home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ OS/2 Shareware BBS: Science / Science.zip / gmt_os2.zip / src / math / s_erf.c < prev    next >
Encoding:
C/C++ Source or Header  |  1995-03-16  |  10.9 KB  |  311 lines
  1.  
  2. /* @(#)s_erf.c 1.3 95/01/18 */
  3. /*
  4.  * ====================================================
  5.  * Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
  6.  *
  7.  * Developed at SunSoft, a Sun Microsystems, Inc. business.
  8.  * Permission to use, copy, modify, and distribute this
  9.  * software is freely granted, provided that this notice 
  10.  * is preserved.
  11.  * ====================================================
  12.  */
  13.  
  14. /* double erf(double x)
  15.  * double erfc(double x)
  16.  *                 x
  17.  *              2      |\
  18.  *     erf(x)  =  ---------  | exp(-t*t)dt
  19.  *            sqrt(pi) \| 
  20.  *                 0
  21.  *
  22.  *     erfc(x) =  1-erf(x)
  23.  *  Note that 
  24.  *        erf(-x) = -erf(x)
  25.  *        erfc(-x) = 2 - erfc(x)
  26.  *
  27.  * Method:
  28.  *    1. For |x| in [0, 0.84375]
  29.  *        erf(x)  = x + x*R(x^2)
  30.  *          erfc(x) = 1 - erf(x)           if x in [-.84375,0.25]
  31.  *                  = 0.5 + ((0.5-x)-x*R)  if x in [0.25,0.84375]
  32.  *       where R = P/Q where P is an odd poly of degree 8 and
  33.  *       Q is an odd poly of degree 10.
  34.  *                         -57.90
  35.  *            | R - (erf(x)-x)/x | <= 2
  36.  *    
  37.  *
  38.  *       Remark. The formula is derived by noting
  39.  *          erf(x) = (2/sqrt(pi))*(x - x^3/3 + x^5/10 - x^7/42 + ....)
  40.  *       and that
  41.  *          2/sqrt(pi) = 1.128379167095512573896158903121545171688
  42.  *       is close to one. The interval is chosen because the fix
  43.  *       point of erf(x) is near 0.6174 (i.e., erf(x)=x when x is
  44.  *       near 0.6174), and by some experiment, 0.84375 is chosen to
  45.  *        guarantee the error is less than one ulp for erf.
  46.  *
  47.  *      2. For |x| in [0.84375,1.25], let s = |x| - 1, and
  48.  *         c = 0.84506291151 rounded to single (24 bits)
  49.  *             erf(x)  = sign(x) * (c  + P1(s)/Q1(s))
  50.  *             erfc(x) = (1-c)  - P1(s)/Q1(s) if x > 0
  51.  *              1+(c+P1(s)/Q1(s))    if x < 0
  52.  *             |P1/Q1 - (erf(|x|)-c)| <= 2**-59.06
  53.  *       Remark: here we use the taylor series expansion at x=1.
  54.  *        erf(1+s) = erf(1) + s*Poly(s)
  55.  *             = 0.845.. + P1(s)/Q1(s)
  56.  *       That is, we use rational approximation to approximate
  57.  *            erf(1+s) - (c = (single)0.84506291151)
  58.  *       Note that |P1/Q1|< 0.078 for x in [0.84375,1.25]
  59.  *       where 
  60.  *        P1(s) = degree 6 poly in s
  61.  *        Q1(s) = degree 6 poly in s
  62.  *
  63.  *      3. For x in [1.25,1/0.35(~2.857143)], 
  64.  *             erfc(x) = (1/x)*exp(-x*x-0.5625+R1/S1)
  65.  *             erf(x)  = 1 - erfc(x)
  66.  *       where 
  67.  *        R1(z) = degree 7 poly in z, (z=1/x^2)
  68.  *        S1(z) = degree 8 poly in z
  69.  *
  70.  *      4. For x in [1/0.35,28]
  71.  *             erfc(x) = (1/x)*exp(-x*x-0.5625+R2/S2) if x > 0
  72.  *            = 2.0 - (1/x)*exp(-x*x-0.5625+R2/S2) if -6<x<0
  73.  *            = 2.0 - tiny        (if x <= -6)
  74.  *             erf(x)  = sign(x)*(1.0 - erfc(x)) if x < 6, else
  75.  *             erf(x)  = sign(x)*(1.0 - tiny)
  76.  *       where
  77.  *        R2(z) = degree 6 poly in z, (z=1/x^2)
  78.  *        S2(z) = degree 7 poly in z
  79.  *
  80.  *      Note1:
  81.  *       To compute exp(-x*x-0.5625+R/S), let s be a single
  82.  *       precision number and s := x; then
  83.  *        -x*x = -s*s + (s-x)*(s+x)
  84.  *            exp(-x*x-0.5626+R/S) = 
  85.  *            exp(-s*s-0.5625)*exp((s-x)*(s+x)+R/S);
  86.  *      Note2:
  87.  *       Here 4 and 5 make use of the asymptotic series
  88.  *              exp(-x*x)
  89.  *        erfc(x) ~ ---------- * ( 1 + Poly(1/x^2) )
  90.  *              x*sqrt(pi)
  91.  *       We use rational approximation to approximate
  92.  *          g(s)=f(1/x^2) = log(erfc(x)*x) - x*x + 0.5625
  93.  *       Here is the error bound for R1/S1 and R2/S2
  94.  *          |R1/S1 - f(x)|  < 2**(-62.57)
  95.  *          |R2/S2 - f(x)|  < 2**(-61.52)
  96.  *
  97.  *      5. For inf > x >= 28
  98.  *             erf(x)  = sign(x) *(1 - tiny)  (raise inexact)
  99.  *             erfc(x) = tiny*tiny (raise underflow) if x > 0
  100.  *            = 2 - tiny if x<0
  101.  *
  102.  *      7. Special case:
  103.  *             erf(0)  = 0, erf(inf)  = 1, erf(-inf) = -1,
  104.  *             erfc(0) = 1, erfc(inf) = 0, erfc(-inf) = 2, 
  105.  *           erfc/erf(NaN) is NaN
  106.  */
  107.  
  108.  
  109. #include "fdlibm.h"
  110.  
  111. #ifdef __STDC__
  112. static const double
  113. #else
  114. static double
  115. #endif
  116. tiny        = 1e-300,
  117. half=  5.00000000000000000000e-01, /* 0x3FE00000, 0x00000000 */
  118. one =  1.00000000000000000000e+00, /* 0x3FF00000, 0x00000000 */
  119. two =  2.00000000000000000000e+00, /* 0x40000000, 0x00000000 */
  120.     /* c = (float)0.84506291151 */
  121. erx =  8.45062911510467529297e-01, /* 0x3FEB0AC1, 0x60000000 */
  122. /*
  123.  * Coefficients for approximation to  erf on [0,0.84375]
  124.  */
  125. efx =  1.28379167095512586316e-01, /* 0x3FC06EBA, 0x8214DB69 */
  126. efx8=  1.02703333676410069053e+00, /* 0x3FF06EBA, 0x8214DB69 */
  127. pp0  =  1.28379167095512558561e-01, /* 0x3FC06EBA, 0x8214DB68 */
  128. pp1  = -3.25042107247001499370e-01, /* 0xBFD4CD7D, 0x691CB913 */
  129. pp2  = -2.84817495755985104766e-02, /* 0xBF9D2A51, 0xDBD7194F */
  130. pp3  = -5.77027029648944159157e-03, /* 0xBF77A291, 0x236668E4 */
  131. pp4  = -2.37630166566501626084e-05, /* 0xBEF8EAD6, 0x120016AC */
  132. qq1  =  3.97917223959155352819e-01, /* 0x3FD97779, 0xCDDADC09 */
  133. qq2  =  6.50222499887672944485e-02, /* 0x3FB0A54C, 0x5536CEBA */
  134. qq3  =  5.08130628187576562776e-03, /* 0x3F74D022, 0xC4D36B0F */
  135. qq4  =  1.32494738004321644526e-04, /* 0x3F215DC9, 0x221C1A10 */
  136. qq5  = -3.96022827877536812320e-06, /* 0xBED09C43, 0x42A26120 */
  137. /*
  138.  * Coefficients for approximation to  erf  in [0.84375,1.25] 
  139.  */
  140. pa0  = -2.36211856075265944077e-03, /* 0xBF6359B8, 0xBEF77538 */
  141. pa1  =  4.14856118683748331666e-01, /* 0x3FDA8D00, 0xAD92B34D */
  142. pa2  = -3.72207876035701323847e-01, /* 0xBFD7D240, 0xFBB8C3F1 */
  143. pa3  =  3.18346619901161753674e-01, /* 0x3FD45FCA, 0x805120E4 */
  144. pa4  = -1.10894694282396677476e-01, /* 0xBFBC6398, 0x3D3E28EC */
  145. pa5  =  3.54783043256182359371e-02, /* 0x3FA22A36, 0x599795EB */
  146. pa6  = -2.16637559486879084300e-03, /* 0xBF61BF38, 0x0A96073F */
  147. qa1  =  1.06420880400844228286e-01, /* 0x3FBB3E66, 0x18EEE323 */
  148. qa2  =  5.40397917702171048937e-01, /* 0x3FE14AF0, 0x92EB6F33 */
  149. qa3  =  7.18286544141962662868e-02, /* 0x3FB2635C, 0xD99FE9A7 */
  150. qa4  =  1.26171219808761642112e-01, /* 0x3FC02660, 0xE763351F */
  151. qa5  =  1.36370839120290507362e-02, /* 0x3F8BEDC2, 0x6B51DD1C */
  152. qa6  =  1.19844998467991074170e-02, /* 0x3F888B54, 0x5735151D */
  153. /*
  154.  * Coefficients for approximation to  erfc in [1.25,1/0.35]
  155.  */
  156. ra0  = -9.86494403484714822705e-03, /* 0xBF843412, 0x600D6435 */
  157. ra1  = -6.93858572707181764372e-01, /* 0xBFE63416, 0xE4BA7360 */
  158. ra2  = -1.05586262253232909814e+01, /* 0xC0251E04, 0x41B0E726 */
  159. ra3  = -6.23753324503260060396e+01, /* 0xC04F300A, 0xE4CBA38D */
  160. ra4  = -1.62396669462573470355e+02, /* 0xC0644CB1, 0x84282266 */
  161. ra5  = -1.84605092906711035994e+02, /* 0xC067135C, 0xEBCCABB2 */
  162. ra6  = -8.12874355063065934246e+01, /* 0xC0545265, 0x57E4D2F2 */
  163. ra7  = -9.81432934416914548592e+00, /* 0xC023A0EF, 0xC69AC25C */
  164. sa1  =  1.96512716674392571292e+01, /* 0x4033A6B9, 0xBD707687 */
  165. sa2  =  1.37657754143519042600e+02, /* 0x4061350C, 0x526AE721 */
  166. sa3  =  4.34565877475229228821e+02, /* 0x407B290D, 0xD58A1A71 */
  167. sa4  =  6.45387271733267880336e+02, /* 0x40842B19, 0x21EC2868 */
  168. sa5  =  4.29008140027567833386e+02, /* 0x407AD021, 0x57700314 */
  169. sa6  =  1.08635005541779435134e+02, /* 0x405B28A3, 0xEE48AE2C */
  170. sa7  =  6.57024977031928170135e+00, /* 0x401A47EF, 0x8E484A93 */
  171. sa8  = -6.04244152148580987438e-02, /* 0xBFAEEFF2, 0xEE749A62 */
  172. /*
  173.  * Coefficients for approximation to  erfc in [1/.35,28]
  174.  */
  175. rb0  = -9.86494292470009928597e-03, /* 0xBF843412, 0x39E86F4A */
  176. rb1  = -7.99283237680523006574e-01, /* 0xBFE993BA, 0x70C285DE */
  177. rb2  = -1.77579549177547519889e+01, /* 0xC031C209, 0x555F995A */
  178. rb3  = -1.60636384855821916062e+02, /* 0xC064145D, 0x43C5ED98 */
  179. rb4  = -6.37566443368389627722e+02, /* 0xC083EC88, 0x1375F228 */
  180. rb5  = -1.02509513161107724954e+03, /* 0xC0900461, 0x6A2E5992 */
  181. rb6  = -4.83519191608651397019e+02, /* 0xC07E384E, 0x9BDC383F */
  182. sb1  =  3.03380607434824582924e+01, /* 0x403E568B, 0x261D5190 */
  183. sb2  =  3.25792512996573918826e+02, /* 0x40745CAE, 0x221B9F0A */
  184. sb3  =  1.53672958608443695994e+03, /* 0x409802EB, 0x189D5118 */
  185. sb4  =  3.19985821950859553908e+03, /* 0x40A8FFB7, 0x688C246A */
  186. sb5  =  2.55305040643316442583e+03, /* 0x40A3F219, 0xCEDF3BE6 */
  187. sb6  =  4.74528541206955367215e+02, /* 0x407DA874, 0xE79FE763 */
  188. sb7  = -2.24409524465858183362e+01; /* 0xC03670E2, 0x42712D62 */
  189.  
  190. #ifdef __STDC__
  191.     double erf(double x) 
  192. #else
  193.     double erf(x) 
  194.     double x;
  195. #endif
  196. {
  197.     int hx,ix,i;
  198.     double R,S,P,Q,s,y,z,r;
  199.     hx = __HI(x);
  200.     ix = hx&0x7fffffff;
  201.     if(ix>=0x7ff00000) {        /* erf(nan)=nan */
  202.         i = ((unsigned)hx>>31)<<1;
  203.         return (double)(1-i)+one/x;    /* erf(+-inf)=+-1 */
  204.     }
  205.  
  206.     if(ix < 0x3feb0000) {        /* |x|<0.84375 */
  207.         if(ix < 0x3e300000) {     /* |x|<2**-28 */
  208.             if (ix < 0x00800000) 
  209.             return 0.125*(8.0*x+efx8*x);  /*avoid underflow */
  210.         return x + efx*x;
  211.         }
  212.         z = x*x;
  213.         r = pp0+z*(pp1+z*(pp2+z*(pp3+z*pp4)));
  214.         s = one+z*(qq1+z*(qq2+z*(qq3+z*(qq4+z*qq5))));
  215.         y = r/s;
  216.         return x + x*y;
  217.     }
  218.     if(ix < 0x3ff40000) {        /* 0.84375 <= |x| < 1.25 */
  219.         s = fabs(x)-one;
  220.         P = pa0+s*(pa1+s*(pa2+s*(pa3+s*(pa4+s*(pa5+s*pa6)))));
  221.         Q = one+s*(qa1+s*(qa2+s*(qa3+s*(qa4+s*(qa5+s*qa6)))));
  222.         if(hx>=0) return erx + P/Q; else return -erx - P/Q;
  223.     }
  224.     if (ix >= 0x40180000) {        /* inf>|x|>=6 */
  225.         if(hx>=0) return one-tiny; else return tiny-one;
  226.     }
  227.     x = fabs(x);
  228.      s = one/(x*x);
  229.     if(ix< 0x4006DB6E) {    /* |x| < 1/0.35 */
  230.         R=ra0+s*(ra1+s*(ra2+s*(ra3+s*(ra4+s*(
  231.                 ra5+s*(ra6+s*ra7))))));
  232.         S=one+s*(sa1+s*(sa2+s*(sa3+s*(sa4+s*(
  233.                 sa5+s*(sa6+s*(sa7+s*sa8)))))));
  234.     } else {    /* |x| >= 1/0.35 */
  235.         R=rb0+s*(rb1+s*(rb2+s*(rb3+s*(rb4+s*(
  236.                 rb5+s*rb6)))));
  237.         S=one+s*(sb1+s*(sb2+s*(sb3+s*(sb4+s*(
  238.                 sb5+s*(sb6+s*sb7))))));
  239.     }
  240.     z  = x;  
  241.     __LO(z) = 0;
  242.     r  =  __ieee754_exp(-z*z-0.5625)*__ieee754_exp((z-x)*(z+x)+R/S);
  243.     if(hx>=0) return one-r/x; else return  r/x-one;
  244. }
  245.  
  246. #ifdef __STDC__
  247.     double erfc(double x) 
  248. #else
  249.     double erfc(x) 
  250.     double x;
  251. #endif
  252. {
  253.     int hx,ix;
  254.     double R,S,P,Q,s,y,z,r;
  255.     hx = __HI(x);
  256.     ix = hx&0x7fffffff;
  257.     if(ix>=0x7ff00000) {            /* erfc(nan)=nan */
  258.                         /* erfc(+-inf)=0,2 */
  259.         return (double)(((unsigned)hx>>31)<<1)+one/x;
  260.     }
  261.  
  262.     if(ix < 0x3feb0000) {        /* |x|<0.84375 */
  263.         if(ix < 0x3c700000)      /* |x|<2**-56 */
  264.         return one-x;
  265.         z = x*x;
  266.         r = pp0+z*(pp1+z*(pp2+z*(pp3+z*pp4)));
  267.         s = one+z*(qq1+z*(qq2+z*(qq3+z*(qq4+z*qq5))));
  268.         y = r/s;
  269.         if(hx < 0x3fd00000) {      /* x<1/4 */
  270.         return one-(x+x*y);
  271.         } else {
  272.         r = x*y;
  273.         r += (x-half);
  274.             return half - r ;
  275.         }
  276.     }
  277.     if(ix < 0x3ff40000) {        /* 0.84375 <= |x| < 1.25 */
  278.         s = fabs(x)-one;
  279.         P = pa0+s*(pa1+s*(pa2+s*(pa3+s*(pa4+s*(pa5+s*pa6)))));
  280.         Q = one+s*(qa1+s*(qa2+s*(qa3+s*(qa4+s*(qa5+s*qa6)))));
  281.         if(hx>=0) {
  282.             z  = one-erx; return z - P/Q; 
  283.         } else {
  284.         z = erx+P/Q; return one+z;
  285.         }
  286.     }
  287.     if (ix < 0x403c0000) {        /* |x|<28 */
  288.         x = fabs(x);
  289.          s = one/(x*x);
  290.         if(ix< 0x4006DB6D) {    /* |x| < 1/.35 ~ 2.857143*/
  291.             R=ra0+s*(ra1+s*(ra2+s*(ra3+s*(ra4+s*(
  292.                 ra5+s*(ra6+s*ra7))))));
  293.             S=one+s*(sa1+s*(sa2+s*(sa3+s*(sa4+s*(
  294.                 sa5+s*(sa6+s*(sa7+s*sa8)))))));
  295.         } else {            /* |x| >= 1/.35 ~ 2.857143 */
  296.         if(hx<0&&ix>=0x40180000) return two-tiny;/* x < -6 */
  297.             R=rb0+s*(rb1+s*(rb2+s*(rb3+s*(rb4+s*(
  298.                 rb5+s*rb6)))));
  299.             S=one+s*(sb1+s*(sb2+s*(sb3+s*(sb4+s*(
  300.                 sb5+s*(sb6+s*sb7))))));
  301.         }
  302.         z  = x;
  303.         __LO(z)  = 0;
  304.         r  =  __ieee754_exp(-z*z-0.5625)*
  305.             __ieee754_exp((z-x)*(z+x)+R/S);
  306.         if(hx>0) return r/x; else return two-r/x;
  307.     } else {
  308.         if(hx>0) return tiny*tiny; else return two-tiny;
  309.     }
  310. }
  311.