home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Trigonometry / ProOneSoftware-Trigonometry-Win31.iso / trig / chapter4.4r < prev    next >
Text File  |  1995-04-09  |  4KB  |  151 lines
  1.  149 
  2. à 4.4ïThe Addition Formulas
  3.  
  4. äïPlease use the Addition Formulas to answer the following
  5. êêquestions.
  6. â
  7. êë Change cos (45° + φ) to functions of φ only.
  8.  
  9. êècos (45° + φ)ï=ïcos 45° ∙ cos φ - sin 45° ∙ sin φ
  10. êêêè =ï(cos φ - sin φ)/√2
  11. éSïIn addition to the eight fundamental identities and the many
  12. identities that are provable using the eight fundamental identities,
  13. there are some other very important identities that will be especially
  14. helpful in later math courses.ïThey are the addition formulas, the
  15. double-angle and half-angle identities, and the product and sum identi-
  16. ties.ïThese will be covered in the next three sections.ïIn this sec-
  17. tion we will focus on the addition formulas.ïThey are listed below.
  18. êë 1)ïsin (A + B)ï=ïsin A∙cos B + cos A∙sin B
  19.  
  20. êë 2)ïsin (A - B)ï=ïsin A∙cos B - cos A∙sin B
  21.  
  22. êë 3)ïcos (A + B)ï=ïcos A∙cos B - sin A∙sin B
  23.  
  24. êë 4)ïcos (A - B)ï=ïcos A∙cos B + sin A∙sin B
  25.  
  26. êë 5)ïtan (A + B)ï=ï(tan A + tan B)/(1 - tan A∙tan B)
  27.  
  28. êë 6)ïtan (A - B)ï=ï(tan A - tan B)/(1 + tan A∙tan B)
  29. It is possible to locate angles A, B, and A - B on the unit circle,
  30. label the coordinates of the points, and use the distance formula on
  31. the resulting chords to derive the formula, cos (A - B)ï=
  32. cos A∙cos B + sin A∙sin B.ïThe formula for cos (A + B) can be found by
  33. expressing it as cos(A -(-B)) and simplifying the first formula.ïThe
  34. remaining identities can also be derived from ç two identities.
  35. These six identities are used to simplify trigonometric functions of the
  36. sum or difference of two angles.
  37. è In the example, cos (45° + φ) can be changed by using the cos of the
  38. sum of two angles identity.
  39. êïcos (45° + φ)ï=ïcos 45° ∙ cos φ - sin 45° ∙ sin φ
  40. êêêè=ï1/√2 ∙ cos φ - 1/√2 ∙ sin φ
  41. êêêè=ï(cos φ - sin φ)/√2
  42.  1êê Simplifyïsin (φ - 60°)
  43.  
  44. êè A)ïsin φ - cos φêê B)ïsin φ - 2∙cos φ
  45.  
  46. êè C)ï(sin φ - √3∙cos φ)/2ê D)ïå of ç
  47. ü
  48. ê sin (φ - 60°)ï=ïsin φ∙cos 60° - cos φ∙sin 60°
  49. êêêï=ï1/2 ∙ sin φ - √3/2 ∙ cos φ
  50. êêêï=ï(sin φ - √3 ∙ cos φ)/2
  51. Ç C
  52.  2êê Simplifyïcos (π/6 - φ)
  53.  
  54. ê A)ï√3 ∙ sin φ - 2 ∙ cos φë B)ï(√3 ∙ cos φ + sin φ)/2
  55.  
  56. ê C)ï2 ∙ cos φ - sin φêè D)ïå of ç
  57. ü
  58. ê cos (π/6 - φ)ï=ïcos π/6∙cos φ + sin π/6∙sin φ
  59. êêêï=ï√3/2 ∙ cos φ + 1/2 ∙ sin φ
  60. êêêï=ï(√3 ∙ cos φ + sin φ)/2
  61. Ç B
  62.  3êê Simplifyïtan (45° + φ)
  63.  
  64. êè A)ïtan φ/(1 - tan φ)êè B)ï(1 + tan φ)/(1 - tan φ)
  65.  
  66. êè C)ï(1 - tan φ)/tan φêè D)ïå of ç
  67. ü
  68. ê tan (45° + φ)ï=ï(tan 45° + tan φ)/(1 - tan 45° ∙ tan φ)
  69. êêêï=ï(1 + tan φ)/(1 - tan φ)
  70.  
  71. Ç B
  72.  4êè Use your calculator to evaluate
  73. êêïsin 142° ∙ cos 36° - cos 142° ∙ sin 36°
  74.  
  75. êë A)ï.9613êêêB)ï.7613
  76.  
  77. êë C)ï.8324êêêD)ïå of ç
  78. ü
  79.  
  80. êêïsin 142° ∙ cos 36° - cos 142° ∙ sin 36°
  81. êêêè=ïsin (142° - 36°)
  82. êêêêï≈ï.9613
  83. Ç A
  84.  5êè Use your calculator to evaluate
  85. êêïcos 42° ∙ cos 58° - sin 42° ∙ sin 58°
  86.  
  87. êë A)ï.2134êêêB)ï-.3145
  88.  
  89. êë C)ï-.1736êêë D)ïå of ç
  90. ü
  91.  
  92. êêïcos 42° ∙ cos 58° - sin 42° ∙ sin 58°
  93. êêêè=ïcos (42° + 58°)
  94. êêêêï≈ï-.1736
  95. Ç C
  96.  6êè Use your calculator to evaluate
  97. êê (tan 32° + tan 18°)/(1 - tan 32° ∙ tan 18°)
  98.  
  99. êë A)ï1.1918êêë B)ï1.9785
  100.  
  101. êë C)ï2.3166êêë D)ïå of ç
  102. ü
  103.  
  104. êê (tan 32° + tan 18°)/(1 - tan 32° ∙ tan 18°)
  105. êêêè=ïtan (32° + 18°)
  106. êêêêï≈ï1.1918
  107. Ç A
  108.  7ïProve one of the following equations is an identity.
  109.  
  110.  
  111. ë A)ïsin (3π/2 + φ)ï=ï-cos φëB)ïcos (3π/2 - φ)ï=ïcos φ
  112.  
  113. êêêë C)ïå of ç
  114. ü
  115. êêëProveïsin (3π/2 + φ)ï=ï-cos φ
  116.  
  117. êêëProof:ïsin (3π/2 + φ)
  118. êêêï=ïsin 3π/2 ∙ cos φ + cos 3π/2 ∙sin φ
  119. êêêï=ï-1 ∙ cos φ + 0 ∙sin φ
  120. êêêï= -cos φ
  121. Ç A
  122.  8ïProve one of the following equations is an identity.
  123.  
  124.  
  125. ë A)ïcos (π + φ)ï=ï-sin φëB)ïtan (π + φ)ï=ïtan φ
  126.  
  127. êêêë C)ïå of ç
  128. ü
  129. êêëProveïtan (π + φ)ï=ïtan φ
  130.  
  131. êêëProof:ïtan (π + φ)
  132. êêêï=ï(tan π + tan φ)/(1 - tan π ∙tan φ)
  133. êêêï=ï(0 + tan φ)/(1 - 0 ∙tan φ)
  134. êêêï=ïtan φ
  135. Ç B
  136.  9ïProve one of the following equations is an identity.
  137.  
  138.  
  139. ë A)ïcos (π - φ)ï=ï-cos φëB)ïsin (π + φ)ï=ïcos φ
  140.  
  141. êêêë C)ïå of ç
  142. ü
  143. êêëProveïcos (π - φ)ï=ï-cos φ
  144.  
  145. êêëProof:ïcos (π - φ)
  146. êêêï=ïcos π ∙ cos φ + sin π ∙ sin φ
  147. êêêï=ï-1 ∙ cos φ + 0 ∙ sin φ
  148. êêêï=ï-cos φ
  149. Ç A
  150.  
  151.