home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Class of 2001 / ClassOf2001.iso / Scinotebook / scinoteb / help / dm8-7.tex / node5_ct.html < prev    next >
LaTeX Document  |  1997-05-15  |  4.2 KB

open in: MacOS 8.1     |     Win98     |     DOS

browse contents    |     view JSON data     |     view as text


This file was processed as: LaTeX Document (document/latex).

ConfidenceProgramDetectionMatch TypeSupport
100% dexvert LaTeX Document (document/latex) magic Supported
90% dexvert Hypertext Markup Language File (text/html) magic Supported
1% dexvert Text File (text/txt) fallback Supported
100% file HTML document text default (weak)
99% file LaTeX document text default
98% file exported SGML document text default
97% file exported SGML document, ASCII text, with CRLF, LF line terminators default
80% TrID HyperText Markup Language with DOCTYPE default
19% TrID HyperText Markup Language default
100% checkBytes Printable ASCII default
100% perlTextCheck Likely Text (Perl) default
100% siegfried fmt/281 LaTeX (Subdocument) default
100% gt2 HTML (Hyper Text Markup Language) Datei default
100% detectItEasy Format: Plain text[LF] default
100% xdgMime text/html default



hex view
+--------+-------------------------+-------------------------+--------+--------+
|00000000| 3c 21 44 4f 43 54 59 50 | 45 20 48 54 4d 4c 20 50 |<!DOCTYP|E HTML P|
|00000010| 55 42 4c 49 43 20 22 2d | 2f 2f 57 33 43 2f 2f 44 |UBLIC "-|//W3C//D|
|00000020| 54 44 20 48 54 4d 4c 20 | 33 2e 32 20 46 69 6e 61 |TD HTML |3.2 Fina|
|00000030| 6c 2f 2f 65 6e 22 3e 0a | 0a 3c 21 2d 2d 43 6f 6e |l//en">.|.<!--Con|
|00000040| 76 65 72 74 65 64 20 77 | 69 74 68 20 4c 61 54 65 |verted w|ith LaTe|
|00000050| 58 32 48 54 4d 4c 20 32 | 30 32 32 20 28 52 65 6c |X2HTML 2|022 (Rel|
|00000060| 65 61 73 65 64 20 4a 61 | 6e 75 61 72 79 20 31 2c |eased Ja|nuary 1,|
|00000070| 20 32 30 32 32 29 20 2d | 2d 3e 0a 3c 48 54 4d 4c | 2022) -|->.<HTML|
|00000080| 20 6c 61 6e 67 3d 22 65 | 6e 22 3e 0a 3c 48 45 41 | lang="e|n">.<HEA|
|00000090| 44 3e 0a 3c 54 49 54 4c | 45 3e 43 6f 6e 74 65 6e |D>.<TITL|E>Conten|
|000000a0| 74 73 20 6f 66 20 54 68 | 65 20 51 52 20 46 61 63 |ts of Th|e QR Fac|
|000000b0| 74 6f 72 69 7a 61 74 69 | 6f 6e 20 61 6e 64 20 4f |torizati|on and O|
|000000c0| 72 74 68 6f 6e 6f 72 6d | 61 6c 20 42 61 73 65 73 |rthonorm|al Bases|
|000000d0| 3c 2f 54 49 54 4c 45 3e | 0a 0a 3c 4d 45 54 41 20 |</TITLE>|..<META |
|000000e0| 48 54 54 50 2d 45 51 55 | 49 56 3d 22 43 6f 6e 74 |HTTP-EQU|IV="Cont|
|000000f0| 65 6e 74 2d 54 79 70 65 | 22 20 43 4f 4e 54 45 4e |ent-Type|" CONTEN|
|00000100| 54 3d 22 74 65 78 74 2f | 68 74 6d 6c 3b 20 63 68 |T="text/|html; ch|
|00000110| 61 72 73 65 74 3d 75 74 | 66 2d 38 22 3e 0a 3c 4d |arset=ut|f-8">.<M|
|00000120| 45 54 41 20 4e 41 4d 45 | 3d 22 76 69 65 77 70 6f |ETA NAME|="viewpo|
|00000130| 72 74 22 20 43 4f 4e 54 | 45 4e 54 3d 22 77 69 64 |rt" CONT|ENT="wid|
|00000140| 74 68 3d 64 65 76 69 63 | 65 2d 77 69 64 74 68 2c |th=devic|e-width,|
|00000150| 20 69 6e 69 74 69 61 6c | 2d 73 63 61 6c 65 3d 31 | initial|-scale=1|
|00000160| 2e 30 22 3e 0a 3c 4d 45 | 54 41 20 4e 41 4d 45 3d |.0">.<ME|TA NAME=|
|00000170| 22 47 65 6e 65 72 61 74 | 6f 72 22 20 43 4f 4e 54 |"Generat|or" CONT|
|00000180| 45 4e 54 3d 22 4c 61 54 | 65 58 32 48 54 4d 4c 20 |ENT="LaT|eX2HTML |
|00000190| 76 32 30 32 32 22 3e 0a | 0a 3c 4c 49 4e 4b 20 52 |v2022">.|.<LINK R|
|000001a0| 45 4c 3d 22 53 54 59 4c | 45 53 48 45 45 54 22 20 |EL="STYL|ESHEET" |
|000001b0| 48 52 45 46 3d 22 64 6d | 38 2d 37 2e 63 73 73 22 |HREF="dm|8-7.css"|
|000001c0| 3e 0a 0a 3c 4c 49 4e 4b | 20 52 45 4c 3d 22 6e 65 |>..<LINK| REL="ne|
|000001d0| 78 74 22 20 48 52 45 46 | 3d 22 6e 6f 64 65 36 5f |xt" HREF|="node6_|
|000001e0| 6d 6e 2e 68 74 6d 6c 22 | 3e 0a 3c 4c 49 4e 4b 20 |mn.html"|>.<LINK |
|000001f0| 52 45 4c 3d 22 70 72 65 | 76 69 6f 75 73 22 20 48 |REL="pre|vious" H|
|00000200| 52 45 46 3d 22 6e 6f 64 | 65 34 5f 6d 6e 2e 68 74 |REF="nod|e4_mn.ht|
|00000210| 6d 6c 22 3e 0a 3c 4c 49 | 4e 4b 20 52 45 4c 3d 22 |ml">.<LI|NK REL="|
|00000220| 75 70 22 20 48 52 45 46 | 3d 22 6e 6f 64 65 31 5f |up" HREF|="node1_|
|00000230| 6d 6e 2e 68 74 6d 6c 22 | 3e 0a 3c 4c 49 4e 4b 20 |mn.html"|>.<LINK |
|00000240| 52 45 4c 3d 22 6e 65 78 | 74 22 20 48 52 45 46 3d |REL="nex|t" HREF=|
|00000250| 22 6e 6f 64 65 36 5f 6d | 6e 2e 68 74 6d 6c 22 3e |"node6_m|n.html">|
|00000260| 0a 3c 2f 48 45 41 44 3e | 0a 20 0a 3c 42 4f 44 59 |.</HEAD>|. .<BODY|
|00000270| 20 62 67 63 6f 6c 6f 72 | 3d 22 23 66 66 66 66 66 | bgcolor|="#fffff|
|00000280| 66 22 20 74 65 78 74 3d | 22 23 30 30 30 30 30 30 |f" text=|"#000000|
|00000290| 22 20 6c 69 6e 6b 3d 22 | 23 39 39 34 34 45 45 22 |" link="|#9944EE"|
|000002a0| 20 76 6c 69 6e 6b 3d 22 | 23 30 30 30 30 66 66 22 | vlink="|#0000ff"|
|000002b0| 20 61 6c 69 6e 6b 3d 22 | 23 30 30 66 66 30 30 22 | alink="|#00ff00"|
|000002c0| 3e 0a 0a 3c 48 32 3e 3c | 41 20 49 44 3d 22 53 45 |>..<H2><|A ID="SE|
|000002d0| 43 54 49 4f 4e 30 30 30 | 31 34 30 30 30 30 30 30 |CTION000|14000000|
|000002e0| 30 30 30 30 30 30 30 30 | 30 22 3e 3c 2f 41 3e 3c |00000000|0"></A><|
|000002f0| 41 20 49 44 3d 22 51 52 | 5f 66 61 63 74 6f 72 69 |A ID="QR|_factori|
|00000300| 7a 61 74 69 6f 6e 22 3e | 3c 2f 41 3e 0a 3c 42 52 |zation">|</A>.<BR|
|00000310| 3e 0a 54 68 65 20 51 52 | 20 46 61 63 74 6f 72 69 |>.The QR| Factori|
|00000320| 7a 61 74 69 6f 6e 20 61 | 6e 64 20 4f 72 74 68 6f |zation a|nd Ortho|
|00000330| 6e 6f 72 6d 61 6c 0d 0a | 42 61 73 65 73 0a 3c 2f |normal..|Bases.</|
|00000340| 48 32 3e 0a 0a 3c 50 3e | 0a 41 6e 79 20 72 65 61 |H2>..<P>|.Any rea|
|00000350| 6c 20 6d 61 74 72 69 78 | 20 3c 49 3e 41 3c 2f 49 |l matrix| <I>A</I|
|00000360| 3e 20 77 69 74 68 20 6c | 69 6e 65 61 72 6c 79 20 |> with l|inearly |
|00000370| 69 6e 64 65 70 65 6e 64 | 65 6e 74 20 63 6f 6c 75 |independ|ent colu|
|00000380| 6d 6e 73 20 63 61 6e 20 | 62 65 20 66 61 63 74 6f |mns can |be facto|
|00000390| 72 65 64 20 61 73 20 61 | 0d 0a 70 72 6f 64 75 63 |red as a|..produc|
|000003a0| 74 20 3c 49 3e 51 52 3c | 2f 49 3e 2c 20 0d 0a 3c |t <I>QR<|/I>, ..<|
|000003b0| 41 20 49 44 3d 22 31 39 | 35 22 3e 3c 2f 41 3e 77 |A ID="19|5"></A>w|
|000003c0| 68 65 72 65 20 0d 0a 3c | 41 20 49 44 3d 22 31 39 |here ..<|A ID="19|
|000003d0| 36 22 3e 3c 2f 41 3e 3c | 41 20 49 44 3d 22 4d 61 |6"></A><|A ID="Ma|
|000003e0| 74 72 69 63 65 73 5f 5f | 51 52 5f 66 61 63 74 6f |trices__|QR_facto|
|000003f0| 72 69 7a 61 74 69 6f 6e | 22 3e 3c 2f 41 3e 74 68 |rization|"></A>th|
|00000400| 65 20 63 6f 6c 75 6d 6e | 73 0d 0a 6f 66 20 3c 49 |e column|s..of <I|
|00000410| 3e 51 3c 2f 49 3e 20 61 | 72 65 20 3c 49 3e 6f 72 |>Q</I> a|re <I>or|
|00000420| 74 68 6f 6e 6f 72 6d 61 | 6c 3c 2f 49 3e 20 0d 0a |thonorma|l</I> ..|
|00000430| 3c 41 20 49 44 3d 22 31 | 39 39 22 3e 3c 2f 41 3e |<A ID="1|99"></A>|
|00000440| 3c 41 20 49 44 3d 22 4f | 72 74 68 6f 6e 6f 72 6d |<A ID="O|rthonorm|
|00000450| 61 6c 22 3e 3c 2f 41 3e | 28 74 68 65 20 69 6e 6e |al"></A>|(the inn|
|00000460| 65 72 20 70 72 6f 64 75 | 63 74 20 6f 66 20 61 6e |er produ|ct of an|
|00000470| 79 0d 0a 74 77 6f 20 64 | 69 66 66 65 72 65 6e 74 |y..two d|ifferent|
|00000480| 20 63 6f 6c 75 6d 6e 73 | 20 69 73 20 30 2c 20 61 | columns| is 0, a|
|00000490| 6e 64 20 74 68 65 20 69 | 6e 6e 65 72 20 70 72 6f |nd the i|nner pro|
|000004a0| 64 75 63 74 20 6f 66 20 | 61 6e 79 20 63 6f 6c 75 |duct of |any colu|
|000004b0| 6d 6e 20 77 69 74 68 0d | 0a 69 74 73 65 6c 66 20 |mn with.|.itself |
|000004c0| 69 73 20 31 29 20 61 6e | 64 20 3c 49 3e 52 3c 2f |is 1) an|d <I>R</|
|000004d0| 49 3e 20 69 73 20 69 6e | 76 65 72 74 69 62 6c 65 |I> is in|vertible|
|000004e0| 20 61 6e 64 20 75 70 70 | 65 72 2d 72 69 67 68 74 | and upp|er-right|
|000004f0| 20 74 72 69 61 6e 67 75 | 6c 61 72 2e 20 49 66 20 | triangu|lar. If |
|00000500| 74 68 65 0d 0a 6f 72 69 | 67 69 6e 61 6c 20 6d 61 |the..ori|ginal ma|
|00000510| 74 72 69 78 20 3c 49 3e | 41 3c 2f 49 3e 20 69 73 |trix <I>|A</I> is|
|00000520| 20 73 71 75 61 72 65 2c | 20 74 68 65 6e 20 73 6f | square,| then so|
|00000530| 20 69 73 20 3c 49 3e 51 | 3c 2f 49 3e 2e 20 49 6e | is <I>Q|</I>. In|
|00000540| 20 74 68 69 73 20 63 61 | 73 65 2c 20 3c 49 3e 51 | this ca|se, <I>Q|
|00000550| 3c 2f 49 3e 20 69 73 20 | 61 6e 20 0d 0a 3c 49 3e |</I> is |an ..<I>|
|00000560| 6f 72 74 68 6f 67 6f 6e | 61 6c 3c 2f 49 3e 20 6d |orthogon|al</I> m|
|00000570| 61 74 72 69 78 2e 20 0d | 0a 3c 41 20 49 44 3d 22 |atrix. .|.<A ID="|
|00000580| 32 30 32 22 3e 3c 2f 41 | 3e 3c 41 20 49 44 3d 22 |202"></A|><A ID="|
|00000590| 4d 61 74 72 69 63 65 73 | 5f 5f 6f 72 74 68 6f 67 |Matrices|__orthog|
|000005a0| 6f 6e 61 6c 22 3e 3c 2f | 41 3e 0a 3c 50 3e 0a 3c |onal"></|A>.<P>.<|
|000005b0| 42 4c 4f 43 4b 51 55 4f | 54 45 3e 0a 3c 21 2d 2d |BLOCKQUO|TE>.<!--|
|000005c0| 20 4d 41 54 48 0a 20 24 | 5c 62 6c 61 63 6b 74 72 | MATH. $|\blacktr|
|000005d0| 69 61 6e 67 6c 65 72 69 | 67 68 74 24 0a 20 2d 2d |iangleri|ght$. --|
|000005e0| 3e 0a 3c 49 4d 47 0a 20 | 53 54 59 4c 45 3d 22 22 |>.<IMG. |STYLE=""|
|000005f0| 20 53 52 43 3d 22 69 6d | 67 31 2e 70 6e 67 22 0a | SRC="im|g1.png".|
|00000600| 20 41 4c 54 3d 22 24 5c | 62 6c 61 63 6b 74 72 69 | ALT="$\|blacktri|
|00000610| 61 6e 67 6c 65 72 69 67 | 68 74 24 22 3e 20 54 6f |anglerig|ht$"> To|
|00000620| 20 6f 62 74 61 69 6e 20 | 74 68 65 20 3c 49 3e 51 | obtain |the <I>Q|
|00000630| 52 3c 2f 49 3e 20 66 61 | 63 74 6f 72 69 7a 61 74 |R</I> fa|ctorizat|
|00000640| 69 6f 6e 0d 0a 0a 3c 2f | 42 4c 4f 43 4b 51 55 4f |ion...</|BLOCKQUO|
|00000650| 54 45 3e 0a 0a 3c 50 3e | 0a 3c 44 4c 20 63 6c 61 |TE>..<P>|.<DL cla|
|00000660| 73 73 3d 22 43 4f 4d 50 | 41 43 54 22 3e 0a 3c 44 |ss="COMP|ACT">.<D|
|00000670| 54 3e 31 2e 3c 2f 44 54 | 3e 0a 3c 44 44 3e 4c 65 |T>1.</DT|>.<DD>Le|
|00000680| 61 76 65 20 74 68 65 20 | 69 6e 73 65 72 74 69 6f |ave the |insertio|
|00000690| 6e 20 70 6f 69 6e 74 20 | 69 6e 20 61 20 6d 61 74 |n point |in a mat|
|000006a0| 72 69 78 2e 0a 0a 3c 50 | 3e 0a 3c 2f 44 44 3e 0a |rix...<P|>.</DD>.|
|000006b0| 3c 44 54 3e 32 2e 3c 2f | 44 54 3e 0a 3c 44 44 3e |<DT>2.</|DT>.<DD>|
|000006c0| 46 72 6f 6d 20 74 68 65 | 20 3c 49 3e 4d 61 74 72 |From the| <I>Matr|
|000006d0| 69 63 65 73 3c 2f 49 3e | 20 73 75 62 6d 65 6e 75 |ices</I>| submenu|
|000006e0| 2c 20 63 68 6f 6f 73 65 | 20 3c 49 3e 51 52 3c 2f |, choose| <I>QR</|
|000006f0| 49 3e 2e 0d 0a 3c 2f 44 | 44 3e 0a 3c 2f 44 4c 3e |I>...</D|D>.</DL>|
|00000700| 0a 0a 3c 50 3e 0a 3c 42 | 4c 4f 43 4b 51 55 4f 54 |..<P>.<B|LOCKQUOT|
|00000710| 45 3e 0a 3c 21 2d 2d 20 | 4d 41 54 48 0a 20 24 5c |E>.<!-- |MATH. $\|
|00000720| 62 6c 61 63 6b 74 72 69 | 61 6e 67 6c 65 72 69 67 |blacktri|anglerig|
|00000730| 68 74 24 0a 20 2d 2d 3e | 0a 3c 49 4d 47 0a 20 53 |ht$. -->|.<IMG. S|
|00000740| 54 59 4c 45 3d 22 22 20 | 53 52 43 3d 22 69 6d 67 |TYLE="" |SRC="img|
|00000750| 31 2e 70 6e 67 22 0a 20 | 41 4c 54 3d 22 24 5c 62 |1.png". |ALT="$\b|
|00000760| 6c 61 63 6b 74 72 69 61 | 6e 67 6c 65 72 69 67 68 |lacktria|nglerigh|
|00000770| 74 24 22 3e 20 3c 49 3e | 4d 61 74 72 69 63 65 73 |t$"> <I>|Matrices|
|00000780| 20 2b 20 51 52 3c 2f 49 | 3e 0d 0a 0a 3c 2f 42 4c | + QR</I|>...</BL|
|00000790| 4f 43 4b 51 55 4f 54 45 | 3e 0a 0a 3c 50 3e 0a 3c |OCKQUOTE|>..<P>.<|
|000007a0| 42 4c 4f 43 4b 51 55 4f | 54 45 3e 0a 3c 21 2d 2d |BLOCKQUO|TE>.<!--|
|000007b0| 20 4d 41 54 48 0a 20 24 | 5c 6c 65 66 74 28 0a 5c | MATH. $|\left(.\|
|000007c0| 62 65 67 69 6e 7b 61 72 | 72 61 79 7d 7b 63 63 7d |begin{ar|ray}{cc}|
|000007d0| 0d 0a 33 20 26 20 30 20 | 5c 5c 0d 0a 34 20 26 20 |..3 & 0 |\\..4 & |
|000007e0| 35 0d 0a 5c 65 6e 64 7b | 61 72 72 61 79 7d 0d 0a |5..\end{|array}..|
|000007f0| 5c 72 69 67 68 74 29 20 | 3d 5c 6c 65 66 74 28 20 |\right) |=\left( |
|00000800| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 61 72 72 61 79 7d 7b |..\begin|{array}{|
|00000810| 63 63 7d 0d 0a 2d 2e 36 | 20 26 20 2e 38 20 5c 5c |cc}..-.6| & .8 \\|
|00000820| 0d 0a 2d 2e 38 20 26 20 | 2d 2e 36 0d 0a 5c 65 6e |..-.8 & |-.6..\en|
|00000830| 64 7b 61 72 72 61 79 7d | 0d 0a 5c 72 69 67 68 74 |d{array}|..\right|
|00000840| 29 20 5c 6c 65 66 74 28 | 20 0d 0a 5c 62 65 67 69 |) \left(| ..\begi|
|00000850| 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | 7b 63 63 7d 0d 0a 2d 35 |n{array}|{cc}..-5|
|00000860| 2e 30 20 26 20 2d 34 2e | 30 20 5c 5c 0d 0a 30 20 |.0 & -4.|0 \\..0 |
|00000870| 26 20 2d 33 2e 30 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 |& -3.0..|\end{arr|
|00000880| 61 79 7d 0d 0a 5c 72 69 | 67 68 74 29 20 5c 2c 24 |ay}..\ri|ght) \,$|
|00000890| 0a 20 2d 2d 3e 0a 3c 49 | 4d 47 0a 20 53 54 59 4c |. -->.<I|MG. STYL|
|000008a0| 45 3d 22 22 20 53 52 43 | 3d 22 69 6d 67 37 34 2e |E="" SRC|="img74.|
|000008b0| 70 6e 67 22 0a 20 41 4c | 54 3d 22 24 5c 6c 65 66 |png". AL|T="$\lef|
|000008c0| 74 28 5c 76 70 68 61 6e | 74 6f 6d 7b 0a 5c 62 65 |t(\vphan|tom{.\be|
|000008d0| 67 69 6e 7b 61 72 72 61 | 79 7d 7b 63 63 7d 0a 33 |gin{arra|y}{cc}.3|
|000008e0| 20 26 61 6d 70 3b 20 30 | 20 5c 5c 0a 34 20 26 61 | &amp; 0| \\.4 &a|
|000008f0| 6d 70 3b 20 35 0a 5c 65 | 6e 64 7b 61 72 72 61 79 |mp; 5.\e|nd{array|
|00000900| 7d 0a 7d 5c 72 69 67 68 | 74 2e 24 22 3e 3c 49 4d |}.}\righ|t.$"><IM|
|00000910| 47 0a 20 53 54 59 4c 45 | 3d 22 22 20 53 52 43 3d |G. STYLE|="" SRC=|
|00000920| 22 69 6d 67 37 35 2e 70 | 6e 67 22 0a 20 41 4c 54 |"img75.p|ng". ALT|
|00000930| 3d 22 24 5c 62 65 67 69 | 6e 7b 61 72 72 61 79 7d |="$\begi|n{array}|
|00000940| 7b 63 63 7d 0a 33 20 26 | 61 6d 70 3b 20 30 20 5c |{cc}.3 &|amp; 0 \|
|00000950| 5c 0a 34 20 26 61 6d 70 | 3b 20 35 0a 5c 65 6e 64 |\.4 &amp|; 5.\end|
|00000960| 7b 61 72 72 61 79 7d 24 | 22 3e 3c 49 4d 47 0a 20 |{array}$|"><IMG. |
|00000970| 53 54 59 4c 45 3d 22 22 | 20 53 52 43 3d 22 69 6d |STYLE=""| SRC="im|
|00000980| 67 37 36 2e 70 6e 67 22 | 0a 20 41 4c 54 3d 22 24 |g76.png"|. ALT="$|
|00000990| 5c 6c 65 66 74 2e 5c 76 | 70 68 61 6e 74 6f 6d 7b |\left.\v|phantom{|
|000009a0| 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b | 61 72 72 61 79 7d 7b 63 |.\begin{|array}{c|
|000009b0| 63 7d 0a 33 20 26 61 6d | 70 3b 20 30 20 5c 5c 0a |c}.3 &am|p; 0 \\.|
|000009c0| 34 20 26 61 6d 70 3b 20 | 35 0a 5c 65 6e 64 7b 61 |4 &amp; |5.\end{a|
|000009d0| 72 72 61 79 7d 0a 7d 5c | 72 69 67 68 74 29 24 22 |rray}.}\|right)$"|
|000009e0| 3e 20 3d 20 3c 49 4d 47 | 0a 20 53 54 59 4c 45 3d |> = <IMG|. STYLE=|
|000009f0| 22 22 20 53 52 43 3d 22 | 69 6d 67 37 37 2e 70 6e |"" SRC="|img77.pn|
|00000a00| 67 22 0a 20 41 4c 54 3d | 22 24 5c 6c 65 66 74 28 |g". ALT=|"$\left(|
|00000a10| 5c 76 70 68 61 6e 74 6f | 6d 7b 0a 5c 62 65 67 69 |\vphanto|m{.\begi|
|00000a20| 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | 7b 63 63 7d 0a 2d 2e 36 |n{array}|{cc}.-.6|
|00000a30| 20 26 61 6d 70 3b 20 2e | 38 20 5c 5c 0a 2d 2e 38 | &amp; .|8 \\.-.8|
|00000a40| 20 26 61 6d 70 3b 20 2d | 2e 36 0a 5c 65 6e 64 7b | &amp; -|.6.\end{|
|00000a50| 61 72 72 61 79 7d 0a 7d | 5c 72 69 67 68 74 2e 24 |array}.}|\right.$|
|00000a60| 22 3e 3c 49 4d 47 0a 20 | 53 54 59 4c 45 3d 22 22 |"><IMG. |STYLE=""|
|00000a70| 20 53 52 43 3d 22 69 6d | 67 37 38 2e 70 6e 67 22 | SRC="im|g78.png"|
|00000a80| 0a 20 41 4c 54 3d 22 24 | 5c 62 65 67 69 6e 7b 61 |. ALT="$|\begin{a|
|00000a90| 72 72 61 79 7d 7b 63 63 | 7d 0a 2d 2e 36 20 26 61 |rray}{cc|}.-.6 &a|
|00000aa0| 6d 70 3b 20 2e 38 20 5c | 5c 0a 2d 2e 38 20 26 61 |mp; .8 \|\.-.8 &a|
|00000ab0| 6d 70 3b 20 2d 2e 36 0a | 5c 65 6e 64 7b 61 72 72 |mp; -.6.|\end{arr|
|00000ac0| 61 79 7d 24 22 3e 3c 49 | 4d 47 0a 20 53 54 59 4c |ay}$"><I|MG. STYL|
|00000ad0| 45 3d 22 22 20 53 52 43 | 3d 22 69 6d 67 37 39 2e |E="" SRC|="img79.|
|00000ae0| 70 6e 67 22 0a 20 41 4c | 54 3d 22 24 5c 6c 65 66 |png". AL|T="$\lef|
|00000af0| 74 2e 5c 76 70 68 61 6e | 74 6f 6d 7b 0a 5c 62 65 |t.\vphan|tom{.\be|
|00000b00| 67 69 6e 7b 61 72 72 61 | 79 7d 7b 63 63 7d 0a 2d |gin{arra|y}{cc}.-|
|00000b10| 2e 36 20 26 61 6d 70 3b | 20 2e 38 20 5c 5c 0a 2d |.6 &amp;| .8 \\.-|
|00000b20| 2e 38 20 26 61 6d 70 3b | 20 2d 2e 36 0a 5c 65 6e |.8 &amp;| -.6.\en|
|00000b30| 64 7b 61 72 72 61 79 7d | 0a 7d 5c 72 69 67 68 74 |d{array}|.}\right|
|00000b40| 29 24 22 3e 3c 49 4d 47 | 0a 20 53 54 59 4c 45 3d |)$"><IMG|. STYLE=|
|00000b50| 22 22 20 53 52 43 3d 22 | 69 6d 67 38 30 2e 70 6e |"" SRC="|img80.pn|
|00000b60| 67 22 0a 20 41 4c 54 3d | 22 24 5c 6c 65 66 74 28 |g". ALT=|"$\left(|
|00000b70| 5c 76 70 68 61 6e 74 6f | 6d 7b 0a 5c 62 65 67 69 |\vphanto|m{.\begi|
|00000b80| 6e 7b 61 72 72 61 79 7d | 7b 63 63 7d 0a 2d 35 2e |n{array}|{cc}.-5.|
|00000b90| 30 20 26 61 6d 70 3b 20 | 2d 34 2e 30 20 5c 5c 0a |0 &amp; |-4.0 \\.|
|00000ba0| 30 20 26 61 6d 70 3b 20 | 2d 33 2e 30 0a 5c 65 6e |0 &amp; |-3.0.\en|
|00000bb0| 64 7b 61 72 72 61 79 7d | 0a 7d 5c 72 69 67 68 74 |d{array}|.}\right|
|00000bc0| 2e 24 22 3e 3c 49 4d 47 | 0a 20 53 54 59 4c 45 3d |.$"><IMG|. STYLE=|
|00000bd0| 22 22 20 53 52 43 3d 22 | 69 6d 67 38 31 2e 70 6e |"" SRC="|img81.pn|
|00000be0| 67 22 0a 20 41 4c 54 3d | 22 24 5c 62 65 67 69 6e |g". ALT=|"$\begin|
|00000bf0| 7b 61 72 72 61 79 7d 7b | 63 63 7d 0a 2d 35 2e 30 |{array}{|cc}.-5.0|
|00000c00| 20 26 61 6d 70 3b 20 2d | 34 2e 30 20 5c 5c 0a 30 | &amp; -|4.0 \\.0|
|00000c10| 20 26 61 6d 70 3b 20 2d | 33 2e 30 0a 5c 65 6e 64 | &amp; -|3.0.\end|
|00000c20| 7b 61 72 72 61 79 7d 24 | 22 3e 3c 49 4d 47 0a 20 |{array}$|"><IMG. |
|00000c30| 53 54 59 4c 45 3d 22 22 | 20 53 52 43 3d 22 69 6d |STYLE=""| SRC="im|
|00000c40| 67 38 32 2e 70 6e 67 22 | 0a 20 41 4c 54 3d 22 24 |g82.png"|. ALT="$|
|00000c50| 5c 6c 65 66 74 2e 5c 76 | 70 68 61 6e 74 6f 6d 7b |\left.\v|phantom{|
|00000c60| 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b | 61 72 72 61 79 7d 7b 63 |.\begin{|array}{c|
|00000c70| 63 7d 0a 2d 35 2e 30 20 | 26 61 6d 70 3b 20 2d 34 |c}.-5.0 |&amp; -4|
|00000c80| 2e 30 20 5c 5c 0a 30 20 | 26 61 6d 70 3b 20 2d 33 |.0 \\.0 |&amp; -3|
|00000c90| 2e 30 0a 5c 65 6e 64 7b | 61 72 72 61 79 7d 0a 7d |.0.\end{|array}.}|
|00000ca0| 5c 72 69 67 68 74 29 24 | 22 3e 26 6e 62 73 70 3b |\right)$|">&nbsp;|
|00000cb0| 0a 3c 2f 42 4c 4f 43 4b | 51 55 4f 54 45 3e 0a 0a |.</BLOCK|QUOTE>..|
|00000cc0| 3c 50 3e 0a 54 68 65 20 | 74 77 6f 20 6d 61 74 72 |<P>.The |two matr|
|00000cd0| 69 63 65 73 20 3c 49 3e | 51 3c 2f 49 3e 20 61 6e |ices <I>|Q</I> an|
|00000ce0| 64 20 3c 49 3e 41 3c 2f | 49 3e 20 3d 20 3c 49 3e |d <I>A</|I> = <I>|
|00000cf0| 51 52 3c 2f 49 3e 20 68 | 61 76 65 20 74 68 65 20 |QR</I> h|ave the |
|00000d00| 73 61 6d 65 20 63 6f 6c | 75 6d 6e 20 73 70 61 63 |same col|umn spac|
|00000d10| 65 73 2e 20 4f 62 73 65 | 72 76 65 2c 20 69 6e 20 |es. Obse|rve, in |
|00000d20| 74 68 65 0d 0a 66 6f 6c | 6c 6f 77 69 6e 67 20 65 |the..fol|lowing e|
|00000d30| 78 61 6d 70 6c 65 2c 20 | 74 68 61 74 20 74 68 65 |xample, |that the|
|00000d40| 20 63 6f 6c 75 6d 6e 73 | 20 6f 66 20 3c 49 3e 41 | columns| of <I>A|
|00000d50| 3c 2f 49 3e 20 61 72 65 | 20 6c 69 6e 65 61 72 20 |</I> are| linear |
|00000d60| 63 6f 6d 62 69 6e 61 74 | 69 6f 6e 73 20 6f 66 20 |combinat|ions of |
|00000d70| 74 68 65 0d 0a 63 6f 6c | 75 6d 6e 73 20 6f 66 20 |the..col|umns of |
|00000d80| 3c 49 3e 51 3c 2f 49 3e | 2e 20 54 68 65 6e 2c 20 |<I>Q</I>|. Then, |
|00000d90| 73 69 6e 63 65 20 62 6f | 74 68 20 63 6f 6c 75 6d |since bo|th colum|
|00000da0| 6e 20 73 70 61 63 65 73 | 20 68 61 76 65 20 64 69 |n spaces| have di|
|00000db0| 6d 65 6e 73 69 6f 6e 20 | 32 20 61 6e 64 20 6f 6e |mension |2 and on|
|00000dc0| 65 0d 0a 63 6f 6e 74 61 | 69 6e 73 20 74 68 65 20 |e..conta|ins the |
|00000dd0| 6f 74 68 65 72 2c 20 69 | 74 20 66 6f 6c 6c 6f 77 |other, i|t follow|
|00000de0| 73 20 74 68 61 74 20 74 | 68 65 79 20 6d 75 73 74 |s that t|hey must|
|00000df0| 20 62 65 20 74 68 65 20 | 73 61 6d 65 20 73 70 61 | be the |same spa|
|00000e00| 63 65 2e 0a 0a 3c 50 3e | 0a 3c 42 52 3e 0a 3c 41 |ce...<P>|.<BR>.<A|
|00000e10| 20 49 44 3d 22 47 72 61 | 6d 2d 53 63 68 6d 69 64 | ID="Gra|m-Schmid|
|00000e20| 74 5f 6f 72 74 68 6f 67 | 6f 6e 61 6c 69 7a 61 74 |t_orthog|onalizat|
|00000e30| 69 6f 6e 22 3e 3c 2f 41 | 3e 3c 49 4d 47 0a 20 20 |ion"></A|><IMG. |
|00000e40| 53 54 59 4c 45 3d 22 22 | 20 53 52 43 3d 22 69 6d |STYLE=""| SRC="im|
|00000e50| 67 38 33 2e 70 6e 67 22 | 0a 20 41 4c 54 3d 22 5c |g83.png"|. ALT="\|
|00000e60| 62 65 67 69 6e 7b 65 78 | 61 6d 70 6c 65 7d 0a 54 |begin{ex|ample}.T|
|00000e70| 68 65 0a 70 72 65 63 65 | 64 69 6e 67 20 70 72 6f |he.prece|ding pro|
|00000e80| 64 75 63 74 20 63 6f 6d | 65 73 20 66 72 6f 6d 20 |duct com|es from |
|00000e90| 74 68 65 0a 66 6f 6c 6c | 6f 77 69 6e 67 20 6c 69 |the.foll|owing li|
|00000ea0| 6e 65 61 72 20 63 6f 6d | 62 69 6e 61 74 2e 2e 2e |near com|binat...|
|00000eb0| 0a 2e 2e 2e 7b 61 72 72 | 61 79 7d 7b 63 7d 0a 2e |....{arr|ay}{c}..|
|00000ec0| 38 20 5c 5c 0a 2d 2e 36 | 0a 5c 65 6e 64 7b 61 72 |8 \\.-.6|.\end{ar|
|00000ed0| 72 61 79 7d 0a 5c 72 69 | 67 68 74 29 0a 5c 65 6e |ray}.\ri|ght).\en|
|00000ee0| 64 7b 64 69 73 70 6c 61 | 79 6d 61 74 68 7d 0a 5c |d{displa|ymath}.\|
|00000ef0| 65 6e 64 7b 65 78 61 6d | 70 6c 65 7d 22 3e 0a 3c |end{exam|ple}">.<|
|00000f00| 42 52 3e 0a 0a 3c 50 3e | 0a 54 68 69 73 20 63 6f |BR>..<P>|.This co|
|00000f10| 6e 76 65 72 73 69 6f 6e | 20 6f 66 20 74 68 65 20 |nversion| of the |
|00000f20| 63 6f 6c 75 6d 6e 73 20 | 6f 66 20 3c 49 3e 41 3c |columns |of <I>A<|
|00000f30| 2f 49 3e 20 69 6e 74 6f | 20 74 68 65 20 6f 72 74 |/I> into| the ort|
|00000f40| 68 6f 6e 6f 72 6d 61 6c | 20 63 6f 6c 75 6d 6e 73 |honormal| columns|
|00000f50| 20 6f 66 20 3c 49 3e 51 | 3c 2f 49 3e 20 69 73 0d | of <I>Q|</I> is.|
|00000f60| 0a 72 65 66 65 72 72 65 | 64 20 74 6f 20 61 73 20 |.referre|d to as |
|00000f70| 74 68 65 20 0d 0a 3c 41 | 20 49 44 3d 22 32 34 36 |the ..<A| ID="246|
|00000f80| 22 3e 3c 2f 41 3e 3c 49 | 3e 47 72 61 6d 26 6e 64 |"></A><I|>Gram&nd|
|00000f90| 61 73 68 3b 53 63 68 6d | 69 64 74 20 6f 72 74 68 |ash;Schm|idt orth|
|00000fa0| 6f 67 6f 6e 61 6c 69 7a | 61 74 69 6f 6e 3c 2f 49 |ogonaliz|ation</I|
|00000fb0| 3e 20 70 72 6f 63 65 73 | 73 2e 20 49 6e 20 67 65 |> proces|s. In ge|
|00000fc0| 6e 65 72 61 6c 2c 20 73 | 69 6e 63 65 20 3c 49 3e |neral, s|ince <I>|
|00000fd0| 52 3c 2f 49 3e 20 69 73 | 0d 0a 75 70 70 65 72 2d |R</I> is|..upper-|
|00000fe0| 72 69 67 68 74 20 74 72 | 69 61 6e 67 75 6c 61 72 |right tr|iangular|
|00000ff0| 2c 20 74 68 65 20 73 75 | 62 73 70 61 63 65 20 73 |, the su|bspace s|
|00001000| 70 61 6e 6e 65 64 20 62 | 79 20 74 68 65 20 66 69 |panned b|y the fi|
|00001010| 72 73 74 20 3c 49 3e 6b | 3c 2f 49 3e 20 63 6f 6c |rst <I>k|</I> col|
|00001020| 75 6d 6e 73 20 6f 66 20 | 74 68 65 0d 0a 6d 61 74 |umns of |the..mat|
|00001030| 72 69 78 20 3c 49 3e 41 | 3c 2f 49 3e 20 3d 20 3c |rix <I>A|</I> = <|
|00001040| 49 3e 51 52 3c 2f 49 3e | 20 69 73 20 74 68 65 20 |I>QR</I>| is the |
|00001050| 73 61 6d 65 20 61 73 20 | 74 68 65 20 73 75 62 73 |same as |the subs|
|00001060| 70 61 63 65 20 73 70 61 | 6e 6e 65 64 20 62 79 20 |pace spa|nned by |
|00001070| 74 68 65 20 66 69 72 73 | 74 20 3c 49 3e 6b 3c 2f |the firs|t <I>k</|
|00001080| 49 3e 20 63 6f 6c 75 6d | 6e 73 0d 0a 6f 66 20 74 |I> colum|ns..of t|
|00001090| 68 65 20 6d 61 74 72 69 | 78 20 3c 49 3e 51 3c 2f |he matri|x <I>Q</|
|000010a0| 49 3e 2e 0a 3c 50 3e 0a | 3c 42 52 3e 0a 0a 3c 50 |I>..<P>.|<BR>..<P|
|000010b0| 3e 0a 0a 3c 48 52 3e 0a | 0a 3c 2f 42 4f 44 59 3e |>..<HR>.|.</BODY>|
|000010c0| 0a 3c 2f 48 54 4d 4c 3e | 0a |.</HTML>|. |
+--------+-------------------------+-------------------------+--------+--------+