home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ CD Actual 15 / CDACTUAL15.iso / cdactual / program / pascal / HENON.ZIP / ARTICLE.HEN next >
Encoding:
Text File  |  1987-02-22  |  8.3 KB  |  156 lines
  1.  
  2.  
  3.                               HENON MAPPING WITH PASCAL
  4.  
  5.  
  6.                (Excerpted from  an article  in Byte magazine, December
  7.                1986, authored by Gordon  Hughes.   Excerpt composed by
  8.                Joe  Carr  of  Big  Blue  and Cousins, Greater Victoria
  9.                Personal   Computer   Users'   Association,   Victoria,
  10.                British Columbia,  CANADA.)
  11.  
  12.  
  13.           In 1968,  Michel Henon of the Institute for Astrophysics in Paris
  14.           proposed a simple quadratic mapping of the plane  as a  model for
  15.           the study  of dynamical  systems such as the motion of asteroids,
  16.           satellites, or charged  particles  in  an  accelerator.   Henon's
  17.           mapping...is based  on George  Birkhoff's discovery  in 1917 that
  18.           you can reduce the study of conservative systems with two degrees
  19.           of freedom to the study of area-preserving mappings of the plane.
  20.           Thus, Henon set out to find  an area-preserving  mapping that was
  21.           simple  in  nature  but  retained all the characteristics of more
  22.           complicated mappings.
  23.  
  24.           Although the mapping  Henon  proposed  is  easy  to  describe and
  25.           program,  it  yields  results  of  great complexity.  Since Henon
  26.           mappings simulate the behavior of physical systems, they indicate
  27.           that many such systems are more complex than previously imagined.
  28.           Mathematicians and physicists are  only  beginning  to understand
  29.           the nature  of this  complexity and  what it  says about physical
  30.           systems such as the asteroid belt.  In a series of results during
  31.           the  years  1954  to  1963, mathematicians A.N. Kolmogorov,  V.I.
  32.           Arnold, and J.  Moser  provided  a  partial  explanation  for the
  33.           strange behavior of such systems.  These results are now known as
  34.           the KAM theorem.  It is  an important  theorem in  modern physics
  35.           and has aroused a great deal of interest.
  36.  
  37.           What is the KAM theorem?
  38.  
  39.           The KAM theorem explains mathematically what happens when a small
  40.           external force disturbs a  stable  dynamical  system,  such  as a
  41.           satellite  in  orbit  around  the  Earth...The theorem shows that
  42.           under small  disturbances a  stable system  undergoes changes but
  43.           remains  stable   except  for   microscopically  small  bands  of
  44.           potential instability  corresponding to  "resonances" between the
  45.           original system and the disturbance...The KAM theorem proves that
  46.           as long  as the  disturbances remain  small the  relative size of
  47.           these resonance bands is insignificant and stability is assured.
  48.  
  49.           [You should run HENON2.COM using a phase angle A = 1.111 radians,
  50.           scale -1.2 to 1.2 on both X and Y axes,  as an  example explained
  51.           below.]
  52.  
  53.           (The  above   example  of   Henon  mapping)  simulates  a  system
  54.           undergoing successively larger disturbances.    The  inner curves
  55.           represent a system's reaction to small disturbances and show that
  56.           the system is altered  slightly but  remains stable...However, if
  57.  
  58.                               HENON MAPPING WITH PASCAL              Page 2
  59.           -----------------------------------------------------------------
  60.  
  61.  
  62.           the disturbance  increases in  magnitude past a certain threshold
  63.           value, some of  the  resonance  bands  will  suddenly widen...the
  64.           first noticeable  widening in  the example  is the resonance band
  65.           with six "islands", indicating a 1/6 resonance.  An asteroid with
  66.           a  period  1/6  that  of  Jupiter  would  find  itself  on such a
  67.           resonance band.  
  68.  
  69.           With even higher disturbances, the resonance bands might dominate
  70.           the system's  behavior, as  indicated by  the outer band of seven
  71.           large islands.  The scattered dots around these  islands indicate
  72.           areas of instability.  Similar areas exist between the islands of
  73.           each resonance band.  An asteroid caught in one of  these regions
  74.           could  experience  erratic  behavior  and even be thrown from its
  75.           orbit, as  indicated  by  the  faint  dots  escaping  around (the
  76.           example).    Such  resonances  are believed to cause the Kirkwood
  77.           gaps in the asteroid belt.
  78.  
  79.           Scientists have known for some time  that resonances  between two
  80.           interacting forces can lead to instability in the form of erratic
  81.           or extreme behavior...the KAM  theorem shows  that, at  least for
  82.           small interactions,  the resonances  don't lead to abrupt changes
  83.           in behavior.  The system "stretches" smoothly and doesn't break.
  84.  
  85.  
  86.           CREATING A HENON MAPPING
  87.  
  88.           A Henon mapping is an area-preserving map of the plane given by:
  89.  
  90.                X(n+1)  =  X(n)  * cos(A) - ( Y(n) - X(n)**2 ) * sin(A)
  91.                Y(n+1)  =  X(n)  * sin(A) + ( Y(n) - X(n)**2 ) * cos(A)
  92.  
  93.           Here, A is a fixed constant called the Phase Angle.  First choose
  94.           a value  for A  between 0  and pi. (Values outside this range are
  95.           acceptable, but you won't obtain any new mappings.)  Next, choose
  96.           an initial  point (X(0),Y(0))  and use it to compute (X(1),Y(1)),
  97.           then (X(2),Y(2)),  etc.   This generates  one orbit  of the Henon
  98.           mapping.   Typically, it will resemble a closed curve after a few
  99.           hundred iterations.  In the example,  A is  1.111, and  the inner
  100.           curve  has   700  points  generated  with  a  starting  value  of
  101.           (X(0),Y(0)) = (.098,.061).
  102.  
  103.           Next, choose a starting  point (X(0),Y(0))  for the  second orbit
  104.           and continue.   A  typical mapping might contain 15 to 20 orbits,
  105.           depending on the detail desired.  The example contains 38 orbits.
  106.           You can  use any  value for  the starting  point, but  for X(0) >
  107.           1/sin(A), the successive points grow rapidly.  For  example, with
  108.           A =  1.111, any starting point beyond X(0) = 1.116 grows quickly,
  109.           and the orbit degenerates to a few points on the screen.
  110.  
  111.  
  112.                               HENON MAPPING WITH PASCAL              Page 3
  113.           -----------------------------------------------------------------
  114.  
  115.  
  116.           A program to generate these mappings will have  two nested loops;
  117.           the outer loop to choose the starting values (X(0),Y(0)), and the
  118.           inner loop to generate the orbit.  (see HENON2.PAS)
  119.  
  120.           Note that the mappings have a symmetry about a line that makes an
  121.           angle of  A/2 with  the positive  X axis.   For the example, this
  122.           angle is 1.111/2 radians, which is about 32 degrees.
  123.  
  124.  
  125.           SUMMARY
  126.  
  127.           The theoretical study of stability is  one of  the more difficult
  128.           fields of mathematics, and results such as the KAM theorem are of
  129.           a highly technical nature.  Yet,  through the  medium of computer
  130.           simulation using  iterative mappings  such as the Henon mappings,
  131.           you  can  gain  significant  insight  into  the  nature  of these
  132.           studies.   This visual  insight can  be a powerful tool.  Most of
  133.           the  laws  of  physics  were  obtained  through  keen observation
  134.           followed   by   mathematical   analysis.     Now  anyone  with  a
  135.           microcomputer has a window from which to observe some of the more
  136.           exotic behavior that underlies the world.
  137.  
  138.  
  139.           NOTES TO USERS OF THIS SOFTWARE
  140.  
  141.           For a  more complete  reference on  this subject, please refer to
  142.           the article "Henon Mapping With Pascal" by Gordon Hughes, in Byte
  143.           magazine, December  1986 issue, copyright (c) 1986 by McGraw-Hill
  144.           Inc, One Phoenix Mill Lane,  Peterborough,   New Hampshire,   USA
  145.           03458.   This excerpt is used with the kind permission of McGraw-
  146.           Hill;  the  program  HENON2  is  distributed  courtesy  of Gordon
  147.           Hughes, the author.
  148.  
  149.           This package was assembled by: 
  150.  
  151.                Big Blue and Cousins,  
  152.                The Greater Victoria Personal Computer Users' Association,
  153.                Box 5365,  Station B,
  154.                Victoria,  British Columbia
  155.                CANADA  V8R 6S4
  156.