home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Trigonometry / ProOneSoftware-Trigonometry-Win31.iso / trig / chapter5.2r < prev    next >
Text File  |  1995-04-09  |  7KB  |  230 lines
  1.  228 
  2. à 5.2ïTrigonometric Form of Complex Numbers
  3.  
  4. äïPlease change the following complex numbers from rectan-
  5. êêgular form to trigonometric form.
  6. âS
  7. êêè 1)ï1 + iï=ï√2∙(cos 45° + i∙sin 45°)
  8.  
  9. êêè 2)ï-√3 + iï=ï2∙(cos 150° + i∙sin 150°)
  10.  
  11. êêè 3)ï1 - √3∙iï=ï2∙(cos 300° + i∙sin 300°)
  12. #éSïThe trigonometric form of a complex number, x¬ + y¬i, is de-
  13. #êêêêêêè ┌─────────────
  14. #fined to be r∙(cos Θ + i∙sin Θ), whereïrï=ïá(x¬)ì + (y¬)ì,èx¬ =
  15. #r∙cos Θ, and y¬ = r∙sin Θ with 0 ≤ Θ ≤ 360°.
  16. #êêêè In the figure, the complex number, x¬ + y¬i,
  17. êêê is a point in the complex number plane, and it
  18. êêê is graphed in the same way that you would graph
  19. #êêê the ordered pair, (x¬, y¬).ïThe right triangle
  20. êêê suggests using the Pythagorean Theorem, so it
  21. êêê is natural to define r to be the square root of
  22. #êêê x¬ì plus y¬ì.ïIt is also natural to use right
  23. @fig5201.bmp,10,145
  24. #êêê triangle trigonometry to find expressions for x¬
  25. #êêê and y¬.ïCos Θ = x¬/r and sin Θ = y¬/r.ïThus,
  26. #êêê x¬ = r∙cos Θ and y¬ = r∙sin Θ.ïTherefore, by
  27. #êêê substitution x¬ + y¬iï=ïr∙cos Θ + r∙sin Θ ∙i =
  28. êêê r∙(cos Θ + i∙sin Θ).
  29. êêêëIn the example, 1 + i can be expressed in
  30. êêê trigonometric form by finding r and Θ.
  31. #êêêë┌──────────è┌────────è┌──
  32. #êêê r = á x¬ì + y¬ì = á 1ì + 1ì = á 2
  33. #êêê The reference angle is Θ¬ = Tanúî y¬/x¬ =
  34. #êêê Tanúî(1/1) = 45°.ïSince the complex number,1 + i,
  35. êêê is in the first quadrant, the angle is Θ = 45°.
  36. êêêëAlso in the example, the complex number,
  37. êêê -√3 + i, can be expressed in trigonometric form
  38. êêê by finding r and Θ.
  39. #êêêë┌────────────è┌──────
  40. #êêê r = á (-√3)ì + 1ì = á 3 + 1 = 2
  41. #The reference angle Θ¬ = Tanúî(-1/√3) = -30°.ïSince the complex number,
  42. -√3 + i, is in the second quadrant, the angle Θ is 150°.ïThus, -√3 + i
  43. = 2∙(cos 150° + i∙sin 150°).
  44. è The last complex number in the example is 1 - √3∙i.ïFor this com-
  45. #êêè┌───────────
  46. #plex number, r = á 1ì + (√3)ì = 2, and the reference angle Θ¬ =
  47. #Tanúî(-√3/1) = -60°.ïSince the complex number, 1 - √3∙i, is in the
  48. fourth quadrant, Θ is 300°.ïThus, 1 - √3∙i = 2∙(cos 300° + i∙sin 300°).
  49.  1ë Find trigonometric form for the complex number
  50. êêêêè -1 + i
  51.  
  52. êêêA)ï2∙(cos 45° + i∙sin 45°)
  53. êêêB)ï√2∙(cos -45° + i∙sin -45°)
  54. êêêC)ï√2∙(cos 135° + i∙sin 135°)
  55. êêêD)ïå of ç
  56. üê Find trigonometric form for the complex number
  57. êêêêè -1 + i
  58. êë ModulusêêêèReference Angle
  59. #êè┌───────────
  60. #ë r = á (-1)ì + 1ì = √2êëΘ¬ = Tanúî(-1/1) = -45°
  61. Since -1 + i is in the second quadrant, Θ = 135°.ïThus, -1 + i =
  62. √2∙(cos 135° + i∙sin 135°).
  63. Ç C
  64.  2ë Find trigonometric form for the complex number
  65. êêêêè -1 - i
  66.  
  67. êêêA)ï2∙(cos 45° + i∙sin 45°)
  68. êêêB)ï√2∙(cos 225° + i∙sin 225°)
  69. êêêC)ï√2∙(cos 45° + i∙sin 45°)
  70. êêêD)ïå of ç
  71. üê Find trigonometric form for the complex number
  72. êêêêè -1 - i
  73. êë ModulusêêêèReference Angle
  74. #êè┌──────────────
  75. #ë r = á (-1)ì + (-1)ì = √2êëΘ¬ = Tanúî(-1/-1) = 45°
  76. Since -1 - i is in the third quadrant, Θ = 225°.ïThus, -1 - i =
  77. √2∙(cos 225° + i∙sin 225°).
  78. Ç B
  79.  3ë Find trigonometric form for the complex number
  80. êêêêè -1 + √3∙i
  81.  
  82. êêêA)ï2∙(cos 120° + i∙sin 120°)
  83. êêêB)ï√2∙(cos 60° + i∙sin 60°)
  84. êêêC)ï2∙(cos -60° + i∙sin -60°)
  85. êêêD)ïå of ç
  86. üê Find trigonometric form for the complex number
  87. êêêêè -1 + √3∙i
  88. êë ModulusêêêèReference Angle
  89. #êè┌──────────────
  90. #ë r = á (-1)ì + (√3)ì = √4 = 2ê Θ¬ = Tanúî(√3/-1) = -60°
  91. Since -1 + √3∙i is in the second quadrant, Θ = 120°.ïThus, -1 + √3∙i =
  92. 2∙(cos 120° + i∙sin 120°).
  93. Ç A
  94.  4ë Find trigonometric form for the complex number
  95. êêêêè √3 + i
  96.  
  97. êêêA)ï2∙(cos 150° + i∙sin 150°)
  98. êêêB)ï2∙(cos 30° + i∙sin 30°)
  99. êêêC)ï√2∙(cos 150° + i∙sin 150°)
  100. êêêD)ïå of ç
  101. üê Find trigonometric form for the complex number
  102. êêêêè √3 + i
  103. êë ModulusêêêèReference Angle
  104. #êè┌──────────────
  105. #ë r = á (√3)ì + (1)ì = √4 = 2ê Θ¬ = Tanúî(1/√3) = 30°
  106. Since √3 + i is in the first quadrant, Θ = 30°.ïThus, √3 + i =
  107. 2∙(cos 30° + i∙sin 30°).
  108. Ç B
  109.  5ë Find trigonometric form in radian measure for the complex
  110. êê number √3 - i.
  111.  
  112. êêêA)ï2∙(cos 11π/6 + i∙sin 11π/6)
  113. êêêB)ï2∙(cos π/6 + i∙sin π/6)
  114. êêêC)ï√2∙(cos π/3 + i∙sin π/3)
  115. êêêD)ïå of ç
  116. üê Find trigonometric form for the complex number
  117. êêêêè √3 - i
  118. êë ModulusêêêèReference Angle
  119. #êè┌──────────────
  120. #ë r = á (√3)ì + (-1)ì = √4 = 2ê Θ¬ = Tanúî(-1/√3) = -π/6
  121. Since √3 - i is in the fourth quadrant, Θ = 11π/6.ïThus, √3 - i =
  122. 2∙(cos 11π/6 + i∙sin 11π/6).
  123. Ç A
  124.  6ë Find trigonometric form for the complex number
  125. êêêêê2i
  126.  
  127. êêêA)ï2∙(cos 180° + i∙sin 180°)
  128. êêêB)ï2∙(cos 270° + i∙sin 270°)
  129. êêêC)ï2∙(cos 90° + i∙sin 90°)
  130. êêêD)ïå of ç
  131. üê Find trigonometric form for the complex number
  132. êêêêë2i
  133. êë ModulusêêêèReference Angle
  134. #êè┌──────────────êêïTanúî(2/0) is undefined, but
  135. #ë r = á (0)ì + (2)ì = √4 = 2êïby inspection Θ = 90°.
  136. Thus, 2i = 2∙(cos 90° + sin 90°).
  137. Ç C
  138.  7ë Find trigonometric form in radian measure for the complex
  139. êê number 3 + 7i.
  140.  
  141. êêêA)ï3.241∙(cos 2.718 + i∙sin 2.718)
  142. êêêB)ï7.616∙(cos 1.166 + i∙sin 1.166)
  143. êêêC)ï4.165∙(cos 4.281 + i∙sin 4.281)
  144. êêêD)ïå of ç
  145. üê Find trigonometric form for the complex number 3 + 7i.
  146. You will need to use your calculator to find r and Θ.
  147. êë ModulusêêêèReference Angle
  148. #êè┌────────────è┌──
  149. #ë r = á (3)ì + (7)ì = á58 ≈ 7.616è Θ¬ = Tanúî(7/3) ≈ 1.166
  150. Since 3 + 7i is in the first quadrant, Θ ≈ 1.616.ïThus, 3 + 7i ≈
  151. 7.616∙(cos 1.166 + i∙sin 1,166).
  152. Ç B
  153. äïPlease change the following complex numbers from trigono-
  154. êêmetric form to rectangular form.
  155. â
  156.  
  157.  
  158. ê4∙(cos 150° + i∙sin 150°) = 4∙(-√3/2 + i∙(1/2)) = -2∙√3 + 2i
  159. éSïTo change a complex number from trigonometric form to rectangu-
  160. lar form, you should find the cos and sin of the given angle and distri-
  161. bute the given value of r.
  162.  
  163. ê4∙(cos 150° + i∙sin 150°) = 4∙(-√3/2 + i∙(1/2)) = -2∙√3 + 2i
  164.  8è Change the given complex number to rectangular form.
  165. êêêï√2∙(cos 315° + i∙sin 315°)
  166.  
  167. êè A)ï-1 + iêêêèB)ï2 - 2i
  168.  
  169. êè C)ï1 - iêêêè D)ïå of ç
  170. ü
  171. êêêï√2∙(cos 315° + sin 315°)
  172.  
  173. êêêï=ï√2∙(1/√2 + i(-1/√2))
  174.  
  175. êêêï=ï1 - i
  176. Ç C
  177.  9è Change the given complex number to rectangular form.
  178. êêêï2∙(cos 240° + i∙sin 240°)
  179.  
  180. êè A)ï-1 - √3iêêê B)ï1 - √3i
  181.  
  182. êè C)ï-1 + √3iêêê D)ïå of ç
  183. ü
  184. êêêï2∙(cos 240° + sin 240°)
  185.  
  186. êêêï=ï2∙(-1/2 + i(-√3/2))
  187.  
  188. êêêï=ï-1 - √3i
  189. Ç A
  190.  10èChange the given complex number to rectangular form.
  191. êêêï2∙(cos 4π/3 + i∙sin 4π/3)
  192.  
  193. êè A)ï-1 + √3iêêê B)ï-1 - √3i
  194.  
  195. êè C)ï1 - √3iêêêïD)ïå of ç
  196. ü
  197. êêêï2∙(cos 4π/3 + sin 4π/3)
  198.  
  199. êêêï=ï2∙(-1/2 + i(-√3/2))
  200.  
  201. êêêï=ï-1 - √3i
  202. Ç B
  203.  11èChange the given complex number to rectangular form.
  204. êêêï2.4∙(cos 23° + i∙sin 23°)
  205.  
  206. êè A)ï2.2092 + .8897iêê B)ï2.163 - .8861i
  207.  
  208. êè C)ï3.614 + .2183iêêïD)ïå of ç
  209. ü
  210. êêêï2.4∙(cos 23° + sin 23°)
  211.  
  212. êêêï≈ï2.4∙(.9205 + i.3707)
  213.  
  214. êêêï≈ï2.2092 + .8897i
  215. Ç A
  216.  12èChange the given complex number to rectangular form.
  217. êêêï3∙(cos 270° + i∙sin 270°)
  218.  
  219. êè A)ï-1 - 3iêêêïB)ï1 + 3i
  220.  
  221. êè C)ï-3iêêêë D)ïå of ç
  222. ü
  223. êêêï3∙(cos 270° + i∙sin 270°)
  224.  
  225. êêêï=ï3∙(0 + i∙(-1))
  226.  
  227. êêêï=ï-3i
  228. Ç C
  229.  
  230.