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|00000720| 2c 5c 6c 64 6f 74 73 20 | 2c 30 29 24 2c 20 77 68 |,\ldots |,0)$, wh|
|00000730| 65 72 65 20 24 25 0d 0a | 30 5c 6c 65 71 20 5c 64 |ere $%..|0\leq \d|
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|00000760| 5c 6c 64 6f 74 73 20 5c | 6c 65 71 20 5c 64 65 67 |\ldots \|leq \deg|
|00000770| 20 28 70 5f 7b 6b 7d 29 | 24 20 61 6e 64 20 66 6f | (p_{k})|$ and fo|
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|00000790| 7b 69 7d 24 20 69 73 20 | 61 20 66 61 63 74 6f 72 |{i}$ is |a factor|
|000007a0| 20 6f 66 20 24 70 5f 7b | 69 2b 31 7d 24 2e 20 54 | of $p_{|i+1}$. T|
|000007b0| 68 69 73 20 6d 61 74 72 | 69 78 2c 20 77 68 69 63 |his matr|ix, whic|
|000007c0| 68 20 69 73 20 75 6e 69 | 71 75 65 6c 79 0d 0a 64 |h is uni|quely..d|
|000007d0| 65 74 65 72 6d 69 6e 65 | 64 20 62 79 20 24 41 24 |etermine|d by $A$|
|000007e0| 2c 20 69 73 20 63 61 6c | 6c 65 64 20 74 68 65 20 |, is cal|led the |
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|000008b0| 7d 5c 6c 61 62 65 6c 25 | 0d 0a 7b 4d 61 74 72 69 |}\label%|..{Matri|
|000008c0| 63 65 73 2c 20 53 6d 69 | 74 68 20 6e 6f 72 6d 61 |ces, Smi|th norma|
|000008d0| 6c 20 66 6f 72 6d 7d 53 | 6d 69 74 68 20 6e 6f 72 |l form}S|mith nor|
|000008e0| 6d 61 6c 20 66 6f 72 6d | 2e 20 0d 0a 5c 69 6e 64 |mal form|. ..\ind|
|000008f0| 65 78 7b 53 6d 69 74 68 | 20 6e 6f 72 6d 61 6c 20 |ex{Smith| normal |
|00000900| 66 6f 72 6d 40 53 6d 69 | 74 68 20 6e 6f 72 6d 61 |form@Smi|th norma|
|00000910| 6c 20 66 6f 72 6d 7d 0d | 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 |l form}.|...\begi|
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|00000970| 74 65 7d 0d 0a 0d 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 71 75 |te}....\|begin{qu|
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|000009c0| 20 5c 5c 20 0d 0a 78 5e | 7b 33 7d 2b 35 78 5e 7b | \\ ..x^|{3}+5x^{|
|000009d0| 32 7d 20 26 20 78 5e 7b | 34 7d 2b 33 78 5e 7b 32 |2} & x^{|4}+3x^{2|
|000009e0| 7d 0d 0a 5c 65 6e 64 7b | 61 72 72 61 79 7d 0d 0a |}..\end{|array}..|
|000009f0| 5c 72 69 67 68 74 5d 20 | 24 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a |\right] |$ ..\[..|
|00000a00| 5c 74 65 78 74 7b 53 6d | 69 74 68 20 6e 6f 72 6d |\text{Sm|ith norm|
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|00000a30| 7b 63 63 7d 0d 0a 31 20 | 26 20 30 20 5c 5c 20 0d |{cc}..1 |& 0 \\ .|
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|00000a60| 2d 32 38 78 5e 7b 32 7d | 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 61 |-28x^{2}|..\end{a|
|00000a70| 72 72 61 79 7d 0d 0a 5c | 72 69 67 68 74 5d 20 0d |rray}..\|right] .|
|00000a80| 0a 5c 5d 0d 0a 0d 0a 5c | 20 0d 0a 0d 0a 24 42 3d |.\]....\| ....$B=|
|00000a90| 5c 6c 65 66 74 5b 20 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |\left[ .|.\begin{|
|00000aa0| 61 72 72 61 79 7d 7b 63 | 63 7d 0d 0a 39 37 20 26 |array}{c|c}..97 &|
|00000ab0| 20 35 30 20 5c 5c 20 0d | 0a 37 39 20 26 20 35 36 | 50 \\ .|.79 & 56|
|00000ac0| 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 61 | 72 72 61 79 7d 0d 0a 5c |..\end{a|rray}..\|
|00000ad0| 72 69 67 68 74 5d 20 5c | 6c 65 66 74 5b 20 0d 0a |right] \|left[ ..|
|00000ae0| 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 | 72 72 61 79 7d 7b 63 63 |\begin{a|rray}{cc|
|00000af0| 7d 0d 0a 78 5e 7b 33 7d | 2b 33 78 2d 31 20 26 20 |}..x^{3}|+3x-1 & |
|00000b00| 78 5e 7b 32 7d 2d 33 78 | 2b 35 20 5c 5c 20 0d 0a |x^{2}-3x|+5 \\ ..|
|00000b10| 78 5e 7b 33 7d 2b 35 78 | 5e 7b 32 7d 20 26 20 78 |x^{3}+5x|^{2} & x|
|00000b20| 5e 7b 34 7d 2b 33 78 5e | 7b 32 7d 0d 0a 5c 65 6e |^{4}+3x^|{2}..\en|
|00000b30| 64 7b 61 72 72 61 79 7d | 0d 0a 5c 72 69 67 68 74 |d{array}|..\right|
|00000b40| 5d 20 5c 6c 65 66 74 5b | 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 |] \left[| ..\begi|
|00000b50| 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | 7b 63 63 7d 0d 0a 2d 38 |n{array}|{cc}..-8|
|00000b60| 35 20 26 20 2d 35 35 20 | 5c 5c 20 0d 0a 2d 33 37 |5 & -55 |\\ ..-37|
|00000b70| 20 26 20 2d 33 35 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | & -35..|\end{arr|
|00000b80| 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 | 67 68 74 5d 20 24 2c 20 |ay}..\ri|ght] $, |
|00000b90| 0d 0a 5c 5b 0d 0a 5c 74 | 65 78 74 7b 53 6d 69 74 |..\[..\t|ext{Smit|
|00000ba0| 68 20 6e 6f 72 6d 61 6c | 20 66 6f 72 6d 3a 20 7d |h normal| form: }|
|00000bb0| 5c 6c 65 66 74 5b 20 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |\left[ .|.\begin{|
|00000bc0| 61 72 72 61 79 7d 7b 63 | 63 7d 0d 0a 31 20 26 20 |array}{c|c}..1 & |
|00000bd0| 30 20 5c 5c 20 0d 0a 30 | 20 26 20 78 5e 7b 37 7d |0 \\ ..0| & x^{7}|
|00000be0| 2b 35 78 5e 7b 35 7d 2d | 33 78 5e 7b 34 7d 2b 31 |+5x^{5}-|3x^{4}+1|
|00000bf0| 39 78 5e 7b 33 7d 2d 32 | 38 78 5e 7b 32 7d 0d 0a |9x^{3}-2|8x^{2}..|
|00000c00| 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 |\end{arr|ay}..\ri|
|00000c10| 67 68 74 5d 20 0d 0a 5c | 5d 0d 0a 5c 65 6e 64 7b |ght] ..\|]..\end{|
|00000c20| 71 75 6f 74 61 74 69 6f | 6e 7d 0d 0a 0d 0a 5c 20 |quotatio|n}....\ |
|00000c30| 0d 0a 0d 0a 54 77 6f 20 | 24 6e 5c 74 69 6d 65 73 |....Two |$n\times|
|00000c40| 20 6e 24 20 6d 61 74 72 | 69 63 65 73 20 24 41 24 | n$ matr|ices $A$|
|00000c50| 20 61 6e 64 20 24 42 24 | 20 61 72 65 20 5c 74 65 | and $B$| are \te|
|00000c60| 78 74 73 6c 7b 73 69 6d | 69 6c 61 72 20 7d 20 0d |xtsl{sim|ilar } .|
|00000c70| 0a 5c 69 6e 64 65 78 7b | 53 69 6d 69 6c 61 72 20 |.\index{|Similar |
|00000c80| 6d 61 74 72 69 63 65 73 | 40 53 69 6d 69 6c 61 72 |matrices|@Similar|
|00000c90| 20 6d 61 74 72 69 63 65 | 73 7d 5c 6c 61 62 65 6c | matrice|s}\label|
|00000ca0| 7b 53 69 6d 69 6c 61 72 | 20 6d 61 74 72 69 63 65 |{Similar| matrice|
|00000cb0| 73 7d 69 66 20 74 68 65 | 72 65 20 0d 0a 5c 69 6e |s}if the|re ..\in|
|00000cc0| 64 65 78 7b 4d 61 74 72 | 69 63 65 73 40 4d 61 74 |dex{Matr|ices@Mat|
|00000cd0| 72 69 63 65 73 21 73 69 | 6d 69 6c 61 72 40 73 69 |rices!si|milar@si|
|00000ce0| 6d 69 6c 61 72 7d 5c 6c | 61 62 65 6c 7b 4d 61 74 |milar}\l|abel{Mat|
|00000cf0| 72 69 63 65 73 2c 20 73 | 69 6d 69 6c 61 72 7d 20 |rices, s|imilar} |
|00000d00| 69 73 20 61 6e 0d 0a 69 | 6e 76 65 72 74 69 62 6c |is an..i|nvertibl|
|00000d10| 65 20 24 6e 5c 74 69 6d | 65 73 20 6e 24 20 6d 61 |e $n\tim|es n$ ma|
|00000d20| 74 72 69 78 20 24 43 24 | 20 73 75 63 68 20 74 68 |trix $C$| such th|
|00000d30| 61 74 20 24 42 3d 43 5e | 7b 2d 31 7d 41 43 24 2e |at $B=C^|{-1}AC$.|
|00000d40| 5c 6d 65 64 73 6b 69 70 | 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 |\medskip|....\beg|
|00000d50| 69 6e 7b 65 78 61 6d 70 | 6c 65 7d 0d 0a 54 77 6f |in{examp|le}..Two|
|00000d60| 20 6d 61 74 72 69 63 65 | 73 20 61 72 65 20 73 69 | matrice|s are si|
|00000d70| 6d 69 6c 61 72 20 69 66 | 20 61 6e 64 20 6f 6e 6c |milar if| and onl|
|00000d80| 79 20 69 66 20 74 68 65 | 69 72 20 63 68 61 72 61 |y if the|ir chara|
|00000d90| 63 74 65 72 69 73 74 69 | 63 20 6d 61 74 72 69 63 |cteristi|c matric|
|00000da0| 65 73 20 24 78 49 2d 41 | 24 0d 0a 61 6e 64 20 24 |es $xI-A|$..and $|
|00000db0| 78 49 2d 42 24 20 61 72 | 65 20 65 71 75 69 76 61 |xI-B$ ar|e equiva|
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|00002770| 34 0d 0a 5c 65 6e 64 7b | 61 72 72 61 79 7d 0d 0a |4..\end{|array}..|
|00002780| 5c 72 69 67 68 74 5d 20 | 24 2c 20 63 68 61 72 61 |\right] |$, chara|
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|000027d0| 29 20 5c 6c 65 66 74 28 | 20 58 2d 32 5c 72 69 67 |) \left(| X-2\rig|
|000027e0| 68 74 29 20 5e 7b 32 7d | 20 0d 0a 5c 5d 0d 0a 5c |ht) ^{2}| ..\]..\|
|000027f0| 65 6e 64 7b 71 75 6f 74 | 61 74 69 6f 6e 7d 0d 0a |end{quot|ation}..|
|00002800| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 71 75 6f 74 65 7d 0d |..\begin|{quote}.|
|00002810| 0a 24 5c 62 6c 61 63 6b | 74 72 69 61 6e 67 6c 65 |.$\black|triangle|
|00002820| 72 69 67 68 74 20 24 20 | 5c 74 65 78 74 73 66 7b |right $ |\textsf{|
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|00002880| 5b 20 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 61 72 72 61 79 |[ ..\beg|in{array|
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|000028c0| 26 20 2d 34 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 61 72 72 61 79 |& -4..\e|nd{array|
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|00002920| 67 68 74 29 20 24 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 71 75 6f |ght) $..|\end{quo|
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|000029b0| 26 20 31 20 26 20 30 20 | 5c 5c 20 0d 0a 30 20 26 |& 1 & 0 |\\ ..0 &|
|000029c0| 20 30 20 26 20 31 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | 0 & 1..|\end{arr|
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|00002a70| 0a 5c 3b 31 20 26 20 78 | 2d 34 20 26 20 2d 32 20 |.\;1 & x|-4 & -2 |
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|00002aa0| 5c 72 69 67 68 74 5d 20 | 0d 0a 5c 5d 0d 0a 0d 0a |\right] |..\]....|
|00002ab0| 5c 62 65 67 69 6e 7b 71 | 75 6f 74 65 7d 0d 0a 24 |\begin{q|uote}..$|
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|00002b20| 5c 2c 5c 6c 65 66 74 5b | 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 |\,\left[| ..\begi|
|00002b30| 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | 7b 63 63 63 7d 0d 0a 78 |n{array}|{ccc}..x|
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|00002b50| 5c 20 0d 0a 5c 3b 31 20 | 26 20 78 2d 34 20 26 20 |\ ..\;1 |& x-4 & |
|00002b60| 2d 32 20 5c 5c 20 0d 0a | 2d 33 20 26 20 36 20 26 |-2 \\ ..|-3 & 6 &|
|00002b70| 20 78 2b 34 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 61 72 72 61 79 | x+4..\e|nd{array|
|00002b80| 7d 0d 0a 5c 72 69 67 68 | 74 5d 20 24 2c 20 53 6d |}..\righ|t] $, Sm|
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|00002bd0| 26 20 78 2d 32 20 26 20 | 30 20 5c 5c 20 0d 0a 30 |& x-2 & |0 \\ ..0|
|00002be0| 20 26 20 30 20 26 20 32 | 2d 33 78 2b 78 5e 7b 32 | & 0 & 2|-3x+x^{2|
|00002bf0| 7d 0d 0a 5c 65 6e 64 7b | 61 72 72 61 79 7d 0d 0a |}..\end{|array}..|
|00002c00| 5c 72 69 67 68 74 5d 20 | 24 0d 0a 5c 65 6e 64 7b |\right] |$..\end{|
|00002c10| 71 75 6f 74 61 74 69 6f | 6e 7d 0d 0a 0d 0a 54 68 |quotatio|n}....Th|
|00002c20| 65 73 65 20 74 77 6f 20 | 65 78 61 6d 70 6c 65 73 |ese two |examples|
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|00002cc0| 67 69 6e 7b 71 75 6f 74 | 61 74 69 6f 6e 7d 0d 0a |gin{quot|ation}..|
|00002cd0| 5c 65 6d 70 68 7b 4e 6f | 74 65 5c 71 75 61 64 20 |\emph{No|te\quad |
|00002ce0| 7d 54 68 65 20 53 6d 69 | 74 68 20 6e 6f 72 6d 61 |}The Smi|th norma|
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|00002da0| 0a 5c 20 0d 0a 0d 0a 5c | 73 75 62 73 65 63 74 69 |.\ ....\|subsecti|
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|00002dd0| 72 6d 7d 7d 0d 0a 0d 0a | 43 68 6f 6f 73 69 6e 67 |rm}}....|Choosing|
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|00002df0| 46 6f 72 6d 20 7d 20 0d | 0a 5c 69 6e 64 65 78 7b |Form } .|.\index{|
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|00002e30| 65 73 7d 20 0d 0a 5c 69 | 6e 64 65 78 7b 4d 61 74 |es} ..\i|ndex{Mat|
|00002e40| 72 69 63 65 73 40 4d 61 | 74 72 69 63 65 73 21 4a |rices@Ma|trices!J|
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|00002e60| 6e 20 66 6f 72 6d 7d 5c | 6c 61 62 65 6c 25 0d 0a |n form}\|label%..|
|00002e70| 7b 4d 61 74 72 69 63 65 | 73 2c 20 4a 6f 72 64 61 |{Matrice|s, Jorda|
|00002e80| 6e 20 66 6f 72 6d 7d 73 | 75 62 6d 65 6e 75 20 70 |n form}s|ubmenu p|
|00002e90| 72 6f 64 75 63 65 73 20 | 61 20 66 61 63 74 6f 72 |roduces |a factor|
|00002ea0| 69 7a 61 74 69 6f 6e 20 | 6f 66 20 61 20 73 71 75 |ization |of a squ|
|00002eb0| 61 72 65 20 6d 61 74 72 | 69 78 0d 0a 61 73 20 24 |are matr|ix..as $|
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|00002ed0| 20 24 4a 24 20 69 73 20 | 69 6e 20 4a 6f 72 64 61 | $J$ is |in Jorda|
|00002ee0| 6e 20 66 6f 72 6d 2e 20 | 54 68 69 73 20 66 6f 72 |n form. |This for|
|00002ef0| 6d 20 69 73 20 61 20 62 | 6c 6f 63 6b 20 64 69 61 |m is a b|lock dia|
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|00002f30| 61 6e 20 6d 61 74 72 69 | 78 2e 20 4d 6f 72 65 20 |an matri|x. More |
|00002f40| 73 70 65 63 69 66 69 63 | 61 6c 6c 79 2c 20 74 68 |specific|ally, th|
|00002f50| 65 20 0d 0a 5c 74 65 78 | 74 73 6c 7b 4a 6f 72 64 |e ..\tex|tsl{Jord|
|00002f60| 61 6e 20 66 6f 72 6d 7d | 20 6f 66 20 61 6e 20 24 |an form}| of an $|
|00002f70| 6e 5c 74 69 6d 65 73 20 | 6e 24 20 6d 61 74 72 69 |n\times |n$ matri|
|00002f80| 78 20 24 41 24 20 69 73 | 20 61 20 6d 61 74 72 69 |x $A$ is| a matri|
|00002f90| 78 20 6f 66 20 74 68 65 | 20 66 6f 72 6d 20 0d 0a |x of the| form ..|
|00002fa0| 5c 5b 0d 0a 4a 28 41 29 | 3d 5c 6c 65 66 74 5b 20 |\[..J(A)|=\left[ |
|00002fb0| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 61 72 72 61 79 7d 7b |..\begin|{array}{|
|00002fc0| 63 63 63 63 7d 0d 0a 4a | 5f 7b 6e 5f 7b 31 7d 7d |cccc}..J|_{n_{1}}|
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|00002fe0| 7b 31 7d 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 26 20 30 20 26 |{1}\righ|t) & 0 &|
|00002ff0| 20 5c 63 64 6f 74 73 20 | 26 20 30 20 5c 5c 20 0d | \cdots |& 0 \\ .|
|00003000| 0a 30 20 26 20 4a 5f 7b | 6e 5f 7b 32 7d 7d 5c 6c |.0 & J_{|n_{2}}\l|
|00003010| 65 66 74 28 20 5c 6c 61 | 6d 62 64 61 20 5f 7b 32 |eft( \la|mbda _{2|
|00003020| 7d 5c 72 69 67 68 74 29 | 20 26 20 5c 63 64 6f 74 |}\right)| & \cdot|
|00003030| 73 20 26 20 30 20 5c 5c | 20 0d 0a 5c 76 64 6f 74 |s & 0 \\| ..\vdot|
|00003040| 73 20 26 20 5c 76 64 6f | 74 73 20 26 20 5c 64 64 |s & \vdo|ts & \dd|
|00003050| 6f 74 73 20 26 20 5c 76 | 64 6f 74 73 20 5c 5c 20 |ots & \v|dots \\ |
|00003060| 0d 0a 30 20 26 20 30 20 | 26 20 5c 63 64 6f 74 73 |..0 & 0 |& \cdots|
|00003070| 20 26 20 4a 5f 7b 6e 5f | 7b 6b 7d 7d 5c 6c 65 66 | & J_{n_|{k}}\lef|
|00003080| 74 28 20 5c 6c 61 6d 62 | 64 61 20 5f 7b 6b 7d 5c |t( \lamb|da _{k}\|
|00003090| 72 69 67 68 74 29 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 |right)..|\end{arr|
|000030a0| 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 | 67 68 74 5d 20 0d 0a 5c |ay}..\ri|ght] ..\|
|000030b0| 5d 0d 0a 77 68 65 72 65 | 20 24 6e 5f 7b 31 7d 2b |]..where| $n_{1}+|
|000030c0| 6e 5f 7b 32 7d 2b 5c 63 | 64 6f 74 73 20 2b 6e 5f |n_{2}+\c|dots +n_|
|000030d0| 7b 6b 7d 3d 6e 24 2c 20 | 61 6e 64 20 65 61 63 68 |{k}=n$, |and each|
|000030e0| 20 64 69 61 67 6f 6e 61 | 6c 20 62 6c 6f 63 6b 20 | diagona|l block |
|000030f0| 24 25 0d 0a 4a 5f 7b 6e | 5f 7b 69 7d 7d 5c 6c 65 |$%..J_{n|_{i}}\le|
|00003100| 66 74 28 20 5c 6c 61 6d | 62 64 61 20 5f 7b 69 7d |ft( \lam|bda _{i}|
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|00003120| 24 6e 5f 7b 69 7d 5c 74 | 69 6d 65 73 20 6e 5f 7b |$n_{i}\t|imes n_{|
|00003130| 69 7d 24 20 5c 74 65 78 | 74 73 6c 7b 25 0d 0a 65 |i}$ \tex|tsl{%..e|
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|00003f60| 0a 30 20 26 20 30 20 26 | 20 30 20 26 20 31 0d 0a |.0 & 0 &| 0 & 1..|
|00003f70| 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 |\end{arr|ay}..\ri|
|00003f80| 67 68 74 5d 20 5c 6c 65 | 66 74 5b 20 0d 0a 5c 62 |ght] \le|ft[ ..\b|
|00003f90| 65 67 69 6e 7b 61 72 72 | 61 79 7d 7b 63 63 63 63 |egin{arr|ay}{cccc|
|00003fa0| 7d 0d 0a 32 20 26 20 30 | 20 26 20 30 20 26 20 30 |}..2 & 0| & 0 & 0|
|00003fb0| 20 5c 5c 20 0d 0a 30 20 | 26 20 32 20 26 20 30 20 | \\ ..0 |& 2 & 0 |
|00003fc0| 26 20 30 20 5c 5c 20 0d | 0a 30 20 26 20 30 20 26 |& 0 \\ .|.0 & 0 &|
|00003fd0| 20 32 20 26 20 30 20 5c | 5c 20 0d 0a 30 20 26 20 | 2 & 0 \|\ ..0 & |
|00003fe0| 30 20 26 20 30 20 26 20 | 32 0d 0a 5c 65 6e 64 7b |0 & 0 & |2..\end{|
|00003ff0| 61 72 72 61 79 7d 0d 0a | 5c 72 69 67 68 74 5d 20 |array}..|\right] |
|00004000| 5c 6c 65 66 74 5b 20 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |\left[ .|.\begin{|
|00004010| 61 72 72 61 79 7d 7b 63 | 63 63 63 7d 0d 0a 31 20 |array}{c|ccc}..1 |
|00004020| 26 20 30 20 26 20 30 20 | 26 20 30 20 5c 5c 20 0d |& 0 & 0 |& 0 \\ .|
|00004030| 0a 30 20 26 20 31 20 26 | 20 30 20 26 20 30 20 5c |.0 & 1 &| 0 & 0 \|
|00004040| 5c 20 0d 0a 30 20 26 20 | 30 20 26 20 31 20 26 20 |\ ..0 & |0 & 1 & |
|00004050| 30 20 5c 5c 20 0d 0a 30 | 20 26 20 30 20 26 20 30 |0 \\ ..0| & 0 & 0|
|00004060| 20 26 20 31 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 61 72 72 61 79 | & 1..\e|nd{array|
|00004070| 7d 0d 0a 5c 72 69 67 68 | 74 5d 20 24 0d 0a 5c 65 |}..\righ|t] $..\e|
|00004080| 6e 64 7b 71 75 6f 74 61 | 74 69 6f 6e 7d 0d 0a 0d |nd{quota|tion}...|
|00004090| 0a 54 68 65 20 70 72 65 | 63 65 64 69 6e 67 20 6d |.The pre|ceding m|
|000040a0| 61 74 72 69 78 20 69 73 | 20 61 6c 72 65 61 64 79 |atrix is| already|
|000040b0| 20 69 6e 20 4a 6f 72 64 | 61 6e 20 66 6f 72 6d 2e | in Jord|an form.|
|000040c0| 20 49 74 20 68 61 73 20 | 6d 69 6e 69 6d 75 6d 20 | It has |minimum |
|000040d0| 70 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 | 61 6c 20 24 25 0d 0a 58 |polynomi|al $%..X|
|000040e0| 2d 32 24 20 61 6e 64 20 | 63 68 61 72 61 63 74 65 |-2$ and |characte|
|000040f0| 72 69 73 74 69 63 20 70 | 6f 6c 79 6e 6f 6d 69 61 |ristic p|olynomia|
|00004100| 6c 20 24 5c 6c 65 66 74 | 28 20 58 2d 32 5c 72 69 |l $\left|( X-2\ri|
|00004110| 67 68 74 29 20 5e 34 24 | 2c 20 74 68 65 20 73 61 |ght) ^4$|, the sa|
|00004120| 6d 65 0d 0a 63 68 61 72 | 61 63 74 65 72 69 73 74 |me..char|acterist|
|00004130| 69 63 20 70 6f 6c 79 6e | 6f 6d 69 61 6c 20 61 73 |ic polyn|omial as|
|00004140| 20 74 68 65 20 70 72 65 | 76 69 6f 75 73 20 6f 6e | the pre|vious on|
|00004150| 65 2c 20 62 75 74 20 61 | 20 64 69 66 66 65 72 65 |e, but a| differe|
|00004160| 6e 74 20 6d 69 6e 69 6d | 75 6d 0d 0a 70 6f 6c 79 |nt minim|um..poly|
|00004170| 6e 6f 6d 69 61 6c 20 61 | 6e 64 20 61 20 64 69 66 |nomial a|nd a dif|
|00004180| 66 65 72 65 6e 74 20 4a | 6f 72 64 61 6e 20 66 6f |ferent J|ordan fo|
|00004190| 72 6d 2e 0d 0a 0d 0a 5c | 20 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 |rm.....\| ....\be|
|000041a0| 67 69 6e 7b 71 75 6f 74 | 65 7d 0d 0a 24 5c 62 6c |gin{quot|e}..$\bl|
|000041b0| 61 63 6b 74 72 69 61 6e | 67 6c 65 72 69 67 68 74 |acktrian|gleright|
|000041c0| 20 24 20 5c 74 65 78 74 | 73 66 7b 4d 61 74 72 69 | $ \text|sf{Matri|
|000041d0| 63 65 73 20 2b 20 4a 6f | 72 64 61 6e 20 46 6f 72 |ces + Jo|rdan For|
|000041e0| 6d 7d 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 71 75 6f 74 65 7d 0d |m}..\end|{quote}.|
|000041f0| 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 71 75 6f 74 61 74 |...\begi|n{quotat|
|00004200| 69 6f 6e 7d 0d 0a 24 5c | 6c 65 66 74 28 20 5c 6c |ion}..$\|left( \l|
|00004210| 65 66 74 5b 20 0d 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 61 72 |eft[ ..\|begin{ar|
|00004220| 72 61 79 7d 7b 72 72 7d | 0d 0a 31 20 26 20 32 20 |ray}{rr}|..1 & 2 |
|00004230| 5c 5c 20 0d 0a 2d 31 20 | 26 20 2d 31 0d 0a 5c 65 |\\ ..-1 |& -1..\e|
|00004240| 6e 64 7b 61 72 72 61 79 | 7d 0d 0a 5c 72 69 67 68 |nd{array|}..\righ|
|00004250| 74 5d 20 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 3d 5c 6c 65 66 |t] \righ|t) =\lef|
|00004260| 74 5b 20 0d 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 61 72 72 61 |t[ ..\be|gin{arra|
|00004270| 79 7d 7b 63 63 7d 0d 0a | 5c 66 72 61 63 7b 31 7d |y}{cc}..|\frac{1}|
|00004280| 7b 32 7d 2d 5c 66 72 61 | 63 7b 31 7d 7b 32 7d 69 |{2}-\fra|c{1}{2}i|
|00004290| 20 26 20 5c 76 73 70 61 | 63 65 7b 36 70 74 7d 5c | & \vspa|ce{6pt}\|
|000042a0| 66 72 61 63 7b 31 7d 7b | 32 7d 2b 5c 66 72 61 63 |frac{1}{|2}+\frac|
|000042b0| 7b 31 7d 7b 32 7d 69 20 | 5c 5c 20 0d 0a 5c 66 72 |{1}{2}i |\\ ..\fr|
|000042c0| 61 63 7b 31 7d 7b 32 7d | 69 20 26 20 2d 5c 66 72 |ac{1}{2}|i & -\fr|
|000042d0| 61 63 7b 31 7d 7b 32 7d | 69 0d 0a 5c 65 6e 64 7b |ac{1}{2}|i..\end{|
|000042e0| 61 72 72 61 79 7d 0d 0a | 5c 72 69 67 68 74 5d 20 |array}..|\right] |
|000042f0| 5c 6c 65 66 74 5b 20 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |\left[ .|.\begin{|
|00004300| 61 72 72 61 79 7d 7b 63 | 63 7d 0d 0a 69 20 26 20 |array}{c|c}..i & |
|00004310| 30 20 5c 5c 20 0d 0a 30 | 20 26 20 2d 69 0d 0a 5c |0 \\ ..0| & -i..\|
|00004320| 65 6e 64 7b 61 72 72 61 | 79 7d 0d 0a 5c 72 69 67 |end{arra|y}..\rig|
|00004330| 68 74 5d 20 5c 6c 65 66 | 74 5b 20 0d 0a 5c 62 65 |ht] \lef|t[ ..\be|
|00004340| 67 69 6e 7b 61 72 72 61 | 79 7d 7b 63 63 7d 0d 0a |gin{arra|y}{cc}..|
|00004350| 31 20 26 20 31 2d 69 20 | 5c 5c 20 0d 0a 31 20 26 |1 & 1-i |\\ ..1 &|
|00004360| 20 31 2b 69 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 61 72 72 61 79 | 1+i..\e|nd{array|
|00004370| 7d 0d 0a 5c 72 69 67 68 | 74 5d 20 24 0d 0a 5c 65 |}..\righ|t] $..\e|
|00004380| 6e 64 7b 71 75 6f 74 61 | 74 69 6f 6e 7d 0d 0a 0d |nd{quota|tion}...|
|00004390| 0a 49 6e 20 74 68 69 73 | 20 63 61 73 65 2c 20 24 |.In this| case, $|
|000043a0| 4a 5f 7b 6e 5f 7b 31 7d | 7d 5c 6c 65 66 74 28 20 |J_{n_{1}|}\left( |
|000043b0| 5c 6c 61 6d 62 64 61 20 | 5f 7b 31 7d 5c 72 69 67 |\lambda |_{1}\rig|
|000043c0| 68 74 29 20 3d 5c 6c 65 | 66 74 5b 20 69 5c 72 69 |ht) =\le|ft[ i\ri|
|000043d0| 67 68 74 5d 20 24 20 61 | 6e 64 20 24 25 0d 0a 4a |ght] $ a|nd $%..J|
|000043e0| 5f 7b 6e 5f 7b 32 7d 7d | 5c 6c 65 66 74 28 20 5c |_{n_{2}}|\left( \|
|000043f0| 6c 61 6d 62 64 61 20 5f | 7b 32 7d 5c 72 69 67 68 |lambda _|{2}\righ|
|00004400| 74 29 20 3d 5c 6c 65 66 | 74 5b 20 2d 69 5c 72 69 |t) =\lef|t[ -i\ri|
|00004410| 67 68 74 5d 20 24 20 61 | 72 65 20 24 31 5c 74 69 |ght] $ a|re $1\ti|
|00004420| 6d 65 73 20 31 24 0d 0a | 6d 61 74 72 69 63 65 73 |mes 1$..|matrices|
|00004430| 2e 20 54 68 65 20 6d 61 | 74 72 69 78 20 24 5c 6c |. The ma|trix $\l|
|00004440| 65 66 74 5b 20 0d 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 61 72 |eft[ ..\|begin{ar|
|00004450| 72 61 79 7d 7b 72 72 7d | 0d 0a 31 20 26 20 32 20 |ray}{rr}|..1 & 2 |
|00004460| 5c 5c 20 0d 0a 2d 31 20 | 26 20 2d 31 0d 0a 5c 65 |\\ ..-1 |& -1..\e|
|00004470| 6e 64 7b 61 72 72 61 79 | 7d 0d 0a 5c 72 69 67 68 |nd{array|}..\righ|
|00004480| 74 5d 20 24 20 68 61 73 | 20 63 68 61 72 61 63 74 |t] $ has| charact|
|00004490| 65 72 69 73 74 69 63 20 | 61 6e 64 20 6d 69 6e 69 |eristic |and mini|
|000044a0| 6d 75 6d 20 70 6f 6c 79 | 6e 6f 6d 69 61 6c 20 24 |mum poly|nomial $|
|000044b0| 78 5e 7b 32 7d 2b 31 3d | 5c 6c 65 66 74 28 0d 0a |x^{2}+1=|\left(..|
|000044c0| 78 2b 69 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 5c 6c 65 66 74 |x+i\righ|t) \left|
|000044d0| 28 20 78 2d 69 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 2e 5c 6d |( x-i\ri|ght) .\m|
|000044e0| 65 64 73 6b 69 70 20 24 | 0d 0a 0d 0a 5c 73 75 62 |edskip $|....\sub|
|000044f0| 73 65 63 74 69 6f 6e 7b | 5c 20 5c 6c 61 62 65 6c |section{|\ \label|
|00004500| 7b 4f 72 74 68 6f 67 6f | 6e 61 6c 20 6d 61 74 72 |{Orthogo|nal matr|
|00004510| 69 78 7d 4f 72 74 68 6f | 67 6f 6e 61 6c 20 4d 61 |ix}Ortho|gonal Ma|
|00004520| 74 72 69 63 65 73 7d 0d | 0a 0d 0a 41 6e 20 5c 74 |trices}.|...An \t|
|00004530| 65 78 74 73 6c 7b 6f 72 | 74 68 6f 67 6f 6e 61 6c |extsl{or|thogonal|
|00004540| 20 6d 61 74 72 69 78 7d | 20 69 73 20 0d 0a 5c 69 | matrix}| is ..\i|
|00004550| 6e 64 65 78 7b 4f 72 74 | 68 6f 67 6f 6e 61 6c 20 |ndex{Ort|hogonal |
|00004560| 6d 61 74 72 69 78 40 4f | 72 74 68 6f 67 6f 6e 61 |matrix@O|rthogona|
|00004570| 6c 20 6d 61 74 72 69 78 | 7d 61 20 72 65 61 6c 20 |l matrix|}a real |
|00004580| 0d 0a 5c 69 6e 64 65 78 | 7b 55 6e 69 74 61 72 79 |..\index|{Unitary|
|00004590| 20 6d 61 74 72 69 78 40 | 55 6e 69 74 61 72 79 20 | matrix@|Unitary |
|000045a0| 6d 61 74 72 69 78 7d 5c | 6c 61 62 65 6c 7b 55 6e |matrix}\|label{Un|
|000045b0| 69 74 61 72 79 20 6d 61 | 74 72 69 78 7d 6d 61 74 |itary ma|trix}mat|
|000045c0| 72 69 78 20 66 6f 72 20 | 77 68 69 63 68 0d 0a 74 |rix for |which..t|
|000045d0| 68 65 20 69 6e 6e 65 72 | 20 70 72 6f 64 75 63 74 |he inner| product|
|000045e0| 20 6f 66 20 61 6e 79 20 | 74 77 6f 20 64 69 66 66 | of any |two diff|
|000045f0| 65 72 65 6e 74 20 63 6f | 6c 75 6d 6e 73 20 69 73 |erent co|lumns is|
|00004600| 20 7a 65 72 6f 20 61 6e | 64 20 74 68 65 20 69 6e | zero an|d the in|
|00004610| 6e 65 72 20 70 72 6f 64 | 75 63 74 0d 0a 6f 66 20 |ner prod|uct..of |
|00004620| 61 6e 79 20 63 6f 6c 75 | 6d 6e 20 77 69 74 68 20 |any colu|mn with |
|00004630| 69 74 73 65 6c 66 20 69 | 73 20 6f 6e 65 2e 20 54 |itself i|s one. T|
|00004640| 68 65 20 6d 61 74 72 69 | 78 20 69 73 20 73 61 69 |he matri|x is sai|
|00004650| 64 20 74 6f 20 68 61 76 | 65 20 0d 0a 5c 69 6e 64 |d to hav|e ..\ind|
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|00004dd0| 20 24 0d 0a 0d 0a 5c 20 | 0d 0a 0d 0a 24 5c 6c 65 | $....\ |....$\le|
|00004de0| 66 74 5b 20 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 61 72 72 |ft[ ..\b|egin{arr|
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|00004e00| 20 26 20 2d 33 20 5c 5c | 20 0d 0a 2d 33 20 26 20 | & -3 \\| ..-3 & |
|00004e10| 30 20 26 20 35 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 61 72 72 61 |0 & 5..\|end{arra|
|00004e20| 79 7d 0d 0a 5c 72 69 67 | 68 74 5d 20 24 2c 20 73 |y}..\rig|ht] $, s|
|00004e30| 69 6e 67 75 6c 61 72 20 | 76 61 6c 75 65 73 3a 20 |ingular |values: |
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|00004e80| 7d 20 24 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 71 75 6f 74 61 74 |} $..\en|d{quotat|
|00004e90| 69 6f 6e 7d 0d 0a 0d 0a | 5c 20 0d 0a 0d 0a 5c 62 |ion}....|\ ....\b|
|00004ea0| 65 67 69 6e 7b 71 75 6f | 74 65 7d 0d 0a 5c 74 65 |egin{quo|te}..\te|
|00004eb0| 78 74 73 66 7b 4d 61 74 | 72 69 63 65 73 20 2b 20 |xtsf{Mat|rices + |
|00004ec0| 53 56 44 7d 0d 0a 5c 65 | 6e 64 7b 71 75 6f 74 65 |SVD}..\e|nd{quote|
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|00004ee0| 61 74 69 6f 6e 7d 0d 0a | 24 5c 6c 65 66 74 5b 20 |ation}..|$\left[ |
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|00004f20| 35 20 5c 5c 20 0d 0a 31 | 20 26 20 35 20 26 20 34 |5 \\ ..1| & 5 & 4|
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|00004f40| 72 69 67 68 74 5d 20 3d | 24 25 0d 0a 5c 5b 0d 0a |right] =|$%..\[..|
|00004f50| 5c 6c 65 66 74 5b 20 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |\left[ .|.\begin{|
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|00004fa0| 0a 2e 35 32 32 20 26 20 | 2d 2e 37 38 32 20 26 20 |..522 & |-.782 & |
|00004fb0| 2d 2e 33 34 31 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 61 72 72 61 |-.341..\|end{arra|
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|00004fd0| 74 5b 20 0d 0a 5c 62 65 | 67 69 6e 7b 61 72 72 61 |t[ ..\be|gin{arra|
|00004fe0| 79 7d 7b 63 63 63 7d 0d | 0a 31 30 2e 31 20 26 20 |y}{ccc}.|.10.1 & |
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|00005010| 20 30 20 26 20 33 2e 35 | 36 0d 0a 5c 65 6e 64 7b | 0 & 3.5|6..\end{|
|00005020| 61 72 72 61 79 7d 0d 0a | 5c 72 69 67 68 74 5d 20 |array}..|\right] |
|00005030| 5c 6c 65 66 74 5b 20 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |\left[ .|.\begin{|
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|00005070| 36 34 30 20 26 20 2e 30 | 38 39 37 20 5c 5c 20 0d |640 & .0|897 \\ .|
|00005080| 0a 2d 2e 34 37 31 20 26 | 20 2e 34 35 36 20 26 20 |.-.471 &| .456 & |
|00005090| 2d 2e 37 35 35 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 61 72 72 61 |-.755..\|end{arra|
|000050a0| 79 7d 0d 0a 5c 72 69 67 | 68 74 5d 20 0d 0a 5c 5d |y}..\rig|ht] ..\]|
|000050b0| 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 71 | 75 6f 74 61 74 69 6f 6e |..\end{q|uotation|
|000050c0| 7d 0d 0a 0d 0a 54 68 65 | 73 65 20 74 77 6f 20 6f |}....The|se two o|
|000050d0| 75 74 65 72 20 6d 61 74 | 72 69 63 65 73 20 66 61 |uter mat|rices fa|
|000050e0| 69 6c 20 74 68 65 20 6f | 72 74 68 6f 67 6f 6e 61 |il the o|rthogona|
|000050f0| 6c 69 74 79 20 74 65 73 | 74 20 62 65 63 61 75 73 |lity tes|t becaus|
|00005100| 65 20 74 68 65 79 20 61 | 72 65 0d 0a 6e 75 6d 65 |e they a|re..nume|
|00005110| 72 69 63 61 6c 20 61 70 | 70 72 6f 78 69 6d 61 74 |rical ap|proximat|
|00005120| 69 6f 6e 73 20 6f 6e 6c | 79 2e 20 59 6f 75 20 63 |ions onl|y. You c|
|00005130| 61 6e 20 63 68 65 63 6b | 20 74 68 65 20 69 6e 6e |an check| the inn|
|00005140| 65 72 20 70 72 6f 64 75 | 63 74 73 20 6f 66 20 74 |er produ|cts of t|
|00005150| 68 65 0d 0a 63 6f 6c 75 | 6d 6e 73 20 74 6f 20 73 |he..colu|mns to s|
|00005160| 65 65 20 74 68 61 74 20 | 74 68 65 79 20 61 72 65 |ee that |they are|
|00005170| 20 60 60 61 70 70 72 6f | 78 69 6d 61 74 65 6c 79 | ``appro|ximately|
|00005180| 27 27 20 6f 72 74 68 6f | 67 6f 6e 61 6c 2e 0d 0a |'' ortho|gonal...|
|00005190| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 71 75 6f 74 65 7d 0d |..\begin|{quote}.|
|000051a0| 0a 24 5c 62 6c 61 63 6b | 74 72 69 61 6e 67 6c 65 |.$\black|triangle|
|000051b0| 72 69 67 68 74 20 24 20 | 5c 74 65 78 74 73 66 7b |right $ |\textsf{|
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|00005230| 32 2e 30 20 5c 5c 20 0d | 0a 33 20 26 20 34 0d 0a |2.0 \\ .|.3 & 4..|
|00005240| 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 |\end{arr|ay}..\ri|
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|00005270| 7b 20 2e 33 36 36 2c 5c | 3b 35 2e 34 37 5c 72 69 |{ .366,\|;5.47\ri|
|00005280| 67 68 74 5c 7d 20 24 25 | 0d 0a 5c 5b 0d 0a 5c 6c |ght\} $%|..\[..\l|
|00005290| 65 66 74 28 20 0d 0a 5c | 62 65 67 69 6e 7b 61 72 |eft( ..\|begin{ar|
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|000052b0| 5c 5c 20 0d 0a 33 20 26 | 20 34 0d 0a 5c 65 6e 64 |\\ ..3 &| 4..\end|
|000052c0| 7b 61 72 72 61 79 7d 0d | 0a 5c 72 69 67 68 74 29 |{array}.|.\right)|
|000052d0| 20 3d 5c 6c 65 66 74 28 | 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 | =\left(| ..\begi|
|000052e0| 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | 7b 72 72 7d 0d 0a 2d 2e |n{array}|{rr}..-.|
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|00005300| 0a 2d 2e 39 31 35 20 26 | 20 2e 34 30 35 0d 0a 5c |.-.915 &| .405..\|
|00005310| 65 6e 64 7b 61 72 72 61 | 79 7d 0d 0a 5c 72 69 67 |end{arra|y}..\rig|
|00005320| 68 74 29 20 5c 6c 65 66 | 74 28 20 0d 0a 5c 62 65 |ht) \lef|t( ..\be|
|00005330| 67 69 6e 7b 61 72 72 61 | 79 7d 7b 63 63 7d 0d 0a |gin{arra|y}{cc}..|
|00005340| 35 2e 34 37 20 26 20 30 | 20 5c 5c 20 0d 0a 30 20 |5.47 & 0| \\ ..0 |
|00005350| 26 20 2e 33 36 36 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 |& .366..|\end{arr|
|00005360| 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 5c 6c 65 |ay}..\ri|ght) \le|
|00005370| 66 74 28 20 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 61 72 72 |ft( ..\b|egin{arr|
|00005380| 61 79 7d 7b 72 72 7d 0d | 0a 2d 2e 35 37 36 20 26 |ay}{rr}.|.-.576 &|
|00005390| 20 2d 2e 38 31 37 20 5c | 5c 20 0d 0a 2e 38 31 37 | -.817 \|\ ...817|
|000053a0| 20 26 20 2d 2e 35 37 36 | 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 61 | & -.576|..\end{a|
|000053b0| 72 72 61 79 7d 0d 0a 5c | 72 69 67 68 74 29 20 0d |rray}..\|right) .|
|000053c0| 0a 5c 5d 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 71 75 6f 74 61 74 |.\]..\en|d{quotat|
|000053d0| 69 6f 6e 7d 0d 0a 0d 0a | 5c 73 74 72 75 74 0d 0a |ion}....|\strut..|
|000053e0| 0d 0a 5c 73 75 62 73 65 | 63 74 69 6f 6e 7b 5c 20 |..\subse|ction{\ |
|000053f0| 50 4c 55 20 44 65 63 6f | 6d 70 6f 73 69 74 69 6f |PLU Deco|mpositio|
|00005400| 6e 5c 6c 61 62 65 6c 7b | 4d 61 74 72 69 63 65 73 |n\label{|Matrices|
|00005410| 2c 20 50 4c 55 20 64 65 | 63 6f 6d 70 6f 73 69 74 |, PLU de|composit|
|00005420| 69 6f 6e 7d 7d 0d 0a 0d | 0a 41 6e 79 20 24 6d 5c |ion}}...|.Any $m\|
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|00005440| 74 72 69 78 20 24 41 24 | 20 63 61 6e 20 62 65 20 |trix $A$| can be |
|00005450| 66 61 63 74 6f 72 65 64 | 20 69 6e 74 6f 20 61 20 |factored| into a |
|00005460| 70 72 6f 64 75 63 74 20 | 24 41 3d 50 4c 55 24 2c |product |$A=PLU$,|
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|00005480| 24 55 24 20 72 65 61 6c | 20 6c 6f 77 65 72 20 61 |$U$ real| lower a|
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|000054b0| 61 6e 64 20 24 6d 5c 74 | 69 6d 65 73 20 6e 24 0d |and $m\t|imes n$.|
|000054c0| 0a 6d 61 74 72 69 63 65 | 73 2c 20 72 65 73 70 65 |.matrice|s, respe|
|000054d0| 63 74 69 76 65 6c 79 2c | 20 77 69 74 68 20 24 31 |ctively,| with $1|
|000054e0| 24 27 73 20 6f 6e 20 74 | 68 65 20 6d 61 69 6e 20 |$'s on t|he main |
|000054f0| 64 69 61 67 6f 6e 61 6c | 20 6f 66 20 24 4c 24 2c |diagonal| of $L$,|
|00005500| 20 61 6e 64 20 77 69 74 | 68 20 24 50 24 0d 0a 61 | and wit|h $P$..a|
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|00005540| 69 73 20 63 61 6c 6c 65 | 64 20 74 68 65 20 5c 74 |is calle|d the \t|
|00005550| 65 78 74 73 6c 7b 50 4c | 55 0d 0a 64 65 63 6f 6d |extsl{PL|U..decom|
|00005560| 70 6f 73 69 74 69 6f 6e | 7d 5c 65 6d 70 68 7b 5c |position|}\emph{\|
|00005570| 20 7d 6f 66 20 24 41 24 | 2e 20 0d 0a 5c 69 6e 64 | }of $A$|. ..\ind|
|00005580| 65 78 7b 4d 61 74 72 69 | 63 65 73 40 4d 61 74 72 |ex{Matri|ces@Matr|
|00005590| 69 63 65 73 21 73 69 6e | 67 75 6c 61 72 20 76 61 |ices!sin|gular va|
|000055a0| 6c 75 65 20 64 65 63 6f | 6d 70 6f 73 69 74 69 6f |lue deco|mpositio|
|000055b0| 6e 40 73 69 6e 67 75 6c | 61 72 20 76 61 6c 75 65 |n@singul|ar value|
|000055c0| 20 64 65 63 6f 6d 70 6f | 73 69 74 69 6f 6e 7d 25 | decompo|sition}%|
|000055d0| 0d 0a 54 68 65 20 6d 61 | 74 72 69 78 20 24 55 24 |..The ma|trix $U$|
|000055e0| 20 69 73 20 61 6e 20 65 | 63 68 65 6c 6f 6e 20 66 | is an e|chelon f|
|000055f0| 6f 72 6d 20 6f 66 20 24 | 41 24 2e 0d 0a 0d 0a 5c |orm of $|A$.....\|
|00005600| 62 65 67 69 6e 7b 71 75 | 6f 74 65 7d 0d 0a 24 5c |begin{qu|ote}..$\|
|00005610| 62 6c 61 63 6b 74 72 69 | 61 6e 67 6c 65 72 69 67 |blacktri|anglerig|
|00005620| 68 74 20 24 20 5c 74 65 | 78 74 73 66 7b 4d 61 74 |ht $ \te|xtsf{Mat|
|00005630| 72 69 63 65 73 20 2b 20 | 50 4c 55 20 44 65 63 6f |rices + |PLU Deco|
|00005640| 6d 70 6f 73 69 74 69 6f | 6e 7d 0d 0a 5c 65 6e 64 |mpositio|n}..\end|
|00005650| 7b 71 75 6f 74 65 7d 0d | 0a 0d 0a 5c 62 65 67 69 |{quote}.|...\begi|
|00005660| 6e 7b 71 75 6f 74 61 74 | 69 6f 6e 7d 0d 0a 24 5c |n{quotat|ion}..$\|
|00005670| 6c 65 66 74 5b 20 0d 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 |left[ ..|\begin{a|
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|000056c0| 0d 0a 5c 72 69 67 68 74 | 5d 20 3d 5c 61 6c 6c 6f |..\right|] =\allo|
|000056d0| 77 62 72 65 61 6b 20 5c | 6c 65 66 74 5b 20 0d 0a |wbreak \|left[ ..|
|000056e0| 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 | 72 72 61 79 7d 7b 63 63 |\begin{a|rray}{cc|
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|00005700| 20 0d 0a 30 20 26 20 30 | 20 26 20 31 20 5c 5c 20 | ..0 & 0| & 1 \\ |
|00005710| 0d 0a 30 20 26 20 31 20 | 26 20 30 0d 0a 5c 65 6e |..0 & 1 |& 0..\en|
|00005720| 64 7b 61 72 72 61 79 7d | 0d 0a 5c 72 69 67 68 74 |d{array}|..\right|
|00005730| 5d 20 5c 6c 65 66 74 5b | 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 |] \left[| ..\begi|
|00005740| 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | 7b 63 63 63 7d 0d 0a 31 |n{array}|{ccc}..1|
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|00005770| 20 30 20 26 20 31 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | 0 & 1..|\end{arr|
|00005780| 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 | 67 68 74 5d 20 5c 6c 65 |ay}..\ri|ght] \le|
|00005790| 66 74 5b 20 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 61 72 72 |ft[ ..\b|egin{arr|
|000057a0| 61 79 7d 7b 63 63 63 7d | 0d 0a 31 20 26 20 32 20 |ay}{ccc}|..1 & 2 |
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|000057c0| 26 20 2d 38 20 5c 5c 20 | 0d 0a 30 20 26 20 30 20 |& -8 \\ |..0 & 0 |
|000057d0| 26 20 30 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 61 72 72 61 79 7d |& 0..\en|d{array}|
|000057e0| 0d 0a 5c 72 69 67 68 74 | 5d 20 5c 6d 65 64 73 6b |..\right|] \medsk|
|000057f0| 69 70 20 24 0d 0a 0d 0a | 24 5c 6c 65 66 74 5b 20 |ip $....|$\left[ |
|00005800| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 61 72 72 61 79 7d 7b |..\begin|{array}{|
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|00005840| 34 20 26 20 33 20 26 20 | 35 20 26 20 2d 39 0d 0a |4 & 3 & |5 & -9..|
|00005850| 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 | 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 |\end{arr|ay}..\ri|
|00005860| 67 68 74 5d 20 5c 6d 65 | 64 73 6b 69 70 20 3d 5c |ght] \me|dskip =\|
|00005870| 61 6c 6c 6f 77 62 72 65 | 61 6b 20 5c 6c 65 66 74 |allowbre|ak \left|
|00005880| 5b 20 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 61 72 72 61 79 |[ ..\beg|in{array|
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|000058b0| 20 5c 5c 20 0d 0a 30 20 | 26 20 30 20 26 20 31 0d | \\ ..0 |& 0 & 1.|
|000058c0| 0a 5c 65 6e 64 7b 61 72 | 72 61 79 7d 0d 0a 5c 72 |.\end{ar|ray}..\r|
|000058d0| 69 67 68 74 5d 20 5c 6c | 65 66 74 5b 20 0d 0a 5c |ight] \l|eft[ ..\|
|000058e0| 62 65 67 69 6e 7b 61 72 | 72 61 79 7d 7b 63 63 63 |begin{ar|ray}{ccc|
|000058f0| 7d 0d 0a 31 20 26 20 30 | 20 26 20 30 20 5c 5c 20 |}..1 & 0| & 0 \\ |
|00005900| 0d 0a 5c 66 72 61 63 7b | 37 7d 7b 32 7d 20 26 20 |..\frac{|7}{2} & |
|00005910| 31 20 26 20 30 20 5c 5c | 20 0d 0a 32 20 26 20 5c |1 & 0 \\| ..2 & \|
|00005920| 66 72 61 63 7b 32 36 7d | 7b 34 35 7d 20 26 20 31 |frac{26}|{45} & 1|
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|00005940| 72 69 67 68 74 5d 20 5c | 6c 65 66 74 5b 20 0d 0a |right] \|left[ ..|
|00005950| 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 | 72 72 61 79 7d 7b 63 63 |\begin{a|rray}{cc|
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|00005990| 72 61 63 7b 33 39 7d 7b | 32 7d 20 26 20 5c 66 72 |rac{39}{|2} & \fr|
|000059a0| 61 63 7b 34 37 7d 7b 32 | 7d 20 5c 5c 20 0d 0a 30 |ac{47}{2|} \\ ..0|
|000059b0| 20 26 20 30 20 26 20 2d | 5c 66 72 61 63 7b 34 7d | & 0 & -|\frac{4}|
|000059c0| 7b 31 35 7d 20 26 20 2d | 5c 66 72 61 63 7b 35 36 |{15} & -|\frac{56|
|000059d0| 36 7d 7b 34 35 7d 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 |6}{45}..|\end{arr|
|000059e0| 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 | 67 68 74 5d 20 24 0d 0a |ay}..\ri|ght] $..|
|000059f0| 0d 0a 24 5c 6c 65 66 74 | 5b 20 0d 0a 5c 62 65 67 |..$\left|[ ..\beg|
|00005a00| 69 6e 7b 61 72 72 61 79 | 7d 7b 63 63 7d 0d 0a 34 |in{array|}{cc}..4|
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|00005a30| 36 32 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 61 72 72 61 79 7d 0d |62..\end|{array}.|
|00005a40| 0a 5c 72 69 67 68 74 5d | 20 3d 5c 61 6c 6c 6f 77 |.\right]| =\allow|
|00005a50| 62 72 65 61 6b 20 5c 6c | 65 66 74 5b 20 0d 0a 5c |break \l|eft[ ..\|
|00005a60| 62 65 67 69 6e 7b 61 72 | 72 61 79 7d 7b 63 63 63 |begin{ar|ray}{ccc|
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|00005a80| 0d 0a 30 20 26 20 31 20 | 26 20 30 20 5c 5c 20 0d |..0 & 1 |& 0 \\ .|
|00005a90| 0a 30 20 26 20 30 20 26 | 20 31 0d 0a 5c 65 6e 64 |.0 & 0 &| 1..\end|
|00005aa0| 7b 61 72 72 61 79 7d 0d | 0a 5c 72 69 67 68 74 5d |{array}.|.\right]|
|00005ab0| 20 5c 6c 65 66 74 5b 20 | 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | \left[ |..\begin|
|00005ac0| 7b 61 72 72 61 79 7d 7b | 63 63 63 7d 0d 0a 31 20 |{array}{|ccc}..1 |
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|00005ae0| 72 61 63 7b 33 31 7d 7b | 31 35 7d 20 26 20 31 20 |rac{31}{|15} & 1 |
|00005af0| 26 20 30 20 5c 5c 20 0d | 0a 5c 66 72 61 63 7b 34 |& 0 \\ .|.\frac{4|
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|00005b30| 69 67 68 74 5d 20 5c 6c | 65 66 74 5b 20 0d 0a 5c |ight] \l|eft[ ..\|
|00005b40| 62 65 67 69 6e 7b 61 72 | 72 61 79 7d 7b 63 63 7d |begin{ar|ray}{cc}|
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|00005c70| 5c 2c 5c 61 6c 6c 6f 77 | 62 72 65 61 6b 20 33 35 |\,\allow|break 35|
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|00005ca0| 5d 20 5c 6c 65 66 74 5b | 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 |] \left[| ..\begi|
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|00005da0| 31 20 26 20 30 20 5c 5c | 20 0d 0a 30 20 26 20 31 |1 & 0 \\| ..0 & 1|
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|00005dd0| 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 | 72 72 61 79 7d 7b 63 63 |\begin{a|rray}{cc|
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|00005df0| 26 20 31 0d 0a 5c 65 6e | 64 7b 61 72 72 61 79 7d |& 1..\en|d{array}|
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|00005e10| 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | ..\begi|n{array}|
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|00005e30| 0a 30 20 26 20 30 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 |.0 & 0..|\end{arr|
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|00005e50| 5c 65 6e 64 7b 71 75 6f | 74 61 74 69 6f 6e 7d 0d |\end{quo|tation}.|
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|00005ea0| 20 74 68 65 20 73 61 6d | 65 20 61 73 0d 0a 74 68 | the sam|e as..th|
|00005eb0| 65 20 66 6f 6c 6c 6f 77 | 69 6e 67 2e 0d 0a 0d 0a |e follow|ing.....|
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|00005f80| 32 20 26 20 31 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 61 72 72 61 |2 & 1..\|end{arra|
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|00005fa0| 72 61 63 74 69 6f 6e 2d | 66 72 65 65 20 47 61 75 |raction-|free Gau|
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|00005ff0| 30 20 26 20 2d 34 20 26 | 20 2d 38 20 5c 5c 20 0d |0 & -4 &| -8 \\ .|
|00006000| 0a 30 20 26 20 30 20 26 | 20 30 0d 0a 5c 65 6e 64 |.0 & 0 &| 0..\end|
|00006010| 7b 61 72 72 61 79 7d 0d | 0a 5c 72 69 67 68 74 5d |{array}.|.\right]|
|00006020| 20 24 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 71 75 6f 74 61 74 69 | $..\end|{quotati|
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|000060b0| 6f 72 69 67 69 6e 61 6c | 20 6d 61 74 72 69 78 20 |original| matrix |
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