/ Class of 2001 / ClassOf2001.iso / Scinotebook / scinoteb / REFERENCE / MATHEMATICS / ode01_03.tex

< prev

next >

MacOS 8.1

Win98

DOS

browse contents

view JSON data

view as text

+--------+-------------------------+-------------------------+--------+--------+
|00000000| 25 25 20 54 68 69 73 20 | 64 6f 63 75 6d 65 6e 74 |%% This |document|
|00000010| 20 63 72 65 61 74 65 64 | 20 62 79 20 53 63 69 65 | created| by Scie|
|00000020| 6e 74 69 66 69 63 20 4e | 6f 74 65 62 6f 6f 6b 20 |ntific N|otebook |
|00000030| 28 52 29 20 56 65 72 73 | 69 6f 6e 20 33 2e 30 0d |(R) Vers|ion 3.0.|
|00000040| 0a 0d 0a 0d 0a 5c 64 6f | 63 75 6d 65 6e 74 63 6c |.....\do|cumentcl|
|00000050| 61 73 73 5b 31 32 70 74 | 2c 74 68 6d 73 61 5d 7b |ass[12pt|,thmsa]{|
|00000060| 61 72 74 69 63 6c 65 7d | 0d 0a 25 25 25 25 25 25 |article}|..%%%%%%|
|00000070| 25 25 25 25 25 25 25 25 | 25 25 25 25 25 25 25 25 |%%%%%%%%|%%%%%%%%|
|00000080| 25 25 25 25 25 25 25 25 | 25 25 25 25 25 25 25 25 |%%%%%%%%|%%%%%%%%|
|00000090| 25 25 25 25 25 25 25 25 | 25 25 25 25 25 25 25 25 |%%%%%%%%|%%%%%%%%|
|000000a0| 25 25 25 25 25 25 25 25 | 25 25 25 25 25 25 25 25 |%%%%%%%%|%%%%%%%%|
|000000b0| 25 25 25 25 25 25 25 25 | 25 25 25 25 25 25 25 25 |%%%%%%%%|%%%%%%%%|
|000000c0| 25 25 25 25 25 25 25 25 | 25 25 25 25 25 25 25 25 |%%%%%%%%|%%%%%%%%|
|000000d0| 25 25 25 25 25 25 25 25 | 25 25 25 25 25 25 25 25 |%%%%%%%%|%%%%%%%%|
|000000e0| 25 25 25 25 25 25 0d 0a | 5c 75 73 65 70 61 63 6b |%%%%%%..|\usepack|
|000000f0| 61 67 65 7b 73 77 32 30 | 6a 61 72 74 7d 0d 0a 0d |age{sw20|jart}...|
|00000100| 0a 25 54 43 49 44 41 54 | 41 7b 54 43 49 73 74 79 |.%TCIDAT|A{TCIsty|
|00000110| 6c 65 3d 61 72 74 69 63 | 6c 65 2f 61 72 74 34 2e |le=artic|le/art4.|
|00000120| 6c 61 74 2c 6a 61 72 74 | 2c 73 77 32 30 6a 61 72 |lat,jart|,sw20jar|
|00000130| 74 7d 0d 0a 0d 0a 25 54 | 43 49 44 41 54 41 7b 3c |t}....%T|CIDATA{<|
|00000140| 4d 45 54 41 20 4e 41 4d | 45 3d 22 56 69 65 77 53 |META NAM|E="ViewS|
|00000150| 65 74 74 69 6e 67 73 22 | 20 43 4f 4e 54 45 4e 54 |ettings"| CONTENT|
|00000160| 3d 22 32 33 22 3e 7d 0d | 0a 25 54 43 49 44 41 54 |="23">}.|.%TCIDAT|
|00000170| 41 7b 3c 4d 45 54 41 20 | 4e 41 4d 45 3d 22 47 72 |A{<META |NAME="Gr|
|00000180| 61 70 68 69 63 73 53 61 | 76 65 22 20 43 4f 4e 54 |aphicsSa|ve" CONT|
|00000190| 45 4e 54 3d 22 33 32 22 | 3e 7d 0d 0a 25 54 43 49 |ENT="32"|>}..%TCI|
|000001a0| 44 41 54 41 7b 3c 4d 45 | 54 41 20 4e 41 4d 45 3d |DATA{<ME|TA NAME=|
|000001b0| 22 54 69 74 6c 65 22 20 | 43 4f 4e 54 45 4e 54 3d |"Title" |CONTENT=|
|000001c0| 22 52 65 66 65 72 65 6e | 63 65 2f 4d 61 74 68 65 |"Referen|ce/Mathe|
|000001d0| 6d 61 74 69 63 73 2f 4c | 69 6e 65 61 72 20 61 6e |matics/L|inear an|
|000001e0| 64 20 42 65 72 6e 6f 75 | 6c 6c 69 20 45 71 75 61 |d Bernou|lli Equa|
|000001f0| 74 69 6f 6e 73 22 3e 7d | 0d 0a 25 54 43 49 44 41 |tions">}|..%TCIDA|
|00000200| 54 41 7b 43 72 65 61 74 | 65 64 3d 4d 6f 6e 20 41 |TA{Creat|ed=Mon A|
|00000210| 75 67 20 31 39 20 31 34 | 3a 35 32 3a 32 34 20 31 |ug 19 14|:52:24 1|
|00000220| 39 39 36 7d 0d 0a 25 54 | 43 49 44 41 54 41 7b 4c |996}..%T|CIDATA{L|
|00000230| 61 73 74 52 65 76 69 73 | 65 64 3d 54 75 65 20 41 |astRevis|ed=Tue A|
|00000240| 70 72 20 30 31 20 31 36 | 3a 34 33 3a 34 33 20 31 |pr 01 16|:43:43 1|
|00000250| 39 39 37 7d 0d 0a 25 54 | 43 49 44 41 54 41 7b 4c |997}..%T|CIDATA{L|
|00000260| 61 6e 67 75 61 67 65 3d | 41 6d 65 72 69 63 61 6e |anguage=|American|
|00000270| 20 45 6e 67 6c 69 73 68 | 7d 0d 0a 25 54 43 49 44 | English|}..%TCID|
|00000280| 41 54 41 7b 43 53 54 46 | 69 6c 65 3d 52 65 66 65 |ATA{CSTF|ile=Refe|
|00000290| 72 65 6e 63 65 2e 63 73 | 74 7d 0d 0a 25 54 43 49 |rence.cs|t}..%TCI|
|000002a0| 44 41 54 41 7b 50 61 67 | 65 53 65 74 75 70 3d 37 |DATA{Pag|eSetup=7|
|000002b0| 32 2c 37 32 2c 37 32 2c | 37 32 2c 30 7d 0d 0a 25 |2,72,72,|72,0}..%|
|000002c0| 54 43 49 44 41 54 41 7b | 3c 4c 49 4e 4b 20 52 45 |TCIDATA{|<LINK RE|
|000002d0| 4c 3d 22 63 6f 6e 74 65 | 6e 74 73 22 20 48 52 45 |L="conte|nts" HRE|
|000002e0| 46 3d 22 2e 2e 5c 52 65 | 66 65 72 65 6e 63 65 5c |F="..\Re|ference\|
|000002f0| 52 65 66 65 72 65 6e 63 | 65 49 6e 64 65 78 2e 74 |Referenc|eIndex.t|
|00000300| 65 78 23 52 65 66 65 72 | 65 6e 63 65 20 49 6e 64 |ex#Refer|ence Ind|
|00000310| 65 78 22 3e 7d 0d 0a 25 | 54 43 49 44 41 54 41 7b |ex">}..%|TCIDATA{|
|00000320| 3c 4c 49 4e 4b 20 52 45 | 4c 3d 22 6e 65 78 74 22 |<LINK RE|L="next"|
|00000330| 20 48 52 45 46 3d 22 4f | 44 45 30 31 5f 30 34 2e | HREF="O|DE01_04.|
|00000340| 74 65 78 22 3e 7d 0d 0a | 25 54 43 49 44 41 54 41 |tex">}..|%TCIDATA|
|00000350| 7b 3c 4c 49 4e 4b 20 52 | 45 4c 3d 22 70 61 72 65 |{<LINK R|EL="pare|
|00000360| 6e 74 22 20 48 52 45 46 | 3d 22 4f 44 45 5f 63 6f |nt" HREF|="ODE_co|
|00000370| 6e 74 65 6e 74 73 2e 74 | 65 78 22 3e 7d 0d 0a 25 |ntents.t|ex">}..%|
|00000380| 54 43 49 44 41 54 41 7b | 3c 4c 49 4e 4b 20 52 45 |TCIDATA{|<LINK RE|
|00000390| 4c 3d 22 70 72 65 76 69 | 6f 75 73 22 20 48 52 45 |L="previ|ous" HRE|
|000003a0| 46 3d 22 4f 44 45 30 31 | 5f 30 32 2e 74 65 78 22 |F="ODE01|_02.tex"|
|000003b0| 3e 7d 0d 0a 25 54 43 49 | 44 41 54 41 7b 41 6c 6c |>}..%TCI|DATA{All|
|000003c0| 50 61 67 65 73 3d 0d 0a | 25 46 3d 33 36 2c 5c 50 |Pages=..|%F=36,\P|
|000003d0| 41 52 41 7b 30 33 38 3c | 70 20 74 79 70 65 3d 22 |ARA{038<|p type="|
|000003e0| 74 65 78 70 61 72 61 22 | 20 74 61 67 3d 22 42 6f |texpara"| tag="Bo|
|000003f0| 64 79 20 54 65 78 74 22 | 20 3e 5c 68 66 69 6c 6c |dy Text"| >\hfill|
|00000400| 20 5c 74 68 65 70 61 67 | 65 7d 0d 0a 25 7d 0d 0a | \thepag|e}..%}..|
|00000410| 0d 0a 0d 0a 5c 69 6e 70 | 75 74 7b 74 63 69 6c 61 |....\inp|ut{tcila|
|00000420| 74 65 78 7d 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 64 6f 63 |tex}..\b|egin{doc|
|00000430| 75 6d 65 6e 74 7d 0d 0a | 0d 0a 0d 0a 5c 73 65 63 |ument}..|....\sec|
|00000440| 74 69 6f 6e 7b 4c 69 6e | 65 61 72 20 61 6e 64 20 |tion{Lin|ear and |
|00000450| 42 65 72 6e 6f 75 6c 6c | 69 20 45 71 75 61 74 69 |Bernoull|i Equati|
|00000460| 6f 6e 73 5c 6c 61 62 65 | 6c 7b 4c 69 6e 65 61 72 |ons\labe|l{Linear|
|00000470| 20 61 6e 64 20 42 65 72 | 6e 6f 75 6c 6c 69 20 45 | and Ber|noulli E|
|00000480| 71 61 75 74 69 6f 6e 73 | 7d 0d 0a 7d 0d 0a 0d 0a |qautions|}..}....|
|00000490| 5c 62 65 67 69 6e 7b 64 | 65 66 69 6e 69 74 69 6f |\begin{d|efinitio|
|000004a0| 6e 7d 0d 0a 5c 76 73 70 | 61 63 65 7b 31 70 74 7d |n}..\vsp|ace{1pt}|
|000004b0| 41 20 66 69 72 73 74 2d | 6f 72 64 65 72 20 64 69 |A first-|order di|
|000004c0| 66 66 65 72 65 6e 74 69 | 61 6c 20 65 71 75 61 74 |fferenti|al equat|
|000004d0| 69 6f 6e 20 69 73 20 63 | 61 6c 6c 65 64 20 5c 74 |ion is c|alled \t|
|000004e0| 65 78 74 62 66 7b 6c 69 | 6e 65 61 72 20 0d 0a 5c |extbf{li|near ..\|
|000004f0| 6c 61 62 65 6c 7b 4c 69 | 6e 65 61 72 20 44 69 66 |label{Li|near Dif|
|00000500| 66 65 72 65 6e 74 69 61 | 6c 20 45 71 75 61 74 69 |ferentia|l Equati|
|00000510| 6f 6e 7d 7d 69 66 20 69 | 74 20 63 61 6e 20 62 65 |on}}if i|t can be|
|00000520| 20 77 72 69 74 74 65 6e | 20 69 6e 20 74 68 65 20 | written| in the |
|00000530| 66 6f 72 6d 20 0d 0a 5c | 5b 0d 0a 5c 66 72 61 63 |form ..\|[..\frac|
|00000540| 7b 64 79 7d 7b 64 78 7d | 2b 50 28 78 29 79 3d 51 |{dy}{dx}|+P(x)y=Q|
|00000550| 28 78 29 5c 74 65 78 74 | 7b 2e 7d 0d 0a 5c 5d 0d |(x)\text|{.}..\].|
|00000560| 0a 5c 65 6e 64 7b 64 65 | 66 69 6e 69 74 69 6f 6e |.\end{de|finition|
|00000570| 7d 0d 0a 0d 0a 54 68 69 | 73 20 65 71 75 61 74 69 |}....Thi|s equati|
|00000580| 6f 6e 20 6d 61 79 20 62 | 65 20 73 6f 6c 76 65 64 |on may b|e solved|
|00000590| 20 62 79 20 6d 75 6c 74 | 69 70 6c 79 69 6e 67 20 | by mult|iplying |
|000005a0| 62 6f 74 68 20 73 69 64 | 65 73 20 62 79 20 74 68 |both sid|es by th|
|000005b0| 65 20 66 75 6e 63 74 69 | 6f 6e 20 24 25 0d 0a 65 |e functi|on $%..e|
|000005c0| 5e 7b 5c 69 6e 74 20 50 | 64 78 7d 24 2c 20 77 68 |^{\int P|dx}$, wh|
|000005d0| 69 63 68 20 69 73 20 63 | 61 6c 6c 65 64 20 61 6e |ich is c|alled an|
|000005e0| 20 5c 74 65 78 74 62 66 | 7b 69 6e 74 65 67 72 61 | \textbf|{integra|
|000005f0| 74 69 6e 67 20 66 61 63 | 74 6f 72 2e 20 5c 20 7d |ting fac|tor. \ }|
|00000600| 54 68 65 20 6c 65 66 74 | 0d 0a 73 69 64 65 20 62 |The left|..side b|
|00000610| 65 63 6f 6d 65 73 20 74 | 68 65 20 64 65 72 69 76 |ecomes t|he deriv|
|00000620| 61 74 69 76 65 20 6f 66 | 20 24 79 65 5e 7b 5c 69 |ative of| $ye^{\i|
|00000630| 6e 74 20 50 64 78 7d 24 | 2e 20 49 6e 74 65 67 72 |nt Pdx}$|. Integr|
|00000640| 61 74 69 6f 6e 20 6f 66 | 20 62 6f 74 68 20 73 69 |ation of| both si|
|00000650| 64 65 73 0d 0a 77 69 6c | 6c 20 79 69 65 6c 64 20 |des..wil|l yield |
|00000660| 74 68 65 20 73 6f 6c 75 | 74 69 6f 6e 2e 0d 0a 0d |the solu|tion....|
|00000670| 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b | 74 68 65 6f 72 65 6d 7d |.\begin{|theorem}|
|00000680| 0d 0a 54 68 65 20 67 65 | 6e 65 72 61 6c 20 73 6f |..The ge|neral so|
|00000690| 6c 75 74 69 6f 6e 20 6f | 66 20 61 20 66 69 72 73 |lution o|f a firs|
|000006a0| 74 20 6f 72 64 65 72 20 | 6c 69 6e 65 61 72 20 65 |t order |linear e|
|000006b0| 71 75 61 74 69 6f 6e 20 | 69 73 20 67 69 76 65 6e |quation |is given|
|000006c0| 20 62 79 20 0d 0a 5c 5b | 0d 0a 79 3d 65 5e 7b 2d | by ..\[|..y=e^{-|
|000006d0| 5c 69 6e 74 20 50 64 78 | 7d 5c 6c 65 66 74 5b 20 |\int Pdx|}\left[ |
|000006e0| 5c 69 6e 74 20 65 5e 7b | 5c 69 6e 74 20 50 64 78 |\int e^{|\int Pdx|
|000006f0| 7d 51 64 78 2b 63 5c 72 | 69 67 68 74 5d 20 0d 0a |}Qdx+c\r|ight] ..|
|00000700| 5c 5d 0d 0a 77 68 65 72 | 65 20 24 63 24 20 69 73 |\]..wher|e $c$ is|
|00000710| 20 61 6e 20 61 72 62 69 | 74 72 61 72 79 20 63 6f | an arbi|trary co|
|00000720| 6e 73 74 61 6e 74 2e 0d | 0a 5c 65 6e 64 7b 74 68 |nstant..|.\end{th|
|00000730| 65 6f 72 65 6d 7d 0d 0a | 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e |eorem}..|..\begin|
|00000740| 7b 64 65 66 69 6e 69 74 | 69 6f 6e 7d 0d 0a 41 20 |{definit|ion}..A |
|00000750| 5c 74 65 78 74 62 66 7b | 42 65 72 6e 6f 75 6c 6c |\textbf{|Bernoull|
|00000760| 69 20 44 69 66 66 65 72 | 65 6e 74 69 61 6c 20 45 |i Differ|ential E|
|00000770| 71 75 61 74 69 6f 6e 5c | 6c 61 62 65 6c 25 0d 0a |quation\|label%..|
|00000780| 7b 42 65 72 6e 6f 75 6c | 6c 69 20 44 69 66 66 65 |{Bernoul|li Diffe|
|00000790| 72 65 6e 74 69 61 6c 20 | 45 71 75 61 74 69 6f 6e |rential |Equation|
|000007a0| 7d 7d 20 69 73 20 61 20 | 64 69 66 66 65 72 65 6e |}} is a |differen|
|000007b0| 74 69 61 6c 20 65 71 75 | 61 74 69 6f 6e 20 6f 66 |tial equ|ation of|
|000007c0| 20 74 68 65 20 66 6f 72 | 6d 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a | the for|m ..\[..|
|000007d0| 5c 66 72 61 63 7b 64 79 | 7d 7b 64 78 7d 2b 50 28 |\frac{dy|}{dx}+P(|
|000007e0| 78 29 79 3d 51 28 78 29 | 79 5e 7b 6e 7d 0d 0a 5c |x)y=Q(x)|y^{n}..\|
|000007f0| 5d 0d 0a 77 68 65 72 65 | 20 24 6e 24 20 69 73 20 |]..where| $n$ is |
|00000800| 61 6e 20 69 6e 74 65 67 | 65 72 2e 0d 0a 5c 65 6e |an integ|er...\en|
|00000810| 64 7b 64 65 66 69 6e 69 | 74 69 6f 6e 7d 0d 0a 0d |d{defini|tion}...|
|00000820| 0a 46 6f 72 20 24 6e 3d | 31 24 2c 20 74 68 69 73 |.For $n=|1$, this|
|00000830| 20 65 71 75 61 74 69 6f | 6e 20 72 65 64 75 63 65 | equatio|n reduce|
|00000840| 73 20 74 6f 20 61 20 73 | 65 70 61 72 61 62 6c 65 |s to a s|eparable|
|00000850| 20 6c 69 6e 65 61 72 20 | 64 69 66 66 65 72 65 6e | linear |differen|
|00000860| 74 69 61 6c 20 65 71 75 | 61 74 69 6f 6e 2e 0d 0a |tial equ|ation...|
|00000870| 0d 0a 5c 62 65 67 69 6e | 7b 74 68 65 6f 72 65 6d |..\begin|{theorem|
|00000880| 7d 0d 0a 53 75 70 70 6f | 73 65 20 24 6e 5c 6e 65 |}..Suppo|se $n\ne|
|00000890| 71 20 31 24 2e 20 54 68 | 65 6e 20 74 68 65 20 74 |q 1$. Th|en the t|
|000008a0| 72 61 6e 73 66 6f 72 6d | 61 74 69 6f 6e 20 24 75 |ransform|ation $u|
|000008b0| 3d 79 5e 7b 31 2d 6e 7d | 24 20 72 65 64 75 63 65 |=y^{1-n}|$ reduce|
|000008c0| 73 20 74 68 65 20 65 71 | 75 61 74 69 6f 6e 0d 0a |s the eq|uation..|
|000008d0| 74 6f 20 61 20 66 69 72 | 73 74 2d 6f 72 64 65 72 |to a fir|st-order|
|000008e0| 20 6c 69 6e 65 61 72 20 | 64 69 66 66 65 72 65 6e | linear |differen|
|000008f0| 74 69 61 6c 20 65 71 75 | 61 74 69 6f 6e 20 69 6e |tial equ|ation in|
|00000900| 20 24 75 24 2e 0d 0a 5c | 65 6e 64 7b 74 68 65 6f | $u$...\|end{theo|
|00000910| 72 65 6d 7d 0d 0a 0d 0a | 5c 62 65 67 69 6e 7b 65 |rem}....|\begin{e|
|00000920| 78 61 6d 70 6c 65 7d 0d | 0a 54 68 65 20 65 71 75 |xample}.|.The equ|
|00000930| 61 74 69 6f 6e 20 24 79 | 5e 7b 5c 70 72 69 6d 65 |ation $y|^{\prime|
|00000940| 20 7d 2b 32 78 79 3d 33 | 78 24 20 69 73 20 61 20 | }+2xy=3|x$ is a |
|00000950| 66 69 72 73 74 20 6f 72 | 64 65 72 20 6c 69 6e 65 |first or|der line|
|00000960| 61 72 20 64 69 66 66 65 | 72 65 6e 74 69 61 6c 0d |ar diffe|rential.|
|00000970| 0a 65 71 75 61 74 69 6f | 6e 20 77 69 74 68 20 24 |.equatio|n with $|
|00000980| 50 28 78 29 3d 32 78 24 | 2c 20 24 51 28 78 29 3d |P(x)=2x$|, $Q(x)=|
|00000990| 33 78 24 2e 20 54 68 65 | 20 69 6e 74 65 67 72 61 |3x$. The| integra|
|000009a0| 74 69 6e 67 20 66 61 63 | 74 6f 72 20 66 6f 72 20 |ting fac|tor for |
|000009b0| 74 68 69 73 20 65 71 75 | 61 74 69 6f 6e 0d 0a 69 |this equ|ation..i|
|000009c0| 73 20 24 65 5e 7b 5c 69 | 6e 74 20 32 78 64 78 7d |s $e^{\i|nt 2xdx}|
|000009d0| 3d 5c 61 6c 6c 6f 77 62 | 72 65 61 6b 20 65 5e 7b |=\allowb|reak e^{|
|000009e0| 78 5e 7b 32 7d 7d 24 2e | 20 57 72 69 74 65 20 0d |x^{2}}$.| Write .|
|000009f0| 0a 5c 5b 0d 0a 5c 61 6c | 6c 6f 77 62 72 65 61 6b |.\[..\al|lowbreak|
|00000a00| 20 65 5e 7b 78 5e 7b 32 | 7d 7d 5c 66 72 61 63 7b | e^{x^{2|}}\frac{|
|00000a10| 64 79 7d 7b 64 78 7d 2b | 5c 61 6c 6c 6f 77 62 72 |dy}{dx}+|\allowbr|
|00000a20| 65 61 6b 20 65 5e 7b 78 | 5e 7b 32 7d 7d 32 78 79 |eak e^{x|^{2}}2xy|
|00000a30| 3d 33 5c 61 6c 6c 6f 77 | 62 72 65 61 6b 0d 0a 78 |=3\allow|break..x|
|00000a40| 65 5e 7b 78 5e 7b 32 7d | 7d 0d 0a 5c 5d 0d 0a 49 |e^{x^{2}|}..\]..I|
|00000a50| 6e 74 65 67 72 61 74 69 | 6e 67 20 62 6f 74 68 20 |ntegrati|ng both |
|00000a60| 73 69 64 65 73 20 79 69 | 65 6c 64 73 20 0d 0a 5c |sides yi|elds ..\|
|00000a70| 5b 0d 0a 5c 69 6e 74 20 | 5c 6c 65 66 74 28 20 5c |[..\int |\left( \|
|00000a80| 61 6c 6c 6f 77 62 72 65 | 61 6b 20 65 5e 7b 78 5e |allowbre|ak e^{x^|
|00000a90| 7b 32 7d 7d 5c 66 72 61 | 63 7b 64 79 7d 7b 64 78 |{2}}\fra|c{dy}{dx|
|00000aa0| 7d 2b 5c 61 6c 6c 6f 77 | 62 72 65 61 6b 0d 0a 65 |}+\allow|break..e|
|00000ab0| 5e 7b 78 5e 7b 32 7d 7d | 32 78 79 5c 72 69 67 68 |^{x^{2}}|2xy\righ|
|00000ac0| 74 29 20 64 78 3d 5c 61 | 6c 6c 6f 77 62 72 65 61 |t) dx=\a|llowbrea|
|00000ad0| 6b 20 65 5e 7b 78 5e 7b | 32 7d 7d 79 3d 5c 69 6e |k e^{x^{|2}}y=\in|
|00000ae0| 74 20 33 5c 61 6c 6c 6f | 77 62 72 65 61 6b 0d 0a |t 3\allo|wbreak..|
|00000af0| 78 65 5e 7b 78 5e 7b 32 | 7d 7d 64 78 3d 5c 61 6c |xe^{x^{2|}}dx=\al|
|00000b00| 6c 6f 77 62 72 65 61 6b | 20 5c 66 72 61 63 7b 33 |lowbreak| \frac{3|
|00000b10| 7d 7b 32 7d 65 5e 7b 78 | 5e 7b 32 7d 7d 2b 63 0d |}{2}e^{x|^{2}}+c.|
|00000b20| 0a 5c 5d 0d 0a 73 6f 20 | 74 68 61 74 20 0d 0a 5c |.\]..so |that ..\|
|00000b30| 5b 0d 0a 65 5e 7b 78 5e | 7b 32 7d 7d 79 3d 5c 66 |[..e^{x^|{2}}y=\f|
|00000b40| 72 61 63 7b 33 7d 7b 32 | 7d 65 5e 7b 78 5e 7b 32 |rac{3}{2|}e^{x^{2|
|00000b50| 7d 7d 2b 63 0d 0a 5c 5d | 0d 0a 61 6e 64 20 74 68 |}}+c..\]|..and th|
|00000b60| 65 20 73 6f 6c 75 74 69 | 6f 6e 20 69 73 20 0d 0a |e soluti|on is ..|
|00000b70| 5c 5b 0d 0a 79 3d 5c 66 | 72 61 63 7b 33 7d 7b 32 |\[..y=\f|rac{3}{2|
|00000b80| 7d 2b 63 65 5e 7b 2d 78 | 5e 7b 32 7d 7d 0d 0a 5c |}+ce^{-x|^{2}}..\|
|00000b90| 5d 0d 0a 5c 65 6e 64 7b | 65 78 61 6d 70 6c 65 7d |]..\end{|example}|
|00000ba0| 0d 0a 0d 0a 5c 73 75 62 | 73 65 63 74 69 6f 6e 7b |....\sub|section{|
|00000bb0| 5c 20 52 65 6c 61 74 65 | 64 20 53 63 69 65 6e 74 |\ Relate|d Scient|
|00000bc0| 69 66 69 63 20 4e 6f 74 | 65 62 6f 6f 6b 20 54 6f |ific Not|ebook To|
|00000bd0| 70 69 63 73 7d 0d 0a 0d | 0a 7b 5c 73 6d 61 6c 6c |pics}...|.{\small|
|00000be0| 20 5c 68 79 70 65 72 72 | 65 66 7b 45 78 61 63 74 | \hyperr|ef{Exact|
|00000bf0| 20 73 6f 6c 75 74 69 6f | 6e 73 7d 7b 7d 7b 7d 7b | solutio|ns}{}{}{|
|00000c00| 2e 2e 2f 2e 2e 2f 48 65 | 6c 70 2f 44 4d 31 30 2d |../../He|lp/DM10-|
|00000c10| 31 2e 74 65 78 23 44 69 | 66 66 65 72 65 6e 74 69 |1.tex#Di|fferenti|
|00000c20| 61 6c 0d 0a 65 71 75 61 | 74 69 6f 6e 7d 7d 0d 0a |al..equa|tion}}..|
|00000c30| 0d 0a 7b 5c 73 6d 61 6c | 6c 20 5c 68 79 70 65 72 |..{\smal|l \hyper|
|00000c40| 72 65 66 7b 53 6f 6c 76 | 65 20 4f 44 45 2c 20 65 |ref{Solv|e ODE, e|
|00000c50| 78 61 63 74 7d 7b 7d 7b | 7d 7b 2e 2e 2f 2e 2e 2f |xact}{}{|}{../../|
|00000c60| 48 65 6c 70 2f 44 4d 31 | 30 2d 31 2e 74 65 78 23 |Help/DM1|0-1.tex#|
|00000c70| 53 6f 6c 76 65 20 4f 44 | 45 7d 7d 0d 0a 0d 0a 5c |Solve OD|E}}....\|
|00000c80| 76 73 70 61 63 65 7b 31 | 70 74 7d 5c 68 72 75 6c |vspace{1|pt}\hrul|
|00000c90| 65 66 69 6c 6c 0d 0a 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |efill...|.\begin{|
|00000ca0| 63 65 6e 74 65 72 7d 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |center}.|.\begin{|
|00000cb0| 74 61 62 75 6c 61 72 7d | 7b 63 63 63 7d 0d 0a 7b |tabular}|{ccc}..{|
|00000cc0| 5c 73 6d 61 6c 6c 20 5c | 68 79 70 65 72 72 65 66 |\small \|hyperref|
|00000cd0| 7b 5c 46 52 41 4d 45 7b | 69 74 62 70 46 7d 7b 31 |{\FRAME{|itbpF}{1|
|00000ce0| 33 2e 39 33 37 35 70 74 | 7d 7b 31 34 2e 34 33 37 |3.9375pt|}{14.437|
|00000cf0| 35 70 74 7d 7b 33 70 74 | 7d 7b 7d 7b 7d 7b 6e 62 |5pt}{3pt|}{}{}{nb|
|00000d00| 6c 6f 67 6f 2e 77 6d 66 | 7d 7b 25 0d 0a 5c 73 70 |logo.wmf|}{%..\sp|
|00000d10| 65 63 69 61 6c 7b 6c 61 | 6e 67 75 61 67 65 20 22 |ecial{la|nguage "|
|00000d20| 53 63 69 65 6e 74 69 66 | 69 63 20 57 6f 72 64 22 |Scientif|ic Word"|
|00000d30| 3b 74 79 70 65 20 22 47 | 52 41 50 48 49 43 22 3b |;type "G|RAPHIC";|
|00000d40| 6d 61 69 6e 74 61 69 6e | 2d 61 73 70 65 63 74 2d |maintain|-aspect-|
|00000d50| 72 61 74 69 6f 0d 0a 54 | 52 55 45 3b 64 69 73 70 |ratio..T|RUE;disp|
|00000d60| 6c 61 79 20 22 50 49 43 | 54 22 3b 76 61 6c 69 64 |lay "PIC|T";valid|
|00000d70| 5f 66 69 6c 65 20 22 46 | 22 3b 77 69 64 74 68 20 |_file "F|";width |
|00000d80| 31 33 2e 39 33 37 35 70 | 74 3b 68 65 69 67 68 74 |13.9375p|t;height|
|00000d90| 20 31 34 2e 34 33 37 35 | 70 74 3b 64 65 70 74 68 | 14.4375|pt;depth|
|00000da0| 0d 0a 33 70 74 3b 6f 72 | 69 67 69 6e 61 6c 2d 77 |..3pt;or|iginal-w|
|00000db0| 69 64 74 68 20 32 34 2e | 30 36 32 35 70 74 3b 6f |idth 24.|0625pt;o|
|00000dc0| 72 69 67 69 6e 61 6c 2d | 68 65 69 67 68 74 20 32 |riginal-|height 2|
|00000dd0| 34 2e 38 31 32 35 70 74 | 3b 63 72 6f 70 6c 65 66 |4.8125pt|;croplef|
|00000de0| 74 20 22 30 22 3b 63 72 | 6f 70 74 6f 70 0d 0a 22 |t "0";cr|optop.."|
|00000df0| 30 2e 39 39 35 39 22 3b | 63 72 6f 70 72 69 67 68 |0.9959";|croprigh|
|00000e00| 74 20 22 30 2e 39 39 33 | 37 22 3b 63 72 6f 70 62 |t "0.993|7";cropb|
|00000e10| 6f 74 74 6f 6d 20 22 30 | 22 3b 66 69 6c 65 6e 61 |ottom "0|";filena|
|00000e20| 6d 65 0d 0a 27 4e 62 6c | 6f 67 6f 2e 77 6d 66 27 |me..'Nbl|ogo.wmf'|
|00000e30| 3b 66 69 6c 65 2d 70 72 | 6f 70 65 72 74 69 65 73 |;file-pr|operties|
|00000e40| 20 22 58 4e 50 45 55 22 | 3b 7d 7d 43 6f 6d 70 75 | "XNPEU"|;}}Compu|
|00000e50| 74 69 6e 67 20 54 65 63 | 68 6e 69 71 75 65 73 7d |ting Tec|hniques}|
|00000e60| 7b 7d 7b 7d 7b 25 0d 0a | 2e 2e 2f 2e 2e 2f 48 65 |{}{}{%..|../../He|
|00000e70| 6c 70 2f 44 4d 69 6e 64 | 65 78 2e 74 65 78 7d 7d |lp/DMind|ex.tex}}|
|00000e80| 20 26 20 7b 5c 73 6d 61 | 6c 6c 20 5c 68 79 70 65 | & {\sma|ll \hype|
|00000e90| 72 72 65 66 7b 5c 46 52 | 41 4d 45 7b 69 74 62 70 |rref{\FR|AME{itbp|
|00000ea0| 46 7d 7b 31 33 2e 39 33 | 37 35 70 74 7d 7b 25 0d |F}{13.93|75pt}{%.|
|00000eb0| 0a 31 34 2e 34 33 37 35 | 70 74 7d 7b 33 70 74 7d |.14.4375|pt}{3pt}|
|00000ec0| 7b 7d 7b 7d 7b 6e 62 6c | 6f 67 6f 2e 77 6d 66 7d |{}{}{nbl|ogo.wmf}|
|00000ed0| 7b 5c 73 70 65 63 69 61 | 6c 7b 6c 61 6e 67 75 61 |{\specia|l{langua|
|00000ee0| 67 65 20 22 53 63 69 65 | 6e 74 69 66 69 63 20 57 |ge "Scie|ntific W|
|00000ef0| 6f 72 64 22 3b 74 79 70 | 65 0d 0a 22 47 52 41 50 |ord";typ|e.."GRAP|
|00000f00| 48 49 43 22 3b 6d 61 69 | 6e 74 61 69 6e 2d 61 73 |HIC";mai|ntain-as|
|00000f10| 70 65 63 74 2d 72 61 74 | 69 6f 20 54 52 55 45 3b |pect-rat|io TRUE;|
|00000f20| 64 69 73 70 6c 61 79 20 | 22 50 49 43 54 22 3b 76 |display |"PICT";v|
|00000f30| 61 6c 69 64 5f 66 69 6c | 65 20 22 46 22 3b 77 69 |alid_fil|e "F";wi|
|00000f40| 64 74 68 0d 0a 31 33 2e | 39 33 37 35 70 74 3b 68 |dth..13.|9375pt;h|
|00000f50| 65 69 67 68 74 20 31 34 | 2e 34 33 37 35 70 74 3b |eight 14|.4375pt;|
|00000f60| 64 65 70 74 68 20 33 70 | 74 3b 6f 72 69 67 69 6e |depth 3p|t;origin|
|00000f70| 61 6c 2d 77 69 64 74 68 | 0d 0a 32 34 2e 30 36 32 |al-width|..24.062|
|00000f80| 35 70 74 3b 6f 72 69 67 | 69 6e 61 6c 2d 68 65 69 |5pt;orig|inal-hei|
|00000f90| 67 68 74 20 32 34 2e 38 | 31 32 35 70 74 3b 63 72 |ght 24.8|125pt;cr|
|00000fa0| 6f 70 6c 65 66 74 20 22 | 30 22 3b 63 72 6f 70 74 |opleft "|0";cropt|
|00000fb0| 6f 70 20 22 30 2e 39 39 | 35 39 22 3b 63 72 6f 70 |op "0.99|59";crop|
|00000fc0| 72 69 67 68 74 0d 0a 22 | 30 2e 39 39 33 37 22 3b |right.."|0.9937";|
|00000fd0| 63 72 6f 70 62 6f 74 74 | 6f 6d 20 22 30 22 3b 66 |cropbott|om "0";f|
|00000fe0| 69 6c 65 6e 61 6d 65 20 | 27 4e 62 6c 6f 67 6f 2e |ilename |'Nblogo.|
|00000ff0| 77 6d 66 27 3b 66 69 6c | 65 2d 70 72 6f 70 65 72 |wmf';fil|e-proper|
|00001000| 74 69 65 73 20 22 58 4e | 50 45 55 22 3b 7d 7d 25 |ties "XN|PEU";}}%|
|00001010| 0d 0a 47 65 6e 65 72 61 | 6c 20 49 6e 66 6f 72 6d |..Genera|l Inform|
|00001020| 61 74 69 6f 6e 7d 7b 7d | 7b 7d 7b 2e 2e 2f 2e 2e |ation}{}|{}{../..|
|00001030| 2f 48 65 6c 70 2f 49 6e | 64 65 78 2e 74 65 78 7d |/Help/In|dex.tex}|
|00001040| 7d 20 26 20 7b 5c 73 6d | 61 6c 6c 20 5c 68 79 70 |} & {\sm|all \hyp|
|00001050| 65 72 72 65 66 7b 5c 46 | 52 41 4d 45 7b 25 0d 0a |erref{\F|RAME{%..|
|00001060| 69 74 62 70 46 7d 7b 31 | 33 2e 39 33 37 35 70 74 |itbpF}{1|3.9375pt|
|00001070| 7d 7b 31 34 2e 34 33 37 | 35 70 74 7d 7b 33 70 74 |}{14.437|5pt}{3pt|
|00001080| 7d 7b 7d 7b 7d 7b 6e 62 | 6c 6f 67 6f 2e 77 6d 66 |}{}{}{nb|logo.wmf|
|00001090| 7d 7b 5c 73 70 65 63 69 | 61 6c 7b 6c 61 6e 67 75 |}{\speci|al{langu|
|000010a0| 61 67 65 0d 0a 22 53 63 | 69 65 6e 74 69 66 69 63 |age.."Sc|ientific|
|000010b0| 20 57 6f 72 64 22 3b 74 | 79 70 65 20 22 47 52 41 | Word";t|ype "GRA|
|000010c0| 50 48 49 43 22 3b 6d 61 | 69 6e 74 61 69 6e 2d 61 |PHIC";ma|intain-a|
|000010d0| 73 70 65 63 74 2d 72 61 | 74 69 6f 20 54 52 55 45 |spect-ra|tio TRUE|
|000010e0| 3b 64 69 73 70 6c 61 79 | 0d 0a 22 50 49 43 54 22 |;display|.."PICT"|
|000010f0| 3b 76 61 6c 69 64 5f 66 | 69 6c 65 20 22 46 22 3b |;valid_f|ile "F";|
|00001100| 77 69 64 74 68 20 31 33 | 2e 39 33 37 35 70 74 3b |width 13|.9375pt;|
|00001110| 68 65 69 67 68 74 20 31 | 34 2e 34 33 37 35 70 74 |height 1|4.4375pt|
|00001120| 3b 64 65 70 74 68 0d 0a | 33 70 74 3b 6f 72 69 67 |;depth..|3pt;orig|
|00001130| 69 6e 61 6c 2d 77 69 64 | 74 68 20 32 34 2e 30 36 |inal-wid|th 24.06|
|00001140| 32 35 70 74 3b 6f 72 69 | 67 69 6e 61 6c 2d 68 65 |25pt;ori|ginal-he|
|00001150| 69 67 68 74 20 32 34 2e | 38 31 32 35 70 74 3b 63 |ight 24.|8125pt;c|
|00001160| 72 6f 70 6c 65 66 74 20 | 22 30 22 3b 63 72 6f 70 |ropleft |"0";crop|
|00001170| 74 6f 70 0d 0a 22 30 2e | 39 39 35 39 22 3b 63 72 |top.."0.|9959";cr|
|00001180| 6f 70 72 69 67 68 74 20 | 22 30 2e 39 39 33 37 22 |opright |"0.9937"|
|00001190| 3b 63 72 6f 70 62 6f 74 | 74 6f 6d 20 22 30 22 3b |;cropbot|tom "0";|
|000011a0| 66 69 6c 65 6e 61 6d 65 | 0d 0a 27 4e 62 6c 6f 67 |filename|..'Nblog|
|000011b0| 6f 2e 77 6d 66 27 3b 66 | 69 6c 65 2d 70 72 6f 70 |o.wmf';f|ile-prop|
|000011c0| 65 72 74 69 65 73 20 22 | 58 4e 50 45 55 22 3b 7d |erties "|XNPEU";}|
|000011d0| 7d 52 65 66 65 72 65 6e | 63 65 20 4c 69 62 72 61 |}Referen|ce Libra|
|000011e0| 72 79 7d 7b 7d 7b 7d 7b | 25 0d 0a 2e 2e 2f 52 65 |ry}{}{}{|%..../Re|
|000011f0| 66 65 72 65 6e 63 65 49 | 6e 64 65 78 2e 74 65 78 |ferenceI|ndex.tex|
|00001200| 7d 7d 0d 0a 5c 65 6e 64 | 7b 74 61 62 75 6c 61 72 |}}..\end|{tabular|
|00001210| 7d 0d 0a 5c 65 6e 64 7b | 63 65 6e 74 65 72 7d 0d |}..\end{|center}.|
|00001220| 0a 0d 0a 5c 6e 6f 69 6e | 64 65 6e 74 20 5c 68 72 |...\noin|dent \hr|
|00001230| 75 6c 65 66 69 6c 6c 0d | 0a 0d 0a 5c 65 6e 64 7b |ulefill.|...\end{|
|00001240| 64 6f 63 75 6d 65 6e 74 | 7d 0d 0a                |document|}..     |
+--------+-------------------------+-------------------------+--------+--------+