Dream 52/Amiga_Dream_52.iso/Amiga/Applications/Mathematiques/ComplexPlot.lha/ComplexPlot/German/KomplexPlotter.doc

Text File | 1993-04-10 | 31KB | 824 lines

    Anleitung zum Komplexen Funktionsplotter


    1. Einleitung

    Bei diesem Programm handelt es sich um einen "Funktionsplotter",
    mit dem nahezu beliebige Mengen komplexer Zahlen durch Funktionen
    abgebildet werden k÷nnen.

    Aus dieser Aussage dⁿrften die wenigsten Normalbⁿrger schlau werden,
    daher m÷chte ich das ein wenig beschreiben: Komplexe Zahlen sind
    vergleichbar mit zweidimensionalen Punkten (X- und Y-Koordinate
    nennt man Real- und ImaginΣrteil), und Mengen von komplexen
    Zahlen kann man daher als Zeichnung oder Bild interpretieren. Auf
    komplexe Zahlen kann man genauso Funktionen wirken lassen, wie man
    das von den allgemein ⁿblichen reellen (oder rationalen) Zahlen
    gewohnt ist.

    Die meisten fⁿr reelle Zahlen gelΣufigen Funktionen sind nΣmlich
    auch fⁿr komplexe Zahlen definiert, z.B. die Sinus- oder die
    Exponentialfunktion. So wie die reellen Funktionen jeder Zahl
    (des Definitionsbereichs) eine neue Zahl zuordnen, bilden die
    komplexen Funktionen die zweidimensionalen Punkte auf andere
    Punkte ab. Aus der Ursprungszeichnung wird eine neue, durch
    die Funktion verΣnderte Zeichnung. Und damit sind wir beim Kern
    der Sache: bei diesem Funktionsplotter handelt es sich um ein
    flexibles Werkzeug der BildverΣnderung.

    So kann man zum Beispiel Bilder verzerren, umbiegen, "von innen
    nach au▀en" kehren, an bestimmten Punkten aufblΣhen etc. Das
    Ganze fⁿhrt oft zu interessanten (oder sogar witzigen) Resultaten.

    Zur Eingabe des Urbilds besitzt das Programm einen Editor, bei dem
    man u.a. mit der Maus frei zeichnen kann. Au▀erdem gibt es zwei
    Figurengeneratoren (kartesische und polare Netze), die zum
    systematischen Untersuchen des Abbildungsverhaltens einer Funktion
    gut geeignet sind. Bilder k÷nnen natⁿrlich auf Diskette gespeichert
    werden. Au▀erdem kann man das durch die Funktion verΣnderte Bild
    in den Urbildspeicher ⁿbertragen und wieder abbilden lassen
    (mehrmals wiederholt kann so ein Film-Effekt entstehen und z.B.
    das Konvergenzverhalten der Funktion untersucht werden).

    Das Programm eignet sich somit gut zum Herumexperimentieren und
    Spielen, aber auch fⁿr gezielte mathematische Aufgaben (z.B.
    Untersuchung des Konvergenzverhaltens, der Fixpunkte, SingularitΣten,
    PeriodizitΣt).

    Au▀erdem ist es m÷glich, andere Typen an Funktionsplottern zu
    emulieren, z.B. die "normalen" Funktionsplotter, die die all-
    bekannten Bildchen von Parabeln, Hyperbeln, Sinuskurven etc.
    erzeugen. Dazu mehr im Kapitel "Emulation anderer Funktions-
    plotter-Typen".

    Der verwendete mathematische Hintergrund ist bei weitem nicht
    Allgemeinwissen. Wer sich mehr dafⁿr interessiert, kann versuchen,
    mit Bⁿchern fⁿr H÷here Mathematik oder Funktionentheorie schlauer
    zu werden. Man kann┤s aber auch lassen und einfach mit dem
    Programm herumexperimentieren (zum Vergleich: die Bilder der
    Fraktalgeometrie findet auch jeder sch÷n, aber wieviel verstehen
    schon wirklich, wie sie entstehen).



    2. Die Bedienung des Programms

    Das Programm kann sowohl vom CLI mit Plotter/German/KomplexPlotter
    als auch von der Workbench aus gestartet werden. Es ben÷tigt die
    Library "MathTrans.library" (mu▀ auf der Systemdiskette im Ver-
    zeichnis Libs stehen). Au▀erdem sollte 1MB Ram vorhanden sein
    (mit 512KB k÷nnte das Programm auf einem absoluten Minimal-System
    gerade noch laufen, aber ohne GewΣhr).

    Wenn das Programm nicht startet, ist entweder die Mathtrans-
    Library nicht vorhanden oder zu wenig Speicher frei.

    Es gibt drei verschiedene bildschirmgro▀e Windows, zwischen
    denen beliebig hin- und hergeschaltet werden kann. Im ersten
    Window "Einstellungen" werden die zu plottende Funktion ein-
    gegeben und die Grenzen der beiden anderen Windows gesetzt.
    Bei diesen beiden handelt es sich nΣmlich um die Windows, in
    denen das Urbild bestimmt ("Definitionsbereich-Editor") und
    die durch die Funktion erzeugte Abbildung angezeigt wird
    ("Bildbereich").

    Jedes Window hat eine eigene Menⁿleiste, die wie ⁿblich mit
    der rechten Maustaste aktiviert wird. Manche Programmfunk-
    tionen sind von jedem Window aus erreichbar, wΣhrend viele
    jeweils nur fⁿr ein Window existieren.

    Die meisten Funktionen lassen sich auch durch Tastenkombina-
    tionen aufrufen, die bei den entsprechenden Menⁿpunkten an-
    gezeigt werden (rechte Amiga-Taste plus Buchstabentaste).

    Der typische Ablauf eines Funktionenplots sieht also so aus:
    Man gibt zuerst die gewⁿnschte Funktion ein und wΣhlt die
    Grenzen des Definitionsbereich-Windows. Dann geht man in den
    Definitionsbereich-Editor und bestimmt die Figur, die abge-
    bildet werden soll. Dabei kann man sowohl auf Standard-
    Figuren zurⁿckgreifen, als auch mit der Maus herumzeichnen.

    Danach lΣ▀t man den Amiga die eingegebene Figur mit der kom-
    plexen Funktion abbilden, und kann das Ergebnis dann in
    Bildbereich-Window bewundern. Dabei kann man die Grenzen des
    Bildbereich-Windows auch automatisch berechnen lassen, indem
    man im Einstellungs-Window auf "Automatik" schaltet (Mini-
    mum-Maximum-Bestimmung).

    Danach kann man mit der Maus verschiedene Ausschnitte des
    Bildes vergr÷▀ern, um sich Details anzusehen. Auch ist es
    m÷glich, das erzeugte Bild wiederum als Urbild fⁿr eine neue
    Berechnung herzunehmen, indem man den Inhalt des Bildbe-
    reichs in den Definitionsbereich kopiert. Bei geeigneter
    Wahl der komplexen Funktion ist es so m÷glich, filmΣhnliche
    Bildfolgen zu erstellen.

    Insgesamt sind die M÷glichkeiten sehr vielfΣltig und lassen
    sich gar nicht so leicht auf einen Blick aufzeigen. In den
    folgenden Kapiteln wird mehr darauf eingegangen, wie man die
    Programmfunktionen entsprechend nutzt; hier folgt erst ein-
    mal eine komplette Auflistung der Programmelemente.


    2.1 Einstellungs-Window

    Hier werden wichtige Grundeinstellungen vorgenommen. So mu▀
    man hier die komplexe Funktion eingeben, mit der gearbeitet
    werden soll. Dazu klickt man mit der Maus das ausgezeichnete
    Eingabefeld an und gibt die Funktion ein. Als Variable ist z
    zu verwenden. Zur Syntax unten mehr.

    Als zweites kann man hier die Grenzen der beiden anderen
    Windows im Flie▀komma-Format eingeben. Man sollte darauf
    achten, da▀ die rechte Grenze gr÷▀er ist als die linke, und
    die obere gr÷▀er als die untere, sonst erhΣlt man beim Auf-
    ruf des entsprechenden Windows eine Fehlermeldung.

    Fⁿr das Bildbereich-Window kann man auf der echten Seite mit
    Hilfe zweier Schalter bestimmen, ob die Grenzen automatisch
    berechnet oder die eingegebenen Werte benutzt werden sollen.
    Normalerweise wird man sich der "Automatik" bedienen, die
    bewirkt, da▀ bei jedem Aktivieren des Bildbereich-Windows
    dessen Grenzen automatisch ermittelt werden. Wenn man aller-
    dings eine eigene Einstellung wⁿnscht, kann man sie mit "Ma-
    nuell" benutzen.

    Auf der rechten Seite findet man dann auch die zwei Kn÷pfe
    "Zeigen/Editieren" und "Zeigen", mit denen man den Defini-
    tionsbereich-Editor aufrufen und den Bildbereich anzeigen
    lassen kann.

    Mit dem Knopf "PLOTTEN" kann man dann den Definitionsbereich
    abbilden lassen, doch das liefert natⁿrlich nur ein Ergeb-
    nis, wenn man vorher mit dem Editor einen Definitionsbereich
    bestimmt hat.

    Die Menⁿleiste liefert im Wesentlichen die gleichen Funktio-
    nen:


     1) Grundfunktionen:

     a) Plotten (Amiga-P)
        Entspricht dem Knopf "PLOTTEN", veranla▀t also das Be-
        rechnen des Bildes. Nach der Berechnung wird automatisch
        auf das Bildbereich-Window umgeschaltet, um das Ergebnis
        anzuzeigen.

     b) Programmende
        Hiermit wird das Programm beendet (nach einer Sicher-
        heitsabfrage).


     2) Windows:

     a) Definitionsbereich (Amiga-D)
        Entspricht dem Knopf "Zeigen/Editieren", mit dem man den
        Definitionsbereich-Editor aufrufen kann; es wird also
        das entsprechende Window aktiviert.

     b) Bildbereich (Amiga-B)
        Entspricht dem Knopf "Zeigen", damit kann man also auf
        das Bildbereichs-Window umschalten, um sich das berech-
        nete Bild anzusehen.

     c) Automatik (Amiga-A)
        Entspricht dem Schalter "Automatik", veranla▀t also, da▀
        beim jedem Aufruf des Bildbereich-Windows die Grenzen
        automatisch bestimmt werden.

     d) Manuell (Amiga-M)
        Entspricht dem Schalter "Manuell", bewirkt also, da▀ die
        Grenzen fⁿr den Bildbereich verwendet werden, die man
        auf diesem Window eingegeben hat.


    2.2 Syntax der Flie▀kommazahlen und der Funktion

    Zahlen kann man in normaler und in Exponenten-Schreibweise
    eingeben. Sie k÷nnen einen Bereich von etwa +/- 1e-19 bis
    +/- 9e18 annehmen.

    ImaginΣrteile werden durch ein angehΣngtes "i" gekenntzeich-
    net. Es ist auch m÷glich "*i" anzuhΣngen, oder "i*" voranzu-
    stellen, jedoch werden bei der ersten Methode die Zahlen
    direkt als imaginΣre eingelesen, und in der zweiten Methode
    als reelle, die dann mit i multipliziert werden. Somit ist
    die zweite Methode in der Auswertung langsamer.

    Hier ein paar Beispiele:

        0.52578        entspricht auch .52578 oder +.52578
        -598.1245
        1.42e6        entspricht auch 1.42*10^6
        7.34e-8        entspricht auch 7.34*10^-8
        6.345i        entspricht auch 6.345*i oder i*6.345
        12+8i
        3-.5i

    Es steht eine reichhaltige Auswahl an Verknⁿpfungen und
    Funktionen zur Verfⁿgung. Diese sind im einzelnen:

        ...+...         Addition
        ...-...         Subtraktion
        ...*...         Multiplikation
        .../...         Division
        ...^...         Potenzieren (Hauptzweig)
        re(...)         Realteil einer komplexen Zahl
        im(...)         ImaginΣrteil einer komplexen Zahl
        abs(...)        Betrag einer komplexen Zahl
        arg(...)        Argument (Winkel) einer komplexen Zahl
        con(...)        Konjugiert komplexe Zahl
        sqrt(...)       Quadratwurzel (Hauptzweig)
        exp(...)        Exponentialfunktion
        log(...)        Logarithmus (Hauptzweig)
        sin(...)        Sinusfunktion
        cos(...)        Cosinusfunktion
        tan(...)        Tangensfunktion
        sinh(...)       Sinus Hyperbolicus
        cosh(...)       Cosinus Hyperbolicus
        tanh(...)       Tangens Hyperbolicus
        arcsin(...)     Arcus Sinus (Umkehrung des Sinus)
        arccos(...)     Arcus Cosinus (Umkehrung des Cosinus)
        arctan(...)     Arcus Tangens (Umkehrung des Tangens)
        arsinh(...)     Area Sinus (Umkehrung des Sinus Hy.)
        arcosh(...)     Area Cosinus (Umkehrung des Cosinus Hy.)
        artanh(...)     Area Tangens (Umkehrung des Tanges Hy.)
        int(...)        Vorkommateile von Real- und ImaginΣrteil
        sgn(...)        Vorzeichen von Real- und ImaginΣrteil
        swap(...)       Vertauscht Real- und ImaginΣrteil

    Zur Wirkung der Funktionen ist im 3. Kapitel mehr zu finden.

    Des weiteren kann man folgende Symbole benutzen:

        z        Die Variable. Hierfⁿr werden dann die
            Punkte des Definitionsbereichs eingesetzt.
        x        Realteil der Variablen (entspricht also
            re(z)).
        y        ImaginΣrteil der Variablen (entspricht
            also im(z)).
        pi        Die beliebte Konstante 3.1415927...

    Natⁿrlich beherrscht das Programm Potenzierung vor Punkt-
    vor Strich-Rechnung. Au▀erdem kann man bis zu zehn Klammer-
    ebenen verwenden. Leerstellen werden ⁿberlesen, und Gro▀- und
    Kleinschreibung spielt keine Rolle. Zum Schlu▀ noch ein paar
    Beispiele (sie demonstrieren die Syntax, sind aber nicht un-
    bedingt zum Ausprobieren gedacht):

        2*sin(z/(cos(z)+exp(z)))+6i
        (i*z+exp(z))*(z^2)
        (-z)^(x+y)
        abs(z)*exp(i*(arg(z)+pi/4))


    2.3 Definitionsbereich-Window

    In diesem Window wird festgelegt, welche Punkte durch die
    Funktion abgebildet werden sollen. Dazu steht ein Editor zur
    Verfⁿgung, und es k÷nnen einige Grundfiguren abgerufen wer-
    den. SΣmtliche Funktionen des Editors werden ⁿber die Menⁿ-
    leiste bzw. durch die entsprechenden Tastencodes aufgerufen.

    Auf der Windowleiste oben ist immer die Position des Maus-
    zeigers in den Flie▀kommakoordinaten angezeigt. Bewegt man
    den Mauszeiger z.B. in die rechte untere Ecke, erscheinen
    die rechte und untere Grenze, die man im Einstellungs-Window
    angegeben hatte.

    Au▀erdem wird immer der aktuelle Zeichenmodus angegeben, das
    ist zu Beginn "Zeichnen". In diesem Modus kann man mit der
    Maus auf der WindowflΣche freihandzeichnen.
    Weitere Modi sind "Linien", "Kreise", "Fⁿllen" und
    "Schnitt". Mit dem Linienmodus kann man Linien zeichnen,
    wobei der Start- und Endpunkt in den Definitionsbereich-
    Speicher ⁿbertragen werden. Beim Kreismodus werden 36 Eck-
    punkte gespeichert, und beim Fⁿllen der Punkt, um den
    gefⁿllt wird.

    Sobald man einige Punkte gezeichnet hat, kann man mit dem
    Menⁿpunkt "Angleichen" die Windowgrenzen der Zeichnung an-
    passen, genauso, wie es der Automatik-Modus des Bildbereichs
    es macht. Mit "Herauszoomen" wird das Intervall des Bild-
    schirms in beide Richtungen verdoppelt, so da▀ die Zeichnung
    verkleinert wird. Oft ist es sinnvoll, die Figur aus einigem
    Abstand zu betrachten, um sie zusammenhΣngender zu sehen.
    Schlie▀lich kann man mit "Ausschnitt" einen beliebigen Aus-
    schnitt des Windows vergr÷▀ern. Mit der Maus mu▀ man dabei
    zwei gegenⁿberliegende Eckpunkte des Ausschnitts angeben.

    Hat man einmal ausversehen etwas falsch gemacht, kann man
    die letzte Aktion mit "Undo" wieder rⁿckgΣngig machen. Dies
    ist insbesondere beim Fⁿllmodus sinnvoll, da bei einem falsch
    gesetztem Fⁿllpunkt leicht das ganze Bild ausgefⁿllt werden kann.

    Mit "Laden" und "Speichern" kann man fertige Zeichnungen
    laden bzw. das gemalte Bild speichern. Dabei erscheint ein
    Filerequester, der selbsterklΣrend sein dⁿrfte.

    "Fischernetz" und "Spinnennetz" nennen sich die zwei Figu-
    rengeneratoren, mit denen man Grundfiguren erzeugen kann,
    die sich besonders dazu eignen, das Verhalten einer komple-
    xen Funktion systematisch zu ergrⁿnden.

    Das Fischernetz besteht dabei aus einer regelmΣ▀igen Anord-
    nung von horizontalen und vertikalen Linien, deren Kreuzungs-
    punkte gespeichert werden. In einem Einstellungswindow
    kann man die Position des Netzes bestimmen. Au▀erdem wird
    dort angegeben, wieviele horizontale und vertikale Unter-
    teilungen vorgenommen werden sollen (0 bis 999). So ent-
    steht bei einer vertikalen Unterteilungszahl von 1 ein
    Balken, bei einer Unterteilungszahl von 0 ein Strich. Das
    Prinzip ist ganz einfach; man sollte ruhig ein wenig auspro-
    bieren.

    Das Spinnennetz sieht so aus, wie es hei▀t. Man bestimmt
    einen Mittelpunkt, den Radius, und die Anzahl der Strahlen
    (3 bis 99) und UmlΣufe (1 bis 99) der Figur. Auch hier
    sollte man ausprobieren, denn so versteht man die Bedeutung
    der Parameter am schnellsten.

    Hier die Befehle der Menⁿleiste:

     1) Grundfunktionen:

     a) Plotten (Amiga-P)
        Mit diesem Menⁿpunkt wird das Erzeugen des Bildes veran-
        la▀t. Es wird dabei auf das Bildbereich-Window umge-
        schaltet.

     b) Kopieren (Amiga-K)
        Hiermit kann man den Inhalt des Bildbereich-Speichers in
        den Definitionsbereich ⁿbertragen, also das Ergebnis des
        Plottens bearbeiten. Dabei wird die Zeichnung, die sich
        gerade im Definitionsbereich befindet, ⁿberschrieben.

     c) Alles L÷schen (Amiga-L)
        Mit diesem Punkt wird der gesamte Inhalt des Defini-
        tionsbereich-Speichers gel÷scht.

     d) Programmende
        Damit wird das Programm verlassen.


     2) Windows:

     a) Einstellungen (Amiga-E)
        Will man etwas an den Einstellungen, also z.B. dem Funk-
        tionsterm, Σndern, mu▀ man diesen Menⁿpunkt anwΣhlen.

     b) Bildbereich (Amiga-B)
        Mit diesem Menⁿpunkt schaltet man auf das Bildbereich-
        Window, und man kann sich ein geplottetes Bild wieder
        ansehen.

     c) Angleichen (Amiga-A)
        Hiermit werden die Grenzen des Windows der gezeichneten
        Figur angepa▀t, so da▀ die Figur genau in das Window
        pa▀t. Das ist z.B. sinnvoll, um Vergr÷▀erungen des fol-
        genden Menⁿpunktes rⁿckgΣngig zu machen.

     d) Ausschnitt (Amiga-M)
        M÷chte man sich einen Teil des Bildes genauer ansehen,
        kann man diesen Menⁿpunkt anwΣhlen und dann mit der Maus
        einen Ausschnitt markieren. Die Windowgrenzen werden
        dann entsprechend verΣndert.

     e) Herauszoomen (Amiga-Z)
        Wenn man einen guten ▄berblick ⁿber die gesamte Zeich-
        nung bekommen m÷chte, kann man den Bildausschnitt mit
        dieser Funktion vergr÷▀ern, indem die Grenzen um das
        doppelte verbreitert werden. Ein Angleichen mit einem
        folgenden Herauszoomen vermittelt einem oft den besten
        ▄berblick ⁿber die gesamte Figur.


     3) Zeichenmodus:

     a) Zeichnen (Amiga-1)
        Dies ist der Modus, mit dem man mit der Maus frei auf
        der WindowflΣche herumzeichnen kann. Mit der linken Mau-
        staste werden die Punkte und Striche gesetzt.

     b) Linien (Amiga-2)
        Mit diesem Modus kann man zwei Punkte mit einer Linie
        verbinden. Dazu fΣhrt man den Mauszeiger auf den ersten
        Punkt, drⁿckt die linke Maustaste und fΣhrt bei gedrⁿck-
        ter Taste auf den zweiten Punkt. Dann braucht man nur
        noch die Maustaste loszulassen.

     c) Kreise (Amiga-3)
        Wenn man Kreise zeichnen m÷chte, kann man das mit diesem
        Zeichenmodus tun. Man wΣhlt den Kreismittelpunkt aus und
        bestimmt dann bei gedrⁿckter linker Maustaste einen
        Punkt auf der Kreislinie. Man sollte beachten, da▀ dies
        Kreise im Definitionsbereich sind, und auf dem Bildschirm
        wie Ellipsen aussehen k÷nnen, entsprechend dem VerhΣlt-
        nis der Windowgrenzen.

     d) Fⁿllen (Amiga-4)
        Um FlΣchen zu fⁿllen, bedient man sich dieses Zeichenmo-
        dus. Man kann dann mit der Maus die Punkte anklicken, um
        die gefⁿllt werden soll. Mit der Fⁿllfunktion sollte man
        vorsichtig sein, da die zu fⁿllenden FlΣchen wirklich
        geschlossen sein mⁿssen, um nicht das Bild zu vermat-
        schen.

     e) Undo (Amiga-U)
        Mit diesem Menⁿpunkt wird die zuletzt gezeichnete Figur
        wieder zurⁿckgenommen (Punktezug, Linie, Kreis, Fⁿllung,
        Fischernetz oder Spinnennetz).


     4. Figuren:

     a) Fischernetz (Amiga-5)
        Mit diesem Punkt ruft man den Figurengenerator des Fi-
        schernetzes auf. Es erscheint ein Eingabewindow, in dem
        die Parameter des Netzes eingegeben werden k÷nnen. Das
        Netz wird generiert, wenn man den Start-Knopf anklickt
        oder die Eingabe des letzten Parameters mit der Enterta-
        ste abschlie▀t. Mit dem Abbruch-Knopf kann man die Mu-
        stererzeugung verwerfen.

     b) Spinnennetz (Amiga-6)
        Die Generation des Spinnennetzes wird genauso gehandhabt
        wie die des Fischernetzes.

     c) Laden (Amiga-7)
        Natⁿrlich kann man fertige Zeichnungen auch abspeichern.
        Mit dieser Funktion kann man auf Diskette oder Festplat-
        te befindliche Figuren laden. Dabei wird eine im Spei-
        cher befindliche Zeichnung ⁿberschrieben. Der Filereque-
        ster bietet Funktionen zum Durchsehen von Verzeichnis-
        sen, Laufwerksanwahl, Scrollkn÷pfe, direkte Pfad- und
        Filenamensangabe, und Doppelklicken eines Filenamens.

     d) Speichern (Amiga-8)
        Dieser Punkt dient zum Speichern des Definitionsbereichs
        und ist genauso zu handhaben wie das Laden.

    Beim Zeichnen sollte man Bedenken, da▀ sΣmtliche Koordinaten
    der ArbeitsvorgΣnge gespeichert werden, und je mehr Koordi-
    naten vorhanden sind, desto lΣnger dauert die Berechnung der
    Abbildung. Au▀erdem ist der Koordinatenspeicher auf 3000
    Punkte beschrΣnkt, was fⁿr vernⁿnftige Dinge voll ausreicht.



    2.4 Bildbereich-Window

    In diesem Window wird das Ergebnis des Plots dargestellt.
    Ist der Automatik-Modus aktiviert, werden beim Aufrufen die-
    ses Windows automatisch die Grenzen dem Bild angepa▀t. Auf
    der Windowleiste werden die Grenzen den Windows angezeigt.

    Es existieren die gleichen Window-Funktionen wie beim Defi-
    nitionsbereich-Editor, nur da▀ die Ausschnittfunktion stΣn-
    dig aktiviert ist. Das bedeutet, da▀ man jederzeit Aus-
    schnitte des Bildes vergr÷▀ern kann, ohne extra eine Menⁿ-
    funktion aufrufen zu mⁿssen.

    Mit der Copy&Plot-Funktion kann man das Bild in den Defini-
    tionsbereich ⁿbertragen und erneut berechnen lassen, so da▀
    bei mehrmaliger Verwendung die Figur "animiert" wird. Das
    ist manchmal nett anzusehen, und nⁿtzt bei der Suche von
    Fixpunkten einer komplexen Funktion. (Fixpunkte sind Punkte,
    die durch die Funktion auf sich selbst abgebildet, also
    nicht verΣndert werden.)

    Die Funktionen der Menⁿleiste sind also schnell erklΣrt:

     1. Grundfunktionen:

     a) Plotten (Amiga-P)
        Mit dieser Menⁿfunktion wird das Berechnen des Bildes
        aus dem Definitionsbereich veranla▀t.

     b) Kopieren (Amiga-K)
        Die Figur des Bildbereichs wird in den Definitionsbe-
        reich ⁿbertragen, wobei eine Figur des Definitionsbe-
        reichs ⁿberschrieben wird. Danach wird auf das Defini-
        tionsbereich-Window geschaltet.

     c) Copy&Plot (Amiga-R)
        Diese Funktion fⁿhrt die Punkte Kopieren und Plotten
        hintereinander aus (ohne zwischendurch die Windows umzu-
        schalten). Siehe oben.

     d) Programmende
        Fⁿr die, die genug von diesem Programm haben.


     2. Windows:

     a) Einstellungen (Amiga-E)
        Mit dieser Funktion wird wieder auf das Einstellungs-
        Window geschaltet, wo man die komplexe Funktion und die
        Grenzen editieren kann.

     b) Definitionsbereich (Amiga-D)
        Um wieder in den Definitionsbereich-Editor zu gelangen,
        mu▀ man diesen Menⁿpunkt benutzen.

     c) Angleichen (Amiga-A)
        Damit kann man die Grenzen des Windows der Figur anglei-
        chen. Diese Funktion wird beim Umschalten auf das Bild-
        bereich-Window automatisch aufgerufen, wenn in den Eins-
        tellungen der Automatik-Modus aktiviert wurde.

     d) Herauszoomen (Amiga-Z)
        Mit diesem Menⁿpunkt werden die Intervalle des Windows
        in beide Richtungen verdoppelt, so da▀ das Bild verklei-
        nert wird. Dies eignet sich auch zum RⁿckgΣngig machen
        von der Wahl von Ausschnitten.



    3. Beschreibungen komplexer Funktionen

    Nun ist es von starkem Nutzen, zu wissen, was die ver-
    schiedenen komplexen Funktionen mit den einzelnen Bildern
    machen, die man im Definitionsbereich-Editor angelegt hat.
    Darⁿber kann man Bⁿcher schreiben, deshalb folgen hier nur
    einige elementare Abbildungen, sowie ein paar grobe qualita-
    tive Beschreibungen diverser Grundfunktionen.

    Bei komplizierteren Funktionen hilft oft nur "Probieren geht
    ⁿber Studieren"; dieses Programm hat ja u.a. auch den Zweck,
    das Verhalten komplexer Funktionen zu veranschaulichen.


    3.1 Verschiebungen

    Die Figur kann ganz leicht verschoben werden, indem man eine
    beliebige komplexe Zahl addiert. Die Addition von komplexen
    Zahlen entspricht der Vektoraddition. Wenn man also seine Figur
    z.B. um 2 nach rechts und 1 nach oben verschieben m÷chte, kann
    man dazu die Funktion

          f(z) = z + 2+i

    verwenden.


    3.2 Streckungen

    Die einfache Streckung einer Figur erreicht man mit der Mul-
    tiplikation mit reellen Zahlen, z.B. wird eine Figur mit der
    Funktion

          f(z) = 2*x + .5*i*y

    doppelt so breit und halb so hoch.


    3.3 Einfache Spiegelungen/Drehungen

    Um die Figur an der reellen Achse zu spiegeln, bietet sich
    die Funktion

          f(z) = con(z)

    an, die die komplexen Zahlen konjugiert (ImaginΣrteil negiert).

    Wenn man eine komplexen Zahl negiert, wird sie am Ursprung
    punktgespiegelt:

          f(z) = -z

    Wenn man die Figur an der Winkelhalbierenden des 1./3. Qua-
    dranten spiegeln m÷chte, geht dies direkt mit der Funktion
    zum Vertauschen von Real- und ImaginΣrteil:

          f(z) = swap(z)

    Um die Figur um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn zu drehen,
    kann man die Punkte mit i multiplizieren:

          f(z) = i*z


    3.4 Beliebige Drehungen

    Eine Drehung kann auf verschiedene Arten erreicht werden.
    Die erste ist die Multiplikation mit einer komplexen Zahl.
    Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen werden nΣmlich
    die Winkel addiert und die BetrΣge multipliziert.

    Um also z.B. um einen Winkel von 45 Grad gegen den Uhrzei-
    gersinn zu drehen, mu▀ man die Punkte der Figur mit der kom-
    plexen Zahl multiplizieren, die einen Winkel von 45 Grad und
    den Betrag 1 hat, nΣmlich sqrt(.5)+sqrt(.5)*i:

          f(z) = (sqrt(.5)+sqrt(.5)*i)*z

    Eine andere M÷glichkeit wΣre, die Schreibweise in Polarkoor-
    dinaten zu nehmen und einfach den Drehwinkel hinzuzuaddieren:

          f(z) = abs(z)*exp(i*(arg(z)+pi/4))

    Diese Funktion dreht um pi/4, also ebenfalls um 45 Grad ge-
    gen den Uhrzeigersinn.

    Und man kann die aus der linearen Algebra stammenden Matri-
    zen der speziellen orthogonalen Gruppe nehmen, um eine Dre-
    hung zu erreichen. Hier die entsprechende Funktion fⁿr eine
    Drehung um 45 Grad:

        f(z) = x*cos(pi/4)+y*sin(pi/4)+i*(y*cos(pi/4)-x*sin(pi/4))

    Alle drei Methoden sind mathematisch gesehen natⁿrlich
    Σquivalent.


    3.5 Die Parabel z^2

    Zur Demonstration der komplexen Parabel bietet es sich an,
    folgendes Fischernetz zu nehmen:

       Grenzen: Links: -3  Rechts: 3  Oben: 2  Unten: 1
       Unterteilungen: Horizontal: 25  Vertikal:1

    Dieses Band wird parabelf÷rmig um den Ursprung gebogen.


    3.6 Die Hyperbel 1/z

    Zur Verdeutlichung einiger einfacher Aspekte dieser Funktion
    nimmt man am besten ein Spinnennetz mit der Mitte im Ur-
    sprung. Dann wird diese Figur auf eine spinnennetzΣhnliche
    Struktur abgebildet, bei der die Kreise zur Mitte hin dich-
    ter werden, um dann abrupt aufzuh÷ren. Dies liegt daran,
    da▀ die Funktion fⁿr z=0 nicht definiert und dort singular
    ist (einen Pol hat). Das Σu▀ert sich in der Verdichtung
    der Ringe zur Mitte hin.


    3.7 Die trigonometrischen Funktionen

    Die trigonometrischen Funktionen haben im Komplexen ziemlich
    vielfΣltige Effekte. Fⁿr gew÷hnlich haben sie die Eigen-
    schaft, Punkte, die eine gewisse Entfernung vom Ursprung
    haben, noch wesentlich weiter wegzukatapultieren. Also soll-
    te man sich auf Figuren beschrΣnken, die in der NΣhe des
    Ursprungs sind, nicht weiter weg als ca. 4 Einheiten.

    Wenn man z.B. die Sinusfunktion nimmt, wird die Figur sowohl
    verbogen als auch in verschiedene Richtungen gedehnt.

    Die trigonometrischen und die hyperbolischen Funktionen sind
    im Komplexen nahe mit der Exponentialfunktion verwandt.


    3.8 Die Exponentialfunktion und der Logarithmus

    Die Exponentialfunktion dreht entsprechend dem ImaginΣrteil
    der Zahl und vergr÷▀ert exponentiell entsprechend dem Real-
    teil der Zahl. Das hat zur Folge, da▀ Figuren entlang der
    reellen Achse immer stΣrker gedehnt und entlang der imagi-
    nΣren Achse immer stΣrker gedreht werden.

    Der Logarithmus bildet alles auf einen horizontalen Streifen
    der Breite 2*pi ab, da im(log(z))=arg(z), und arg(z) als der
    Winkel der komplexen Zahl z kann nur Werte zwischen -pi und
    pi annehmen.



    4. Beispiele und Anregungen


    4.1 Auf Diskette befindliche Figuren

    In dem Verzeichnis "Plotter/DefPics" befinden sich einige
    Beispielfiguren, die in den Definitionsbereich-Editor geladen
    werden k÷nnen.

    Die Figuren "Quadrants", "QuadrantsII" und "Bar" sollen
    demonstrieren, da▀ man die Generatoren fⁿr das Fischer- und
    Spinnennetz auch verwenden kann, um umfangreichere Figuren
    zu erzeugen. Sie eignen sich auch gut, um die Eigenschaften
    komplexer Funktionen anzuzeigen.

    Die Figuren "Tree", "Lemming" und "Binky" zeigen, wie man
    mit der Maus durchaus ansehnliche Figuren zeichnen kann.
    Au▀erdem macht es mehr Spa▀, echte Bildchen durch komplexe
    Funktionen abzubilden, als einfache Netze.

    Ich kann empfehlen, als Einstieg einmal "Putzi" zu laden
    (wie das geht, siehe Kapitel 2.3) und darauf die diversen
    komplexen Funktionen auszutesten.  So sieht man an dieser
    Figur eindrucksvoll die Auswirkungen der Funktionen exp(z),
    log(z), sqrt(z), sin(z), cos(z), tan(z/2), sinh(z) u.a.
    So macht Mathematik Spa▀, und dafⁿr ist dieses Programm
    wie schon ÷fter gesagt u.a. auch gedacht.


    4.2 Emulation anderer Funktionsplotter-Typen

    Da die reellen Zahlen nur eine Teilmenge der komplexen Zah-
    len sind, ist es m÷glich, mit diesem Programm diverse andere
    Typen an Funktionsplottern zu emulieren. Das erh÷ht den Nut-
    zen vom KomplexPlotter noch einmal erheblich.


    4.2.1 "Klassischer" Funktionsplotter von R nach R

    Wenn man eine reelle Funktion g(x) im Intervall [a;b] auf
    die dafⁿr ⁿbliche Art darstellen will, kann man das auf fol-
    gende Weise tun:

    Als erstes geht man in den Definitionsbereich-Editor und
    definiert sich folgende Figur:

       Grenzen: Links: a  Rechts: b  Oben: 0  Unten: -1
       Unterteilungen: Horizontal: 640  Vertikal: 0

    Es erscheint ein horizontaler Strich. Nun trΣgt man im Ein-
    stellungswindow als Funktion ein:

          f(z) = x+i*g(x)

    Und schon kann man die Funktion plotten. Fⁿr g(x), a und b
    sind natⁿrlich die gewⁿnschten Werte einzusetzen (z.B.
    sin(x), -2*pi und 2*pi).

    Wenn man eine kleinere Anzahl an horizontalen Unterteilungen
    nimmt, verkⁿrzt sich die Rechenzeit. Das Ergebnis ist meist
    noch gut, wenn die Zahl einen Wert von 100 nicht unter-
    schreitet.


    4.2.2 "3D-" Funktionsplotter von RxR nach R

    Diese Art von Funktionsplotter erzeugt die sch÷n anzusehen-
    den Netzgrafiken, in der die Argumente als X- und Y-, und
    die Funktionswerte als Z-Koordinate interpetiert werden.
    Auch das kann man emulieren. Im Definitionsbereich-Editor
    mu▀ man sich dazu ein Netz generieren. Das ist in diesem
    Falle ⁿblicherweise ein quadratisches Fischernetz. Spinnen-
    netze mit der Mitte im Ursprung eignen sich zum Abbilden von
    rotationssymmetrischen Funktionen. Aber auch jede andere Figur
    kann man abbilden.

    Dann gibt man im Einstellungs-Window als Funktion ein:

          f(z) = x+y/2+i*(y/2+g(x,y))

    Fⁿr g(x,y) ist die entsprechende Funktion einzusetzen, z.B.

          sin(x+y)
          1/(.5+x^2+y^2)
          exp(x+y)

    Der einzige Nachteil ist, da▀ die verdeckten Linien mitge-
    zeichnet werden.


    4.2.3 Funktionsplotter von R nach RxR

    Relativ selten anzutreffen sind Plotter, die Funktionen ab-
    bilden, die aus einer Variablen eine zweidimensionale Koor-
    dinate erzeugen. Bekanntestes Beispiel dafⁿr sind die soge-
    nannten Lissajouz-Figuren, welche nΣmlich dann auftreten,
    wenn die Funktion periodisch ist. Das Programm "OSZI AMIGA"
    beschΣftigt sich ausgiebigst damit.

    Will man solch eine Funktion mit dem KomplexPlotter darstel-
    len, ist folgender Weg zu beschreiten:

    Als Definitionsbereich-Figur nimmt man wie in 4.2.1 einen
    horizontalen Strich. Als Funktion trΣgt man ein:

          f(z) = gx(x)+i*gy(x)

    Zum Beispiel erzeugt

          f(z) = sin(x)+i*cos(x+.2*x)

    eine in sich geschlossene Lissajouz-Figur (bei geeigneter
    Wahl eines Intervalls fⁿr x). Man kann natⁿrlich auch
    nichtperiodische Funktionen verwenden.



    5. Schlu▀

    Ich hoffe, ich konnte mit dieser Anleitung den Nutzen des
    Programms verdeutlichen.

    Fⁿr die meisten Menschen bietet das Programm Einiges zum
    Herumexperimentieren. Mathematisch bewanderte k÷nnen das
    Programm natⁿrlich auch mehr angewandt orientiert einsetzen.

    Wie auch immer, ich wⁿnsche damit viel Spa▀ !



    Michael Gentner