeit fⁿr n=k+1 #Kongruenzen ºKongruenzen Zwei ganze Zahlen a und b, die bei der Division durch eine ganze Zahl m (m>0) denselben Rest lassen, nennt man kongruent nach dem Modulo m. $2a $║ b mod m oder a $║ b (m) Eigenschaften a $║ a (m)$5(ReflexivitΣt) a $║ b (m) $▐ b $║ a (m)$2(Symmetrie) a $║ b (m) und b $║ c (m) $▐ a $║ c (m) a $║ b (m) und c $║ d (m) $▐ a▒c $║ b▒d (m) a $║ b (m) und c $║ d (m) $▐ a*c $║ b*d (m) * a $║ b (m) $▐ a$+n$- $║ b$+n$- (m) a*b $║ 0 (p) und p ist Primzahl $▐ a $║ 0 oder b $║ 0 (p) a*c $║ b*c (m) und c$╣0 und ggt(c,m)=d $▐ a $║ b (m/d) a*c $║ b*c (m) und c$╣0 und ggt(c,m)=1 $▐ a $║ b (m) #Teilbarkeitsregeln ºTeilbarkeitsregeln Eine Zahl a ist durch n teilbar, wenn $12:$1die letzte Ziffer (gerade Zahl) $13:$1ihre Quersumme $14:$1die aus ihren letzten 2 Ziffern gebildete Zahl $15:$1die letzte Ziffer (endet auf 0 oder 5) $16:$1diese gerade und ihre Quersumme $18:$1die aus ihren letzten 3 Ziffern gebildete Zahl $19:$1die Quersumme $111:$1die alternierende Quersumme $116:$1die aus ihren letzten 4 Ziffern gebildete Zahl durch n teilbar ist. [7] #Betrag einer rationalen Zahl ºBetrag einer rationalen Zahl $1| a | = a fⁿr a $│ 0$2| a | = - a fⁿr a < 0 Fⁿr alle rationalen Zahlen a,b gilt: $2| | a | - | b | | $ú | a - b | $ú | a | + | b | $2| a + b | $ú | a | + | b | $2Wenn a>0, dann a + 1/a $│ 2 #Operationsgesetze reeller Zahlen ºOperationsgesetze Kommutativgesetz a + b = b + a$4a * b = b * a Assoziativgesetz (a + b) + c = a + (b + c)$2(a * b) * c = a * (b * c) Distributivgesetz$3a * (b + c) = a * b + a * c Klammer Aufl÷sung $2(a + b) * (c + d) = a * c + a * d + b * c + b * d ºBinomische Formel Binomische Formel $3(a ▒ b)▓ = a▓ ▒ 2*a*b + b▓ $3(a + b) * (a - b) = a▓ - b▓ $3(a ▒ b)│ = a│ ▒ 3*a▓*b + 3*a*b▓ ▒ b│ Existenz der Einheitselementes a + 0 = 0 + a = a$3a * 1 = 1 * a = a * Monotonie Aus a > b und c>0, d >0 $▐ a+c > b+c $┘ a*c > b*c #Mittelwerte ºMittelwerte Sind a$-1$+, a$-2$+, a$-3$+, ..., a$-n$+ positive rationale Zahlen, so wird definiert: &arithmetisches Mittel AM ºarithmetisches Mittel $2= ( a$-1$+ + a$-2$+ + a$-3$+ + ... + a$-n$+ ) / n &geometrisches Mittel GM ºgeometrisches Mittel $2= $+n$- $╓( a$-1$+ * a$-2$+ * a$-3$+ * ... * a$-n$+ ) &harmonisches Mittel HM ºharmonisches Mittel $2= n / ( 1/a$-1$+ + 1/a$-2$+ + 1/a$-3$+ + ... + 1/a$-n$+ ) &quadratisches Mittel ºquadratisches Mittel $2= $╓[ ( a$-1$+▓ + a$-2$+▓ + a$-3$+▓ + ... + a$-n$+▓ ) / n ] &Satz vom harmonischen, geometrischen ... Mittel ºSatz vom harmonischen, geometrischen ... Mittel Fⁿr alle positiven rationalen Zahlen a, b gilt $╖$1Minimum(a,b) $ú 2/(1/a + 1/b) $ú $╓(a*b) $ú (a+b)/2 $1$ú $╓[ (a▓+b▓)/2 ] $ú Maximum(a,b) $╖$1GM = $╓(a*b) = $╓[ 2/(1/a + 1/b) * (a+b)/2 ] $2= $╓(HM * AM) $╖$1a-AM=AM-b; a/GM = GM/b; (a-HM)/(HM-b)=a/b [8] #Kettenbrⁿche ºKettenbrⁿche Seien b$-0$+, b$-1$+, b$-2$+, ... , b$-n$+ ganze Zahlen mit b$-k$+>0 fⁿr k>0. Unter dem Kettenbruch n-ter Ordnung &$3[b$-0$+;b$-1$+;b$-2$+;...;b$-n$+] mit den Teilnennern b$-1$+, b$-2$+, ..., b$-n$+ und dem Anfangs- glied b$-0$+ versteht man {3142,25 # # Jede rationale Zahl lΣ▀t sich durch einen Kettenbruch darstellen. Jede reelle Zahl lΣ▀t sich durch einen Kettenbruch approximieren. &NΣherungsbruch k-ter Ordnung Mit A$-0$+ = b$-0$+, A$--1$+ = 1, A$--2$+ = 0, B$-0$+ = 0, B$--1$+ = 0, B$--2$+ = 1 wird $1A$-k$+ = b$-k$+ * A$-k-1$+ + A$-k-2$+ $1B$-k$+ = b$-k$+ * B$-k-1$+ + B$-k-2$+ * Die NΣherungsbrⁿche A$-k$+/B$-k$+ approximieren den Endbruch abwechselnd von unten und von oben mit wachsender Genauigkeit. #&Nichtabbrechende Kettenbrⁿche Die NΣherungsbrⁿche nichtabbrechender Kettenbrⁿche &$3[b$-0$+;b$-1$+;b$-2$+;...] konvergieren gegen einen reelle Zahl. &Spezielle Kettenbrⁿche ºSpezielle Kettenbrⁿche $╓2 = [1; 2; 2; 2; 2; ...] $p = 3.1415926536 ... = $1= [3; 7; 15; 1; 292; 1; 1; 1; 2; 1; 3; 1; 14; 2; 1; 1; $12; 2; 21; 84; 2; 1; 1; 15; 3; 13; 1; 4; 2; 6; 6; 99; 1; $12; 2; 6; 3; 5; 1; 1; 6; ...] e = 2.7182281828 ... = $1= [2; 1; 2; 1; 1; 4; 1; 1; 6; 1; 1; 8; 1; 1; 10; 1; 1; $112; 1; 1; 14; 1; 1; 16; ...] [9] #Potenzen, Wurzeln ºPotenzen, Wurzeln &Potenzen mit ganzzahligen Exponenten $1a$+k$- = a * a * ... * a ( k Faktoren, k > 1, k $╬ N ) $10$+k$- = 0, $" k $╣ 0, 0$+0$- ist nicht erklΣrt ! $1a$+1$- = a$2 a$+0$- = 1$2 a$+-k$- = 1/a$+k$- &Potenzen mit rationalen Exponenten / Wurzeln Definition: $+n$-$╓ a , a $│ 0, n $╬ N, n $│ 1, ist diejenige nichtnegative reelle Zahl b, fⁿr die b$+n$- = a gilt. $1a$+1/n$- = $+n$-$╓ a , fⁿr n $╬ N, n > 0, a $╬ R, a $│ 0 #&Potenzgesetze Gⁿltigkeitsbereich: a,b,m,n $╬ R und a,b>0 oder $5m,n $╬ R, a,b $╬ R\{0} Basen gleich$2a$+m$- * a$+n$- = a$+m+n$- $5a$+m$- / a$+n$- = a$+m-n$- Exponenten gleich$1a$+m$- * b$+m$- = (a * b)$+m$- $5a$+m$- / b$+m$- = (a / b)$+m$- 2 Exponenten$2(a$+m$-)$+n$- = a$+mn$- = (a$+n$-)$+m$- NΣherungsformeln fⁿr a >> b $╓( a▓ + b ) $╗ a + b/(2a) $+3$-$╓( a│ + b ) $╗ a + b/(3a▓) * #Logarithmen ºLogarithmen Definition: log$-a$+ b ist diejenige reelle Zahl c, fⁿr die gilt a$+c$- = b. (a>0, a $╣ 1, b>0) #&Logarithmengesetze a$+(log$-a$+b)$- = b$2log$-a$+1 = 0$2log$-a$+a = 1 log$-1$+ a nicht erklΣrt Wenn b,c > 0, r $╬ R, a > 0, a $╣ 1 $▐ log$-a$+(b*c) = log$-a$+b + log$-a$+c$1log$-a$+(b/c) = log$-a$+b - log$-a$+c log$-a$+b$+r$- = r * log$-a$+b$3log$-a$+$+n$-$╓b = 1/n * log$-a$+b Wenn a,b,c > 0, aber ungleich 1 $▐ log$-b$+c = log$-a$+c / log$-a$+b$2log$-a$+c = 1 / log$-c$+a log$-a$+c = lg c / lg a$3a$+x$- = e$+x ln a$- #&Basis der natⁿrlichen Logarithmen e = lim (1 + 1/n)$+n$- = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...$+$+ n $« $Ñ$-$- "Was der Mathematik die Logarithmen sind, ist die Mathematik den anderen Wissenschaften." (Novalis) [10] #Kombinatorik ºKombinatorik &FakultΣt ºFakultΣt $1n ! = 1 * 2 * 3 * ... * (n-1) * n; 1 ! = 1; 0! = 1 &Permutation ºPermutation Anzahl der Permutationen von n Elementen (Anzahl unterschiedlicher Reihenfolgen dieser Elemente) = n! Stirlingsche NΣherungsformel $1x! ~ $╓(2$px) * x$+x$- *e$+-x$- &Permutationen mit Wiederholung ... Permutationen mit k Gruppen gleicher Elemente Anzahl der Elemente je Gruppe p$-i$+ Permutation mit Wiederholung = n!/(p$-1$+! * p$-2$+! * ... p$-k$+!) &Permutationen mit Fixpunkt Ist P eine Permutation von n Elementen {1,2,...,i,...,n}, so hei▀t jedes i aus dieser Menge Fixpunkt, wenn dieses Element innerhalb der Permutation an i.-ter Stelle auftritt. genau ein Fixpunkt:$+$+ $2 k$+$+ $1P = $S (-1)$+i+1$- ( $+$+k$-$-$-$-$=i $+$+ ) i*(k - i)!$+$+ $2i = 1 mindestens ein Fixpunkt:$+$+ $2 k$+$+ $1P = $S (-1)$+i+1$- ( $+$+k$-$-$-$-$=i $+$+ ) (k - i)!$+$+ $2i = 1$-$- * # &Variation ºVariation ... Auswahl von k Elementen aus n Elementen mit Berⁿcksichtigung der Anordnung Variation ohne Wiederholung = n!/(n-k)! Variation mit Wiederholungen = n$+k$- &Kombination ºKombination ... Auswahl von k Elementen aus n Elementen ohne Berⁿcksichtigung der Anordnung Kombination ohne Wiederholung = n!/((n-k)!*k!) &Kombination mit Wiederholungen ... jede Kombination darf dasselbe Element mehrfach enthalten $3= (n+k-1)!/(k!*(n-1)!) die von den n Elementen m vorgegebene enthalten $3= (n-m)!/((k-m)!*(n-k)!) die von den n Elementen m vorgegebene nicht enthalten$1= (n-m)!/(k!*(n-m-k)!) die mindestens eines von den m vorgegebenen Elementen aus den n Elementen enthalten $3= n!/(k!(n-k)!)) - (n-m)!/(k!*(n-m-k)!) [11] #Binomialkoeffizient ºBinomialkoeffizient ( $+$+n$-$-$-$-$=k$+$+ ) = n! / (k! * (n - k)! ) = [n (n-1) (n-2) ... (n-k+1)] / k! Gesetze ( $+$+n$-$-$-$-$=0$+$+ ) = 1$2( $+$+n$-$-$-$-$=1$+$+ ) = n$2( $+$+n$-$-$-$-$=k$+$+ ) = ( $+$+n$-$-$-$-$=n-k$+$+ ) $-$-( $+$+n$-$-$-$-$=k$+$+ ) + ( $+$+n$-$-$-$-$=k+1$+$+ ) = ( $+$+n+1$-$-$-$-$=$=$=k+1$+$+ ) $-$-( $+$+n$-$-$-$-$=k+1$+$+ ) = ( $+$+n$-$-$-$-$=k$+$+ ) * (n-k) / (k+1) $-$-( $+$+k$-$-$-$-$=k$+$+ ) + ( $+$+k+1$-$-$-$-$=$=$=k $+$+ ) + ... + ( $+$+n$-$-$-$-$=k$+$+ ) = ( $+$+n+1$-$-$-$-$=$=$=k+1$+$+ ) $-$-( $+$+n$-$-$-$-$=0$+$+ ) + ( $+$+n$-$-$-$-$=2$+$+ ) + ( $+$+n$-$-$-$-$=4$+$+ ) + ... = 2$+n-1$- $-$-( $+$+n$-$-$-$-$=1$+$+ ) + ( $+$+n$-$-$-$-$=3$+$+ ) + ( $+$+n$-$-$-$-$=5$+$+ ) + ... = 2$+n-1$- $-$-( $+$+n$-$-$-$-$=0$+$+ ) - ( $+$+n$-$-$-$-$=1$+$+ ) + ( $+$+n$-$-$-$-$=2$+$+ ) - + ... = 0 $-$-( $+$+n$-$-$-$-$=0$+$+ )▓ + ( $+$+n$-$-$-$-$=1$+$+ )▓ + ( $+$+n$-$-$-$-$=2$+$+ )▓ + ... = ( $+$+2n$-$-$-$-$=$=n $+$+ ) #Binomischer Satz ºBinomischer Satz (a+b)$+n$- = ( $+$+n$-$-$-$-$=0$+$+ )a$+n$- + ( $+$+n$-$-$-$-$=1$+$+ )a$+n-1$-b + ( $+$+n$-$-$-$-$=2$+$+ )a$+n-2$-b$+2$- + ... + $2$-$-+ ( $+$+n$-$-$-$-$=n-1$+$+ )ab$+n-1$- + ( $+$+n$-$-$-$-$=n$+$+ )b$+n$- $-$-(a-b)$+n$- = ( $+$+n$-$-$-$-$=0$+$+ )a$+n$- - ( $+$+n$-$-$-$-$=1$+$+ )a$+n-1$-b + ( $+$+n$-$-$-$-$=2$+$+ )a$+n-2$-b$+2$- - + ... + $2$-$-(-1)$+n-1$-+ ( $+$+n$-$-$-$-$=n-1$+$+ )ab$+n-1$- + (-1)$+n$-( $+$+n$-$-$-$-$=n$+$+ )b$+n$- $+$+$+$+$+$+$+$+$+$+$+$+$+$+$+$+ * $-$-(a$+n$--b$+n$-) = (a-b) * (a$+n-1$- + a$+n-2$-b + ... + ab$+n-2$- + b$+n-1$-) #Pascalsches Dreieck ºPascalsches Dreieck n=0$11 n=1$11$11 n=2$11$12$11 n=3$11$13$13$11 n=4$11$14$16$14$11 n=5$11$15$110$110$15$11 n=6$11$16$115$120$115$16$11 n=7$11$17$121$135$135$121$17$11 n=8$11$18$128$156$170$156$128$18$11 n=9$11$19$136$184$1126 126 84$136$19$11 $+$+$+$+ $+$+$+$+ [12] #Komplexe Zahlen ºKomplexe Zahlen Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar [a,b] reeller Zahlen. a ... Realteil, b ... ImaginΣrteil &imaginΣre Einheit i :$2 i▓ = -1 Darstellungsformen {3036 $6geordnetes Paar z = [a,b] $6linear$2z = a + b * i $6trigonometrisch $7z = r * (cos $f + i * sin $f) $6Exponentialform$1z = r * e$+i$f$- Umrechnungsformeln $1a = r cos $f$3b = r sin $f $1r▓ = a▓ + b▓$3cos $f = a/r, sin $f = b/r $1| r | ... Betrag$3fⁿr z = 0 ist $f unbestimmt Potenzen der imaginΣren Einheit $1i$+4k$- = 1$1i$+4k+1$- = i$1i$+4k+2$- = -1$1i$+4k+3$- = -i, k $╬ Z Eulersche Formel ºEulersche Formel $1e$+i$f$- = cos $f + i * sin $f = e$+i($f+2k$p)$-, k $╬ Z $1e$+2i$p$- = 1$1e$+i$p$- = -1 $1e$+i$p/2$- = i$1e$+3i$p/2$- = -i * #Rechenoperationen {3138 &$6Addition $6z$-1$+ $▒ z$-2$+ = [ a$-1$+$▒a$-2$+ , b$-1$+$▒b$-2$+ ] $6Graphische Addition $6...Vektoraddition &Multiplikation $1z$-1$+ * z$-2$+$2= [ a$-1$+a$-2$+ - b$-1$+b$-2$+ , a$-1$+b$-2$+ + b$-1$+a$-2$+ ] goniometrisch$1= r$-1$+r$-2$+ [cos($f$-1$++$f$-2$+) + i sin($f$-1$++$f$-2$+)] exponentiell$1= r$-1$+r$-2$+ e$+i($f$-1$+$f$-2$+)$- {3139 $5Graphische Multiplikation $51.Addition der Winkel $a und $b $52.Ermittlung des Winkels $w in 1 $53.Antragen von $w in z # $1z▓ = a▓ + 2ab i + b▓ $1z│ = a│ + 3a▓b i - 3ab▓ - b▓ i $1z$+4$- = a$+4$- + 4a│b i - 6a▓b▓ - 4ab│ i + b$+4$- [13] #&Division $1z$-1$+ / z$-2$+$2= [ ( a$-1$+a$-2$+ + b$-1$+b$-2$+ ) / ( a$-2$+▓ + b$-2$+▓ ) , $4( b$-1$+a$-2$+ + b$-2$+a$-1$+ ) / ( a$-2$+▓ + b$-2$+▓ ) ] goniometrisch$1= r$-1$+/r$-2$+ [cos($f$-1$+ - $f$-2$+) + i sin($f$-1$+ - $f$-2$+)] exponentiell$1= r$-1$+/r$-2$+ e$+i($f$-1$+ - $f$-2$+)$- &Konjugiert komplexe Zahlen z$-2$+=a-bi ist zu z$-1$+=a+bi konjugiert komplex und es gilt $1z$-1$+ + z$-2$+= 2a$4z$-1$+ - z$-2$+= 2b i $1z$-1$+ * z$-2$+= a▓+b▓ (Norm)$11/z$-1$+ = z$-2$+/|z$-1$+|▓ &Moivresche Formel ºMoivresche Formel $2z$+n$- = r$+n$- * [ cos (n$f) + i * sin (n$f) ] = r$+n$- e$+in$f$- {3140 $6Komplexe Einheitswurzel $6Beispiel: $+6$-$╓z $6Betrag ... 1 $6Winkel ... k * 60░ #Natⁿrlicher Logarithmus $1z = r e$+i$f$-, z<>0 $▐ $1ln z = ln [r (cos $f + i sin $f) ] = ln r + i ($f + 2k$p), $1k $╬ Z * #Exponential- und Logarithmusfunktion ºFunktionen komplexer Zahlen e$+x+iy$- = e$+x$- * cos x + i e$+x$- * sin y $3= (cosh x + sinh x) * (cos y + i sin y) log(x+iy) = 1/2 [ log(x▓ + y▓) + i arctan(y/x) ] ln(x+iy) = 1/2 ln(x▓+y▓) + i* [ arctan(y/x) + 2k$p ] z$+z$- = e$+z * log z$- #Trigonometrische und hyperbolische Funktionen sin(x+iy) = sin x * cosh y + i cos x * sinh y cos(x+iy) = cos x * cosh y - i sin x * sinh y tan(x+iy) = sin 2x / (cos 2x + cosh 2y ) $3+ i sinh 2y / (cos 2x + cosh 2y ) cot(x+iy) = (sin 2 x - i*sinh 2y ) / (cosh 2y - cos 2x) sinh(x+iy) = sinh x * cos y + i cosh x sin y cosh(x+iy) = cosh x * cos y + i sinh x sin y tanh(x+iy) = sinh 2x / (cosh 2x + cos 2y ) $3+ i sin 2y / (cosh 2x + cos 2y ) coth(x+iy) = (sinh 2 x - i*sin 2y ) / (cosh 2x - cos 2y) [14] #Vektorrechnung ºVektorrechnung Eine Menge V hei▀t Vektorraum, wenn fⁿr ihre Elemente (Vektoren) eindeutige, stets ausfⁿhrbare Addition und Multiplikation definiert sind und es gilt: $" a$+$+$=$«$-$-, b$+$+$=$«$-$-, c$+$+$=$«$-$- $╬ V und r,s $╬ R 1. Kommutativgesetz$2a$+$+$=$«$-$- + b$+$+$=$«$-$- = b$+$+$=$«$-$- + a$+$+$=$«$-$- 2. Assoziativgesetz$2(a$+$+$=$«$-$-+b$+$+$=$«$-$-)+c$+$+$=$«$-$- = a$+$+$=$«$-$-+(b$+$+$=$«$-$-+c$+$+$=$«$-$-) 3. Zu je zwei a$+$+$=$«$-$-, b$+$+$=$«$-$- gibt es stets genau ein c$+$+$=$«$-$- mit $2a$+$+$=$«$-$- + c$+$+$=$«$-$- = b$+$+$=$«$-$- 4. 1a$+$+$=$«$-$- = a$+$+$=$«$-$- 5. Distributivgesetz$3(r+s) a$+$+$=$«$-$- = r a$+$+$=$«$-$- + s a$+$+$=$«$-$- 6. Distributivgesetz$3r (a$+$+$=$«$-$- + b$+$+$=$«$-$-) = r a$+$+$=$«$-$- + r b$+$+$=$«$-$- 7. Assoziativgesetz$2r (s a$+$+$=$«$-$-) = (rs) a$+$+$=$«$-$- Ein Vektor ist durch seinen Betrag (LΣnge) sowie Rich- tung und Orientierung charakterisiert. Nullvektor o$+$+$=$«$-$- $█ Betrag = 0 Enheitsvektor $█ Betrag = 1 entgegengesetzter Vektor zu a$+$+$=$«$-$- $█ gleicher Betrag, $2gleiche Richtung, entgegengesetzte Orientierung * {3044 &$8Kartesisches &$8orthonomiertes &$8Koordinatensystem ... $8Punkt 0 und $8paarweise senkrecht $8aufeinander stehende $8Einheitsvektoren $8i$+$+$+$=$«$-$-$-, j$+$+$+$=$«$-$-$-, k$+$+$+$=$«$-$-$- i$+$+$+$=$«$-$-$-, j$+$+$+$=$«$-$-$-, k$+$+$+$=$«$-$-$- bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem Ortsvektor des Punktes P$-1$+(x$-1$+,y$-1$+,z$-1$+) $2x$+$+$+$=$«$-$-$- = x$-1$+ i$+$+$+$=$«$-$-$- + y$-1$+ j$+$+$+$=$«$-$-$- + z$-1$+ k$+$+$+$=$«$-$-$- Komponentendarstellung$1x$+$+$+$=$«$-$-$- = (a$-x$+, a$-y$+, a$-z$+) Betrag eines Vektors$2| x$+$+$+$=$«$-$-$- | = $╓[ a$-x$+▓ + a$-y$+▓ + a$-z$+▓ ] &Richtungskosinus des Ortsvektors r$+$+$+$=$«$-$-$- in der Ebene $1x = | r$+$+$+$=$«$-$-$- | cos $a$1y = | r$+$+$+$=$«$-$-$- | sin $a$1$a = $╨ ( i$+$+$+$=$«$-$-$-, r$+$+$+$=$«$-$-$- ) im Raum $1x = | r$+$+$+$=$«$-$-$- | sin $b cos $a$1y = | r$+$+$+$=$«$-$-$- | sin $b sin $a $1z = | r$+$+$+$=$«$-$-$- | cos $b $1$a = $╨ ( i$+$+$+$=$«$-$-$-, i$+$+$+$=$«$-$-$- x + j$+$+$+$=$«$-$-$- y)$1$b = $╨ ( k$+$+$+$=$«$-$-$-, r$+$+$+$=$«$-$-$- ) [15] & {3090 &$6Addition von 2 Vektoren ºVektoraddition $7a$+$+$+$=$«$-$-$- + b$+$+$+$=$«$-$-$- = $7= (a$-x$++b$-x$+, a$-y$++b$-y$+, a$-z$++b$-z$+) Subtraktion $1a$+$+$+$=$«$-$-$- - b$+$+$+$=$«$-$-$- = a$+$+$+$=$«$-$-$- + (-b$+$+$+$=$«$-$-)$- &Dreiecksungleichung $1| a$+$+$+$=$«$-$-$- + b$+$+$+$=$«$-$-$- | <= | a$+$+$+$=$«$-$-$- | + | b$+$+$+$=$«$-$-$- | $1| a$+$+$+$=$«$-$-$- - b$+$+$+$=$«$-$-$- | >= | a$+$+$+$=$«$-$-$- | - | b$+$+$+$=$«$-$-$- | #Multiplikation von Vektoren ºMultiplikation von Vektoren &Vielfachbildung mit Skalar $1r a$+$+$+$=$«$-$-$- = r a$-1$+x$+$+$+$=$«$-$-$- + r a$-y$+ j$+$+$+$=$«$-$-$- + r a$-z$+ k$+$+$+$=$«$-$-$- $1r (s a$+$+$+$=$«$-$-$-) = (rs) a$+$+$+$=$«$-$-$- $1r (a$+$+$+$=$«$-$-$- + b$+$+$+$=$«$-$-$-) r a$+$+$+$=$«$-$-$- + r b$+$+$+$=$«$-$-$- $1(r + s) a$+$+$+$=$«$-$-$- = r a$+$+$+$=$«$-$-$- + s a$+$+$+$=$«$-$-$- $10 a$+$+$+$=$«$-$-$- = o$+$+$+$=$«$-$-$-$41 a$+$+$+$=$«$-$-$- = a$+$+$+$=$«$-$-$- ParallelitΣt von Vektoren $1a$+$+$+$=$«$-$-$- = $l b$+$+$+$=$«$-$-$- $█ $m a$+$+$+$=$«$-$-$- = b$+$+$+$=$«$-$-$- $█ $2$█ linear abhΣngige Vektoren $█ $2$█ kollineare Vektoren * #&Skalarprodukt (inneres Produkt) ºSkalarprodukt $1a$+$+$+$=$«$-$-$- * b$+$+$+$=$«$-$-$- = a$-x$+b$-x$+ + a$-y$+b$-y$+ + a$-z$+b$-z$+ $3= | a$+$+$+$=$«$-$-$- | * | b$+$+$+$=$«$-$-$- | * cos $╨ (a$+$+$+$=$«$-$-$-,b$+$+$+$=$«$-$-$-) Es gilt: $1i$+$+$+$=$«$-$-$- * i$+$+$+$=$«$-$-$- = j$+$+$+$=$«$-$-$- * j$+$+$+$=$«$-$-$- = k$+$+$+$=$«$-$-$- * k$+$+$+$=$«$-$-$- = 1 $1i$+$+$+$=$«$-$-$- * j$+$+$+$=$«$-$-$- = j$+$+$+$=$«$-$-$- * k$+$+$+$=$«$-$-$- = i$+$+$+$=$«$-$-$- * k$+$+$+$=$«$-$-$- = 0 $1a$+$+$+$=$«$-$-$- $^ b$+$+$+$=$«$-$-$- $▐ a$+$+$+$=$«$-$-$- * b$+$+$+$=$«$-$-$- = 0 Es gelten: Kommutativ- und Distributivgesetz Das Assoziativgesetz gilt nicht ! Schwarzsche Ungleichung:$1| a$+$+$+$=$«$-$-$- * b$+$+$+$=$«$-$-$- | <= | a$+$+$+$=$«$-$-$- | * | b$+$+$+$=$«$-$-$- | $1a$+$+$+$=$«$-$-$- * b$+$+$+$=$«$-$-$- = | a$+$+$+$=$«$-$-$- | * | b$+$+$+$=$«$-$-$- | , wenn a$+$+$+$=$«$-$-$- $¡$¡ b$+$+$+$=$«$-$-$- $1a$+$+$+$=$«$-$-$- * b$+$+$+$=$«$-$-$- = - | a$+$+$+$=$«$-$-$- | * | b$+$+$+$=$«$-$-$- | , wenn a$+$+$+$=$«$-$-$- $¡$» b$+$+$+$=$«$-$-$- Kosinussatz $1( a$+$+$+$=$«$-$-$- + b$+$+$+$=$«$-$-$- ) = a$+$+$+$=$«$-$-$-▓ + 2 a$+$+$+$=$«$-$-$- b$+$+$+$=$«$-$-$- + b$+$+$+$=$«$-$-$-▓ $1( a$+$+$+$=$«$-$-$- - b$+$+$+$=$«$-$-$- ) = a$+$+$+$=$«$-$-$-▓ - 2 a$+$+$+$=$«$-$-$- b$+$+$+$=$«$-$-$- + b$+$+$+$=$«$-$-$-▓ $1| a$+$+$+$=$«$-$-$- + b$+$+$+$=$«$-$-$- | = $╓[ a$+$+$+$=$«$-$-$-▓ + 2 a$+$+$+$=$«$-$-$- b$+$+$+$=$«$-$-$- + b$+$+$+$=$«$-$-$-▓ ] $1| a$+$+$+$=$«$-$-$- - b$+$+$+$=$«$-$-$- | = $╓[ a$+$+$+$=$«$-$-$-▓ - 2 a$+$+$+$=$«$-$-$- b$+$+$+$=$«$-$-$- + b$+$+$+$=$«$-$-$-▓ ] LΣngskomponente von a$+$+$+$=$«$-$-$- in Richtung b$+$+$+$=$«$-$-$- $1a$-b$+$+$+$+$=$«$-$-$- = a$+$+$+$=$«$-$-$- * b$+$+$+$=$«$-$-$- / | b$+$+$+$=$«$-$-$- | [16] #&Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ºVektorprodukt ... Vektor c$+$+$+$=$«$-$-$- = a$+$+$+$=$«$-$-$- x b$+$+$+$=$«$-$-$- mit folgenden Eigenschaften $╖$1| c$+$+$+$=$«$-$-$- | = | a$+$+$+$=$«$-$-$- | * | b$+$+$+$=$«$-$-$- | * sin $╨ (a$+$+$+$=$«$-$-$-,b$+$+$+$=$«$-$-$-) {3091 $7$╖ c$+$+$+$=$«$-$-$- $^ a$+$+$+$=$«$-$-$- und c$+$+$+$=$«$-$-$- $^ b$+$+$+$=$«$-$-$- $7$╖ a$+$+$+$=$«$-$-$-, b$+$+$+$=$«$-$-$-, c$+$+$+$=$«$-$-$- bilden in dieser $7Reihenfolge ein $7Rechtssystem Das Vektorprodukt ist dem Betrage nach gleich der FlΣche des von a$+$+$+$=$«$-$-$- und b$+$+$+$=$«$-$-$- gebildeten Parallelogramms Es gilt: $1i$+$+$+$=$«$-$-$- x i$+$+$+$=$«$-$-$- = j$+$+$+$=$«$-$-$- x j$+$+$+$=$«$-$-$- = k$+$+$+$=$«$-$-$- x k$+$+$+$=$«$-$-$- = 0 $1i$+$+$+$=$«$-$-$- x j$+$+$+$=$«$-$-$- = k$+$+$+$=$«$-$-$-$2i$+$+$+$=$«$-$-$- x k$+$+$+$=$«$-$-$- = - j$+$+$+$=$«$-$-$-$2j$+$+$+$=$«$-$-$- x k$+$+$+$=$«$-$-$- = i$+$+$+$=$«$-$-$- $1a$+$+$+$=$«$-$-$- x b$+$+$+$=$«$-$-$- = - b$+$+$+$=$«$-$-$- x a$+$+$+$=$«$-$-$- $1a$+$+$+$=$«$-$-$- x (b$+$+$+$=$«$-$-$- + c$+$+$+$=$«$-$-$-) = a$+$+$+$=$«$-$-$- x b$+$+$+$=$«$-$-$- + a$+$+$+$=$«$-$-$- x c$+$+$+$=$«$-$-$- Komponentendarstellung {3095 $5= a$+$+$+$=$«$-$-$- x b$+$+$+$=$«$-$-$- = $5= (a$-y$+b$-z$+ - a$-z$+b$-y$+) i$+$+$+$=$«$-$-$- + (a$-z$+b$-x$+ - a$-x$+b$-z$+) j$+$+$+$=$«$-$-$- + $6+ (a$-x$+b$-y$+ - a$-y$+b$-x$+) k$+$+$+$=$«$-$-$- * & {3104 #$7Spatprodukt ºSpatprodukt $7Das Spatpodukt ist dem $7Betrage nach gleich dem Volumen des von a$+$+$+$=$«$-$-$-, b$+$+$+$=$«$-$-$- und c$+$+$+$=$«$-$-$- aufgespannten Parallelepipeds (Spat). Volumen V = (a$+$+$+$=$«$-$-$- x b$+$+$+$=$«$-$-$-) * | c$+$+$+$=$«$-$-$- | cos $f {3096 $5= a$+$+$+$=$«$-$-$- * b$+$+$+$=$«$-$-$- * c$+$+$+$=$«$-$-$- = (a$+$+$+$=$«$-$-$- x b$+$+$+$=$«$-$-$-) * c$+$+$+$=$«$-$-$- = $5= a$+$+$+$=$«$-$-$- * (b$+$+$+$=$«$-$-$- x c$+$+$+$=$«$-$-$-) = [a$+$+$+$=$«$-$-$-b$+$+$+$=$«$-$-$-c$+$+$+$=$«$-$-$-] V = 0 $█ 3 Punkte liegen in einer Ebene #Tripelprodukt (Vektorielles Doppelprodukt) ºTripelprodukt Entwicklungssatz a$+$+$+$=$«$-$-$- x (b$+$+$+$=$«$-$-$- x c$+$+$+$=$«$-$-$-) = (a$+$+$+$=$«$-$-$- * c$+$+$+$=$«$-$-$-) * b$+$+$+$=$«$-$-$- - (a$+$+$+$=$«$-$-$- * b$+$+$+$=$«$-$-$-) * c$+$+$+$=$«$-$-$- a$+$+$+$=$«$-$-$- x (b$+$+$+$=$«$-$-$- x c$+$+$+$=$«$-$-$-) <> (a$+$+$+$=$«$-$-$- x b$+$+$+$=$«$-$-$-) x c$+$+$+$=$«$-$-$- [17] #&Produkte mit vier Vektoren (a$+$+$+$=$«$-$-$- x b$+$+$+$=$«$-$-$-) * (c$+$+$+$=$«$-$-$- x d$+$+$+$=$«$-$-$-) = $1= (a$+$+$+$=$«$-$-$- * c$+$+$+$=$«$-$-$-) * (b$+$+$+$=$«$-$-$- * d$+$+$+$=$«$-$-$-) - (b$+$+$+$=$«$-$-$- * c$+$+$+$=$«$-$-$-) * (a$+$+$+$=$«$-$-$- * d$+$+$+$=$«$-$-$-) (a$+$+$+$=$«$-$-$- x b$+$+$+$=$«$-$-$-) ▓ = a$+$+$+$=$«$-$-$-▓ + b$+$+$+$=$«$-$-$-▓ - (a$+$+$+$=$«$-$-$- * b$+$+$+$=$«$-$-$-)▓ (a$+$+$+$=$«$-$-$- x b$+$+$+$=$«$-$-$-) x (c$+$+$+$=$«$-$-$- x d$+$+$+$=$«$-$-$-) = c$+$+$+$=$«$-$-$- [a$+$+$+$=$«$-$-$-b$+$+$+$=$«$-$-$-d$+$+$+$=$«$-$-$-] - d$+$+$+$=$«$-$-$- [a$+$+$+$=$«$-$-$-b$+$+$+$=$«$-$-$-c$+$+$+$=$«$-$-$-] $5= b$+$+$+$=$«$-$-$- [a$+$+$+$=$«$-$-$-c$+$+$+$=$«$-$-$-d$+$+$+$=$«$-$-$-] - a$+$+$+$=$«$-$-$- [b$+$+$+$=$«$-$-$-c$+$+$+$=$«$-$-$-d$+$+$+$=$«$-$-$-] ((a$+$+$+$=$«$-$-$- x b$+$+$+$=$«$-$-$-) x c$+$+$+$=$«$-$-$-) x d$+$+$+$=$«$-$-$- = $2=(a$+$+$+$=$«$-$-$- * c$+$+$+$=$«$-$-$-) * (b$+$+$+$=$«$-$-$- x d$+$+$+$=$«$-$-$-) - (b$+$+$+$=$«$-$-$- * c$+$+$+$=$«$-$-$-) * (a$+$+$+$=$«$-$-$- x d$+$+$+$=$«$-$-$-) #&Basis eines Vektorraumes ... ein in einer festen Reihenfolge angeordnetes linear unabhΣngiges System B$-n$+ von Vektoren aus V$-n$+ mit der Eigenschaft, da▀ sich jeder Vektor aus V$-n$+ auf genau eine Weise als Linearkombination der Elemente von B$-n$+ darstellen lΣ▀t. * #Matrizen ºMatrizen Matrix vom Typ (m,n) ... rechteckig angeordnetes Schema von m*n Gr÷▀en (m Zeilen, n Spalten), den Elementen a$-ij$+. Reihen... Zeilen,Spalten &Darstellung {3059 # $7= A$-(m,n)$+ = (a$-ik$+)$-(m,n)$+ # $1m = n $█ n-reihige quadratische Matrix $1a$-11$++a$-22$+...+a$-nn$+ $█ Spur der Matrix $1a$-ij$+=0 fⁿr i<>j $█ Diagonalmatrix $1a$-ij$+=0 fⁿr i<>j und a$-ij$+=1 fⁿr i=j $█ Einheitsmatrix E $1a$-ij$+=0 fⁿr alle i,j $█ Nullmatrix O Vertauschen der Zeilen und Spalten fⁿhrt zur &transponierten Matrix A$+T$- $1(A$+T$-)$+T$- = A$2(A + B)$+T$- = A$+T$- + B$+T$- $1A = A$+T$- $█ symmetrische quadratische Matrix [18] & $1A = - A$+T$- $█ antisymmetrische Matrix Eine Matrix a mit nur einer Reihe hei▀t ... Vektor $2a = ( a$-1$+ a$-2$+ a$-3$+ ... a$-n$+ ) $2mit nur einer Zeile $▐ Zeilenvektor $2mit nur einer Spalte $▐ Spaltenvektor #Matrizengesetze ºMatrizengesetze Gleichheit von Matrizen$1A = B $█ a$-ik$+ = b$-ik$+, $" i,k Summe zweier Matrizen$1C = A ▒ B $█ ( a$-ik$+ ▒ b$-ik$+ ) Kommutativgesetz$3A + B = B + A Assoziativgesetz$3(A + B) + C = A + (B + C) Multiplikation mit einer reellen Zahl (Skalar) $7k A = k(a$-ik$+) = (k a$-ik$+) Distributivgesetz$3k (A + B) = k A + k B $7(k ▒ l) A = k A ▒ l A #Skalares Produkt ... von Zeilenvektor a mit dem Spaltenvektor b $1a$-1$+b$-1$+ + a$-2$+b$-2$+ + ... + a$-n$+b$-n$+ &Produkt von Matrizen Das Element c$-ik$+ des Matrizenproduktes C = A*B * ergibt sich als skalares Produkt des i.ten Zeilenvektors von A mit dem k.ten Spaltenvektor von B Voraussetzung: Spaltenzahl von A = Zeilenzahl von B #&Multiplikationsgesetze Kommutativgesetz gilt nicht ! A * B $╣ B * A (A * B)$+T$- = B$+T$- * A$+T$- A * E = E * A$2A * O = O * A = O A * B = O bedeutet nicht notwendig A = O oder B = O A * (B + C) = A * B + A * C #&Inverse Matrix, Kehrmatrix ºInverse Matrix Zwei quadratische Matrizen A, A$+-1$- hei▀en zueinander invers $█ A * A$+-1$- = A$+-1$- * A = E und es gilt (A$+-1$-)$+-1$- = A (A * B)$+-1$- = B$+-1$- * A$+-1$- (A$+T$-)$+-1$- = (A$+-1$-)$+T$-, kontragrediente Matrix zu A Rang r(A) ... Anzahl der linear unabhΣngigen Zeilen in A Matrix A hei▀t regulΣr $█ A$+-1$- existiert $█ r(A) = n Matrix A hei▀t singulΣr $█ A$+-1$- existiert nicht $█ r(A) < n [19] #Lineares Gleichungssystem ºLineares Gleichungssystem Ein lineares Gleichungssystem kann in der Form $3A * x = b dargestellt werden. A ... Koeffizientenmatrix b ... Vektor der Absolutglieder x ... L÷sungsvektor #Gau▀scher L÷sungsalgorithmus ºGau▀scher L÷sungsalgorithmus Umwandlung der Koeffizientenmatrix in eine Dreiecks- matrix mit folgenden Σquivalente Umformungen: - Vertauschen von Gleichungen - Multiplikation einer Gleichung mit einer konstanten, reellen Zahl <>0 - Addition des Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen (Linearkombination) #Diophantische Gleichungen ºDiophantische Gleichungen ...Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten und Variablen linear 2.Grades$2a x + b y = c; a,b,c,x,y $╬ Z * L÷sbar mit unendlich vielen L÷sung $█ ggT(a,b) teilt c #Determinante ºDeterminante ... Funktion, die einer n-reihigen quadratischen Matrix eindeutig eine reelle Zahl zuordnet n ... Ordnung der Determinante a$-ik$+ ... Elemente der Determinanten, i Zeile, k Spalte Hauptdiagonale $█ a$-11$+ a$-22$+ ... a$-nn$+ Nebendiagonale $█ a$-1n$+ a$-2(n-1)$+ ... a$-n1$+ &Berechnung der zweireihigen Determinante {3093 $4= a$-1$+ * a$-4$+ - a$-2$+ * a$-3$+ Die zum Elemente a$-ik$+ geh÷rende Adjunkte A$-ik$+ ist die Determinante (n-1).Ordnung, die durch Streichen der i.ten Zeile und k.ten Spalte, multipliziert mit (-1)$+i+k$- entsteht. #&Determinantenentwicklung nach den Elementen der i.ten Zeile $1D = a$-i1$+ A$-i1$+ + a$-i2$+ A$-i2$+ + ... + a$-in$+ A$-in$+ [20] & nach den Elementen der k.ten Spalte $1D = a$-1k$+ A$-1k$+ + a$-2k$+ A$-2k$+ + ... + a$-nk$+ A$-nk$+ #Sarrusche Regel ºSarrusche Regel {3094 $5= (a$-1$+ * a$-5$+ * a$-9$+) + (a$-2$+ * a$-6$+ * a$-7$+) + $5+ (a$-3$+ * a$-4$+ * a$-8$+) - (a$-1$+ * a$-6$+ * a$-8$+) - $5- (a$-2$+ * a$-4$+ * a$-9$+) - (a$-3$+ * a$-5$+ * a$-7$+) #&Determinantengesetze 1. Vertauschen der Zeilen mit den gleichstelligen Spalten Σndert den Wert nicht. 2. Vertauschen von zwei parallelen Reihen Σndert das Vorzeichen. 3. Ein allen Elementen einer Reihe gemeinsamer Faktor kann ausgehoben werden, auch umgekehrt 4. Addition der Elemente einer Reihe zu einer parallelen Reihe Σndert den Wert nicht. 5. Ein Determinante hat den Wert 0, wenn - die Elemente von zwei parallelen Reihen proportional sind * - die Elemente einer Reihe Linearkombinationen der Elemente paralleler Reihen sind - alle Elemente einer Reihe Null sind #Cramersche Regel ºCramersche Regel Gegeben sei ein Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Variablen D ... Koeffizientendeterminante D$-xk$+ ... ZΣhlerdeterminante, entsteht aus D indem $2die Koeffizienten a$-ik$+ von x$-k$+ durch die $2Absolutglieder b$-i$+ ersetzt werden L÷sung:$2x$-k$+ = D$-xk$+ / D, k = 1,2,3,...,n #&L÷sbarkeitsregeln D $╣ 0 und D$-xk$+ reell $▐ eindeutige L÷sung D = 0 und alle D$-xk$+ = 0 $▐ unendliche L÷sungsmenge D = 0 und ein D$-xk$+ $╣ 0 $▐ leere L÷sungsmenge [21] #Spezielle Gleichungssysteme &Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen $1a$-11$+x + a$-12$+y = b$-1$+ $1a$-21$+x + a$-22$+y = b$-2$+ L÷sung$1x = (a$-22$+b$-1$+ - a$-12$+b$-2$+) / (a$-11$+a$-22$+ - a$-12$+a$-21$+) $3y = (a$-11$+b$-2$+ - a$-21$+b$-1$+) / (a$-11$+a$-22$+ - a$-12$+a$-21$+) &Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen homogene Form $1a$-11$+x + a$-12$+y + a$-13$+z = 0 $1a$-21$+x + a$-22$+y + a$-23$+z = 0 L÷sung$1x = (a$-12$+a$-23$+ - a$-13$+a$-22$+) * t $3y = - (a$-11$+a$-23$+ - a$-13$+a$-21$+) * t $3z = (a$-11$+a$-22$+ - a$-12$+a$-21$+) * t inhomogene Form $1a$-11$+x + a$-12$+y + a$-13$+z = b$-1$+ $1a$-21$+x + a$-22$+y + a$-23$+z = b$-2$+ L÷sung bei Einzell÷sung (a,b,c) $1x = (a$-12$+a$-23$+ - a$-13$+a$-22$+) * t + a $1y = - (a$-11$+a$-23$+ - a$-13$+a$-21$+) * t + b $1z = (a$-11$+a$-22$+ - a$-12$+a$-21$+) * t + c [22] #Primzahlen ºPrimzahlen Ein Zahl p, welche nur durch sich selbst und 1 ohne Rest teilbar ist, hei▀t Primzahl Rekordprimzahlen: 12345678912345678912345678912345678912345... $1...67891234567891234567891234567 10$+506$- - 10$+253$- - 1 2$+216091$- - 1 und 2$+756839$- - 1 Primzahlzwilling ... Paar zweier Primzahlen p, p+2 Primzahlvierling ... Primzahlfolge p, p+2, p+6, p+8 Primzahlachter ... 2 Vierlinge mit Abstand 22 Beispiel: $11006301, 1006303, 1006307, 1006309 $31006331, 1006333, 1006337, 1006339. Rekordprimzahlzwilling: 1 159 142 985 * 2$+2304$- ▒ 1 WΣhrend die Unendlichkeit der Primzahlen bewiesen ist, ist dies fⁿr ...zwillinge und ...vierlinge noch nicht sicher. * #Primzahlachter ... 8 Primzahlen der Form p, p+2, p+6, p+8, p+30, p+32, p+36 und p+38. Zu finden ab p = 1006301$21030262081$24184384591 2594951$21103104361$24212028361 3919211$21282160021$24261365341 9600551$21381201271$24334286161 10531061$21427698631$24733406281 108816311$21432379951$24967697401 131445701$21443994001$25008732871 152370731$21596721331$25018508791 157131641$21948760081$25074178531 179028761$22267091941$25742636041 211950251$22473387121$25797952981 255352211$22473836941$25974467011 267587861$22574797801$26535814861 557458631$22768715371$26650694101 685124351$22838526511$26697423091 724491371$23443520131$27036740671 821357651$23501128171$27384583411 871411361$24111954961$27503957281 [23] #Verteilung der Primzahlen ºPrimzahlverteilung $p(x) ... Anzahl der Primzahlen von 1 bis x $1$▐ $p(x) $╗ Li(x) und lim ($p(x) / [x / ln x] ) = 1 &Verteilungstabelle x$2$p(x)$2x/ln x$2Li(x)$2$p(x)-Li(x) 10$+5$-$19593$28685$29630$2-37 10$+6$-$178499$272382$278628$2-129 10$+7$-$1664579$2620420$2664918$2-339 10$+8$-$15761455$15428681$15762209$1-754 10$+9$-$150847534$148254942$150849235$1-1701 &Verteilungstabelle 2; x in Millionen x$2$p(x)$2Zwillinge$1Vierlinge 1$278499$28169$2167 2$2148934$214871$2296 3$2216817$220932$2398 4$2283147$226860$2468 5$2348514$232463$2547 6$2412850$237916$2607 7$2476649$243259$2696 8$2539778$248618$2773 9$2602490$253867$2837 * x$2$p(x)$2Zwillinge$1Vierlinge 10$2664580$258980$2900 20$21270608$1107407$21469 40$22433655$1196753$22405 50$23001135$1239101$22848 60$23562116$1280558$23259 80$24669383$1361450$24035 100$15761456$1440312$24769 120$16841649$1517360$25443 140$17912200$1593174$26114 150$18444397$1630392$26452 160$18974459$1667529$26794 180$110030386$1740685$27448 200$111078938$1813371$28098 250$113679319$1991446$29567 300$116252326$11166480$110974 350$118803527$11338542$112372 400$121336327$11507733$113714 407$121689591$11531256$113901 [24] #Primzahlgesetz (?) ºPrimzahlgesetz Jones, Sato, Wada und Wiens (Alberta Kanada) entwickelten ein Polynom F, dessen positive Funk- tionswerte durchweg Primzahlen sind, falls die 26 Variablen durchweg mit natⁿrlichen Zahlen belegt werden: F(a,b,c,d,e,f,...,x,y,z) = = (k+2) * {1- (wz + h + j - q)▓ - (2n + p + q + z - e)▓ - (a▓y▓ - y▓ + 1 - x▓)▓ - [(e$+4$- + 2e│)*(a - 1)▓ - o▓]▓ - [16 (k + 1)│ (k + 2)(n + 1)▓ + 1 - f▓]▓ - [[(a + u$+4$- - u▓a▓)▓ - 1]*(n + 4dy)▓ + 1 - (x + cu)▓]▓ - (ai + k + 1 - l - i)▓ - [(gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z]▓ - [16 r▓y$+4$- (a▓ - 1) + 1 - u▓]▓ - [p - m + l(a - n - 1) + b(2an + 2a - n▓ - 2n - 2)]▓ - [z - pm + pla - p▓l + t(2ap - p▓ -1)]▓ - [q - x + y(a - p -1) + s(2ap + 2a - p▓ - 2p -2)]▓ - (a▓l▓ - l▓ + 1 - m▓)▓ - (n + l + v - y)▓} * #&Primzahlerzeugende Terme Polynom nach G.Fung $147 x▓ - 1701 x + 10181, fⁿr 1 <= x <= 42 Euler-Polynom $1x▓ + x + (p+1)/4 mit p $║ 3 mod 4 und p = 7,11,19,43,67,163 und 0<= x <= (p-3)/4 -1 #Kleiner Satz von Fermat ºKleiner Satz von Fermat Sind a,m teilerfremde natⁿrliche Zahlen $▐ $1$▐ beliebige Potenzen von a sind relativ prim zu m $1$▐ a$+n$- $║ 1 (mod m) Ist m Primzahl und ggT(a,m) = 1 $▐ $1$▐ fⁿr jedes a: a$+m-1$- $║ 1 (mod m) &Die Umkehrung gilt nicht ! Kontraposition: Gilt fⁿr irgendeine Zahl n mit ggT(a,n)=1 $2a$+n-1$- $║$=| 1 mod n so ist n zusammengesetzte Zahl [25] #&Pseudoprimzahlen ºPseudoprimzahlen Erfⁿllt eine Nichtprimzahl n den Fermattest zu einer Basis a, so hei▀t diese pseudoprim zu a. Kleinste pseudoprime Zahlen zu 2, 3 und 4 $12$+341-1$- $║ 1 mod 341 $13$+91-1$- $║ 1 mod 91$24$+15-1$- $║ 1 mod 15 &HΣufigkeit bis 25 Milliarden Basis$12$3Anzahl$121583 $22,3$54709 $22,3,5$42552 $22,3,5,7$41770 #Carmichael-Zahlen ºCarmichael-Zahlen Zahlen, welche den kleinen Satz von Fermat erfⁿllen, aber keine Primzahlen sind, hei▀en pseudoprim oder Carmichael-Zahlen. Tabelle siehe Menⁿpunkt "Spezielle Zahlen" kleinste und einzige unter 1000: $1561 = 3 * 11 * 17 bis 25 Milliarden existieren genau 2163 * #Miller-Rabin-Test ºMiller-Rabin-Test Eine natⁿrliche Zahl n mit der Zerlegung $1n = 2$+s$- * t + 1, t $║$=| 0 mod 2 hei▀t starke Pseudoprim-Zahl zur Basis a, wenn $1a$+t$- $║ 1 mod n oder a$+2$+r$-*t$- $║ - 1 mod n fⁿr ein beliebiges 0 <= r < s gilt. Bei Gⁿltigkeit der Riemannschen Vermutung gilt fⁿr die obere Grenze: 0 < a < 4 lg▓ n Starke Pseudoprimzahlen sind sehr selten. zur Basis 2,3,5 und 7 existiert bis 25 Milliarden nur eine 3215031751 = 151 * 751 * 28351 Wahrscheinlichkeit des Bestehens des Miller-Rabin- Tests fⁿr beliebiges n und a < 0.25 [26] & Der Euklidsche Unendlichkeitsbeweis fⁿr Primzahlen konstruiert das Produkt der ersten n Primzahlen + 1. $12* 3* 5* 7* 11* 13* ... *p$-n$+ + 1 Diese Zahlen k÷nnen auch zusammengesetzt sein. p$-n$+$1entstehende Zahl und deren Zerlegung 2$23 ... Primzahl 3$27 ... Primzahl 5$231 ... Primzahl 7$2211 ... Primzahl 11$1311 ... Primzahl 13$130031 = 59 * 509 17$1510511 = 19 * 97 * 277 19$19699691 = 347 * 27953 23$1223092871 = 317 * 703763 29$16469693231 = 331 * 571 * 34231 31$1200560490131 ... Primzahl 37$17420738134811 = 181 * 60611 * 676421 41$1304250263527211 = 61 * 450451 * 11072701 43$113082761331670031 = 167 * 78339888213593 47$1614889782588491411 = $2= 953 * 46727 * 13808181181 * 53$232589158477190044731 = $2= 73 * 139 * 173 * 18564761860301 59$21922760350154212639071 = $2= 277 * 3467 * 105229 * 19026377261 61$2117288381359406970983271 = $2= 223 * 525956867082542470777 67$27858321551080267055879091 = ? 71$2557940830126698960967415391 = $2= 1063 * 303049 * 598841 * 2892214489673 73$240729680599249024150621323471 = $2= 2521 * 16156160491570418147806951 79$23217644767340672907899084554131 = $2= 22093 * ?(145640916459542520612822367) [27] #Entwicklung des maximalen Primzahlabstandes ºPrimzahlabstand Abstand Intervall 1$2von 2$3bis 3 2$2von 3$3bis 5 4$2von 7$3bis 11 6$2von 23$3bis 29 8$2von 89$3bis 97 14$2von 113$2bis 127 18$2von 523$2bis 541 20$2von 887$2bis 907 22$2von 1129$2bis 1151 34$2von 1327$2bis 1361 36$2von 9551$2bis 9587 44$2von 15683$2bis 15727 52$2von 19609$2bis 19661 72$2von 31397$2bis 31469 86$2von 155921$1bis 156007 96$2von 360653$1bis 360749 112$2von 370261$1bis 370373 114$2von 492113$1bis 492227 * # 118$2von 1349533 bis 1349651 132$2von 1357201 bis 1357333 148$2von 2010733 bis 2010881 154$2von 4652353 bis 4652507 180$2von 17051707 bis 17051887 210$2von 20831323 bis 20831533 220$2von 47326693 bis 47326913 222$2von 122164747 bis 122164969 234$2von 189695659 bis 189695893 248$2von 191912783 bis 191913031 250$2von 387096133 bis 387096383 282$2von 436273009 bis 436273291 288$2von 1294268491 bis 1294268779 292$2von 1453168141 bis 1453168433 Suche bis 2 Milliarden 651 ab 2 614 941 710 599 (gr÷▀ter bek.Abstand) Eine Lⁿcke der LΣnge n-1 findet man spΣtestens zwischen n!+1 und n!+n+1; evtl. sogar gr÷▀er, je nach der Zerlegbarkeit der Intervallgrenzen [28] #Repitition-Unit-Zahlen ºRepitition-Unit-Zahlen ... Zahl bestehend aus einer Folge von Ziffern 1 $▐ Tritt in der Primfaktorzerlegung der n.ten Repitition- Unit-Zahl R$-n$+ ein Faktor k auf, so hat der Stammbruch 1/k die PeriodenlΣnge n. $▐ R$-n$+ kann nur fⁿr primes n selbst Primzahl sein, da $1(10$+pq$- - 1)/9 = (10$+p-1$-) (10$+pq-p$- + 10$+pq-2p$- + ... + 1)/9 $▐ Bekannte R$-n$+-Primzahlen $1R$-2$+, R$-19$+, R$-23$+, R$-317$+, R$-1031$+ $▐ fⁿr die 6.R$-n$+-Primzahl mu▀ n > 10000 gelten &Zerlegungstabelle der R$-n$+ $1n$1Faktoren (R-Zahlen und Primfaktoren) $12$1Primzahl $13$13, 37 $14$111, 101 $15$141, 271 $16$1R$-3$+, 7, 11, 13 $17$1239, 4649 $18$1R$-4$+, 73, 137 $19$1R$-3$+, 3, 333667 $110$1R$-5$+, 11, 9091 * 11$121649, 513239 12$1R$-6$+, 101, 9901 13$153, 79, 265371653 14$1R$-7$+, 11, 909091 15$1R$-3$+, R$-5$+, 31, 2906161 16$1R$-8$+, 17, 5882353 17$12071723, 5363222357 18$1R$-9$+, 7, 11, 13, 19, 52579 19$1Primzahl 20$1R$-10$+, 101, 3541, 27961 21$1R$-3$+, R$-7$+, 43, 1933, 10838689 22$1R$-11$+, 11$+2$-, 23, 4093, 8779 23$1Primzahl 24$1R$-12$+, 73, 137, 99990001 25$1R$-5$+, 21401, 25601, 182521213001 26$1R$-13$+, 11, 859, 1058313049 27$1R$-9$+, 3, 757, 440334654777631 28$1R$-14$+, 29, 101, 281, 121499449 29$13191, 16763, 43037, 62003, 77843839397 30$1R$-15$+, 7, 11, 13, 211, 241, 2161, 9091 31$12791, 6943319, 57336415063790604359 [29] & 32$1R$-16$+, 353, 449, 641, 1409, 69857 33$1R$-3$+, R$-11$+, 67, 1344628210313298373 34$1R$-17$+, 11, 103, 4013, 21993833369 35$1R$-5$+, R$-7$+, 71, 123551, 102598800232111471 36$1R$-18$+, 101, 9901, 999999000001 37$12028119, 247629013, $22212394296770203368013(p) 38$1R$-19$+, 11, 909090909090909091 39$1R$-3$+, R$-13$+, 900900900900990990990991(p) 40$1R$-20$+, 73, 137, 1676321, 5964848081 41$183, 1231, 538987, $2201763709900322803748657942361(p) 42$1R$-21$+, 7$+2$-, 11, 13, 127, 2689, 909091, 459691 44$1R$-22$+, 89, 101, 1052788969, 1056689261 45$1R$-15$+, 3, 238681, 333667, $24185502830133110721(p) 46$1R$-23$+, 11, 47, 139, 2531, 549797184491917 47$135121409, 316362908763458525001406... $2...154038726382279(p) 48$1R$-24$+, 17, 5882353, 9999999900000001 * 49$1R$-7$+, 505885997, $11976730144598190963568023014679333(p) 50$1R$-25$+, 11, 251, 5051, 9091, 78875943472201 51$1R$-3$+, R$-17$+, 613, 210631, 52986961, $113168164561429877 52$1R$-26$+, 101, 521, 1900381976777332243781(p) 54$1R$-27$+, 7, 11, 13, 19, 52579, 70541929, $114175966169 55$1R$-11$+, R$-5$+, 1321, 62921, 83251631, $11300635692678058358830121(p) 56$1R$-28$+, 73, 137, 7841 $1127522001020150503761(p) 57$1R$-3$+, R$-19$+, 21319, 10749631, $13931123022305129377976519(p) 58$1R$-29$+, 11, 59, $1154083204930662557781201849(p) 60$1R$-30$+, 61, 101, 3541, 9901, 27961, 4188901, $139526741 62$1R$-31$+, 11, 909090909090909090909090909091(p) 63$1R$-21$+, 3, 10837, 23311, 45613, 333667, $145121231, 1921436048294281 [30] & 64$1R$-32$+, 19841, 976193, 6187457, $2834427406578561 66$1R$-33$+, 7, 11$+2$-, 13, 23, 4093, 8779, 599144041, $2183411838171 68$1R$-34$+, 101, 28559389, 1491383821 $22324557465671829(p) 70$1R$-35$+, 11, 9091, 909091, 4147571, $2265212793249617641(p) 72$1R$-36$+, 73, 137, 3169, 98641, 99990001, $23199044596370769 75$1R$-3$+, R$-25$+, 31, 151, 4201, 2906161, $215763985553739191709164170940063151(p) 77$1R$-7$+, R$-11$+, 5237, 42043, 29920507 $213661466857600232937149644755591574... $2...0910181043(p) 78$1R$-39$+, 7, 11, 13$+2$-, 157, 859, 6397, 216451, $21058313049, 388847808493 80$1R$-40$+, 17, 5070721, 5882353, $219721061166646717498359681(p) 84$1R$-42$+, 29, 101, 281, 9901, 226549, 121499449, $24458192223320340849 * 87$1R$-3$+, R$-29$+, 4003, 72559, 310170251658... $1029759045157793237339498342763245483 90$1R$-45$+, 7, 11, 13, 19, 211, 241, 2161, 9091, 29611, $152579, 3762091, 8985695684401 (p)...Miller-Rabin-Primzahltest bis Basis 19 Noch nicht vollstΣndig zerlegt 43$1173, 1527791, $1Z[4203852214522105994074156592890477] 96$1R$-48$+, 97, 353, 449, 641, 1409, 69857, 206209, $1Z[4999431814574273133858337] 100$1R$-50$+, 101, 3541, 27961, 60101, 7019801, $1Z[23702464296258769770591950101] P[] ... Primzahl oder pseudoprim Z[] ... zusammengesetzte Zahl Weitere R$-n$+ mit n<100 noch nicht zerlegt n= 53, 59, 61, 65, 67, 69, 71, 73, 74, 76, 79, 81...83, 85, 86, 88, 89, 91...95, 97...99 [31] #&kleinste Teiler t der R$-p$+, p...Primzahl, 50<p<250 ... t bis 439 Millionen und (500-512 Millionen) 53$1107, 1659431 59$1- 61$1733, 4637, 329401, 974293 67$1493121 71$1- 73$1- 79$1317, 6163, 10271, 307627 83$1- 89$1497867, 103733951 97$112004721 101$1- 103$11031, 7034077 107$1643, 999809, 9885089, 215257037 109$11192679 113$1227 127$118797, 90679 131$180173, 109517, 141811693 137$12467 139$1- * 149$112517 151$1907, 429360649 157$1301670477 163$1- 167$118843947 173$1347 179$1359, 36558961 181$112671, 28865519 191$1- 193$1773, 39373 197$152009 199$1797, 29453, 2253079 211$1- 223$12677, 130975483 227$1- 229$19161, 43544351 233$1467, 47533 239$1479, 142847911 241$1- [32] #PeriodenlΣngen der Stammbrⁿche 1/p ºPeriodenlΣngen der Stammbrⁿche p$1 LΣnge$2p$1 LΣnge$2p$1 LΣnge 3$21$279$213$2179$1178 7$26$283$241$2181$1180 11$12$289$244$2191$195 13$16$297$296$2193$1192 17$116$2101$14$2197$198 19$118$2103$134$2199$199 23$122$2107$153$2211$130 29$128$2109$1108$1223$1222 31$115$2113$1112$1227$1113 37$13$2127$142$2229$1228 41$15$2131$1130$1233$1232 43$121$2137$18$2239$17 47$146$2139$146$2241$130 53$113$2149$1148$1251$150 59$158$2151$175$2257$1256 61$160$2157$178$2263$1262 67$133$2163$181$2269$1268 71$135$2167$1166$1271$15 73$18$2173$143$2277$169 * p$1 LΣnge$2p$1 LΣnge$2p$1 LΣnge 281$128$2409$1204$1541$1540 283$1141$1419$1418$1547$191 293$1146$1421$1140$1557$1278 307$1153$1431$1215$1563$1281 311$1155$1433$1432$1569$1284 313$1312$1439$1219$1571$1570 317$179$2443$1221$1577$1576 331$1110$1449$132$2587$1293 337$1336$1457$1152$1593$1592 347$1173$1461$1460$1599$1299 349$1116$1463$1154$1601$1300 353$132$2467$1233$1607$1202 359$1179$1479$1239$1613$151 367$1366$1487$1486$1617$188 373$1186$1491$1490$1619$1618 379$1378$1499$1498$1631$1315 383$1382$1503$1502$1641$132 389$1388$1509$1508$1643$1107 397$199$2521$152$2647$1646 401$1200$1523$1261$1653$1326 [33] #&Weitere PeriodenlΣngen 1/p kleiner 100 n$2 LΣnge$3n$2 LΣnge 733$261$34637$261 757$227$34649$27 859$226$35051$250 1231$241$35237$277 1289$292$36163$279 1321$255$36299$294 1409$232$36397$278 1933$221$37253$274 2161$230$37841$256 2531$246$38779$222 2689$242$39091$210 2791$231$39397$281 3169$272$39901$212 3191$229$310271$279 3541$220$310837$263 4003$287$314197$291 4013$234$316763$229 4093$222$317837$291 4201$275$319841$264 * n$2 LΣnge$3n$2 LΣnge 21319$257$3206209$296 21401$225$3210631$251 21649$211$3216451$278 23311$263$3226549$284 25601$225$3238681$245 27961$220$3307627$279 29611$290$3329401$261 34849$299$3333667$29 42043$277$3459691$242 43037$229$3493121$267 45613$263$3497867$289 52579$218$3513239$211 59281$295$3538987$241 62003$229$3909091$214 62921$255$3974293$261 63841$295$3976193$264 69857$232$31527791$143 72559$287$31659431$153 98641$272$31676321$140 123551$135$32028119$137 [34] & n$3 LΣnge$2n$3 LΣnge 2071723$217$257009401$286 2462401$281$270541929$254 2906161$215$283251631$255 3762091$290$299990001$224 4147571$270$2103733951$289 4188901$260$2121499449$228 4262077$291$2247629013$237 5070721$280$2262533041$285 5882353$216$2265371653$213 6187457$264$2505885997$249 6943319$231 10749631$257 10838689$221 12004721$297 28559389$268 29920507$277 35121409$247 39526741$260 45121231$263 52986961$251 * #&Weitere PeriodenlΣngen 1/p von 100 bis 250 n$2 LΣnge$3n$2 LΣnge 661$2220$21459$2162 673$2224$21483$2247 691$2230$21489$2248 739$2246$21499$2214 751$2125$21597$2133 769$2192$21601$2200 773$2193$21609$2201 797$2199$21889$2118 809$2202$21951$2195 853$2213$22281$2228 907$2151$22311$2231 997$2166$22393$2184 1031$2103$22467$2137 1061$2212$22677$2223 1201$2200$23061$2204 1213$2202$23109$2148 1237$2206$23121$2156 1249$2208$23187$2177 1423$2158$24357$2242 [35] & 4483$3249$138237$2121 4663$3222$138861$2116 4789$3228$139373$2193 4973$3226$144641$2186 5171$3110$145121$2188 6763$3161$147533$2233 8929$3144$149297$2208 9161$3229$152009$2197 11831$2169$160101$2100 12517$2149$163799$2147 12671$2181$168389$2164 15973$2121$174687$2214 18041$2220$180173$2131 18797$2127$181131$2122 18973$2153$187211$2170 24179$2154$190679$2127 25169$2242$1109517$2131 28463$2214$1111149$2148 29453$2199$1148339$2246 31051$2138$1148721$2220 31511$2115$1153469$2108 * & n$3 LΣnge$2n$3 LΣnge 162251$2250$11458973$2114 257489$2209$11485397$2242 274187$2121$11577071$2135 275521$2205$11580801$2104 290249$2142$11587221$2244 300977$2208$11594093$2213 338669$2172$11811791$2123 351391$2159$12049349$2124 355193$2232$12253079$2199 392263$2214$12520277$2183 461917$2234$12823679$2143 471241$2165$13471301$2140 590437$2154$13565183$2166 618049$2116$13662093$2217 648961$2208$14426889$2226 923441$2119$14715467$2147 999809$2107$15051749$2212 1192679$2109$15274739$2126 1246477$2209$15969449$2204 1403417$2152$17019801$2100 [36] & n$3 LΣnge$3n$2 LΣnge 7034077$2103$1130975483$2223 7444361$2154$1134703241$2204 9605671$2145$1141811693$2131 9885089$2107$1142847911$2239 10100113$2176$1143899867$2187 11910133$2153$1152533657$2136 13489841$2140$1180523201$2143 16357951$2135$1215257037$2107 16419517$2246$1301670477$2157 18453761$2160$1304077901$2228 18843947$2167$1310362841$2135 21705503$2182$1336737801$2245 22187551$2231$1429360649$2151 28865519$2181$1430148941$2236 36558961$2179$1 43544351$2229$1 44092859$2206$1 60034573$2234$1 90758677$2237$1 102860539$1206$1 [37] #Vollkommene Zahlen ºVollkommene Zahlen Eine natⁿrliche Zahl z hei▀t vollkommen, wenn sie mit der Summe aller ihrer von ihr selbst verschiedenen Teiler ⁿbereinstimmt. n$2z 2$26 3$228 5$24496 7$28128 13$133 550336 17$18589 869056 19$137438 691328 31$12 305843 008139 952128 61$12 658455 991569 831744 654692 615953 $2842176 89$1191651 942608 236107 294793 378084 $2303638 130997 321548 169216 107$1131164 036458 569648 337239 753460 $2458722 910223 472318 386943 117783 $2728128 * n$2z 127$114474 011154 664524 427946 373126 $2085988 481573 677491 474853 889066 $2354349 131199 152128 Schon Euklid wu▀te, da▀ Zahlen der Form $32$+n-1$- * (2$+n$- -1) vollkommen sind, wenn 2$+n$- - 1 eine Primzahl ist. Diese Primzahlen hei▀en Mersennesche Primzahlen. GegenwΣrtig sind nur 31 derartige Zahlen bekannt. Man kennt noch keine ungerade vollkommene Zahl. Diese mⁿ▀te gr÷▀er 10$+200$- sein (Tuckermann 1973). Jede vollkommene Zahl 2$+n-1$- * (2$+n$- -1) gr÷▀er 6 lΣ▀t sich als Summe von 2$+(n-1)/2$- ungeraden Kubik- zahlen darstellen. (nach Heath) z.B. 8128 = 1│ + 3│ + 5│ + 7│ + 9│ + 11│ + 13│ + 15│ Eine Zahl n hei▀t ... $1defizient $█ Teilersumme kleiner n $1abundant $█ Teilersumme gr÷▀er n [38] #Mersennesche Primzahlen ºMersennesche Primzahlen Primzahlen der Form 2$+n$- - 1 n$2M 2$23 3$27 5$231 7$2127 13$18191 17$1131071 19$1524287 31$12147 483647 61$12 305843 009213 693951 89$1618 970019 642690 137449 562111 107$1162 259276 829213 363391 578010 288127 127$1170 141183 465460 231731 687303 715884... $1105727 521$16 864797 660130 609714 981900 799081... $1393217 269435 300143 305409 394463 459185... $1543183 397656 052122 559640 661454 554977... $1296311 391480 858037 121987 999716 643812... $1574028 291115 057151 * 607$1531 137992 816767 098689 588206 552468... $1627329 593117 727031 923199 444138 200403... $1559860 852242 739162 502265 229285 668889... $1329486 246501 015346 579337 652707 239409... $1519978 766587 351943 831270 835393 219031... $1728127 Weitere Primzahlen erhΣlt man fⁿr n = 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 19941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 132049, 216091 Bisher gr÷▀te bekannte Mersennesche Primzahl M(31) = 2$+756839$- -1 (Juni 1992) Diese Zahl hat 227832 Stellen. Zahlen der Form 2$+n$--1 k÷nnen nur dann prim sein, wenn n selbst Primzahl ist, mⁿssen es aber nicht. &Kleinste Teiler der Nichtprimzahlen 2$+p$--1 bis 100: p$2t$4p$2t 11$223$423$247 29$2233$337$2223 41$213367$343$2431 [39] & 47$22351$353$26361 59$2179951$367$2193707721 71$2228479$373$2439 79$22687$383$2167 97$211447 Simmons, Davis, Holdridge (1982) 2$+193$- - 1 = 13 821 503 * ... $2* 61 654 440 233 248 340 616 559 * ... $2* 14 732 265 321 145 317 331 353 282 383 &Lucas-Lehmer-Kriterium ºLucas-Lehmer-Kriterium M$-n$+ ist genau dann Primzahl $█ U(n-2) = 0 mit U(0) = 4 und U(k+1) =[U(k)▓ - 2] mod M$-n$+ #Perfekte Zahlen ºPerfekte Zahlen Unter einer k-perfekten bzw. k-fach vollkommenen Zahl p versteht man eine Zahl deren vollstΣndige Teilersumme s das k Vielfache von p ist. Eine vollkommene Zahl ist 2-perfekt. k=3 : 120, 672, 523 776 k=4 : 30 240, 32 760, 2 178 540 k=5 : 14 182 439 040 * #Soziale oder befreundete Zahlen ºSoziale oder befreundete Zahlen Unter einem Paar sozialer bzw. befreundeter Zahlen versteht man zwei natⁿrliche Zahlen a und b, bei welchen die Summe ihrer echten Teiler und der 1 gerade die andere Zahl ergibt. Vollkommene Zahlen sind zu sich selbst sozial. kleinstes Paar sozialer Zahlen ist (220 ; 284). Tabelle siehe Menⁿpunkt "Spezielle Zahlen" gr÷▀tes bekanntes Paar sozialer Zahlen A = 90 2364653062 3313066515 5201592687 $20786444130 4548569003 8961540360 $25363719932 5828701918 5759580345 $22747004992 7532312907 0333233826 $27840675607 3892061566 6452384945 B = 86 2593766501 4359638769 0953818787 $21666597148 4088835777 4281383581 $26831022646 6591332953 3162256868 $23649647747 2706738497 3129580885 $23683841099 1321499127 6380031055 [40] & Sind p = 3*2$+n-1$- - 1, q = 3*2$+n$- - 1 und r =9*2$+2n-1$- - 1 gleichzeitig Primzahlen, so sind A = 2$+n$- pq und B = 2$+n$- r befreundet. (Ibn al-Bani) Paare, deren letzte Ziffern nicht gerade oder 5 sind $134765731 und 36939357 $136549413 und 140207067 Ist a$-2$+ die Teilersumme von a$-1$+, a$-3$+ die von a$-2$+, ..., und a$-1$+ die von a$-r$+, so bilden diese r Zahlen eine r-gliedrige Kette von sozialen Zahlen. Man kennt nur eine 5 gliedrige Kette (nach Poulet) $112496, 14288, 15472, 14536, 14264, 12496 ... und eine 28gliedrige Kette $114316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, $1295488, 629072, 589786, 294896, 358336, $1418904, 366556, 274924, 275444, 243760, $1376736, 381028, 285778, 152990, 122410, $197946, 48976, 46946, 22976, 22744, 19916, $117716, 14316, ... * #Primzahlen 4n+1 ºPrimzahlen der Form 4n+1 Primzahlen der Form p = 4n+1 sind eindeutig in die Summe zweier Quadratzahlen zerlegber Beispiel: 233 = 8▓ + 13▓ $21900000129 = 33352▓ + 28065▓ Nach Dirichlet (1805-1859) existieren in jeder Zahlen- folge (a+kd), in der a, d und k natⁿrliche Zahlen und ggT(a,d)=1 unendlich viele Primzahlen. Nach Tschebyschow (1821-1894) existiert in jedem Intervall [x,2x], x>1, mindestens eine Primzahl. #Teilerzahl ºTeilerzahl Primfaktorzerlegung n = p$-1$+$+$+a$-1$+$-$- p$-2$+$+$+a$-2$+$-$- ... p$-n$+$+$+a$-n$+$-$- $1$▐ Teilerzahl t = (a$-1$+ + 1) (a$-2$+ + 1) ... (a$-n$+ + 1) $1$▐ Teilerprodukt p = n$+t/2$- $1$▐ Teilersumme $1s = (p$-1$+$+$+a$-1$++1$-$- -1) / (p$-1$+ - 1) * ... * (p$-n$+$+$+a$-n$++1$-$- -1) / (p$-n$+ - 1) #Primzahlkriterium nach Wilson Eine natⁿrliche Zahl n ist Primzahl $█ n teilt (n-1)! + 1 [41] #Fermatsche Primzahlen ºFermatsche Primzahlen ... Primzahlen der Form 2$+2$+n$-$- +1 fⁿr n=0,1,2,3,4 ... Primzahlen $13, 5, 17, 257, 65537 F$-5$+ = 641 * 6700417 F$-6$+ = 274177 * 67280421310721 F$-7$+ = 59 649 589 127 497 217 * $15 704 689 200 685 129 054 721 F$-8$+ = 1 238 926 361 552 897 * $193 461 639 715 357 977 769 163 558 199 606 ... $1... 896 584 051 237 541 638 188 580 280 321 F$-9$+ hat Teiler 37*2$+16$-+1 F$-73$+ hat Teiler 188 894 559 314 785 808 547 841 F$-1945$+ hat Teiler 5 * 2$+1947$- + 1 Es ist nicht bekannt, ob au▀er den ersten 5 weitere Fermatsche Primzahlen existieren. #&Proth'sches Theorem F$-n$+ ist Primzahl $█ 3$+[ (F$-n$+-1)/2 ]$- = - 1 (mod F$-n$+) * #Mirp-Zahlen ºMirp-Zahlen "Mirp" ist rⁿckwΣrts "prim" gelesen. Eine Mirp-Zahl ist eine mindestens zweistellige Primzahl, die wieder eine andere Primzahl liefert, wenn die Ziffernfolge in umge- kehrter Reihenfolge gebildet wird. Ein "Nonrep"-Mirp- Zahl enthΣlt nur verschiedene Ziffern. kleinste Nonrep-Mirpzahl = 13 gr÷▀te Nonrep-Mirpzahl = 987 653 201 (H.P.Dale) Weitere Nonrep-Mirpzahlen (bis 1000) 17 31 37 71 73 79 97 107 149 157 167 179 347 359 389 701 709 739 743 751 761 769 907 937 941 953 967 971 983 bis 3 Milliarden: Mirp-Zahl = 1 999 998 701 Mirp-Zahlzwilling = [999 993 899 ; 999 993 901] [42] #Bernoullische Zahlen ºBernoullische Zahlen ... treten als Koeffizienten der unendlichen Reihe t / (e$+t$- -1) = 1 + B$-1$+ t/1! + B$-2$+ t▓/2! + B$-3$+ t│/3! + ... auf. Es ist: B$-0$+ = 0, B$-1$+ = -1/2 und alle anderen B$-k$+ = 0 fⁿr ungerades k Bernoullische Zahlen sind gebrochene Zahlen k$2ZΣhler$4Nenner 2$21$56 4$2-1$530 6$21$542 8$2-1$530 10$15$566 12$1-691$42730 14$17$56 16$1-3617$4510 18$143867$4798 20$1-174611$3330 22$1854513$4138 ... 34$12577687858367$16 * #Eulersche Zahlen E$-k$+ ºEulersche Zahlen k$2E$-k$+$4k$2E$-k$+ 1$21$42$25 3$261$44$21385 5$250521$36$22702765 7$2199360981 #Quadratfreie Zahlen ºQuadratfreie Zahlen Eine ganze Zahl n hei▀t quadratfrei, wenn sie nicht durch eine Quadratzahl >1 ohne Rest teilbar ist. A(n) sei die Anzahl der quadratfreien Zahlen von 1 bis n. $2 lim A(n)/n = 6/$p▓$+$+ $2n $« $Ñ$-$- Die Wahrscheinlichkeit aus den natⁿrlichen Zahlen zufΣllig zwei teilerfremde Zahlen zu ermitteln, betrΣgt ebenfalls 6/$p▓. [43] #Heitere Zahlen ºHeitere Zahlen Eine Zahl z>1 hei▀t "heiter", wenn die Folge der Summe der Quadrate der Ziffern auf 1 endet. kleinste heitere Zahl = 7 $« 49 $« 97 $« 130 $« 10 $« 1 kleinster Zwilling: 31, 32 kleinster Drilling: 1880, 1881, 1882 kleinster Vierling ab 7839, kleinster Fⁿnfling ab 44488 Entweder ist ein Zahl heiter, oder die Folge endet in einer Periode von 8 Zahlen $14, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4 Eine Zahl z>1 hei▀t "3fach-heiter", wenn die Folge der Summe der Kuben der Ziffern auf 1 endet. Die Folge endet entweder konstant bei 1, 153, 370, 371 oder 407 bzw. pendelt in 4 verschiedenen Perioden: $155, 250, 133, 55$2160, 217, 352, 160 $1136, 244, 136$3919, 1459, 919 kleinste nichttriviale 3fach-heitere Zahl = 112 * #Waring-Problem ºWaring-Problem E.Waring (1734-1798) Jede natⁿrliche Zahl n ist Summe von h÷chstens g(k) k-ten Potenzen natⁿrlicher Zahlen. Lagrange ... g(2) = 4 (Vier-Quadrate-Satz) bis heute bekannt g(3)=9 und g(4)=19 #&Fⁿnf-Kuben-Satz (Hardy, Wright) Es ist g(3)=5, wenn auch Potenzen rationaler Zahlen zugelassen werden : n = n│ - 6 * x = n│ - (x+1)│ - (x-1)│ + x│ + x│ Einfachste Zerlegung in Kuben mit mindestens einer Basis gr÷▀er als 5 und keiner Basis kleiner 3: 12 = -11│ +10│ +7│$221 = 16│ -14│ -11│ 31 = 52│ -44│ -44│ +31│$141 = 8│ -7│ -4│ -4│ 44 = 8│ -7│ -5│$447 = -8│ +7│ +6│ 50 = -49│ +41│ +29│ +29│$151 = -796│ +659│ +602│ 70 = -21│ +20│ +11│$276 = -11│ +10│ +7│ +4│ 78 = -55│ +53│ +26│$279 = 35│ -33│ -19│ 82 = 14│ -11│ -11│$386 = -31│ +29│ +14│ +14│ [44] & 89 = -7│ +6│ +6│$393 = 7│ -5│ -5│ 96 = -22│ +20│ +14│$2100 = 7│ -6│ -3│ 39 = -159.380│ + 134.476│ + 117.367│ 87 = 4.271│ + 4.126│ - 1.972│ Alle anderen Zahlen kleiner 100 sind relativ einfach zerlegbar. #Kreiszahl PI ºKreiszahl PI Geschichte Babylonien ... NΣherungswert 256/81 = 3,16049... ─gypten ... 25/8 = 3.125 ... Archimedes (287-212 v.u.Z.) ... 22/7 = 3,142857... 1600 ... Ludolf van Ceulen 35 Nachkommastellen 1873 ... William Shanks 707 Dezimalen 1947 ... Ferguson 808 Stellen 1949 ... Reitweiser (ENIAC) 2035 Stellen; 70 h 1954 ... Nicholson (NORC) 3089 Stellen; 13 min 1958 ... Genuis (IBM 704) 10000 Stellen; 100 min 1961 ... Gerard (IBM 7090) 20000 Stellen; 39 min 1961 ... Shanks (IBM 7090) 100265 Stellen; 262 min 1966 ... 250000 Stellen * 1985 ... Kaneda 10013395 Dezimalen 1990 ... Chudnowsky 16777216 Stellen {3132 #$6Buffonsches Nadelexperiment ºBuffonsches Nadelexperiment $61777 $6Graf George de Buffon gegeben: parallele Geraden im Abstand d $2Wurf einer Nadel der LΣnge s < d &Wahrscheinlichkeit des Schnittes $1p = 2s/(d $p) fⁿr 2s = d und k Treffern bei n Wⁿrfen k wird $1$p = n / k #NΣherung nach Archimedes AnnΣherung eines Kreises (r=1/2) durch regelmΣ▀ige N-Ecke SeitenlΣnge s$-2n$+ des 2N-Ecks aus s$-n$+ s$-2n$+ = $╓ [ 1/2 - 1/2 * $╓ ((1 - (s$-n$+)▓ ) ] = $2= s$-n$+ / $╓ [ 2 + 2 * $╓ ((1 - (s$-n$+)▓ ) ] [45] #NΣherungsformeln fⁿr PI ºNΣherungsformeln fⁿr PI Ausgehend von der Tatsache, da▀ arctan(1)=$p/4 ist und Additionstheoremen fⁿr den Arkustangens k÷nnen NΣherungsformeln der Form $p/4 = A*arctan(1/B) + C*arctan(1/D) + E*arctan(1/f) zur Berechnung von $p bestimmt werden: Zwei Summanden: $1A$1B$2C$1D $11$12$21$13 $12$13$21$17 $14$15$21$1-239$4(Machin) Drei Summanden (Auswahl): $1A$1B$2C$1D$2E$1F $11$12$21$14$21$113 $11$12$21$15$21$18 $11$12$22$16$21$1-117 $12$13$22$114$21$1-1393 $12$13$22$117$21$141 $13$13$21$1-5$21$157 $12$14$21$17$22$113 $13$14$21$120$21$11985 * $1A$1B$2C$1D$2E$1F $13$15$22$18$21$1-18 $14$15$21$1-41$22$199 $14$15$21$1-70$21$199 $12$16$23$17$22$168 $14$16$24$131$21$1-239 $15$17$22$128$22$1443 $15$17$22$143$22$168 $15$17$24$168$22$1117 $15$18$22$118$23$157 $16$18$22$157$21$1239$1(St÷rmer) $112$118$28$157$25$1-239$1(Gau▀) Schnell konvergente Reihen mit 4 Summanden 6* atn 1/9 +3* atn 1/32 +2* atn 1/73 + atn 1/2943 4* atn 1/12 +4* atn 1/17 +4* atn 1/18 + atn 1/239 6* atn 1/13 +6* atn 1/21 +2* atn 1/57 + atn 1/239 8* atn 1/13 +4* atn 1/38 +4* atn 1/57 - atn 1/239 atn 1/46 +4*atn 1/76 +2*atn 1/379 +atn 1/623477877 [46] #&Weitere NΣherungen F.Vieta (1540-1603) 2 / $p = $╓(2)/2 * $╓(2+$╓2)/2 * $╓(2+$╓(2+$╓2))/2 * ... J.Wallis (1616-1703) $p / 2 = 2*2/(1*3) * 4*4/(3*5) * 6*6/(5*7) * 8*8/(7*9) ... J.Gregory (1638-1675) / Leibniz-Reihe $p / 4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 ... &Leibniz-Reihe $1$p/4 = 1 -1/3 + 1/5 - 1/7 +-... + - 1/(2n-1) - + f(2n) FehlerabschΣtzungen (Indien) f$-1$+(n) = 0.5 / n f$-2$+(n) = 0.5n / (n▓+1) f$-3$+(n) = (0.5n▓+2) / (n│+5n) #Brent-Salamin-Verfahren ºBrent-Salamin-Verfahren Sind a,b positive reelle Zahlen und wird sukzessive $1a$-n+1$+ = (a$-n$+ + b$-n$+) / 2 $1b$-n+1$+ = $╓( a$-n$+ * b$-n$+ ) gebildet, so streben beide Folgen gegen einen gemeinsamen Grenzwert, das &$1arithmetisch-geometrische Mittel AGM(a,b) * Es gilt: $1AGM(a,b) = $p/2 I (a,b), I ... elliptisches Integral $1I (a,b) = $-0$+$≥ $+$p/2$- 1/$╓[ a▓ cos▓ $Q + b▓ sin▓ $Q ] * d$Q Mit a=1, b=1/$╓2 und M=AGM(1, 1/$╓2) wird $1$p = 4M▓ / [1 - 2$+0$- (a$-0$+ - b$-0$+)▓ - 2$+1$- (a$-1$+ - b$-1$+)▓ $2- 2$+2$- (a$-2$+ - b$-2$+)▓ - 2$+3$- (a$-3$+ - b$-3$+)▓ - ...] d.h. die Folge der Zahlen$+$+ $3 n$+$+ $14 M▓ / [1 - $S 2$+k$- (a$-k$+ - b$-k$+)$+2$- ]$+$+ $3 k = 1 konvergiert quadratisch gegen $p. #Ramanujan-Verfahren ºRamanujan-Verfahren Aus der Entwicklung von Modulargleichungen gewinnt man:$19801 / ($╓8 $p) =$+$+ $Ñ$+$+ $S (-1)$+n$- (4n)! (26390 n + 1103) / [ (n!)$+4$- (396)$+4n$- ] $+$+ n = 0 &Chudnovsky-Verfahren Weiterentwicklung des Ramanujan-Verfahrens ergibt $2426880 $╓10005 / $p =$+$+ $Ñ$+$+ $S (-1)$+n$- (6n)! (545140134 n + 13591409) / $+$+ n = 0$-$- / [ (n!)│ (3n)! (640320)$+3n$- ] [47] #Fibonacci-Folge ºFibonacci-Folge ... nach Leonardo von Pisa (Fibonacci ... Filius Bonacii) $1F$-0$+=0; F$-1$+=1; F$-n+2$+ = F$-n$+ + F$-n+1$+ Formel von Binet-Moivre $1F$-n$+ = 1/$╓5 * [ [(1 + $╓5)/2]$+n$- - [(1 - $╓5)/2]$+n$- ] $1$f = (1 + $╓5)/2, VerhΣltnis des Goldenen Schnittes Cassini-Gleichung $1F$-n+1$+ * F$-n-1$+ - F$-n$+▓ = (-1)$+n$- Satz von Lucas $1ggT( F$-m+1$+ , F$-n+1$+ ) = F$-ggT(m,n)$+ Erste Fibonacci-Zahlen 1$3 1$3 2$3 3 5$3 8$3 13$3 21 34$2 55$3 89$3 144 233$2 377$2 610$2 987 1597$2 2584$2 4181$2 6765 10946$1 17711$2 28657$2 46368 75025$1 121393$1 196418$1 317811 514229$1 832040$1 1346269$1 2178309 3524578$1 5702887$1 9227465$1 14930352 24157818$1 39088169$1 632445986 102334155 [#]