home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Usenet 1994 October / usenetsourcesnewsgroupsinfomagicoctober1994disk1.iso / answers / fractal-faq < prev    next >
Internet Message Format  |  1993-12-14  |  64KB

  1. Path: senator-bedfellow.mit.edu!bloom-beacon.mit.edu!nic.hookup.net!swrinde!cs.utexas.edu!howland.reston.ans.net!agate!sprite.berkeley.edu!shirriff
  2. From: shirriff@sprite.berkeley.edu (Ken Shirriff)
  3. Newsgroups: sci.fractals,news.answers,sci.answers
  4. Subject: Fractal Questions and Answers
  5. Supersedes: <fractal-faq_754533075@sprite.Berkeley.EDU>
  6. Followup-To: sci.fractals
  7. Date: 13 Dec 1993 23:57:50 GMT
  8. Organization: University of California, Berkeley
  9. Lines: 1315
  10. Approved: news-answers-request@MIT.Edu
  11. Expires: 7 Jan 1994 00:00:36 GMT
  12. Message-ID: <fractal-faq_755827236@sprite.Berkeley.EDU>
  13. NNTP-Posting-Host: jaywalk.berkeley.edu
  14. Summary: Fractal software, algorithms, definitions, and references.
  15. Keywords: fractals, chaos, Mandelbrot
  16. Xref: senator-bedfellow.mit.edu sci.fractals:2727 news.answers:15739 sci.answers:728
  17.  
  18. Archive-name: fractal-faq
  19. Last-modified: Dec 13, 1993
  20.  
  21. The international computer network Usenet contains discussions on a variety of
  22. topics.  The Usenet newsgroup "sci.fractals" is devoted to discussions on
  23. fractals.  Since many common questions reoccur during the discussions, I have
  24. compiled this "Frequently Asked Questions" file, consisting of questions and
  25. answers contributed by many participants.  This file also lists various pro-
  26. grams and papers that can be accessed over the Internet by using "anonymous
  27. ftp".  This file is not intended as a general introduction to fractals, or a
  28. set of rigorous definitions, but rather a useful summary from sci.fractals.
  29.  
  30. * As a new feature, the fractal FAQ has some links for use with the World Wide
  31. Web.  It can be accessed with a program such as xmosaic at URL
  32. http://www.cis.ohio-state.edu/hypertext/faq/usenet/fractal-faq/faq.html .
  33.  
  34. The questions which are answered are:
  35. Q1: I want to learn about fractals.  What should I read first?
  36. Q2: What is a fractal? What are some examples of fractals?
  37. Q3: What is chaos?
  38. Q4a: What is fractal dimension? How is it calculated?
  39. Q4b: What is topological dimension?
  40. Q5: What is a strange attractor?
  41. Q6a: What is the Mandelbrot set?
  42. Q6b: How is the Mandelbrot set actually computed?
  43. Q6c: Why do you start with z=0?
  44. Q6d: What are the bounds of the Mandelbrot set?  When does it diverge?
  45. Q6e: How can I speed up Mandelbrot set generation?
  46. Q6f: What is the area of the Mandelbrot set?
  47. Q6g: What can you say about the structure of the Mandelbrot set?
  48. Q6h: Is the Mandelbrot set connected?
  49. Q7a: What is the difference between the Mandelbrot set and a Julia set?
  50. Q7b: What is the connection between the Mandelbrot set and Julia sets?
  51. Q7c: How is a Julia set actually computed?
  52. Q7d: What are some Julia set facts?
  53. Q8a: How does complex arithmetic work?
  54. Q8b: How does quaternion arithmetic work?
  55. Q9: What is the logistic equation?
  56. Q10: What is Feigenbaum's constant?
  57. Q11a: What is an iterated function system (IFS)?
  58. Q11b: What is the state of fractal compression?
  59. Q12a: How can you make a chaotic oscillator?
  60. Q12b: What are laboratory demonstrations of chaos?
  61. Q13: What is some information on fractal music?
  62. Q14: How are fractal mountains generated?
  63. Q15: What are plasma clouds?
  64. Q16a: Where are the popular periodically-forced Lyapunov fractals described?
  65. Q16b: What are Lyapunov exponents?
  66. Q16c: How can Lyapunov exponents be calculated?
  67. Q17: Where can I get fractal T-shirts and posters?
  68. Q18: How can I take photos of fractals?
  69. Q19: How can 3-D fractals be generated?
  70. Q20: What are some general references on fractals and chaos?
  71. Q21a: What is Fractint?
  72. Q21b: How does Fractint achieve its speed?
  73. Q22: Where can I obtain software packages to generate fractals?
  74. Q23a: How does anonymous ftp work?
  75. Q23b: What if I can't use ftp to access files?
  76. Q24a: Where are fractal pictures archived?
  77. Q24b: How do I view fractal pictures from alt.binaries.pictures.fractals?
  78. Q25: Where can I obtain fractal papers?
  79. Q26: How can I join the BITNET fractal discussion?
  80.  
  81. If you are viewing this file with a newsreaders such as "rn" or "trn", you can
  82. search for a particular question by using "g^Q5" (that's lower-case g, up-
  83. arrow, Q, and a number) where "5" is the question you wish.  Or you may browse
  84. forward using <control-G> to search for a Subject: line.
  85.  
  86. This file is normally posted to the Usenet groups sci.fractals, news.answers,
  87. and sci.answers about every two weeks.  Like most FAQs, the most recent copy
  88. of this FAQ can be obtained over the Internet for free by "anonymous ftp" to
  89. rtfm.mit.edu [18.70.0.209]; it is in /pub/usenet/news.answers/fractal-faq.
  90.  
  91. I am happy to receive more information to add to this file.  Also, let me know
  92. if you find mistakes.  Please send additions, comments, errors, etc. to Ken
  93. Shirriff (shirriff@cs.Berkeley.EDU).
  94.  
  95. This file is Copyright 1993 Ken Shirriff.  Permission is given for non-profit
  96. distribution of this file, as long as the copyright notice and the list of
  97. contributors remain attached.  However, I would like to be informed if you
  98. distribute this file on other systems, so I have an idea of where it is.  Con-
  99. tact me for more information on distribution.
  100.  
  101.  
  102. ------------------------------
  103.  
  104. Subject: Learning about fractals
  105.  
  106. Q1: I want to learn about fractals.  What should I read first?
  107. A1: _Chaos_ is a good book to get a general overview and history.  _Fractals
  108. Everywhere_ is a textbook on fractals that describes what fractals are and how
  109. to generate them, but it requires knowing intermediate analysis.  _Chaos,
  110. Fractals, and Dynamics_ is also a good start.  There is a longer book list at
  111. the end of this file (see "What are some general references?").
  112.  
  113. ------------------------------
  114.  
  115. Subject: What is a fractal?
  116.  
  117. Q2: What is a fractal? What are some examples of fractals?
  118. A2: A fractal is a rough or fragmented geometric shape that can be subdivided
  119. in parts, each of which is (at least approximately) a reduced-size copy of the
  120. whole.  Fractals are generally self-similar and independent of scale.
  121.  
  122. There are many mathematical structures that are fractals; e.g.  Sierpinski
  123. triangle, Koch snowflake, Peano curve, Mandelbrot set,  and Lorenz attractor.
  124. Fractals also describe many real-world objects, such as clouds, mountains,
  125. turbulence, and coastlines, that do not correspond to simple geometric shapes.
  126.  
  127. Benoit Mandelbrot gives a mathematical definition of a fractal as a set for
  128. which the Hausdorff Besicovich dimension strictly exceeds the topological di-
  129. mension.  However, he is not satisfied with this definition as it excludes
  130. sets one would consider fractals.
  131.  
  132. ------------------------------
  133.  
  134. Subject: Chaos
  135.  
  136. Q3: What is chaos?
  137. A3: Chaos is apparently unpredictable behavior arising in a deterministic sys-
  138. tem because of great sensitivity to initial conditions.  Chaos arises in a
  139. dynamical system if two arbitrarily close starting points diverge exponential-
  140. ly, so that their future behavior is eventually unpredictable.
  141.  
  142. Weather is considered chaotic since arbitrarily small variations in initial
  143. conditions can result in radically different weather later.  This may limit
  144. the possibilities of long-term weather forecasting.  (The canonical example is
  145. the possibility of a butterfly's sneeze affecting the weather enough to cause
  146. a hurricane weeks later.)
  147.  
  148. Devaney defines a function as chaotic if it has sensitive dependence on ini-
  149. tial conditions, it is topologically transitive, and periodic points are
  150. dense.  In other words, it is unpredictable, indecomposable, and yet contains
  151. regularity.
  152.  
  153. Allgood and Yorke define chaos as a trajectory that is exponentially unstable
  154. and neither periodic or asymptotically periodic.  That is, it oscillates ir-
  155. regularly without settling down.
  156.  
  157. ------------------------------
  158.  
  159. Subject: Fractal dimension
  160.  
  161. Q4a: What is fractal dimension? How is it calculated?
  162. A4a: A common type of fractal dimension is the Hausdorff-Besicovich Dimension,
  163. but there are several different ways of computing fractal dimension.
  164.  
  165. Roughly, fractal dimension can be calculated by taking the limit of the quo-
  166. tient of the log change in object size and the log change in measurement
  167. scale, as the measurement scale approaches zero.  The differences come in what
  168. is exactly meant by "object size" and what is meant by "measurement scale" and
  169. how to get an average number out of many different parts of a geometrical ob-
  170. ject.  Fractal dimensions quantify the static *geometry* of an object.
  171.  
  172. For example, consider a straight line.  Now blow up the line by a factor of
  173. two.  The line is now twice as long as before.  Log 2 / Log 2 = 1, correspond-
  174. ing to dimension 1.  Consider a square.  Now blow up the square by a factor of
  175. two.  The square is now 4 times as large as before (i.e. 4 original squares
  176. can be placed on the original square).  Log 4 / log 2 = 2, corresponding to
  177. dimension 2 for the square.  Consider a snowflake curve formed by repeatedly
  178. replacing ___ with _/\_, where each of the 4 new lines is 1/3 the length of
  179. the old line.  Blowing up the snowflake curve by a factor of 3 results in a
  180. snowflake curve 4 times as large (one of the old snowflake curves can be
  181. placed on each of the 4 segments _/\_).  Log 4 / log 3 = 1.261...  Since the
  182. dimension 1.261 is larger than the dimension 1 of the lines making up the
  183. curve, the snowflake curve is a fractal.
  184.  
  185. Fractal dimension references:
  186.  
  187. [1]  J. P. Eckmann and D. Ruelle, _Reviews of Modern Physics_ 57, 3 (1985),
  188. pp. 617-656.
  189.  
  190. [2]  K. J. Falconer, _The Geometry of Fractal Sets_, Cambridge Univ.  Press,
  191. 1985.
  192.  
  193. [3]  T. S. Parker and L. O. Chua, _Practical Numerical Algorithms for Chaotic
  194. Systems_, Springer Verlag, 1989.
  195.  
  196. [4]  H. Peitgen and D. Saupe, eds., _The Science of Fractal Images_,
  197. Springer-Verlag Inc., New York, 1988.  ISBN 0-387-96608-0.  This book contains
  198. many color and black and white photographs, high level math, and several
  199. pseudocoded algorithms.
  200.  
  201. [5]  G. Procaccia, _Physica D_ 9 (1983), pp. 189-208.
  202.  
  203. [6]  J. Theiler, _Physical Review A_ 41 (1990), pp. 3038-3051.
  204.  
  205. References on how to estimate fractal dimension:
  206.  
  207. 1.  E. Peters, _Chaos and Order in the Capital Markets_, New York, 1991.  ISBN
  208. 0-471-53372-6 Discusses methods of computing fractal dimension.  Includes
  209. several short programs for nonlinear analysis.
  210.  
  211. 2.  J. Theiler, Estimating Fractal Dimension, _Journal of the Optical Society
  212. of America A-Optics and Image Science_ 7, 6 (June 1990), pp. 1055-1073.
  213.  
  214. There are some programs available to compute fractal dimension.  They are
  215. listed in a section below (see "Fractal software").
  216.  
  217. Q4b: What is topological dimension?
  218. A4b: Topological dimension is the "normal" idea of dimension; a point has
  219. topological dimension 0, a line has topological dimension 1, a surface has
  220. topological dimension 2, etc.
  221.  
  222. For a rigorous definition:
  223.  
  224. A set has topological dimension 0 if every point has arbitrarily small
  225. neighborhoods whose boundaries do not intersect the set.
  226.  
  227. A set S has topological dimension k if each point in S has arbitrarily small
  228. neighborhoods whose boundaries meet S in a set of dimension k-1, and k is the
  229. least nonnegative integer for which this holds.
  230.  
  231. ------------------------------
  232.  
  233. Subject: Strange attractors
  234.  
  235. Q5: What is a strange attractor?
  236. A5: A strange attractor is the limit set of a chaotic trajectory.  A strange
  237. attractor is an attractor that is topologically distinct from a periodic orbit
  238. or a limit cycle.  A strange attractor can be considered a fractal attractor.
  239. An example of a strange attractor is the Henon attractor.
  240.  
  241. Consider a volume in phase space defined by all the initial conditions a
  242. system may have.  For a dissipative system, this volume will shrink as the
  243. system evolves in time (Liouville's Theorem).  If the system is sensitive to
  244. initial conditions, the trajectories of the points defining initial conditions
  245. will move apart in some directions, closer in others, but there will be a net
  246. shrinkage in volume.  Ultimately, all points will lie along a fine line of
  247. zero volume.  This is the strange attractor.  All initial points in phase
  248. space which ultimately land on the attractor form a Basin of Attraction.  A
  249. strange attractor results if a system is sensitive to initial conditions and
  250. is not conservative.
  251.  
  252. Note: While all chaotic attractors are strange, not all strange attractors are
  253. chaotic.  Reference:
  254.  
  255. 1.  Grebogi, et al., Strange Attractors that are not Chaotic, _Physica D_ 13
  256. (1984), pp. 261-268.
  257.  
  258. ------------------------------
  259.  
  260. Subject: The Mandelbrot set
  261.  
  262. Q6a: What is the Mandelbrot set?
  263. A6a: The Mandelbrot set is the set of all complex c such that iterating z ->
  264. z^2+c does not go to infinity (starting with z=0).
  265.  
  266. Q6b: How is the Mandelbrot set actually computed?
  267. A6b: The basic algorithm is:
  268. For each pixel c, start with z=0.  Repeat z=z^2+c up to N times, exiting if
  269. the magnitude of z gets large.
  270. If you finish the loop, the point is probably inside the Mandelbrot set.  If
  271. you exit, the point is outside and can be colored according to how many
  272. iterating were completed.  You can exit if |z|>2, since if z gets this big it
  273. will go to infinity.  The maximum number of iterations, N, can be selected as
  274. desired, for instance 100.  Larger N will give sharper detail but take longer.
  275.  
  276. Q6c: Why do you start with z=0?
  277. A6c: Zero is the critical point of z^2+c, that is, a point where d/dz (z^2+c)
  278. = 0.  If you replace z^2+c with a different function, the starting value will
  279. have to be modified.  E.g. for z->z^2+z+c, the critical point is given by
  280. 2z+1=0, so start with z=-1/2.  In some cases, there may be multiple critical
  281. values, so they all should be tested.
  282.  
  283. Critical points are important because by a result of Fatou: every attracting
  284. cycle for a polynomial or rational function attracts at least one critical
  285. point.  Thus, testing the critical point shows if there is any stable
  286. attractive cycle.  See also:
  287.  
  288. 1.  M. Frame and J. Robertson, A Generalized Mandelbrot Set and the Role of
  289. Critical Points, _Computers and Graphics_ 16, 1 (1992), pp. 35-40.
  290.  
  291. Note that you can precompute the first Mandelbrot iteration by starting with
  292. z=c instead of z=0, since 0^2+c=c.
  293.  
  294. Q6d: What are the bounds of the Mandelbrot set?  When does it diverge?
  295. A6d: The Mandelbrot set lies within |c|<=2.  If |z| exceeds 2, the z sequence
  296. diverges.  Proof: if |z|>2, then |z^2+c| >= |z^2|-|c| > 2|z|-|c|.  If
  297. |z|>=|c|, then 2|z|-|c| > |z|.  So, if |z|>2 and |z|>=c, |z^2+c|>|z|, so the
  298. sequence is increasing.  (It takes a bit more work to prove it is unbounded
  299. and diverges.) Also, note that z1=c, so if |c|>2, the sequence diverges.
  300.  
  301. Q6e: How can I speed up Mandelbrot set generation?
  302. A6e: See the information on speed below (see "Fractint").  Also see:
  303.  
  304. 1.  R. Rojas, A Tutorial on Efficient Computer Graphic Representations of the
  305. Mandelbrot Set, _Computers and Graphics_ 15, 1 (1991), pp. 91-100.
  306.  
  307. Q6f: What is the area of the Mandelbrot set?
  308. A6f: Ewing and Schober computed an area estimate using 240,000 terms of the
  309. Laurent series.  The result is 1.7274...  However, the Laurent series
  310. converges very slowly, so this is a poor estimate. A project to measure the
  311. area via counting pixels on a very dense grid shows an area around 1.5066.
  312. (Contact mrob@world.std.com for more information.) Hill and Fisher used
  313. distance estimation techniques to rigorously bound the area and found the area
  314. is between 1.503 and 1.5701.
  315.  
  316. References:
  317.  
  318. 1.  J. H. Ewing and G. Schober, The Area of the Mandelbrot Set, _Numer. Math._
  319. 61 (1992), pp. 59-72.
  320.  
  321. 2.  Y. Fisher and J. Hill, Bounding the Area of the Mandelbrot Set,
  322. _Numerische Mathematik_, .  (Submitted for publication).
  323.  
  324.  
  325. Q6g: What can you say about the structure of the Mandelbrot set?
  326. A6g: Most of what you could want to know is in Branner's article in _Chaos and
  327. Fractals: The Mathematics Behind the Computer Graphics_.
  328.  
  329. Note that the Mandelbrot set in general is _not_ strictly self-similar; the
  330. tiny copies of the Mandelbrot set are all slightly different, mainly because
  331. of the thin threads connecting them to the main body of the Mandelbrot set.
  332. However, the Mandelbrot set is quasi-self-similar.  The Mandelbrot set is
  333. self-similar under magnification in neighborhoods of Misiurewicz points,
  334. however (e.g. -.1011+.9563i).  The Mandelbrot set is conjectured to be self-
  335. similar around generalized Feigenbaum points (e.g.  -1.401155 or
  336. -.1528+1.0397i), in the sense of converging to a limit set.  References:
  337.  
  338. 1.  T. Lei, Similarity between the Mandelbrot set and Julia Sets,
  339. _Communications in Mathematical Physics_ 134 (1990), pp. 587-617.
  340.  
  341. 2.  J. Milnor, Self-Similarity and Hairiness in the Mandelbrot Set, in
  342. _Computers in Geometry and Topology_, M. Tangora (editor), Dekker, New York,
  343. pp. 211-257.
  344.  
  345. The "external angles" of the Mandelbrot set (see Douady and Hubbard or brief
  346. sketch in "Beauty of Fractals") induce a Fibonacci partition onto it.
  347.  
  348. The boundary of the Mandelbrot set and the Julia set of a generic c in M have
  349. Hausdorff dimension 2 and have topological dimension 1.  The proof is based on
  350. the study of the bifurcation of parabolic periodic points.  (Since the
  351. boundary has empty interior, the topological dimension is less than 2, and
  352. thus is 1.) Reference:
  353.  
  354. 1.  M. Shishikura, The Hausdorff Dimension of the Boundary of the Mandelbrot
  355. Set and Julia Sets, The paper is available from anonymous ftp:
  356. math.sunysb.edu:/preprints/ims91-7.ps.Z [129.49.18.1]..
  357.  
  358. Q6h: Is the Mandelbrot set connected?
  359. A6h: The Mandelbrot set is simply connected.  This follows from a theorem of
  360. Douady and Hubbard that there is a conformal isomorphism from the complement
  361. of the Mandelbrot set to the complement of the unit disk.  (In other words,
  362. all equipotential curves are simple closed curves.) It is conjectured that the
  363. Mandelbrot set is locally connected, and thus pathwise connected, but this is
  364. currently unproved.
  365.  
  366. Connectedness definitions:
  367.  
  368. Connected: X is connected if there are no proper closed subsets A and B of X
  369. such that A union B = X, but A intersect B is empty.  I.e. X is connected if
  370. it is a single piece.
  371.  
  372. Simply connected: X is simply connected if it is connected and every closed
  373. curve in X can be deformed in X to some constant closed curve.  I.e. X is
  374. simply connected if it has no holes.
  375.  
  376. Locally connected: X is locally connected if for every point p in X, for every
  377. open set U containing p, there is an open set V containing p and contained in
  378. the connected component of p in U.  I.e. X is locally connected if every
  379. connected component of every open subset is open in X.
  380.  
  381. Arcwise (or path) connected: X is arcwise connected if every two points in X
  382. are joined by an arc in X.
  383.  
  384. (The definitions are from _Encyclopedic Dictionary of Mathematics_.)
  385.  
  386. ------------------------------
  387.  
  388. Subject: Julia sets
  389.  
  390. Q7a: What is the difference between the Mandelbrot set and a Julia set?
  391. A7a: The Mandelbrot set iterates z^2+c with z starting at 0 and varying c.
  392. The Julia set iterates z^2+c for fixed c and varying starting z values.  That
  393. is, the Mandelbrot set is in parameter space (c-plane) while the Julia set is
  394. in dynamical or variable space (z-plane).
  395.  
  396. Q7b: What is the connection between the Mandelbrot set and Julia sets?
  397. A7b: Each point c in the Mandelbrot set specifies the geometric structure of
  398. the corresponding Julia set.  If c is in the Mandelbrot set, the Julia set
  399. will be connected.  If c is not in the Mandelbrot set, the Julia set will be a
  400. Cantor dust.
  401.  
  402. Q7c: How is a Julia set actually computed?
  403. A7c: The Julia set can be computed by iteration similar to the Mandelbrot
  404. computation.  Alternatively, points on the boundary of the Julia set can be
  405. computed quickly by using inverse iterations.  This technique is particularly
  406. useful when the Julia set is a Cantor Set.
  407.  
  408. Q7d: What are some Julia set facts?
  409. A7d: The Julia set of any rational map of degree greater than one is perfect
  410. (hence in particular uncountable and nonempty), completely invariant, equal to
  411. the Julia set of any iterate of the function, and also is the boundary of the
  412. basin of attraction of every attractor for the map.
  413.  
  414. Julia set references:
  415.  
  416. 1.  A. F. Beardon, _Iteration of Rational Functions : Complex Analytic
  417. Dynamical Systems_, Springer-Verlag, New York, 1991.
  418.  
  419. 2.  P. Blanchard, Complex Analytic Dynamics on the Riemann Sphere, _Bull. of
  420. the Amer. Math. Soc_ 11, 1 (July 1984), pp. 85-141.  This article is a
  421. detailed discussion of the mathematics of iterated complex functions. It
  422. covers most things about Julia sets of rational polynomial functions.
  423.  
  424. ------------------------------
  425.  
  426. Subject: Complex arithmetic and quaternion arithmetic
  427.  
  428. Q8a: How does complex arithmetic work?
  429. A8a: It works mostly like regular algebra with a couple additional formulas:
  430. (note: a,b are reals, x,y are complex, i is the square root of -1)
  431. Powers of i: i^2 = -1
  432. Addition: (a+i*b)+(c+i*d) = (a+c)+i*(b+d)
  433. Multiplication: (a+i*b)*(c+i*d) = a*c-b*d + i*(a*d+b*c)
  434. Division: (a+i*b)/(c+i*d) = (a+i*b)*(c-i*d)/(c^2+d^2)
  435. Exponentiation: exp(a+i*b) = exp(a)(cos(b)+i*sin(b))
  436. Sine: sin(x) = (exp(i*x)-exp(-i*x))/(2*i)
  437. Cosine: cos(x) = (exp(i*x)+exp(-i*x))/2
  438. Magnitude: |a+i*b| = sqrt(a^2+b^2)
  439. Log: log(a+i*b) = log(|a+i*b|)+i*arctan(b/a) (Note: log is multivalued.)
  440. Log (polar coordinates): log(r*e^(i*theta)) = log(r)+i*theta
  441. Complex powers: x^y = exp(y*log(x))
  442. DeMoivre's theorem: x^a = r^a * [cos(a*theta) + i * sin(a*theta)]
  443. More details can be found in any complex analysis book.
  444.  
  445. Q8b: How does quaternion arithmetic work?
  446. A8b: Quaternions have 4 components (a+ib+jc+kd) compared to the two of complex
  447. numbers.  Operations such as addition and multiplication can be performed on
  448. quaternions, but multiplication is not commutative.  Quaternions satisfy the
  449. rules i^2=j^2=k^2=-1, ij=-ji=k, jk=-kj=i, ki=-ik=j.
  450.  
  451. ------------------------------
  452.  
  453. Subject: Logistic equation
  454.  
  455. Q9: What is the logistic equation?
  456. A9: It models animal populations.  The equation is x -> c*x*(1-x), where x is
  457. the population (between 0 and 1) and c is a growth constant.  Iteration of
  458. this equation yields the period doubling route to chaos.  For c between 1 and
  459. 3, the population will settle to a fixed value.  At 3, the period doubles to
  460. 2; one year the population is very high, causing a low population the next
  461. year, causing a high population the following year.  At 3.45, the period
  462. doubles again to 4, meaning the population has a four year cycle.  The period
  463. keeps doubling, faster and faster, at 3.54, 3.564, 3.569, and so forth.  At
  464. 3.57, chaos occurs; the population never settles to a fixed period.  For most
  465. c values between 3.57 and 4, the population is chaotic, but there are also
  466. periodic regions.  For any fixed period, there is some c value that will yield
  467. that period.  See "An Introduction to Chaotic Dynamical Systems" for more
  468. information.
  469.  
  470. ------------------------------
  471.  
  472. Subject: Feigenbaum's constant
  473.  
  474. Q10: What is Feigenbaum's constant?
  475. A10: In a period doubling cascade, such as the logistic equation, consider the
  476. parameter values where period-doubling events occur (e.g. r[1]=3, r[2]=3.45,
  477. r[3]=3.54, r[4]=3.564...).  Look at the ratio of distances between consecutive
  478. doubling parameter values; let delta[n] = (r[n+1]-r[n])/(r[n+2]-r[n+1]).  Then
  479. the limit as n goes to infinity is Feigenbaum's (delta) constant.
  480.  
  481. Based on independent computations by Jay Hill and Keith Briggs, it has the
  482. value 4.669201609102990671853...  Note: several books have published incorrect
  483. values starting 4.66920166...; the last repeated 6 is a typographical error.
  484.  
  485. The interpretation of the delta constant is as you approach chaos, each
  486. periodic region is smaller than the previous by a factor approaching 4.669...
  487. Feigenbaum's constant is important because it is the same for any function or
  488. system that follows the period-doubling route to chaos and has a one-hump
  489. quadratic maximum.  For cubic, quartic, etc. there are different Feigenbaum
  490. constants.
  491.  
  492. Feigenbaum's alpha constant is not as well known; it has the value
  493. 2.502907875095.  This constant is the scaling factor between x values at
  494. bifurcations.  Feigenbaum says, "Asymptotically, the separation of adjacent
  495. elements of period-doubled attractors is reduced by a constant value [alpha]
  496. from one doubling to the next".  If d[n] is the algebraic distance between
  497. nearest elements of the attractor cycle of period 2^n, then d[n]/d[n+1]
  498. converges to -alpha.
  499.  
  500. References:
  501.  
  502. 1.  K. Briggs, How to calculate the Feigenbaum constants on your PC, _Aust.
  503. Math.  Soc.  Gazette_ 16 (1989), p. 89.
  504.  
  505. 2.  K. Briggs, A precise calculation of the Feigenbaum constants, _Mathematics
  506. of Computation_ 57 (1991), pp. 435-439.
  507.  
  508. 3.  K. Briggs, G. R. W. Quispel and C. Thompson, Feigenvalues for Mandelsets,
  509. _J. Phys._ A24 (1991), pp. 3363-3368.
  510.  
  511. 4.  M. Feigenbaum, The Universal Metric Properties of Nonlinear
  512. Transformations, _J. Stat. Phys_ 21 (1979), p. 69.
  513.  
  514. 5.  M. Feigenbaum, Universal Behaviour in Nonlinear Systems, _Los Alamos Sci_
  515. 1 (1980), pp. 1-4.  Reprinted in _Universality in Chaos_ , compiled by P.
  516. Cvitanovic.
  517.  
  518. ------------------------------
  519.  
  520. Subject: Iterated function systems and compression
  521.  
  522. Q11a: What is an iterated function system (IFS)?
  523. A11a: If a fractal is self-similar, you can specify mappings that map the
  524. whole onto the parts.  Iteration of these mappings will result in convergence
  525. to the fractal attractor.  An IFS consists of a collection of these (usually
  526. affine) mappings.  If a fractal can be described by a small number of
  527. mappings, the IFS is a very compact description of the fractal.  An iterated
  528. function system is By taking a point and repeatedly applying these mappings
  529. you end up with a collection of points on the fractal.  In other words,
  530. instead of a single mapping x -> F(x), there is a collection of (usually
  531. affine) mappings, and random selection chooses which mapping is used.
  532.  
  533. For instance, the Sierpinski triangle can be decomposed into three self-
  534. similar subtriangles.  The three contractive mappings from the full triangle
  535. onto the subtriangles forms an IFS.  These mappings will be of the form
  536. "shrink by half and move to the top, left, or right".
  537.  
  538. Iterated function systems can be used to make things such as fractal ferns and
  539. trees and are also used in fractal image compression.  _Fractals Everywhere_
  540. by Barnsley is mostly about iterated function systems.
  541.  
  542. The simplest algorithm to display an IFS is to pick a starting point, randomly
  543. select one of the mappings, apply it to generate a new point, plot the new
  544. point, and repeat with the new point.  The displayed points will rapidly
  545. converge to the attractor of the IFS.
  546.  
  547. Q11b: What is the state of fractal compression?
  548. A11b: Fractal compression is quite controversial, with some people claiming it
  549. doesn't work well, and others claiming it works wonderfully.  The basic idea
  550. behind fractal image compression is to express the image as an iterated
  551. function system (IFS).  The image can then be displayed quickly and zooming
  552. will generate infinite levels of (synthetic) fractal detail.  The problem is
  553. how to efficiently generate the IFS from the image.
  554.  
  555. Barnsley, who invented fractal image compression, has a patent on fractal
  556. compression techniques (4,941,193).  Barnsley's company, Iterated Systems Inc,
  557. has a line of products including a Windows viewer, compressor, magnifier
  558. program, and hardware assist board.
  559.  
  560. Fractal compression is covered in detail in the comp.compression FAQ file
  561. (See "compression-faq").  Ftp: rtfm.mit.edu:/pub/usenet/comp.compression
  562. [18.70.0.209].
  563.  
  564. Two books describing fractal image compression are:
  565.  
  566. 1.  M. Barnsley, _Fractals Everywhere_, Academic Press Inc., 1988.  ISBN 0-
  567. 12-079062-9.  This is an excellent text book on fractals.  This is probably
  568. the best book for learning about the math underpinning fractals. It is also a
  569. good source for new fractal types.
  570.  
  571. 2.  M. Barnsley and L. Hurd, _Fractal Image Compression_, Jones and Bartlett.
  572. ISBN 0-86720-457-5. This book explores the science of the fractal transform in
  573. depth. The authors begin with a foundation in information theory and present
  574. the technical background for fractal image compression. In so doing, they
  575. explain the detailed workings of the fractal transform. Algorithms are
  576. illustrated using source code in C.
  577.  
  578. The October 1993 issue of Byte discussed fractal compression.  You can ftp
  579. sample code: ftp.uu.net:/published/byte/93oct/fractal.exe .
  580.  
  581. An introductory paper is:
  582.  
  583. 1.  A. E. Jacquin, Image Coding Based on a Fractal Theory of Iterated
  584. Contractive Image Transformation, _IEEE Transactions on Image Processing_,
  585. January 1992.
  586.  
  587. A fractal decompression demo program is available by anonymous ftp:
  588. lyapunov.ucsd.edu:/pub/inls-ucsd/fractal-2.0 [132.239.86.10].
  589.  
  590. Another MS-DOS compression demonstration program is available by anonymous
  591. ftp: lyapunov.ucsd.edu:/pub/young-fractal .
  592.  
  593. ------------------------------
  594.  
  595. Subject: Chaotic demonstrations
  596.  
  597. Q12a: How can you make a chaotic oscillator?
  598. A12a: Two references are:
  599.  
  600. 1.  T. S. Parker and L. O. Chua, Chaos: a tutorial for engineers, _Proceedings
  601. IEEE_ 75 (1987), pp. 982-1008.
  602.  
  603. 2.  _New Scientist_, June 30, 1990, p. 37.
  604.  
  605. Q12b: What are laboratory demonstrations of chaos?
  606. A12b: Two references are:
  607.  
  608. 1.  K. Briggs, Simple Experiments in Chaotic Dynamics, _American Journal of
  609. Physics_ 55, 12 (Dec 1987), pp. 1083-1089.
  610.  
  611. 2.  J. L. Snider, Simple Demonstration of Coupled Oscillations, _American
  612. Journal of Physics_ 56, 3 (Mar 1988), p. 200.
  613.  
  614. ------------------------------
  615.  
  616. Subject: Fractal music
  617.  
  618. Q13: What is some information on fractal music?
  619. A13: One fractal recording is "The Devil's Staircase: Composers and Chaos" on
  620. the Soundprint label.  Some references, many from an unpublished article by
  621. Stephanie Mason, are:
  622.  
  623. 1.  R. Bidlack, Chaotic Systems as Simple (But Complex) Compositional
  624. Algorithms, _Computer Music Journal_, Fall 1992.
  625.  
  626. 2.  C. Dodge, A Musical Fractal, _Computer Music Journal_ 12, 13 (Fall 1988),
  627. p. 10.
  628.  
  629. 3.  K. J. Hsu and A. Hsu, Fractal Geometry of Music, _Proceedings of the
  630. National Academy of Science, USA_ 87 (1990), pp. 938-941.
  631.  
  632. 4.  K. J. Hsu and A. Hsu, Self-similatrity of the '1/f noise' called music.,
  633. _Proceedings of the National Academy of Science USA_ 88 (1991), pp. 3507-3509.
  634.  
  635. 5.  C. Pickover, _Mazes for the Mind: Computers and the Unexpected_, St.
  636. Martin's Press, New York, 1992.
  637.  
  638. 6.  P. Prusinkiewicz, Score Generation with L-Systems, _International Computer
  639. Music Conference 86 Proceedings_, 1986, pp. 455-457.
  640.  
  641. 7.  P. Prusinkiewicz and A. Lindenmayer, _The Algorithmic Beauty of Plants_,
  642. Springer-Verlag, NY, 1990.  ISBN 0-387-97297-8. A very good book L-systems,
  643. which can be used to model plants in a very realistic fashion.  The book
  644. contains many pictures.
  645.  
  646. 8.  P. Przemyslaw and J. Hanan, _Lindenmayer Systems, Fractals, and Plants_,
  647. Springer-Verlag, New York, 1989.
  648.  
  649. 9.  _Byte_ 11, 6 (June 1986), pp. 185-196.
  650.  
  651. ------------------------------
  652.  
  653. Subject: Fractal mountains
  654.  
  655. Q14: How are fractal mountains generated?
  656. A14: Usually by a method such as taking a triangle, dividing it into 3
  657. subtriangles, and perturbing the center point.  This process is then repeated
  658. on the subtriangles.  This results in a 2-d table of heights, which can then
  659. be rendered as a 3-d image.  One reference is:
  660.  
  661. 1.  M. Ausloos, _Proc. R. Soc. Lond. A_ 400 (1985), pp. 331-350.
  662.  
  663. ------------------------------
  664.  
  665. Subject: Plasma clouds
  666.  
  667. Q15: What are plasma clouds?
  668. A15: They are a Fractint fractal and are similar to fractal mountains.
  669. Instead of a 2-d table of heights, the result is a 2-d table of intensities.
  670. They are formed by repeatedly subdividing squares.
  671.  
  672. ------------------------------
  673.  
  674. Subject: Lyapunov fractals
  675.  
  676. Q16a: Where are the popular periodically-forced Lyapunov fractals described?
  677. A16a: See:
  678.  
  679. 1.  A. K. Dewdney, Leaping into Lyapunov Space, _Scientific American_, Sept.
  680. 1991, pp. 178-180.
  681.  
  682. 2.  M. Markus and B. Hess, Lyapunov Exponents of the Logistic Map with
  683. Periodic Forcing, _Computers and Graphics_ 13, 4 (1989), pp. 553-558.
  684.  
  685. 3.  M. Markus, Chaos in Maps with Continuous and Discontinuous Maxima,
  686. _Computers in Physics_, Sep/Oct 1990, pp. 481-493.
  687.  
  688. Q16b: What are Lyapunov exponents?
  689. A16b:
  690.  
  691. Lyapunov exponents quantify the amount of linear stability or instability of
  692. an attractor, or an asymptotically long orbit of a dynamical system.  There
  693. are as many lyapunov exponents as there are dimensions in the state space of
  694. the system, but the largest is usually the most important.
  695.  
  696. Given two initial conditions for a chaotic system, a and b, which are close
  697. together, the average values obtained in successive iterations for a and b
  698. will differ by an exponentially increasing amount.  In other words, the two
  699. sets of numbers drift apart exponentially.  If this is written e^(n*(lambda))
  700. for n iterations, then e^(lambda) is the factor by which the distance between
  701. closely related points becomes stretched or contracted in one iteration.
  702. Lambda is the Lyapunov exponent.  At least one Lyapunov exponent must be
  703. positive in a chaotic system.  A simple derivation is available in:
  704.  
  705. 1.  H. G. Schuster, _Deterministic Chaos: An Introduction_, Physics Verlag,
  706. 1984.
  707.  
  708. Q16c: How can Lyapunov exponents be calculated?
  709. A16c: For the common periodic forcing pictures, the lyapunov exponent is:
  710.  
  711. lambda = limit as N->infinity of 1/N times sum from n=1 to N of log2(abs(dx
  712. sub n+1 over dx sub n))
  713.  
  714. In other words, at each point in the sequence, the derivative of the iterated
  715. equation is evaluated.  The Lyapunov exponent is the average value of the log
  716. of the derivative.  If the value is negative, the iteration is stable.  Note
  717. that summing the logs corresponds to multiplying the derivatives; if the
  718. product of the derivatives has magnitude < 1, points will get pulled closer
  719. together as they go through the iteration.
  720.  
  721. MS-DOS and Unix programs for estimating Lyapunov exponents from short time
  722. series are available by ftp: lyapunov.ucsd.edu:/pub/ncsu .
  723.  
  724. Computing Lyapunov exponents in general is more difficult.  Some references
  725. are:
  726.  
  727. 1.  H. D. I. Abarbanel, R. Brown and M. B. Kennel, Lyapunov Exponents in
  728. Chaotic Systems: Their importance and their evaluation using observed data,
  729. _International Journal of Modern Physics B_ 56, 9 (1991), pp. 1347-1375.
  730.  
  731. 2.  A. K. Dewdney, Leaping into Lyapunov Space, _Scientific American_, Sept.
  732. 1991, pp. 178-180.
  733.  
  734. 3.  M. Frank and T. Stenges, _Journal of Economic Surveys_ 2 (1988), pp. 103-
  735. 133.
  736.  
  737. 4.  T. S. Parker and L. O. Chua, _Practical Numerical Algorithms for Chaotic
  738. Systems_, Springer Verlag, 1989.
  739.  
  740. ------------------------------
  741.  
  742. Subject: Fractal items
  743.  
  744. Q17: Where can I get fractal T-shirts and posters?
  745. A17: One source is Art Matrix, P.O. box 880, Ithaca, New York, 14851, 1-800-
  746. PAX-DUTY.  Another source is Media Magic; they sell many fractal posters,
  747. calendars, videos, software, t-shirts, ties, and a huge variety of books on
  748. fractals, chaos, graphics, etc.  Media Magic is at PO Box 598 Nicasio, CA
  749. 94946, 415-662-2426.  A third source is Ultimate Image; they sell fractal t-
  750. shirts, posters, gift cards, and stickers.  Ultimate Image is at PO Box 7464,
  751. Nashua, NH 03060-7464.
  752.  
  753. ------------------------------
  754.  
  755. Subject: How can I take photos of fractals?
  756.  
  757. Q18: How can I take photos of fractals?
  758. A18: Noel Giffin gets good results with the following setup:
  759. Use 100 asa Kodak gold for prints or 64 asa for slides.
  760. Use a long lens (100mm) to flatten out the field of view and minimize screen
  761. curvature.  Use f4 stop.
  762. Shutter speed must be longer than frame rate to get a complete image; 1/4
  763. seconds works well.
  764. Use a tripod and cable release or timer to get a stable picture.  The room
  765. should be completely blackened, with no light, to prevent glare and to prevent
  766. the monitor from showing up in the picture.
  767.  
  768. You can also obtain high quality images by sending your targa or gif images to
  769. a commercial graphics imaging shop.  They can provide much higher resolution
  770. images.  Prices are about $10 for a 35mm slide or negative and about $50 for a
  771. high quality 4x5 negative.
  772.  
  773. ------------------------------
  774.  
  775. Subject: 3-D fractals
  776.  
  777. Q19: How can 3-D fractals be generated?
  778. A19: A common source for 3-D fractals is to compute Julia sets with
  779. quaternions instead of complex numbers.  The resulting Julia set is four
  780. dimensional.  By taking a slice through the 4-D Julia set (e.g. by fixing one
  781. of the coordinates), a 3-D object is obtained.  This object can then be
  782. displayed using computer graphics techniques such as ray tracing.
  783.  
  784. The papers to read on this are:
  785.  
  786. 1.  J. Hart, D. Sandin and L. Kauffman, Ray Tracing Deterministic 3-D
  787. Fractals, _SIGGRAPH_, 1989, pp. 289-296.
  788.  
  789. 2.  A. Norton, Generation and Display of Geometric Fractals in 3-D,
  790. _SIGGRAPH_, 1982, pp. 61-67.
  791.  
  792. 3.  A. Norton, Julia Sets in the Quaternions, _Computers and Graphics,_ 13, 2
  793. (1989), pp. 267-278.  Two papers on cubic polynomials, which can be used to
  794. generate 4-D fractals:
  795.  
  796. 1.  B. Branner and J. Hubbard, The iteration of cubic polynomials, part I.,
  797. _Acta Math_ 66 (1988), pp. 143-206.
  798.  
  799. 2.  J. Milnor, Remarks on iterated cubic maps, This paper is available from
  800. anonymous ftp: math.sunysb.edu:/preprints/ims90-6.ps.Z . Published in 1991
  801. SIGGRAPH Course Notes #14: Fractal Modeling in 3D Computer Graphics and
  802. Imaging.
  803.  
  804. Instead of quaternions, you can of course use other functions.  For instance,
  805. you could use a map with more than one parameter, which would generate a
  806. higher-dimensional fractal.
  807.  
  808. Another way of generating 3-D fractals is to use 3-D iterated function systems
  809. (IFS).  These are analogous to 2-D IFS, except they generate points in a 3-D
  810. space.
  811.  
  812. A third way of generating 3-D fractals is to take a 2-D fractal such as the
  813. Mandelbrot set, and convert the pixel values to heights to generate a 3-D
  814. "Mandelbrot mountain".  This 3-D object can then be rendered with normal
  815. computer graphics techniques.
  816.  
  817. ------------------------------
  818.  
  819. Subject: What are some general references?
  820.  
  821. Q20: What are some general references on fractals and chaos?
  822. A20: Some references are:
  823.  
  824. 1.  M. Barnsley, _Fractals Everywhere_, Academic Press Inc., 1988.  ISBN 0-
  825. 12-079062-9.  This is an excellent text book on fractals.  This is probably
  826. the best book for learning about the math underpinning fractals. It is also a
  827. good source for new fractal types.
  828.  
  829. 2.  M. Barnsley and L. Anson, _The Fractal Transform_, Jones and Bartlett,
  830. April, 1993.  ISBN 0-86720-218-1. This book is a sequel to _Fractals
  831. Everywhere_. Without assuming a great deal of technical knowledge, the authors
  832. explain the workings of the Fractal Transform (tm). The Fractal Transform is
  833. the compression tool for storing high-quality images in a minimal amount of
  834. space on a computer. Barnsley uses examples and algorithms to explain how to
  835. transform a stored pixel image into its fractal representation.
  836.  
  837. 3.  R. Devaney and L. Keen, eds., _Chaos and Fractals: The Mathematics Behind
  838. the Computer Graphics_, American Mathematical Society, Providence, RI, 1989.
  839. This book contains detailed mathematical descriptions of chaos, the Mandelbrot
  840. set, etc.
  841.  
  842. 4.  R. L. Devaney, _An Introduction to Chaotic Dynamical Systems_, Addison-
  843. Wesley, 1989.  ISBN 0-201-13046-7.  This book introduces many of the basic
  844. concepts of modern dynamical systems theory and leads the reader to the point
  845. of current research in several areas. It goes into great detail on the exact
  846. structure of the logistic equation and other 1-D maps.  The book is fairly
  847. mathematical using calculus and topology.
  848.  
  849. 5.  R. L. Devaney, _Chaos, Fractals, and Dynamics_, Addison-Wesley, 1990.
  850. ISBN 0-201-23288-X.  This is a very readable book.  It introduces chaos
  851. fractals and dynamics using a combination of hands-on computer experimentation
  852. and precalculus math.  Numerous full-color and black and white images convey
  853. the beauty of these mathematical ideas.
  854.  
  855. 6.  R. Devaney, _A First Course in Chaotic Dynamical Systems, Theory and
  856. Experiment_, Addison Wesley, 1992.  A nice undergraduate introduction to chaos
  857. and fractals.
  858.  
  859. 7.  G. A. Edgar, _Measure Topology and Fractal Geometry_, Springer- Verlag
  860. Inc., 1990.  ISBN 0-387-97272-2.  This book provides the math necessary for
  861. the study of fractal geometry.  It includes the background material on metric
  862. topology and measure theory and also covers topological and fractal dimension,
  863. including the Hausdorff dimension.
  864.  
  865. 8.  K. Falconer, _Fractal Geometry: Mathematical Foundations and
  866. Applications_, Wiley, New York, 1990.
  867.  
  868. 9.  J. Feder, _Fractals_, Plenum Press, New York, 1988.  This book is
  869. recommended as an introduction.  It introduces fractals from geometrical
  870. ideas, covers a wide variety of topics, and covers things such as time series
  871. and R/S analysis that aren't usually considered.
  872.  
  873. 10.  J. Gleick, _Chaos: Making a New Science_, Penguin, New York, 1987.
  874.  
  875. 11.  B. Hao, ed., _Chaos_, World Scientific, Singapore, 1984.  This is an
  876. excellent collection of papers on chaos containing some of the most
  877. significant reports on chaos such as ``Deterministic Nonperiodic Flow'' by
  878. E.N.Lorenz.
  879.  
  880. 12.  S. Levy, _Artificial life : the quest for a new creation_, Pantheon
  881. Books, New York, 1992.  This book takes off where Gleick left off.  It looks
  882. at many of the same people and what they are doing post-Gleick.
  883.  
  884. 13.  B. Mandelbrot, _The Fractal Geometry of Nature_, W. H.  FreeMan and Co.,
  885. New York.  ISBN 0-7167-1186-9.  In this book Mandelbrot attempts to show that
  886. reality is fractal-like.  He also has pictures of many different fractals.
  887.  
  888. 14.  H. O. Peitgen and P. H. Richter, _The Beauty of Fractals_, Springer-
  889. Verlag Inc., New York, 1986.  ISBN 0-387-15851-0.  This book has lots of nice
  890. pictures. There is also an appendix giving the coordinates and constants for
  891. the color plates and many of the other pictures.
  892.  
  893. 15.  H. Peitgen and D. Saupe, eds., _The Science of Fractal Images_,
  894. Springer-Verlag Inc., New York, 1988.  ISBN 0-387-96608-0.  This book contains
  895. many color and black and white photographs, high level math, and several
  896. pseudocoded algorithms.
  897.  
  898. 16.  H. Peitgen, H. Juergens and D. Saupe, _Fractals for the Classroom_,
  899. Springer-Verlag, New York, 1992.  These two volumes are aimed at advanced
  900. secondary school students (but are appropriate for others too), have lots of
  901. examples, explain the math well, and give BASIC programs.
  902.  
  903. 17.  H. Peitgen, H. Juergens and D. Saupe, _Chaos and Fractals: New Frontiers
  904. of Science_, Springer-Verlag, New York, 1992.
  905.  
  906. 18.  C. Pickover, _Computers, Pattern, Chaos, and Beauty: Graphics from an
  907. Unseen World_, St. Martin's Press, New York, 1990.  This book contains a bunch
  908. of interesting explorations of different fractals.
  909.  
  910. 19.  J. Pritchard, _The Chaos Cookbook: A Practical Programming Guide_,
  911. Butterworth-Heinemann, Oxford, 1992.  ISBN 0-7506-0304-6. It contains type-
  912. in-and-go listings in BASIC and Pascal. It also eases you into some of the
  913. mathematics of fractals and chaos in the context of graphical experimentation.
  914. So it's more than just a type-and-see-pictures book, but rather a lab
  915. tutorial, especially good for those with a weak or rusty (or even non-
  916. existent) calculus background.
  917.  
  918. 20.  P. Prusinkiewicz and A. Lindenmayer, _The Algorithmic Beauty of Plants_,
  919. Springer-Verlag, NY, 1990.  ISBN 0-387-97297-8. A very good book L-systems,
  920. which can be used to model plants in a very realistic fashion.  The book
  921. contains many pictures.
  922.  
  923. 21.  M. Schroeder, _Fractals, Chaos, and Power Laws: Minutes from an Infinite
  924. Paradise_, W. H. Freeman, New York, 1991.  This book contains a clearly
  925. written explanation of fractal geometry with lots of puns and word play.
  926.  
  927. 22.  J. Sprott, _Strange Attractors: Creating Patterns in Chaos _, M&T Books
  928. (subsidary of Henry Holt and Co.), New York.  " ISBN 1-55851-298-5.  This book
  929. describes a new method for generating beautiful fractal patterns by iterating
  930. simple  maps and ordinary differential equations. It contains over 350
  931. examples of such  patterns, each producing a corresponding piece of fractal
  932. music.   It also describes methods for visualizing objects in three and higher
  933. dimensions and explains how to produce 3-D stereoscopic  images using the
  934. included red/blue glasses. The accompanying 3.5" IBM-PC disk contain  source
  935. code in BASIC, C, C++, Visual BASIC for Windows, and QuickBASIC  for Macintosh
  936. as well as a ready-to-run IBM-PC executable version of  the program.
  937. Available for $39.95 + $3.00 shipping from M&T Books (1-800-628-9658).
  938.  
  939. 23.  D. Stein, ed., _Proceedings of the Santa Fe Institute's Complex Systems
  940. Summer School_, Addison-Wesley, Redwood City, CA, 1988.  See especially the
  941. first article by David Campbell: ``Introduction to nonlinear phenomena''.
  942.  
  943. 24.  R. Stevens, _Fractal Programming in C_, M&T Publishing, 1989 ISBN 1-
  944. 55851-038-9.  This is a good book for a beginner who wants to write a fractal
  945. program.  Half the book is on fractal curves like the Hilbert curve and the
  946. von Koch snow flake.  The other half covers the Mandelbrot, Julia, Newton, and
  947. IFS fractals.
  948.  
  949. 25.  I. Stewart, _Does God Play Dice?: the Mathematics of Chaos_, B.
  950. Blackwell, New York, 1989.
  951.  
  952. 26.  T. Wegner and M. Peterson, _Fractal Creations_, The Waite Group, 1991.
  953. This is the book describing the Fractint program.
  954.  
  955. Journals:
  956. "Chaos and Graphics" section in the quarterly journal _Computers and
  957. Graphics_.  This contains recent work in fractals from the graphics
  958. perspective, and usually contains several exciting new ideas.
  959. "Mathematical Recreations" section by A. K. Dewdney in _Scientific American_.
  960. Algorithm - The Personal Computer Newsletter.  P.O. Box 29237, Westmount
  961. Postal Outlet, 785 Wonderland Road S., London, Ontario, Canada, N6K 1M6.
  962. Fractal Report.  Reeves Telecommunication Labs. West Towan House, Porthtowan,
  963. TRURO, Cornwall TR4 8AX, U.K.
  964. Amygdala.  P.O. Box 219 San Cristobal, NM  87564-0219.  This is a newsletter
  965. about the Mandelbrot Set and other fractals.  A trial subscription for 6
  966. issues is $15 to: Amygdala Box 219 / San Cristobal, NM 87564.  Contact Rollo
  967. Silver (rsilver@lanl.gov) for more information.
  968. FRAC'Cetera.  This is a gazetteer of the world of fractals and related areas,
  969. supplied in IBM PC format HD disk.  For more information, contact:  Jon
  970. Horner, Editor, FRAC'Cetera, Le Mont Ardaine, Rue des Ardains, St. Peters,
  971. Guernsey GY7 9EU, Channel Islands, United Kingdom.
  972. Fractals, An interdisciplinary Journal On The Complex Geometry of Nature.
  973. This is a new journal published by World Scientific.  B.B Mandelbrot is the
  974. Honorary Editor and T. Vicsek, M.F. Shlesinger, M.M Matsushita are the
  975. Managing Editors).  The aim of this first international journal on fractals is
  976. to bring together the most recent developments in the research of fractals so
  977. that a fruitful interaction of the various approaches and scientific views on
  978. the complex spatial and temporal behavior could take place.
  979.  
  980. ------------------------------
  981.  
  982. Subject: Fractint
  983.  
  984. Q21a: What is Fractint?
  985. A21a: Fractint is a very popular freeware (not public domain) fractal
  986. generator.  There are DOS, Windows, OS/2, and Unix/X versions.  The DOS
  987. version is the original version, and is the most up-to-date.
  988.  
  989. Please note: sci.fractals is not a product support newsgroup for Fractint.
  990. Bugs in Fractint/Xfractint should usually go to the authors rather than being
  991. posted.
  992.  
  993. Fractint is on many ftp sites.  For example:
  994. DOS: ftp from wuarchive.wustl.edu:/mirrors/msdos/graphics [128.252.135.4].
  995.     The source is in the file frasr182.zip.  The executable is in the file
  996.     frain182.zip.  (The suffix 182 will change as new versions are released.)
  997.     Fractint is available on Compuserve: GO GRAPHDEV and look for FRAINT.EXE
  998.     and FRASRC.EXE in LIB 4.
  999. There is a collection of map, parameter, etc. files for Fractint, called
  1000.     FracXtra.  Ftp from wuarchive.wustl.edu:/pub/MSDOS_UPLOADS/graphics.  File
  1001.     is fracxtr5.zip.
  1002. Windows: ftp to wuarchive.wustl.edu:/mirrors/msdos/window3 .  The source is in
  1003.     the file winsr173.zip.  The executable is in the file winfr173.zip.
  1004. OS/2: available on Compuserve in its GRAPHDEV forum.  The files are PM*.ZIP.
  1005.     These files are also available by ftp:
  1006.     ftp-os2.nmsu.edu:/pub/os2/2.0/graphics in pmfra2.zip.
  1007. Unix: ftp to sprite.berkeley.edu [128.32.150.27].  The source is in the file
  1008.     xfract203.shar.Z.  Note: sprite is an unreliable machine; if you can't
  1009.     connect to it, try again in a few hours, or try hijack.berkeley.edu.
  1010.     Xfractint is also available in LIB 4 of Compuserve's GO GRAPHDEV forum in
  1011.     XFRACT.ZIP.
  1012. Macintosh: there is no Macintosh version of Fractint, although there are
  1013.     several people working on a port. It is possible to run Fractint on the
  1014.     Macintosh if you use Insignia Software's SoftAT, which is a PC AT
  1015.     emulator.
  1016.  
  1017. For European users, these files are available from ftp.uni-koeln.de.  If you
  1018. can't use ftp, see the mail server information below.
  1019.  
  1020. Q21b: How does Fractint achieve its speed?
  1021. A21b: Fractint's speed (such as it is) is due to a combination of:
  1022.  
  1023. 1. Using fixed point math rather than floating point where possible (huge
  1024. improvement for non-coprocessor machine, small for 486's).
  1025.  
  1026. 2. Exploiting symmetry of the fractal.
  1027.  
  1028. 3. Detecting nearly repeating orbits, avoid useless iteration (e.g. repeatedly
  1029. iterating 0^2+0 etc. etc.).
  1030.  
  1031. 4. Reducing computation by guessing solid areas (especially the "lake" area).
  1032.  
  1033. 5. Using hand-coded assembler in many places.
  1034.  
  1035. 6. Obtaining both sin and cos from one 387 math coprocessor instruction.
  1036.  
  1037. 7. Using good direct memory graphics writing in 256-color modes.
  1038.  
  1039. The first four are probably the most important. Some of these introduce
  1040. errors, usually quite acceptable.
  1041.  
  1042. ------------------------------
  1043.  
  1044. Subject: Fractal software
  1045.  
  1046. Q22: Where can I obtain software packages to generate fractals?
  1047. A22:
  1048. For X windows:
  1049.     xmntns and xlmntn: these generate fractal mountains.  They can be obtained
  1050.         from ftp: ftp.uu.net:/usenet/comp.sources.x/volume8/xmntns
  1051.         [137.39.1.9].
  1052.     xfroot: generates a fractal root window.
  1053.     xmartin: generates a Martin hopalong root window.
  1054.     xmandel: generates Mandelbrot/Julia sets.
  1055.     xfroot, xmartin, xmandel are part of the X11 distribution.
  1056.     lyap: generates Lyapunov exponent images.  Ftp from:
  1057.         ftp.uu.net:/usenet/comp.sources.x/volume17/lyapunov-xlib .
  1058.     spider: Uses Thurston's algorithm for computing postcritically finite
  1059.         polynomials, draws Mandelbrot and Julia sets using the Koebe
  1060.         algorithm, and draws Julia set external angles.  Ftp from:
  1061.         lyapunov.ucsd.edu:pub/inls-ucsd/spider .
  1062.  
  1063. Distributed X systems:
  1064.     MandelSpawn: computes Mandelbrot/Julia sets on a network of machines.  Ftp
  1065.         from: export.lcs.mit.edu:/contrib [18.24.0.12] or
  1066.         funic.funet.fi:/pub/X11/contrib [128.214.6.100] in mandelspawn-
  1067.         0.06.tar.Z.
  1068.     gnumandel: computes Mandelbrot images on a network.  Ftp from:
  1069.         informatik.tu-muenchen.de:/pub/GNU/gnumandel [131.159.0.110].
  1070.  
  1071. For SunView:
  1072.     Mandtool: A Mandelbrot computing program.  Ftp from:
  1073.         spanky.triumf.ca:/fractals/programs/mandtool ; code is in M_TAR.Z .
  1074.  
  1075. For Unix/C:
  1076.     lsys: generates L-systems as PostScript or other textual output. No
  1077.         graphical interface at present. (in C++) Ftp from:
  1078.         ftp.cs.unc.edu:/pub/lsys.tar.Z .
  1079.     lyapunov: generates PGM Lyapunov exponent images.  Ftp from:
  1080.         ftp.uu.net:/usenet/comp.sources.misc/volume23/lyapuov .  SPD: contains
  1081.         generators for fractal mountain, tree, recursive tetrahedron.  Ftp
  1082.         from: princeton.edu:/pub/Graphics [128.112.128.1].
  1083.     Fractal Studio: Mandelbrot set program; handles distributed computing.
  1084.         Ftp from archive.cs.umbc.edu:/pub/peter/fractal-studio
  1085.         [130.85.100.53].
  1086.  
  1087. For Mac:
  1088.     fractal, L-System, 3DL-System, IFS, FracHill are available from
  1089.         uceng.uc.edu:/pub/wuarchive/graphics/graphics/radiosity/Radiance/pub/mac
  1090.         .
  1091.     fractal-wizard-15.hqx, julias-dream-107.hqx, mandel-net.hqx, mandel-zot-
  1092.         304.hqx, and mandella-70.hqx are available by ftp:
  1093.         sumex.stanford.edu:/info-mac/app .
  1094.     mandel-tv: a very fast Mandelbrot generator.  Ftp from:
  1095.         oswego.oswego.edu:/pub/mac/da/mandel-tv.hqx [129.3.1.1].
  1096.     There are also commercial programs, such as IFS Explorer and Fractal Clip
  1097.     Art, which are published by Koyn Software (314) 878-9125.
  1098.  
  1099. For NeXT:
  1100.     Lyapunov: generates Lyapunov exponent images.  Ftp from:
  1101.         nova.cc.purdue.edu:/pub/next/2.0-release/source .
  1102.  
  1103. For MSDOS:
  1104.     Fractal WitchCraft: a very fast fractal design program.  Ftp from:
  1105.         garbo.uwasa.fi:/pc/demo/fw1-08.zip [128.214.87.1].
  1106.     CAL: generates more than 15 types of fractals including Mandelbrot,
  1107.         Lyapunov, IFS, user-defined formulas, logistic equation, and
  1108.         quaternion julia sets.  Ftp from: oak.oakland.edu:/pub/msdos/graphics
  1109.         [141.210.10.117] (or any other Simtel mirror) in frcal035.zip.
  1110.     Fractal Discovery Laboratory: designed for use in a science museum or
  1111.         school setting.  The Lab has five sections: Art Gallery ( 72 images --
  1112.         Mandelbrots, Julias, Lyapunovs), Microscope ( 85 images -- Biomorph,
  1113.         Mandelbrot, Lyapunov, ...), Movies (165 images, 6 "movies":
  1114.         Mandelbrot Evolution, Splitting a Mini-Mandelbrot, Fractal UFO, ...),
  1115.         Tools (Gingerbreadman, Lorentz Equations, Fractal Ferns, von Koch
  1116.         Snowflake, Sierpinski Gasket), and Library (Dictionary, Books and
  1117.         Articles).  Sampler available from Compuserver GRAPHDEV Lib 4 in
  1118.         DISCOV.ZIP, or send high-density disk and self-addressed, stamped
  1119.         envelope to: Earl F. Glynn, 10808 West 105th Street, Overland Park,
  1120.         Kansas 66214-3057.
  1121.     WL-Plot: plots functions including bifurcations and recursive relations.
  1122.         Ftp from wuarchive.wustl.edu:/pub/msdos_uploads/misc in wlplt231.zip.
  1123.     There are many fractal programs available from wsmr-simtel20.army.mil
  1124.         [192.88.110.20] in the directory "pd1:<msdos.graphics>":
  1125.         forb01a.zip: Displays orbits of Mandelbrot mapping. C/E/VGA
  1126.             fract30.arc: Mandelbrot/Julia set 2D/3D EGA/VGA Fractal Gen
  1127.             fractfly.zip: Create Fractal flythroughs with FRACTINT
  1128.             frain181.zip: FRACTINT v18.1 EGA/VGA/XGA fractal generator
  1129.             frasr181.zip: C & ASM src for FRACTINT v18.1 fractal gen.
  1130.             frcal030.zip: Fractal drawing program: 15 formulae available
  1131.             frcaldmo.zip: 800x600x256 demo images for FRCAL030.ZIP
  1132.             fdesign.zip: Program to visually design IFS fractals
  1133.  
  1134. For Windows:
  1135.     dy-syst.zip.  This program explores Newton's method, Mandelbrot set, and
  1136.         Julia sets.  Ftp from mathcs.emory.edu:/pub/riddle .
  1137.  
  1138. For Amiga: (all entries marked "ff###" are .lzh files in the Fish Disk set
  1139.     available at ux1.cso.uiuc.edu:/amiga/fish and other sites)
  1140.     General Mandelbrot generators with many features: Mandelbrot (ff030),
  1141.         Mandel (ff218), Mandelbrot (ff239), TurboMandel (ff302), MandelBltiz
  1142.         (ff387), SMan (ff447), MandelMountains (ff383, in 3-D), MandelPAUG
  1143.         (ff452, MandFXP movies), MandAnim (ff461, anims),  ApfelKiste (ff566,
  1144.         very fast), MandelSquare (ff588, anims)
  1145.     Mandelbrot and Julia sets generators: MandelVroom (ff215), Fractals
  1146.         (ff371, also Newton-R and other sets)
  1147.     With different algorithmic approaches (shown): FastGro (ff188, DLA),
  1148.         IceFrac (ff303, DLA), DEM (ff303, DEM), CPM (ff303, CPM in 3-D),
  1149.         FractalLab (ff391, any equation)
  1150.     Iterated Function System generators (make ferns, etc): FracGen (ff188,
  1151.         uses "seeds"), FCS (ff465), IFSgen (ff554), IFSLab (ff696, "Collage
  1152.         Theorem")
  1153.     Unique fractal types: Cloud (ff216, cloud surfaces), Fractal (ff052,
  1154.         terrain), IMandelVroom (strange attractor contours?), Landscape
  1155.         (ff554, scenery), Scenery (ff155, scenery), Plasma (ff573, plasma
  1156.         clouds)
  1157.     Fractal generators: PolyFractals (ff015), FFEX (ff549)
  1158.     Lyapunov fractals: Ftp from: ftp.luth.se:/pub/aminet/new/lyapunovia.lha
  1159.         [130.240.18.2].
  1160.     Commercial packages: Fractal Pro 5.0, Scenery Animator 2.0, Vista
  1161.         Professional, Fractuality (reviewed in April '93 Amiga User
  1162.         International).
  1163.  
  1164. Software for computing fractal dimension:
  1165.     Fractal Dimension Calculator is a Macintosh program which uses the box-
  1166.         counting method to compute the fractal dimension of planar graphical
  1167.         objects.  Ftp from:
  1168.         wuarchive.wustl.edu:/mirrors4/architec/Fractals/FracDim.sit.hqx .
  1169.     FD3: estimates capacity, information, and correlation dimension from a
  1170.         list of points.  It computes log cell sizes, counts, log counts, log
  1171.         of Shannon statistics based on counts, log of correlations based on
  1172.         counts, two-point estimates of the dimensions at all scales examined,
  1173.         and over-all least-square estimates of the dimensions.  Ftp from:
  1174.         lyapunov.ucsd.edu:/pub/cal-state-stan [132.239.86.10].  Also look in
  1175.         lyapunov.ucsd.edu:/pub/inls-ucsd for an enhanced Grassberger-Procaccia
  1176.         algorithm for correlation dimension.  A MS-DOS version of FP3 is
  1177.         available by request to gentry@altair.csustan.edu.
  1178.  
  1179.  
  1180. ------------------------------
  1181.  
  1182. Subject: Ftp questions
  1183.  
  1184. Q23a: How does anonymous ftp work?
  1185. A23a: Anonymous ftp is a method of making files available to anyone on the
  1186. Internet.  In brief, if you are on a system with ftp (e.g. Unix), you type
  1187. "ftp lyapunov.ucsd.edu", or whatever system you wish to access.  You are
  1188. prompted for your name and you reply "anonymous".  You are prompted for your
  1189. password and you reply with your email address.  You then use "ls" to list the
  1190. files, "cd" to change directories, "get" to get files, and "quit" to exit.
  1191. For example, you could say "cd /pub", "ls", "get README", and "quit"; this
  1192. would get you the file "README".  See the man page ftp(1) or ask someone at
  1193. your site for more information.
  1194.  
  1195. In this FAQ file, anonymous ftp addresses are given in the form
  1196. name.of.machine:/pub/path [1.2.3.4].  The first part "name.of.machine" is the
  1197. machine you must ftp to.  If your machine cannot determine the host from the
  1198. name, you can try the numeric Internet address: "ftp 1.2.3.4".  The part after
  1199. the colon: "/pub/path" is the file or directory to access once you are
  1200. connected to the remote machine.
  1201.  
  1202. Q23b: What if I can't use ftp to access files?
  1203. A23b: If you don't have access to ftp because you are on a uucp/Fidonet/etc
  1204. network there is an e-mail gateway at ftpmail@decwrl.dec.com that can retrieve
  1205. the files for you.  To get instructions on how to use the ftp gateway send a
  1206. message to ftpmail@decwrl.dec.com with one line containing the word 'help'.
  1207.  
  1208. ------------------------------
  1209.  
  1210. Subject: Archived pictures
  1211.  
  1212. Q24a: Where are fractal pictures archived?
  1213. A24a: Fractal images (GIFs, etc.) used to be posted to alt.fractals.pictures;
  1214. this newsgroup has been replaced by alt.binaries.pictures.fractals.  Pictures
  1215. from 1990 and 1991 are available via anonymous ftp:
  1216. csus.edu:/pub/alt.fractals.pictures [130.86.90.1].
  1217.  
  1218. Many Mandelbrot set images are available via anonymous ftp:
  1219. ftp.ira.uka.de:/pub/graphics/fractals [129.13.10.93].
  1220.  
  1221. Fractal images including some recent alt.binaries.pictures.fractals images are
  1222. archived at spanky.triumf.ca:/fractals [128.189.128.27].
  1223.  
  1224. Some fractal images are available via NCSA Mosaic in the URL document
  1225. http://www.cnam.fr/fractals.html .  These images are available by ftp:
  1226. ftp.cnam.fr:/pub/Fractals .
  1227.  
  1228. Q24b: How do I view fractal pictures from alt.binaries.pictures.fractals?
  1229. A24b: A detailed explanation is given in the "alt.binaries.pictures FAQ"
  1230. (see "pictures-faq").  This is posted to the pictures newsgroups and is
  1231. available by ftp: rtfm.mit.edu:/pub/usenet/news.answers/pictures-faq
  1232. [18.70.0.209].
  1233.  
  1234. In brief, there is a series of things you have to do before viewing these
  1235. posted images.  It will depend a little on the system your working with, but
  1236. there is much in common. Some newsreaders have features to automatically
  1237. extract and decode images ready to display ("e" in trn) but if you don't you
  1238. can use the following manual method:
  1239.  
  1240. 1.  Save/append all posted parts sequentially to one file.
  1241.  
  1242. 2. Edit this file and delete all text segments except what is between the
  1243. BEGIN-CUT and END-CUT portions. This means that BEGIN-CUT and END-CUT lines
  1244. will disappear as well. There will be a section to remove for each file
  1245. segment as well as the final END-CUT line.  What is left in the file after
  1246. editing will be bizarre garbage starting with begin 660 imagename.GIF and then
  1247. about 6000 lines all starting with the letter "M" followed by a final "end"
  1248. line.  This is called a uuencoded file.
  1249.  
  1250. 3.  You must uudecode the uuencoded file.  There should be an appropriate
  1251. utility at your site; "uudecode filename" should work under Unix.  Ask a
  1252. system person or knowledgeable programming type.  It will decode the file and
  1253. produce another file called imagename.GIF. This is the image file.
  1254.  
  1255. 4.  You must use another utility to view these GIF images.  It must be capable
  1256. of displaying color graphic images in GIF format.  (If you get a JPG format
  1257. file, you may have to convert it to a GIF file with yet another utility.) In
  1258. the XWindows environment, you may be able to use "xv", "xview", or
  1259. "xloadimage" to view GIF files.  If you aren't using X, then you'll either
  1260. have to find a comparable utility for your system or transfer your file to
  1261. some other system.  You can use a file transfer utility such as Kermit to
  1262. transfer the binary file to an IBM-PC.
  1263.  
  1264. ------------------------------
  1265.  
  1266. Subject: Where can I obtain fractal papers?
  1267.  
  1268. Q25: Where can I obtain fractal papers?
  1269. A25: There are several Internet sites with fractal papers:
  1270.  
  1271. There is an ftp archive site for preprints and programs on nonlinear dynamics
  1272. and related subjects at: lyapunov.ucsd.edu:/pub [132.239.86.10].  There are
  1273. also articles on dynamics, including the IMS preprint series, available from
  1274. math.sunysb.edu:/preprints [129.49.31.57].
  1275.  
  1276. A collection of short papers on fractal formulas, drawing methods, and
  1277. transforms is available by ftp: ftp.coe.montana.edu:/pub/fractals .
  1278.  
  1279. The site life.anu.edu.au [150.203.38.74] has a collection of fractal programs,
  1280. papers, information related to complex systems, and gopher and World Wide Web
  1281. connections.  The ftp path is life:anu.edu.au:/pub/complex_systems ; look in
  1282. fractals, tutorial, and anu92.  The Word Wide Web access is
  1283. "http://life.anu.edu.au/".  The gopher path is:
  1284. Name=BioInformatics gopher at ANU
  1285. Host=life.anu.edu.au
  1286. Type=1
  1287. Port=70
  1288. Path=1/complex_systems/fractals
  1289. In URL format, the gopher path is
  1290. gopher://life.anu.edu.au:70/1/complex_systems/fractals .
  1291.  
  1292. ------------------------------
  1293.  
  1294. Subject: How can I join the BITNET fractal discussion?
  1295.  
  1296. Q26: How can I join the BITNET fractal discussion?
  1297. A26: There is a fractal discussion on BITNET that uses an automatic mail
  1298. server that sends mail to a distribution list.  (On some systems, the contents
  1299. of FRAC-L appear in the Usenet newsgroup bit.listserv.frac-l.) Note that once
  1300. you join, you may have a very difficult time unsubscribing.  To join the
  1301. mailing list, send a message to listserv@gitvm1.gatech.edu with the following
  1302. as text:
  1303. SUBSCRIBE FRAC-L John Doe    (where John Doe is replaced by your name)
  1304. To unsubscribe, send the message:
  1305. UNSUBSCRIBE FRAC-L
  1306. If that doesn't unsubscribe you, you can try:
  1307. SIGNOFF FRAC-L (GLOBAL
  1308. If that doesn't work or you have other problems, you can contact the list
  1309. administrator.  You can obtain their name by sending the message:
  1310. REVIEW FRAC-L
  1311.  
  1312. ------------------------------
  1313.  
  1314. Subject: Acknowledgements
  1315.  
  1316. For their help with this file, thanks go to:
  1317. Alex Antunes, Steve Bondeson, Erik Boman, Jacques Carette, John Corbit,
  1318. Abhijit Deshmukh, Tony Dixon, Robert Drake, Detlev Droege, Gerald Edgar,
  1319. Gordon Erlebacher, Yuval Fisher, Duncan Foster, David Fowler, Murray Frank,
  1320. Jean-loup Gailly, Noel Giffin, Earl Glynn, Lamont Granquist, Luis Hernandez-
  1321. Ure:a, Jay Hill, Arto Hoikkala, Carl Hommel, Robert Hood, Oleg Ivanov, Simon
  1322. Juden, J. Kai-Mikael, Leon Katz, Matt Kennel, Tal Kubo, Jon Leech, Brian
  1323. Meloon, Tom Menten, Guy Metcalfe, Eugene Miya, Lori Moore, Robert Munafo,
  1324. Miriam Nadel, Ron Nelson, Tom Parker, Dale Parson, Matt Perry, Cliff Pickover,
  1325. Francois Pitt, Kevin Ring, Michael Rolenz, Tom Scavo, Jeffrey Shallit, Rollo
  1326. Silver, Gerolf Starke, Bruce Stewart, Dwight Stolte, Tommy Vaske, Tim Wegner,
  1327. Andrea Whitlock, Erick Wong, Wayne Young, and others.
  1328.  
  1329. Special thanks to Matthew J. Bernhardt (mjb@acsu.buffalo.edu) for collecting
  1330. many of the chaos definitions.
  1331.  
  1332. Copyright 1993 Ken Shirriff (shirriff@cs.Berkeley.EDU).
  1333.