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|00000720| 7b 78 7d 7b 79 7d 24 2c | 20 24 44 24 20 24 3d 24 |{x}{y}$,| $D$ $=$|
|00000730| 20 74 68 65 20 75 70 70 | 65 72 0d 0a 68 61 6c 66 | the upp|er..half|
|00000740| 2d 70 6c 61 6e 65 2c 20 | 74 68 65 20 66 75 6e 63 |-plane, |the func|
|00000750| 74 69 6f 6e 20 24 78 5e | 7b 32 7d 2d 79 5e 7b 32 |tion $x^|{2}-y^{2|
|00000760| 7d 2d 31 3d 30 24 20 69 | 73 20 61 6e 20 69 6d 70 |}-1=0$ i|s an imp|
|00000770| 6c 69 63 69 74 20 73 6f | 6c 75 74 69 6f 6e 2e 20 |licit so|lution. |
|00000780| 54 68 65 0d 0a 66 75 6e | 63 74 69 6f 6e 20 24 79 |The..fun|ction $y|
|00000790| 3d 5c 73 71 72 74 7b 78 | 5e 7b 32 7d 2d 31 7d 24 |=\sqrt{x|^{2}-1}$|
|000007a0| 20 64 65 66 69 6e 65 64 | 20 6f 6e 20 74 68 65 20 | defined| on the |
|000007b0| 69 6e 74 65 72 76 61 6c | 20 24 49 3d 5c 6c 65 66 |interval| $I=\lef|
|000007c0| 74 28 20 30 2c 31 5c 72 | 69 67 68 74 29 20 24 0d |t( 0,1\r|ight) $.|
|000007d0| 0a 73 61 74 69 73 66 69 | 65 73 20 24 5c 6c 65 66 |.satisfi|es $\lef|
|000007e0| 74 28 20 78 2c 5c 73 71 | 72 74 7b 78 5e 7b 32 7d |t( x,\sq|rt{x^{2}|
|000007f0| 2d 31 7d 5c 72 69 67 68 | 74 29 20 5c 69 6e 20 44 |-1}\righ|t) \in D|
|00000800| 24 20 61 6e 64 20 0d 0a | 5c 5b 0d 0a 5c 64 66 72 |$ and ..|\[..\dfr|
|00000810| 61 63 7b 64 7d 7b 64 78 | 7d 5c 6c 65 66 74 28 20 |ac{d}{dx|}\left( |
|00000820| 5c 73 71 72 74 7b 78 5e | 7b 32 7d 2d 31 7d 5c 72 |\sqrt{x^|{2}-1}\r|
|00000830| 69 67 68 74 29 20 3d 5c | 61 6c 6c 6f 77 62 72 65 |ight) =\|allowbre|
|00000840| 61 6b 20 5c 66 72 61 63 | 7b 78 7d 7b 5c 73 71 72 |ak \frac|{x}{\sqr|
|00000850| 74 7b 78 5e 7b 32 7d 2d | 31 25 0d 0a 7d 7d 3d 5c |t{x^{2}-|1%..}}=\|
|00000860| 2c 66 28 78 2c 67 28 78 | 29 29 0d 0a 5c 5d 0d 0a |,f(x,g(x|))..\]..|
|00000870| 73 6f 20 69 74 20 69 73 | 20 61 6e 20 65 78 70 6c |so it is| an expl|
|00000880| 69 63 69 74 20 73 6f 6c | 75 74 69 6f 6e 2e 0d 0a |icit sol|ution...|
|00000890| 5c 65 6e 64 7b 65 78 61 | 6d 70 6c 65 7d 0d 0a 0d |\end{exa|mple}...|
|000008a0| 0a 54 68 65 20 69 6e 74 | 65 67 72 61 74 69 6f 6e |.The int|egration|
|000008b0| 20 74 65 63 68 6e 69 71 | 75 65 73 20 66 72 65 71 | techniq|ues freq|
|000008c0| 75 65 6e 74 6c 79 20 75 | 73 65 64 20 74 6f 20 73 |uently u|sed to s|
|000008d0| 6f 6c 76 65 20 74 68 65 | 20 65 71 75 61 74 69 6f |olve the| equatio|
|000008e0| 6e 20 24 5c 66 72 61 63 | 7b 64 79 7d 7b 25 0d 0a |n $\frac|{dy}{%..|
|000008f0| 64 78 7d 3d 66 28 78 2c | 79 29 24 20 69 6e 74 72 |dx}=f(x,|y)$ intr|
|00000900| 6f 64 75 63 65 20 61 6e | 20 61 72 62 69 74 72 61 |oduce an| arbitra|
|00000910| 72 79 20 63 6f 6e 73 74 | 61 6e 74 20 69 6e 74 6f |ry const|ant into|
|00000920| 20 74 68 65 20 73 6f 6c | 75 74 69 6f 6e 20 73 6f | the sol|ution so|
|00000930| 20 74 68 61 74 20 74 68 | 65 72 65 0d 0a 61 72 65 | that th|ere..are|
|00000940| 20 69 6e 66 69 6e 69 74 | 65 6c 79 20 6d 61 6e 79 | infinit|ely many|
|00000950| 20 73 6f 6c 75 74 69 6f | 6e 73 20 6f 6e 20 61 20 | solutio|ns on a |
|00000960| 67 69 76 65 6e 20 69 6e | 74 65 72 76 61 6c 20 24 |given in|terval $|
|00000970| 49 24 2e 20 54 68 65 72 | 65 66 6f 72 65 2c 20 74 |I$. Ther|efore, t|
|00000980| 68 65 20 0d 0a 5c 74 65 | 78 74 62 66 7b 67 65 6e |he ..\te|xtbf{gen|
|00000990| 65 72 61 6c 7d 20 5c 74 | 65 78 74 62 66 7b 73 6f |eral} \t|extbf{so|
|000009a0| 6c 75 74 69 6f 6e 5c 6c | 61 62 65 6c 7b 47 65 6e |lution\l|abel{Gen|
|000009b0| 65 72 61 6c 20 53 6f 6c | 75 74 69 6f 6e 7d 7d 20 |eral Sol|ution}} |
|000009c0| 77 69 6c 6c 20 61 70 70 | 65 61 72 20 69 6e 0d 0a |will app|ear in..|
|000009d0| 65 69 74 68 65 72 20 74 | 68 65 20 66 6f 72 6d 20 |either t|he form |
|000009e0| 24 79 3d 67 28 78 2c 63 | 29 24 20 6f 72 20 74 68 |$y=g(x,c|)$ or th|
|000009f0| 65 20 66 6f 72 6d 20 24 | 5c 76 61 72 70 68 69 20 |e form $|\varphi |
|00000a00| 28 78 2c 79 2c 63 29 3d | 30 24 20 77 68 65 72 65 |(x,y,c)=|0$ where|
|00000a10| 2c 20 66 6f 72 20 65 61 | 63 68 0d 0a 76 61 6c 75 |, for ea|ch..valu|
|00000a20| 65 20 6f 66 20 24 63 24 | 2c 20 61 20 5c 74 65 78 |e of $c$|, a \tex|
|00000a30| 74 62 66 7b 70 61 72 74 | 69 63 75 6c 61 72 7d 20 |tbf{part|icular} |
|00000a40| 5c 74 65 78 74 62 66 7b | 73 6f 6c 75 74 69 6f 6e |\textbf{|solution|
|00000a50| 5c 6c 61 62 65 6c 25 0d | 0a 7b 50 61 72 74 69 63 |\label%.|.{Partic|
|00000a60| 75 6c 61 72 20 53 6f 6c | 75 74 69 6f 6e 7d 7d 20 |ular Sol|ution}} |
|00000a70| 69 73 20 6f 62 74 61 69 | 6e 65 64 2e 0d 0a 0d 0a |is obtai|ned.....|
|00000a80| 54 68 65 20 67 72 61 70 | 68 73 20 6f 66 20 74 68 |The grap|hs of th|
|00000a90| 65 20 73 6f 6c 75 74 69 | 6f 6e 73 20 61 72 65 20 |e soluti|ons are |
|00000aa0| 63 61 6c 6c 65 64 20 74 | 68 65 20 5c 74 65 78 74 |called t|he \text|
|00000ab0| 62 66 7b 69 6e 74 65 67 | 72 61 6c 20 63 75 72 76 |bf{integ|ral curv|
|00000ac0| 65 73 5c 6c 61 62 65 6c | 25 0d 0a 7b 49 6e 74 65 |es\label|%..{Inte|
|00000ad0| 67 72 61 6c 20 43 75 72 | 76 65 73 7d 7d 2e 20 54 |gral Cur|ves}}. T|
|00000ae0| 68 65 20 73 6c 6f 70 65 | 73 20 6f 66 20 74 68 65 |he slope|s of the|
|00000af0| 73 65 20 63 75 72 76 65 | 73 20 61 72 65 20 64 65 |se curve|s are de|
|00000b00| 74 65 72 6d 69 6e 65 64 | 20 62 79 20 74 68 65 0d |termined| by the.|
|00000b10| 0a 64 65 72 69 76 61 74 | 69 76 65 20 66 75 6e 63 |.derivat|ive func|
|00000b20| 74 69 6f 6e 20 24 66 24 | 2e 20 57 68 65 6e 20 24 |tion $f$|. When $|
|00000b30| 66 24 20 73 61 74 69 73 | 66 69 65 73 20 63 65 72 |f$ satis|fies cer|
|00000b40| 74 61 69 6e 20 63 6f 6e | 64 69 74 69 6f 6e 73 2c |tain con|ditions,|
|00000b50| 20 65 61 63 68 20 70 6f | 69 6e 74 0d 0a 69 6e 20 | each po|int..in |
|00000b60| 24 44 24 20 69 73 20 6f | 6e 20 65 78 61 63 74 6c |$D$ is o|n exactl|
|00000b70| 79 20 6f 6e 65 20 69 6e | 74 65 67 72 61 6c 20 63 |y one in|tegral c|
|00000b80| 75 72 76 65 2e 20 54 68 | 65 72 65 66 6f 72 65 2c |urve. Th|erefore,|
|00000b90| 20 69 6e 20 6f 72 64 65 | 72 20 74 6f 20 74 61 6c | in orde|r to tal|
|00000ba0| 6b 20 61 62 6f 75 74 0d | 0a 74 68 65 20 75 6e 69 |k about.|.the uni|
|00000bb0| 71 75 65 6e 65 73 73 20 | 6f 66 20 73 6f 6c 75 74 |queness |of solut|
|00000bc0| 69 6f 6e 73 2c 20 6f 6e | 65 20 69 73 20 6c 65 64 |ions, on|e is led|
|00000bd0| 20 74 6f 20 74 68 65 20 | 70 72 6f 62 6c 65 6d 20 | to the |problem |
|00000be0| 6f 66 20 66 69 6e 64 69 | 6e 67 20 61 20 73 6f 6c |of findi|ng a sol|
|00000bf0| 75 74 69 6f 6e 0d 0a 70 | 61 73 73 69 6e 67 20 74 |ution..p|assing t|
|00000c00| 68 72 6f 75 67 68 20 61 | 20 67 69 76 65 6e 20 70 |hrough a| given p|
|00000c10| 6f 69 6e 74 20 69 6e 20 | 24 44 2e 5c 6d 65 64 73 |oint in |$D.\meds|
|00000c20| 6b 69 70 20 24 0d 0a 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |kip $...|.\begin{|
|00000c30| 64 65 73 63 72 69 70 74 | 69 6f 6e 7d 0d 0a 5c 69 |descript|ion}..\i|
|00000c40| 74 65 6d 5b 49 6e 69 74 | 69 61 6c 2d 76 61 6c 75 |tem[Init|ial-valu|
|00000c50| 65 20 50 72 6f 62 6c 65 | 6d 5d 20 20 5c 6c 61 62 |e Proble|m]  \lab|
|00000c60| 65 6c 7b 49 6e 69 74 69 | 61 6c 2d 76 61 6c 75 65 |el{Initi|al-value|
|00000c70| 20 50 72 6f 62 6c 65 6d | 7d 53 75 70 70 6f 73 65 | Problem|}Suppose|
|00000c80| 20 24 25 0d 0a 28 78 5f | 7b 30 7d 2c 79 5f 7b 30 | $%..(x_|{0},y_{0|
|00000c90| 7d 29 5c 69 6e 20 44 24 | 2e 20 46 69 6e 64 20 61 |})\in D$|. Find a|
|00000ca0| 6e 20 69 6e 74 65 72 76 | 61 6c 20 24 49 24 20 63 |n interv|al $I$ c|
|00000cb0| 6f 6e 74 61 69 6e 69 6e | 67 20 24 78 5f 7b 30 7d |ontainin|g $x_{0}|
|00000cc0| 24 20 61 6e 64 20 61 20 | 73 6f 6c 75 74 69 6f 6e |$ and a |solution|
|00000cd0| 20 24 25 0d 0a 67 24 20 | 64 65 66 69 6e 65 64 20 | $%..g$ |defined |
|00000ce0| 6f 6e 20 24 49 24 20 73 | 61 74 69 73 66 79 69 6e |on $I$ s|atisfyin|
|00000cf0| 67 20 24 67 28 78 5f 7b | 30 7d 29 3d 79 5f 7b 30 |g $g(x_{|0})=y_{0|
|00000d00| 7d 24 2e 5c 6d 65 64 73 | 6b 69 70 20 0d 0a 5c 65 |}$.\meds|kip ..\e|
|00000d10| 6e 64 7b 64 65 73 63 72 | 69 70 74 69 6f 6e 7d 0d |nd{descr|iption}.|
|00000d20| 0a 0d 0a 5c 73 75 62 73 | 65 63 74 69 6f 6e 7b 45 |...\subs|ection{E|
|00000d30| 78 69 73 74 65 6e 63 65 | 20 61 6e 64 20 55 6e 69 |xistence| and Uni|
|00000d40| 71 75 65 6e 65 73 73 20 | 54 68 65 6f 72 65 6d 73 |queness |Theorems|
|00000d50| 5c 6c 61 62 65 6c 25 0d | 0a 7b 45 78 69 73 74 65 |\label%.|.{Existe|
|00000d60| 6e 63 65 20 61 6e 64 20 | 55 6e 69 71 75 65 6e 65 |nce and |Uniquene|
|00000d70| 73 73 20 54 68 65 6f 72 | 65 6d 73 7d 7d 0d 0a 0d |ss Theor|ems}}...|
|00000d80| 0a 54 68 65 20 74 68 65 | 6f 72 65 6d 73 20 62 65 |.The the|orems be|
|00000d90| 6c 6f 77 20 65 73 74 61 | 62 6c 69 73 68 20 63 6f |low esta|blish co|
|00000da0| 6e 64 69 74 69 6f 6e 73 | 20 66 6f 72 20 74 68 65 |nditions| for the|
|00000db0| 20 65 78 69 73 74 65 6e | 63 65 20 61 6e 64 20 75 | existen|ce and u|
|00000dc0| 6e 69 71 75 65 6e 65 73 | 73 20 6f 66 0d 0a 73 6f |niquenes|s of..so|
|00000dd0| 6c 75 74 69 6f 6e 73 20 | 74 6f 20 74 68 65 20 69 |lutions |to the i|
|00000de0| 6e 69 74 69 61 6c 2d 76 | 61 6c 75 65 20 70 72 6f |nitial-v|alue pro|
|00000df0| 62 6c 65 6d 2e 0d 0a 0d | 0a 5c 62 65 67 69 6e 7b |blem....|.\begin{|
|00000e00| 74 68 65 6f 72 65 6d 7d | 0d 0a 4c 65 74 20 24 66 |theorem}|..Let $f|
|00000e10| 24 20 62 65 20 61 20 72 | 65 61 6c 2d 76 61 6c 75 |$ be a r|eal-valu|
|00000e20| 65 64 20 66 75 6e 63 74 | 69 6f 6e 2c 20 64 65 66 |ed funct|ion, def|
|00000e30| 69 6e 65 64 20 61 6e 64 | 20 63 6f 6e 74 69 6e 75 |ined and| continu|
|00000e40| 6f 75 73 20 6f 6e 20 61 | 20 72 65 67 69 6f 6e 20 |ous on a| region |
|00000e50| 24 44 24 20 6f 66 0d 0a | 74 68 65 20 24 78 79 24 |$D$ of..|the $xy$|
|00000e60| 20 70 6c 61 6e 65 2c 20 | 61 6e 64 20 6c 65 74 20 | plane, |and let |
|00000e70| 24 28 78 5f 7b 30 7d 2c | 79 5f 7b 30 7d 29 5c 69 |$(x_{0},|y_{0})\i|
|00000e80| 6e 20 44 24 2e 20 41 20 | 66 75 6e 63 74 69 6f 6e |n D$. A |function|
|00000e90| 20 24 67 24 2c 20 64 65 | 66 69 6e 65 64 20 61 6e | $g$, de|fined an|
|00000ea0| 64 0d 0a 63 6f 6e 74 69 | 6e 75 6f 75 73 20 6f 6e |d..conti|nuous on|
|00000eb0| 20 61 6e 20 69 6e 74 65 | 72 76 61 6c 20 24 49 24 | an inte|rval $I$|
|00000ec0| 2c 20 69 73 20 61 20 73 | 6f 6c 75 74 69 6f 6e 20 |, is a s|olution |
|00000ed0| 73 61 74 69 73 66 79 69 | 6e 67 20 24 67 28 78 5f |satisfyi|ng $g(x_|
|00000ee0| 7b 30 7d 29 3d 79 5f 7b | 30 7d 24 20 69 66 0d 0a |{0})=y_{|0}$ if..|
|00000ef0| 61 6e 64 20 6f 6e 6c 79 | 20 69 66 20 24 28 78 2c |and only| if $(x,|
|00000f00| 67 28 78 29 29 5c 69 6e | 20 44 24 20 61 6e 64 20 |g(x))\in| D$ and |
|00000f10| 24 67 28 78 29 3d 79 5f | 7b 30 7d 2b 5c 69 6e 74 |$g(x)=y_|{0}+\int|
|00000f20| 5f 7b 78 5f 7b 30 7d 7d | 5e 7b 78 7d 66 28 74 2c |_{x_{0}}|^{x}f(t,|
|00000f30| 67 28 74 29 29 64 74 24 | 20 66 6f 72 0d 0a 61 6c |g(t))dt$| for..al|
|00000f40| 6c 20 24 78 5c 69 6e 20 | 49 24 2e 0d 0a 5c 65 6e |l $x\in |I$...\en|
|00000f50| 64 7b 74 68 65 6f 72 65 | 6d 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 |d{theore|m}....\b|
|00000f60| 65 67 69 6e 7b 74 68 65 | 6f 72 65 6d 7d 0d 0a 5c |egin{the|orem}..\|
|00000f70| 74 65 78 74 62 66 7b 28 | 43 61 75 63 68 79 2d 50 |textbf{(|Cauchy-P|
|00000f80| 65 61 6e 6f 29 7d 20 5c | 20 4c 65 74 20 24 66 24 |eano)} \| Let $f$|
|00000f90| 20 62 65 20 61 20 72 65 | 61 6c 2d 76 61 6c 75 65 | be a re|al-value|
|00000fa0| 64 20 66 75 6e 63 74 69 | 6f 6e 2c 20 64 65 66 69 |d functi|on, defi|
|00000fb0| 6e 65 64 20 61 6e 64 0d | 0a 63 6f 6e 74 69 6e 75 |ned and.|.continu|
|00000fc0| 6f 75 73 20 6f 6e 20 61 | 20 72 65 67 69 6f 6e 20 |ous on a| region |
|00000fd0| 24 44 24 20 6f 66 20 74 | 68 65 20 24 78 79 24 20 |$D$ of t|he $xy$ |
|00000fe0| 70 6c 61 6e 65 2e 20 4c | 65 74 20 24 28 78 5f 7b |plane. L|et $(x_{|
|00000ff0| 30 7d 2c 79 5f 7b 30 7d | 29 5c 69 6e 20 44 24 20 |0},y_{0}|)\in D$ |
|00001000| 61 6e 64 0d 0a 73 75 70 | 70 6f 73 65 20 74 68 65 |and..sup|pose the|
|00001010| 20 72 65 63 74 61 6e 67 | 6c 65 20 24 52 3a 7c 78 | rectang|le $R:|x|
|00001020| 2d 78 5f 7b 30 7d 7c 5c | 6c 65 71 20 61 2c 7c 79 |-x_{0}|\|leq a,|y|
|00001030| 2d 79 5f 7b 30 7d 7c 5c | 6c 65 71 20 62 24 20 69 |-y_{0}|\|leq b$ i|
|00001040| 73 20 63 6f 6e 74 61 69 | 6e 65 64 20 69 6e 20 24 |s contai|ned in $|
|00001050| 44 24 0d 0a 66 6f 72 20 | 73 6f 6d 65 20 24 61 3e |D$..for |some $a>|
|00001060| 30 2c 62 3e 30 24 2e 20 | 4c 65 74 20 24 4d 3d 5c |0,b>0$. |Let $M=\|
|00001070| 6d 61 78 20 7c 66 28 78 | 2c 79 29 7c 24 20 66 6f |max |f(x|,y)|$ fo|
|00001080| 72 20 24 28 78 2c 79 29 | 5c 69 6e 20 52 24 20 61 |r $(x,y)|\in R$ a|
|00001090| 6e 64 20 6c 65 74 20 24 | 5c 61 6c 70 68 61 0d 0a |nd let $|\alpha..|
|000010a0| 3d 5c 6d 69 6e 20 28 61 | 2c 5c 66 72 61 63 7b 62 |=\min (a|,\frac{b|
|000010b0| 7d 7b 4d 7d 29 24 2e 20 | 54 68 65 6e 20 74 68 65 |}{M})$. |Then the|
|000010c0| 72 65 20 65 78 69 73 74 | 73 20 61 20 73 6f 6c 75 |re exist|s a solu|
|000010d0| 74 69 6f 6e 20 24 67 24 | 20 64 65 66 69 6e 65 64 |tion $g$| defined|
|000010e0| 20 6f 6e 20 74 68 65 0d | 0a 69 6e 74 65 72 76 61 | on the.|.interva|
|000010f0| 6c 20 24 7c 78 2d 78 5f | 7b 30 7d 7c 5c 6c 65 71 |l $|x-x_|{0}|\leq|
|00001100| 20 5c 61 6c 70 68 61 20 | 24 20 61 6e 64 20 73 61 | \alpha |$ and sa|
|00001110| 74 69 73 66 79 69 6e 67 | 20 24 67 28 78 5f 7b 30 |tisfying| $g(x_{0|
|00001120| 7d 29 3d 79 5f 7b 30 7d | 24 2e 0d 0a 5c 65 6e 64 |})=y_{0}|$...\end|
|00001130| 7b 74 68 65 6f 72 65 6d | 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 |{theorem|}....\be|
|00001140| 67 69 6e 7b 64 65 66 69 | 6e 69 74 69 6f 6e 7d 0d |gin{defi|nition}.|
|00001150| 0a 4c 65 74 20 24 66 24 | 20 62 65 20 61 20 72 65 |.Let $f$| be a re|
|00001160| 61 6c 2d 76 61 6c 75 65 | 64 20 66 75 6e 63 74 69 |al-value|d functi|
|00001170| 6f 6e 20 64 65 66 69 6e | 65 64 20 6f 6e 20 61 20 |on defin|ed on a |
|00001180| 72 65 67 69 6f 6e 20 24 | 44 24 20 6f 66 20 74 68 |region $|D$ of th|
|00001190| 65 20 24 78 79 24 20 70 | 6c 61 6e 65 2e 0d 0a 54 |e $xy$ p|lane...T|
|000011a0| 68 65 6e 20 24 66 24 20 | 73 61 74 69 73 66 69 65 |hen $f$ |satisfie|
|000011b0| 73 20 61 20 5c 74 65 78 | 74 62 66 7b 4c 69 70 73 |s a \tex|tbf{Lips|
|000011c0| 63 68 69 74 7a 20 63 6f | 6e 64 69 74 69 6f 6e 5c |chitz co|ndition\|
|000011d0| 6c 61 62 65 6c 7b 4c 69 | 70 73 63 68 69 74 7a 20 |label{Li|pschitz |
|000011e0| 43 6f 6e 64 69 74 69 6f | 6e 7d 7d 0d 0a 77 69 74 |Conditio|n}}..wit|
|000011f0| 68 20 72 65 73 70 65 63 | 74 20 74 6f 20 24 79 24 |h respec|t to $y$|
|00001200| 20 69 6e 20 24 44 24 20 | 69 66 20 74 68 65 72 65 | in $D$ |if there|
|00001210| 20 65 78 69 73 74 73 20 | 61 20 63 6f 6e 73 74 61 | exists |a consta|
|00001220| 6e 74 20 24 6b 24 20 73 | 75 63 68 20 74 68 61 74 |nt $k$ s|uch that|
|00001230| 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a 7c | 66 28 78 2c 79 5f 7b 31 | ..\[..||f(x,y_{1|
|00001240| 7d 29 2d 66 28 78 2c 79 | 5f 7b 32 7d 29 7c 5c 6c |})-f(x,y|_{2})|\l|
|00001250| 65 71 20 6b 7c 78 5f 7b | 31 7d 2d 78 5f 7b 32 7d |eq k|x_{|1}-x_{2}|
|00001260| 7c 5c 74 65 78 74 7b 20 | 7d 0d 0a 5c 5d 0d 0a 66 ||\text{ |}..\]..f|
|00001270| 6f 72 20 65 76 65 72 79 | 20 24 28 78 2c 79 5f 7b |or every| $(x,y_{|
|00001280| 31 7d 29 24 20 61 6e 64 | 20 24 28 78 2c 79 5f 7b |1})$ and| $(x,y_{|
|00001290| 32 7d 29 24 20 69 6e 20 | 24 44 24 2e 20 54 68 65 |2})$ in |$D$. The|
|000012a0| 20 63 6f 6e 73 74 61 6e | 74 20 24 6b 24 20 69 73 | constan|t $k$ is|
|000012b0| 20 63 61 6c 6c 65 64 20 | 61 20 0d 0a 5c 74 65 78 | called |a ..\tex|
|000012c0| 74 62 66 7b 4c 69 70 73 | 63 68 69 74 7a 20 63 6f |tbf{Lips|chitz co|
|000012d0| 6e 73 74 61 6e 74 7d 20 | 66 6f 72 20 24 66 24 2e |nstant} |for $f$.|
|000012e0| 0d 0a 5c 65 6e 64 7b 64 | 65 66 69 6e 69 74 69 6f |..\end{d|efinitio|
|000012f0| 6e 7d 0d 0a 0d 0a 5c 62 | 65 67 69 6e 7b 64 65 66 |n}....\b|egin{def|
|00001300| 69 6e 69 74 69 6f 6e 7d | 0d 0a 41 20 72 65 67 69 |inition}|..A regi|
|00001310| 6f 6e 20 24 44 24 20 69 | 6e 20 74 68 65 20 24 78 |on $D$ i|n the $x|
|00001320| 79 24 20 70 6c 61 6e 65 | 20 69 73 20 5c 74 65 78 |y$ plane| is \tex|
|00001330| 74 62 66 7b 63 6f 6e 76 | 65 78 7d 20 69 66 20 74 |tbf{conv|ex} if t|
|00001340| 68 65 20 6c 69 6e 65 20 | 73 65 67 6d 65 6e 74 0d |he line |segment.|
|00001350| 0a 63 6f 6e 6e 65 63 74 | 69 6e 67 20 61 6e 79 20 |.connect|ing any |
|00001360| 74 77 6f 20 70 6f 69 6e | 74 73 20 69 6e 20 24 44 |two poin|ts in $D|
|00001370| 24 20 69 73 20 63 6f 6e | 74 61 69 6e 65 64 20 69 |$ is con|tained i|
|00001380| 6e 20 24 44 24 2e 0d 0a | 5c 65 6e 64 7b 64 65 66 |n $D$...|\end{def|
|00001390| 69 6e 69 74 69 6f 6e 7d | 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 |inition}|....\beg|
|000013a0| 69 6e 7b 74 68 65 6f 72 | 65 6d 7d 0d 0a 41 20 73 |in{theor|em}..A s|
|000013b0| 75 66 66 69 63 69 65 6e | 74 20 63 6f 6e 64 69 74 |ufficien|t condit|
|000013c0| 69 6f 6e 20 66 6f 72 20 | 61 20 66 75 6e 63 74 69 |ion for |a functi|
|000013d0| 6f 6e 20 24 66 24 20 74 | 6f 20 73 61 74 69 73 66 |on $f$ t|o satisf|
|000013e0| 79 20 61 20 4c 69 70 73 | 63 68 69 74 7a 20 63 6f |y a Lips|chitz co|
|000013f0| 6e 64 69 74 69 6f 6e 0d | 0a 6f 6e 20 61 20 63 6f |ndition.|.on a co|
|00001400| 6e 76 65 78 20 72 65 67 | 69 6f 6e 20 24 44 24 20 |nvex reg|ion $D$ |
|00001410| 69 73 20 74 68 61 74 20 | 74 68 65 20 70 61 72 74 |is that |the part|
|00001420| 69 61 6c 20 64 65 72 69 | 76 61 74 69 76 65 20 24 |ial deri|vative $|
|00001430| 5c 64 66 72 61 63 7b 5c | 70 61 72 74 69 61 6c 20 |\dfrac{\|partial |
|00001440| 66 7d 7b 25 0d 0a 5c 70 | 61 72 74 69 61 6c 20 79 |f}{%..\p|artial y|
|00001450| 7d 24 20 62 65 20 64 65 | 66 69 6e 65 64 20 61 6e |}$ be de|fined an|
|00001460| 64 20 62 6f 75 6e 64 65 | 64 20 6f 6e 20 24 44 24 |d bounde|d on $D$|
|00001470| 2e 20 49 6e 20 74 68 69 | 73 20 63 61 73 65 2c 20 |. In thi|s case, |
|00001480| 61 20 4c 69 70 73 63 68 | 69 74 7a 0d 0a 63 6f 6e |a Lipsch|itz..con|
|00001490| 73 74 61 6e 74 20 66 6f | 72 20 24 66 24 20 69 73 |stant fo|r $f$ is|
|000014a0| 20 67 69 76 65 6e 20 62 | 79 20 0d 0a 5c 5b 0d 0a | given b|y ..\[..|
|000014b0| 6b 3d 5c 6d 61 78 20 5c | 6c 65 66 74 5c 7b 20 5c |k=\max \|left\{ \|
|000014c0| 6c 65 66 74 7c 20 5c 66 | 72 61 63 7b 5c 70 61 72 |left| \f|rac{\par|
|000014d0| 74 69 61 6c 20 66 7d 7b | 5c 70 61 72 74 69 61 6c |tial f}{|\partial|
|000014e0| 20 79 7d 28 78 2c 79 29 | 5c 72 69 67 68 74 7c 20 | y}(x,y)|\right| |
|000014f0| 3a 28 78 2c 79 29 5c 69 | 6e 0d 0a 44 5c 72 69 67 |:(x,y)\i|n..D\rig|
|00001500| 68 74 5c 7d 20 5c 74 65 | 78 74 7b 2e 7d 0d 0a 5c |ht\} \te|xt{.}..\|
|00001510| 5d 0d 0a 5c 65 6e 64 7b | 74 68 65 6f 72 65 6d 7d |]..\end{|theorem}|
|00001520| 0d 0a 0d 0a 5c 62 65 67 | 69 6e 7b 74 68 65 6f 72 |....\beg|in{theor|
|00001530| 65 6d 7d 0d 0a 5c 76 73 | 70 61 63 65 7b 31 70 74 |em}..\vs|pace{1pt|
|00001540| 7d 4c 65 74 20 24 66 24 | 20 62 65 20 61 20 72 65 |}Let $f$| be a re|
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