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1993-04-10
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824 lines
Anleitung zum Komplexen Funktionsplotter
1. Einleitung
Bei diesem Programm handelt es sich um einen "Funktionsplotter",
mit dem nahezu beliebige Mengen komplexer Zahlen durch Funktionen
abgebildet werden k÷nnen.
Aus dieser Aussage dⁿrften die wenigsten Normalbⁿrger schlau werden,
daher m÷chte ich das ein wenig beschreiben: Komplexe Zahlen sind
vergleichbar mit zweidimensionalen Punkten (X- und Y-Koordinate
nennt man Real- und ImaginΣrteil), und Mengen von komplexen
Zahlen kann man daher als Zeichnung oder Bild interpretieren. Auf
komplexe Zahlen kann man genauso Funktionen wirken lassen, wie man
das von den allgemein ⁿblichen reellen (oder rationalen) Zahlen
gewohnt ist.
Die meisten fⁿr reelle Zahlen gelΣufigen Funktionen sind nΣmlich
auch fⁿr komplexe Zahlen definiert, z.B. die Sinus- oder die
Exponentialfunktion. So wie die reellen Funktionen jeder Zahl
(des Definitionsbereichs) eine neue Zahl zuordnen, bilden die
komplexen Funktionen die zweidimensionalen Punkte auf andere
Punkte ab. Aus der Ursprungszeichnung wird eine neue, durch
die Funktion verΣnderte Zeichnung. Und damit sind wir beim Kern
der Sache: bei diesem Funktionsplotter handelt es sich um ein
flexibles Werkzeug der BildverΣnderung.
So kann man zum Beispiel Bilder verzerren, umbiegen, "von innen
nach au▀en" kehren, an bestimmten Punkten aufblΣhen etc. Das
Ganze fⁿhrt oft zu interessanten (oder sogar witzigen) Resultaten.
Zur Eingabe des Urbilds besitzt das Programm einen Editor, bei dem
man u.a. mit der Maus frei zeichnen kann. Au▀erdem gibt es zwei
Figurengeneratoren (kartesische und polare Netze), die zum
systematischen Untersuchen des Abbildungsverhaltens einer Funktion
gut geeignet sind. Bilder k÷nnen natⁿrlich auf Diskette gespeichert
werden. Au▀erdem kann man das durch die Funktion verΣnderte Bild
in den Urbildspeicher ⁿbertragen und wieder abbilden lassen
(mehrmals wiederholt kann so ein Film-Effekt entstehen und z.B.
das Konvergenzverhalten der Funktion untersucht werden).
Das Programm eignet sich somit gut zum Herumexperimentieren und
Spielen, aber auch fⁿr gezielte mathematische Aufgaben (z.B.
Untersuchung des Konvergenzverhaltens, der Fixpunkte, SingularitΣten,
PeriodizitΣt).
Au▀erdem ist es m÷glich, andere Typen an Funktionsplottern zu
emulieren, z.B. die "normalen" Funktionsplotter, die die all-
bekannten Bildchen von Parabeln, Hyperbeln, Sinuskurven etc.
erzeugen. Dazu mehr im Kapitel "Emulation anderer Funktions-
plotter-Typen".
Der verwendete mathematische Hintergrund ist bei weitem nicht
Allgemeinwissen. Wer sich mehr dafⁿr interessiert, kann versuchen,
mit Bⁿchern fⁿr H÷here Mathematik oder Funktionentheorie schlauer
zu werden. Man kann┤s aber auch lassen und einfach mit dem
Programm herumexperimentieren (zum Vergleich: die Bilder der
Fraktalgeometrie findet auch jeder sch÷n, aber wieviel verstehen
schon wirklich, wie sie entstehen).
2. Die Bedienung des Programms
Das Programm kann sowohl vom CLI mit Plotter/German/KomplexPlotter
als auch von der Workbench aus gestartet werden. Es ben÷tigt die
Library "MathTrans.library" (mu▀ auf der Systemdiskette im Ver-
zeichnis Libs stehen). Au▀erdem sollte 1MB Ram vorhanden sein
(mit 512KB k÷nnte das Programm auf einem absoluten Minimal-System
gerade noch laufen, aber ohne GewΣhr).
Wenn das Programm nicht startet, ist entweder die Mathtrans-
Library nicht vorhanden oder zu wenig Speicher frei.
Es gibt drei verschiedene bildschirmgro▀e Windows, zwischen
denen beliebig hin- und hergeschaltet werden kann. Im ersten
Window "Einstellungen" werden die zu plottende Funktion ein-
gegeben und die Grenzen der beiden anderen Windows gesetzt.
Bei diesen beiden handelt es sich nΣmlich um die Windows, in
denen das Urbild bestimmt ("Definitionsbereich-Editor") und
die durch die Funktion erzeugte Abbildung angezeigt wird
("Bildbereich").
Jedes Window hat eine eigene Menⁿleiste, die wie ⁿblich mit
der rechten Maustaste aktiviert wird. Manche Programmfunk-
tionen sind von jedem Window aus erreichbar, wΣhrend viele
jeweils nur fⁿr ein Window existieren.
Die meisten Funktionen lassen sich auch durch Tastenkombina-
tionen aufrufen, die bei den entsprechenden Menⁿpunkten an-
gezeigt werden (rechte Amiga-Taste plus Buchstabentaste).
Der typische Ablauf eines Funktionenplots sieht also so aus:
Man gibt zuerst die gewⁿnschte Funktion ein und wΣhlt die
Grenzen des Definitionsbereich-Windows. Dann geht man in den
Definitionsbereich-Editor und bestimmt die Figur, die abge-
bildet werden soll. Dabei kann man sowohl auf Standard-
Figuren zurⁿckgreifen, als auch mit der Maus herumzeichnen.
Danach lΣ▀t man den Amiga die eingegebene Figur mit der kom-
plexen Funktion abbilden, und kann das Ergebnis dann in
Bildbereich-Window bewundern. Dabei kann man die Grenzen des
Bildbereich-Windows auch automatisch berechnen lassen, indem
man im Einstellungs-Window auf "Automatik" schaltet (Mini-
mum-Maximum-Bestimmung).
Danach kann man mit der Maus verschiedene Ausschnitte des
Bildes vergr÷▀ern, um sich Details anzusehen. Auch ist es
m÷glich, das erzeugte Bild wiederum als Urbild fⁿr eine neue
Berechnung herzunehmen, indem man den Inhalt des Bildbe-
reichs in den Definitionsbereich kopiert. Bei geeigneter
Wahl der komplexen Funktion ist es so m÷glich, filmΣhnliche
Bildfolgen zu erstellen.
Insgesamt sind die M÷glichkeiten sehr vielfΣltig und lassen
sich gar nicht so leicht auf einen Blick aufzeigen. In den
folgenden Kapiteln wird mehr darauf eingegangen, wie man die
Programmfunktionen entsprechend nutzt; hier folgt erst ein-
mal eine komplette Auflistung der Programmelemente.
2.1 Einstellungs-Window
Hier werden wichtige Grundeinstellungen vorgenommen. So mu▀
man hier die komplexe Funktion eingeben, mit der gearbeitet
werden soll. Dazu klickt man mit der Maus das ausgezeichnete
Eingabefeld an und gibt die Funktion ein. Als Variable ist z
zu verwenden. Zur Syntax unten mehr.
Als zweites kann man hier die Grenzen der beiden anderen
Windows im Flie▀komma-Format eingeben. Man sollte darauf
achten, da▀ die rechte Grenze gr÷▀er ist als die linke, und
die obere gr÷▀er als die untere, sonst erhΣlt man beim Auf-
ruf des entsprechenden Windows eine Fehlermeldung.
Fⁿr das Bildbereich-Window kann man auf der echten Seite mit
Hilfe zweier Schalter bestimmen, ob die Grenzen automatisch
berechnet oder die eingegebenen Werte benutzt werden sollen.
Normalerweise wird man sich der "Automatik" bedienen, die
bewirkt, da▀ bei jedem Aktivieren des Bildbereich-Windows
dessen Grenzen automatisch ermittelt werden. Wenn man aller-
dings eine eigene Einstellung wⁿnscht, kann man sie mit "Ma-
nuell" benutzen.
Auf der rechten Seite findet man dann auch die zwei Kn÷pfe
"Zeigen/Editieren" und "Zeigen", mit denen man den Defini-
tionsbereich-Editor aufrufen und den Bildbereich anzeigen
lassen kann.
Mit dem Knopf "PLOTTEN" kann man dann den Definitionsbereich
abbilden lassen, doch das liefert natⁿrlich nur ein Ergeb-
nis, wenn man vorher mit dem Editor einen Definitionsbereich
bestimmt hat.
Die Menⁿleiste liefert im Wesentlichen die gleichen Funktio-
nen:
1) Grundfunktionen:
a) Plotten (Amiga-P)
Entspricht dem Knopf "PLOTTEN", veranla▀t also das Be-
rechnen des Bildes. Nach der Berechnung wird automatisch
auf das Bildbereich-Window umgeschaltet, um das Ergebnis
anzuzeigen.
b) Programmende
Hiermit wird das Programm beendet (nach einer Sicher-
heitsabfrage).
2) Windows:
a) Definitionsbereich (Amiga-D)
Entspricht dem Knopf "Zeigen/Editieren", mit dem man den
Definitionsbereich-Editor aufrufen kann; es wird also
das entsprechende Window aktiviert.
b) Bildbereich (Amiga-B)
Entspricht dem Knopf "Zeigen", damit kann man also auf
das Bildbereichs-Window umschalten, um sich das berech-
nete Bild anzusehen.
c) Automatik (Amiga-A)
Entspricht dem Schalter "Automatik", veranla▀t also, da▀
beim jedem Aufruf des Bildbereich-Windows die Grenzen
automatisch bestimmt werden.
d) Manuell (Amiga-M)
Entspricht dem Schalter "Manuell", bewirkt also, da▀ die
Grenzen fⁿr den Bildbereich verwendet werden, die man
auf diesem Window eingegeben hat.
2.2 Syntax der Flie▀kommazahlen und der Funktion
Zahlen kann man in normaler und in Exponenten-Schreibweise
eingeben. Sie k÷nnen einen Bereich von etwa +/- 1e-19 bis
+/- 9e18 annehmen.
ImaginΣrteile werden durch ein angehΣngtes "i" gekenntzeich-
net. Es ist auch m÷glich "*i" anzuhΣngen, oder "i*" voranzu-
stellen, jedoch werden bei der ersten Methode die Zahlen
direkt als imaginΣre eingelesen, und in der zweiten Methode
als reelle, die dann mit i multipliziert werden. Somit ist
die zweite Methode in der Auswertung langsamer.
Hier ein paar Beispiele:
0.52578 entspricht auch .52578 oder +.52578
-598.1245
1.42e6 entspricht auch 1.42*10^6
7.34e-8 entspricht auch 7.34*10^-8
6.345i entspricht auch 6.345*i oder i*6.345
12+8i
3-.5i
Es steht eine reichhaltige Auswahl an Verknⁿpfungen und
Funktionen zur Verfⁿgung. Diese sind im einzelnen:
...+... Addition
...-... Subtraktion
...*... Multiplikation
.../... Division
...^... Potenzieren (Hauptzweig)
re(...) Realteil einer komplexen Zahl
im(...) ImaginΣrteil einer komplexen Zahl
abs(...) Betrag einer komplexen Zahl
arg(...) Argument (Winkel) einer komplexen Zahl
con(...) Konjugiert komplexe Zahl
sqrt(...) Quadratwurzel (Hauptzweig)
exp(...) Exponentialfunktion
log(...) Logarithmus (Hauptzweig)
sin(...) Sinusfunktion
cos(...) Cosinusfunktion
tan(...) Tangensfunktion
sinh(...) Sinus Hyperbolicus
cosh(...) Cosinus Hyperbolicus
tanh(...) Tangens Hyperbolicus
arcsin(...) Arcus Sinus (Umkehrung des Sinus)
arccos(...) Arcus Cosinus (Umkehrung des Cosinus)
arctan(...) Arcus Tangens (Umkehrung des Tangens)
arsinh(...) Area Sinus (Umkehrung des Sinus Hy.)
arcosh(...) Area Cosinus (Umkehrung des Cosinus Hy.)
artanh(...) Area Tangens (Umkehrung des Tanges Hy.)
int(...) Vorkommateile von Real- und ImaginΣrteil
sgn(...) Vorzeichen von Real- und ImaginΣrteil
swap(...) Vertauscht Real- und ImaginΣrteil
Zur Wirkung der Funktionen ist im 3. Kapitel mehr zu finden.
Des weiteren kann man folgende Symbole benutzen:
z Die Variable. Hierfⁿr werden dann die
Punkte des Definitionsbereichs eingesetzt.
x Realteil der Variablen (entspricht also
re(z)).
y ImaginΣrteil der Variablen (entspricht
also im(z)).
pi Die beliebte Konstante 3.1415927...
Natⁿrlich beherrscht das Programm Potenzierung vor Punkt-
vor Strich-Rechnung. Au▀erdem kann man bis zu zehn Klammer-
ebenen verwenden. Leerstellen werden ⁿberlesen, und Gro▀- und
Kleinschreibung spielt keine Rolle. Zum Schlu▀ noch ein paar
Beispiele (sie demonstrieren die Syntax, sind aber nicht un-
bedingt zum Ausprobieren gedacht):
2*sin(z/(cos(z)+exp(z)))+6i
(i*z+exp(z))*(z^2)
(-z)^(x+y)
abs(z)*exp(i*(arg(z)+pi/4))
2.3 Definitionsbereich-Window
In diesem Window wird festgelegt, welche Punkte durch die
Funktion abgebildet werden sollen. Dazu steht ein Editor zur
Verfⁿgung, und es k÷nnen einige Grundfiguren abgerufen wer-
den. SΣmtliche Funktionen des Editors werden ⁿber die Menⁿ-
leiste bzw. durch die entsprechenden Tastencodes aufgerufen.
Auf der Windowleiste oben ist immer die Position des Maus-
zeigers in den Flie▀kommakoordinaten angezeigt. Bewegt man
den Mauszeiger z.B. in die rechte untere Ecke, erscheinen
die rechte und untere Grenze, die man im Einstellungs-Window
angegeben hatte.
Au▀erdem wird immer der aktuelle Zeichenmodus angegeben, das
ist zu Beginn "Zeichnen". In diesem Modus kann man mit der
Maus auf der WindowflΣche freihandzeichnen.
Weitere Modi sind "Linien", "Kreise", "Fⁿllen" und
"Schnitt". Mit dem Linienmodus kann man Linien zeichnen,
wobei der Start- und Endpunkt in den Definitionsbereich-
Speicher ⁿbertragen werden. Beim Kreismodus werden 36 Eck-
punkte gespeichert, und beim Fⁿllen der Punkt, um den
gefⁿllt wird.
Sobald man einige Punkte gezeichnet hat, kann man mit dem
Menⁿpunkt "Angleichen" die Windowgrenzen der Zeichnung an-
passen, genauso, wie es der Automatik-Modus des Bildbereichs
es macht. Mit "Herauszoomen" wird das Intervall des Bild-
schirms in beide Richtungen verdoppelt, so da▀ die Zeichnung
verkleinert wird. Oft ist es sinnvoll, die Figur aus einigem
Abstand zu betrachten, um sie zusammenhΣngender zu sehen.
Schlie▀lich kann man mit "Ausschnitt" einen beliebigen Aus-
schnitt des Windows vergr÷▀ern. Mit der Maus mu▀ man dabei
zwei gegenⁿberliegende Eckpunkte des Ausschnitts angeben.
Hat man einmal ausversehen etwas falsch gemacht, kann man
die letzte Aktion mit "Undo" wieder rⁿckgΣngig machen. Dies
ist insbesondere beim Fⁿllmodus sinnvoll, da bei einem falsch
gesetztem Fⁿllpunkt leicht das ganze Bild ausgefⁿllt werden kann.
Mit "Laden" und "Speichern" kann man fertige Zeichnungen
laden bzw. das gemalte Bild speichern. Dabei erscheint ein
Filerequester, der selbsterklΣrend sein dⁿrfte.
"Fischernetz" und "Spinnennetz" nennen sich die zwei Figu-
rengeneratoren, mit denen man Grundfiguren erzeugen kann,
die sich besonders dazu eignen, das Verhalten einer komple-
xen Funktion systematisch zu ergrⁿnden.
Das Fischernetz besteht dabei aus einer regelmΣ▀igen Anord-
nung von horizontalen und vertikalen Linien, deren Kreuzungs-
punkte gespeichert werden. In einem Einstellungswindow
kann man die Position des Netzes bestimmen. Au▀erdem wird
dort angegeben, wieviele horizontale und vertikale Unter-
teilungen vorgenommen werden sollen (0 bis 999). So ent-
steht bei einer vertikalen Unterteilungszahl von 1 ein
Balken, bei einer Unterteilungszahl von 0 ein Strich. Das
Prinzip ist ganz einfach; man sollte ruhig ein wenig auspro-
bieren.
Das Spinnennetz sieht so aus, wie es hei▀t. Man bestimmt
einen Mittelpunkt, den Radius, und die Anzahl der Strahlen
(3 bis 99) und UmlΣufe (1 bis 99) der Figur. Auch hier
sollte man ausprobieren, denn so versteht man die Bedeutung
der Parameter am schnellsten.
Hier die Befehle der Menⁿleiste:
1) Grundfunktionen:
a) Plotten (Amiga-P)
Mit diesem Menⁿpunkt wird das Erzeugen des Bildes veran-
la▀t. Es wird dabei auf das Bildbereich-Window umge-
schaltet.
b) Kopieren (Amiga-K)
Hiermit kann man den Inhalt des Bildbereich-Speichers in
den Definitionsbereich ⁿbertragen, also das Ergebnis des
Plottens bearbeiten. Dabei wird die Zeichnung, die sich
gerade im Definitionsbereich befindet, ⁿberschrieben.
c) Alles L÷schen (Amiga-L)
Mit diesem Punkt wird der gesamte Inhalt des Defini-
tionsbereich-Speichers gel÷scht.
d) Programmende
Damit wird das Programm verlassen.
2) Windows:
a) Einstellungen (Amiga-E)
Will man etwas an den Einstellungen, also z.B. dem Funk-
tionsterm, Σndern, mu▀ man diesen Menⁿpunkt anwΣhlen.
b) Bildbereich (Amiga-B)
Mit diesem Menⁿpunkt schaltet man auf das Bildbereich-
Window, und man kann sich ein geplottetes Bild wieder
ansehen.
c) Angleichen (Amiga-A)
Hiermit werden die Grenzen des Windows der gezeichneten
Figur angepa▀t, so da▀ die Figur genau in das Window
pa▀t. Das ist z.B. sinnvoll, um Vergr÷▀erungen des fol-
genden Menⁿpunktes rⁿckgΣngig zu machen.
d) Ausschnitt (Amiga-M)
M÷chte man sich einen Teil des Bildes genauer ansehen,
kann man diesen Menⁿpunkt anwΣhlen und dann mit der Maus
einen Ausschnitt markieren. Die Windowgrenzen werden
dann entsprechend verΣndert.
e) Herauszoomen (Amiga-Z)
Wenn man einen guten ▄berblick ⁿber die gesamte Zeich-
nung bekommen m÷chte, kann man den Bildausschnitt mit
dieser Funktion vergr÷▀ern, indem die Grenzen um das
doppelte verbreitert werden. Ein Angleichen mit einem
folgenden Herauszoomen vermittelt einem oft den besten
▄berblick ⁿber die gesamte Figur.
3) Zeichenmodus:
a) Zeichnen (Amiga-1)
Dies ist der Modus, mit dem man mit der Maus frei auf
der WindowflΣche herumzeichnen kann. Mit der linken Mau-
staste werden die Punkte und Striche gesetzt.
b) Linien (Amiga-2)
Mit diesem Modus kann man zwei Punkte mit einer Linie
verbinden. Dazu fΣhrt man den Mauszeiger auf den ersten
Punkt, drⁿckt die linke Maustaste und fΣhrt bei gedrⁿck-
ter Taste auf den zweiten Punkt. Dann braucht man nur
noch die Maustaste loszulassen.
c) Kreise (Amiga-3)
Wenn man Kreise zeichnen m÷chte, kann man das mit diesem
Zeichenmodus tun. Man wΣhlt den Kreismittelpunkt aus und
bestimmt dann bei gedrⁿckter linker Maustaste einen
Punkt auf der Kreislinie. Man sollte beachten, da▀ dies
Kreise im Definitionsbereich sind, und auf dem Bildschirm
wie Ellipsen aussehen k÷nnen, entsprechend dem VerhΣlt-
nis der Windowgrenzen.
d) Fⁿllen (Amiga-4)
Um FlΣchen zu fⁿllen, bedient man sich dieses Zeichenmo-
dus. Man kann dann mit der Maus die Punkte anklicken, um
die gefⁿllt werden soll. Mit der Fⁿllfunktion sollte man
vorsichtig sein, da die zu fⁿllenden FlΣchen wirklich
geschlossen sein mⁿssen, um nicht das Bild zu vermat-
schen.
e) Undo (Amiga-U)
Mit diesem Menⁿpunkt wird die zuletzt gezeichnete Figur
wieder zurⁿckgenommen (Punktezug, Linie, Kreis, Fⁿllung,
Fischernetz oder Spinnennetz).
4. Figuren:
a) Fischernetz (Amiga-5)
Mit diesem Punkt ruft man den Figurengenerator des Fi-
schernetzes auf. Es erscheint ein Eingabewindow, in dem
die Parameter des Netzes eingegeben werden k÷nnen. Das
Netz wird generiert, wenn man den Start-Knopf anklickt
oder die Eingabe des letzten Parameters mit der Enterta-
ste abschlie▀t. Mit dem Abbruch-Knopf kann man die Mu-
stererzeugung verwerfen.
b) Spinnennetz (Amiga-6)
Die Generation des Spinnennetzes wird genauso gehandhabt
wie die des Fischernetzes.
c) Laden (Amiga-7)
Natⁿrlich kann man fertige Zeichnungen auch abspeichern.
Mit dieser Funktion kann man auf Diskette oder Festplat-
te befindliche Figuren laden. Dabei wird eine im Spei-
cher befindliche Zeichnung ⁿberschrieben. Der Filereque-
ster bietet Funktionen zum Durchsehen von Verzeichnis-
sen, Laufwerksanwahl, Scrollkn÷pfe, direkte Pfad- und
Filenamensangabe, und Doppelklicken eines Filenamens.
d) Speichern (Amiga-8)
Dieser Punkt dient zum Speichern des Definitionsbereichs
und ist genauso zu handhaben wie das Laden.
Beim Zeichnen sollte man Bedenken, da▀ sΣmtliche Koordinaten
der ArbeitsvorgΣnge gespeichert werden, und je mehr Koordi-
naten vorhanden sind, desto lΣnger dauert die Berechnung der
Abbildung. Au▀erdem ist der Koordinatenspeicher auf 3000
Punkte beschrΣnkt, was fⁿr vernⁿnftige Dinge voll ausreicht.
2.4 Bildbereich-Window
In diesem Window wird das Ergebnis des Plots dargestellt.
Ist der Automatik-Modus aktiviert, werden beim Aufrufen die-
ses Windows automatisch die Grenzen dem Bild angepa▀t. Auf
der Windowleiste werden die Grenzen den Windows angezeigt.
Es existieren die gleichen Window-Funktionen wie beim Defi-
nitionsbereich-Editor, nur da▀ die Ausschnittfunktion stΣn-
dig aktiviert ist. Das bedeutet, da▀ man jederzeit Aus-
schnitte des Bildes vergr÷▀ern kann, ohne extra eine Menⁿ-
funktion aufrufen zu mⁿssen.
Mit der Copy&Plot-Funktion kann man das Bild in den Defini-
tionsbereich ⁿbertragen und erneut berechnen lassen, so da▀
bei mehrmaliger Verwendung die Figur "animiert" wird. Das
ist manchmal nett anzusehen, und nⁿtzt bei der Suche von
Fixpunkten einer komplexen Funktion. (Fixpunkte sind Punkte,
die durch die Funktion auf sich selbst abgebildet, also
nicht verΣndert werden.)
Die Funktionen der Menⁿleiste sind also schnell erklΣrt:
1. Grundfunktionen:
a) Plotten (Amiga-P)
Mit dieser Menⁿfunktion wird das Berechnen des Bildes
aus dem Definitionsbereich veranla▀t.
b) Kopieren (Amiga-K)
Die Figur des Bildbereichs wird in den Definitionsbe-
reich ⁿbertragen, wobei eine Figur des Definitionsbe-
reichs ⁿberschrieben wird. Danach wird auf das Defini-
tionsbereich-Window geschaltet.
c) Copy&Plot (Amiga-R)
Diese Funktion fⁿhrt die Punkte Kopieren und Plotten
hintereinander aus (ohne zwischendurch die Windows umzu-
schalten). Siehe oben.
d) Programmende
Fⁿr die, die genug von diesem Programm haben.
2. Windows:
a) Einstellungen (Amiga-E)
Mit dieser Funktion wird wieder auf das Einstellungs-
Window geschaltet, wo man die komplexe Funktion und die
Grenzen editieren kann.
b) Definitionsbereich (Amiga-D)
Um wieder in den Definitionsbereich-Editor zu gelangen,
mu▀ man diesen Menⁿpunkt benutzen.
c) Angleichen (Amiga-A)
Damit kann man die Grenzen des Windows der Figur anglei-
chen. Diese Funktion wird beim Umschalten auf das Bild-
bereich-Window automatisch aufgerufen, wenn in den Eins-
tellungen der Automatik-Modus aktiviert wurde.
d) Herauszoomen (Amiga-Z)
Mit diesem Menⁿpunkt werden die Intervalle des Windows
in beide Richtungen verdoppelt, so da▀ das Bild verklei-
nert wird. Dies eignet sich auch zum RⁿckgΣngig machen
von der Wahl von Ausschnitten.
3. Beschreibungen komplexer Funktionen
Nun ist es von starkem Nutzen, zu wissen, was die ver-
schiedenen komplexen Funktionen mit den einzelnen Bildern
machen, die man im Definitionsbereich-Editor angelegt hat.
Darⁿber kann man Bⁿcher schreiben, deshalb folgen hier nur
einige elementare Abbildungen, sowie ein paar grobe qualita-
tive Beschreibungen diverser Grundfunktionen.
Bei komplizierteren Funktionen hilft oft nur "Probieren geht
ⁿber Studieren"; dieses Programm hat ja u.a. auch den Zweck,
das Verhalten komplexer Funktionen zu veranschaulichen.
3.1 Verschiebungen
Die Figur kann ganz leicht verschoben werden, indem man eine
beliebige komplexe Zahl addiert. Die Addition von komplexen
Zahlen entspricht der Vektoraddition. Wenn man also seine Figur
z.B. um 2 nach rechts und 1 nach oben verschieben m÷chte, kann
man dazu die Funktion
f(z) = z + 2+i
verwenden.
3.2 Streckungen
Die einfache Streckung einer Figur erreicht man mit der Mul-
tiplikation mit reellen Zahlen, z.B. wird eine Figur mit der
Funktion
f(z) = 2*x + .5*i*y
doppelt so breit und halb so hoch.
3.3 Einfache Spiegelungen/Drehungen
Um die Figur an der reellen Achse zu spiegeln, bietet sich
die Funktion
f(z) = con(z)
an, die die komplexen Zahlen konjugiert (ImaginΣrteil negiert).
Wenn man eine komplexen Zahl negiert, wird sie am Ursprung
punktgespiegelt:
f(z) = -z
Wenn man die Figur an der Winkelhalbierenden des 1./3. Qua-
dranten spiegeln m÷chte, geht dies direkt mit der Funktion
zum Vertauschen von Real- und ImaginΣrteil:
f(z) = swap(z)
Um die Figur um 90 Grad gegen den Uhrzeigersinn zu drehen,
kann man die Punkte mit i multiplizieren:
f(z) = i*z
3.4 Beliebige Drehungen
Eine Drehung kann auf verschiedene Arten erreicht werden.
Die erste ist die Multiplikation mit einer komplexen Zahl.
Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen werden nΣmlich
die Winkel addiert und die BetrΣge multipliziert.
Um also z.B. um einen Winkel von 45 Grad gegen den Uhrzei-
gersinn zu drehen, mu▀ man die Punkte der Figur mit der kom-
plexen Zahl multiplizieren, die einen Winkel von 45 Grad und
den Betrag 1 hat, nΣmlich sqrt(.5)+sqrt(.5)*i:
f(z) = (sqrt(.5)+sqrt(.5)*i)*z
Eine andere M÷glichkeit wΣre, die Schreibweise in Polarkoor-
dinaten zu nehmen und einfach den Drehwinkel hinzuzuaddieren:
f(z) = abs(z)*exp(i*(arg(z)+pi/4))
Diese Funktion dreht um pi/4, also ebenfalls um 45 Grad ge-
gen den Uhrzeigersinn.
Und man kann die aus der linearen Algebra stammenden Matri-
zen der speziellen orthogonalen Gruppe nehmen, um eine Dre-
hung zu erreichen. Hier die entsprechende Funktion fⁿr eine
Drehung um 45 Grad:
f(z) = x*cos(pi/4)+y*sin(pi/4)+i*(y*cos(pi/4)-x*sin(pi/4))
Alle drei Methoden sind mathematisch gesehen natⁿrlich
Σquivalent.
3.5 Die Parabel z^2
Zur Demonstration der komplexen Parabel bietet es sich an,
folgendes Fischernetz zu nehmen:
Grenzen: Links: -3 Rechts: 3 Oben: 2 Unten: 1
Unterteilungen: Horizontal: 25 Vertikal:1
Dieses Band wird parabelf÷rmig um den Ursprung gebogen.
3.6 Die Hyperbel 1/z
Zur Verdeutlichung einiger einfacher Aspekte dieser Funktion
nimmt man am besten ein Spinnennetz mit der Mitte im Ur-
sprung. Dann wird diese Figur auf eine spinnennetzΣhnliche
Struktur abgebildet, bei der die Kreise zur Mitte hin dich-
ter werden, um dann abrupt aufzuh÷ren. Dies liegt daran,
da▀ die Funktion fⁿr z=0 nicht definiert und dort singular
ist (einen Pol hat). Das Σu▀ert sich in der Verdichtung
der Ringe zur Mitte hin.
3.7 Die trigonometrischen Funktionen
Die trigonometrischen Funktionen haben im Komplexen ziemlich
vielfΣltige Effekte. Fⁿr gew÷hnlich haben sie die Eigen-
schaft, Punkte, die eine gewisse Entfernung vom Ursprung
haben, noch wesentlich weiter wegzukatapultieren. Also soll-
te man sich auf Figuren beschrΣnken, die in der NΣhe des
Ursprungs sind, nicht weiter weg als ca. 4 Einheiten.
Wenn man z.B. die Sinusfunktion nimmt, wird die Figur sowohl
verbogen als auch in verschiedene Richtungen gedehnt.
Die trigonometrischen und die hyperbolischen Funktionen sind
im Komplexen nahe mit der Exponentialfunktion verwandt.
3.8 Die Exponentialfunktion und der Logarithmus
Die Exponentialfunktion dreht entsprechend dem ImaginΣrteil
der Zahl und vergr÷▀ert exponentiell entsprechend dem Real-
teil der Zahl. Das hat zur Folge, da▀ Figuren entlang der
reellen Achse immer stΣrker gedehnt und entlang der imagi-
nΣren Achse immer stΣrker gedreht werden.
Der Logarithmus bildet alles auf einen horizontalen Streifen
der Breite 2*pi ab, da im(log(z))=arg(z), und arg(z) als der
Winkel der komplexen Zahl z kann nur Werte zwischen -pi und
pi annehmen.
4. Beispiele und Anregungen
4.1 Auf Diskette befindliche Figuren
In dem Verzeichnis "Plotter/DefPics" befinden sich einige
Beispielfiguren, die in den Definitionsbereich-Editor geladen
werden k÷nnen.
Die Figuren "Quadrants", "QuadrantsII" und "Bar" sollen
demonstrieren, da▀ man die Generatoren fⁿr das Fischer- und
Spinnennetz auch verwenden kann, um umfangreichere Figuren
zu erzeugen. Sie eignen sich auch gut, um die Eigenschaften
komplexer Funktionen anzuzeigen.
Die Figuren "Tree", "Lemming" und "Binky" zeigen, wie man
mit der Maus durchaus ansehnliche Figuren zeichnen kann.
Au▀erdem macht es mehr Spa▀, echte Bildchen durch komplexe
Funktionen abzubilden, als einfache Netze.
Ich kann empfehlen, als Einstieg einmal "Putzi" zu laden
(wie das geht, siehe Kapitel 2.3) und darauf die diversen
komplexen Funktionen auszutesten. So sieht man an dieser
Figur eindrucksvoll die Auswirkungen der Funktionen exp(z),
log(z), sqrt(z), sin(z), cos(z), tan(z/2), sinh(z) u.a.
So macht Mathematik Spa▀, und dafⁿr ist dieses Programm
wie schon ÷fter gesagt u.a. auch gedacht.
4.2 Emulation anderer Funktionsplotter-Typen
Da die reellen Zahlen nur eine Teilmenge der komplexen Zah-
len sind, ist es m÷glich, mit diesem Programm diverse andere
Typen an Funktionsplottern zu emulieren. Das erh÷ht den Nut-
zen vom KomplexPlotter noch einmal erheblich.
4.2.1 "Klassischer" Funktionsplotter von R nach R
Wenn man eine reelle Funktion g(x) im Intervall [a;b] auf
die dafⁿr ⁿbliche Art darstellen will, kann man das auf fol-
gende Weise tun:
Als erstes geht man in den Definitionsbereich-Editor und
definiert sich folgende Figur:
Grenzen: Links: a Rechts: b Oben: 0 Unten: -1
Unterteilungen: Horizontal: 640 Vertikal: 0
Es erscheint ein horizontaler Strich. Nun trΣgt man im Ein-
stellungswindow als Funktion ein:
f(z) = x+i*g(x)
Und schon kann man die Funktion plotten. Fⁿr g(x), a und b
sind natⁿrlich die gewⁿnschten Werte einzusetzen (z.B.
sin(x), -2*pi und 2*pi).
Wenn man eine kleinere Anzahl an horizontalen Unterteilungen
nimmt, verkⁿrzt sich die Rechenzeit. Das Ergebnis ist meist
noch gut, wenn die Zahl einen Wert von 100 nicht unter-
schreitet.
4.2.2 "3D-" Funktionsplotter von RxR nach R
Diese Art von Funktionsplotter erzeugt die sch÷n anzusehen-
den Netzgrafiken, in der die Argumente als X- und Y-, und
die Funktionswerte als Z-Koordinate interpetiert werden.
Auch das kann man emulieren. Im Definitionsbereich-Editor
mu▀ man sich dazu ein Netz generieren. Das ist in diesem
Falle ⁿblicherweise ein quadratisches Fischernetz. Spinnen-
netze mit der Mitte im Ursprung eignen sich zum Abbilden von
rotationssymmetrischen Funktionen. Aber auch jede andere Figur
kann man abbilden.
Dann gibt man im Einstellungs-Window als Funktion ein:
f(z) = x+y/2+i*(y/2+g(x,y))
Fⁿr g(x,y) ist die entsprechende Funktion einzusetzen, z.B.
sin(x+y)
1/(.5+x^2+y^2)
exp(x+y)
Der einzige Nachteil ist, da▀ die verdeckten Linien mitge-
zeichnet werden.
4.2.3 Funktionsplotter von R nach RxR
Relativ selten anzutreffen sind Plotter, die Funktionen ab-
bilden, die aus einer Variablen eine zweidimensionale Koor-
dinate erzeugen. Bekanntestes Beispiel dafⁿr sind die soge-
nannten Lissajouz-Figuren, welche nΣmlich dann auftreten,
wenn die Funktion periodisch ist. Das Programm "OSZI AMIGA"
beschΣftigt sich ausgiebigst damit.
Will man solch eine Funktion mit dem KomplexPlotter darstel-
len, ist folgender Weg zu beschreiten:
Als Definitionsbereich-Figur nimmt man wie in 4.2.1 einen
horizontalen Strich. Als Funktion trΣgt man ein:
f(z) = gx(x)+i*gy(x)
Zum Beispiel erzeugt
f(z) = sin(x)+i*cos(x+.2*x)
eine in sich geschlossene Lissajouz-Figur (bei geeigneter
Wahl eines Intervalls fⁿr x). Man kann natⁿrlich auch
nichtperiodische Funktionen verwenden.
5. Schlu▀
Ich hoffe, ich konnte mit dieser Anleitung den Nutzen des
Programms verdeutlichen.
Fⁿr die meisten Menschen bietet das Programm Einiges zum
Herumexperimentieren. Mathematisch bewanderte k÷nnen das
Programm natⁿrlich auch mehr angewandt orientiert einsetzen.
Wie auch immer, ich wⁿnsche damit viel Spa▀ !
Michael Gentner