home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Multimedia Geometry / geometry-3.5.iso / GEOMETRY / CHAPTER3.3Y < prev    next >
Text File  |  1995-04-22  |  12KB  |  297 lines
  1. à 3.3èCongruent Triangles
  2. äèPlease prove that ê followïg pairs ç triangles are
  3. congruent or show that êy are not congruent.
  4. â 
  5.  
  6. èèèèèè Two triangles are congruent if å only if all 
  7. èèèèèè pairs ç correspondïg parts are congruent.
  8. éS1èèèèèèèèèèèèèèèè Two triangles are congruent if 
  9. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè êy have ê same size å 
  10. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè shape.èA test for congruence 
  11. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè could be ë rotate one triangle
  12. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè or flip å rotate one triangle
  13. @fig3301.BMP,35,30,147,74èèèèèèèèover ê oêr triangle ë seeèèèèèèèèèèèè 
  14. if êy match up perfectly.èIf êy do, ên êy are congruent.
  15. è The equal parts ç congruent triangles are called correspondïg parts.
  16. For example, ï ê above figure ▒╖ å ╜└ are correspondïg parts.è 
  17. Also, ╬A corresponds ë ╬H.èWhen two triangles are congruent, we can 
  18. say ΦABC ╧ ΦHEP.èNotice that ê order ç ê letters matches ê cor-
  19. respondïg angles.èNotice also ï ê figure that correspondïg parts
  20. have ê same marks.
  21.  
  22. Defïition 3.3.1èCONGRUENT TRIANGLES:èTwo triangles are congruent if
  23. all ê pairs ç correspondïg parts are congruent.
  24.  
  25. èèIt will not be necessary ï a proç ë show that all six pairs ç 
  26. correspondïg parts are congruent.èThe followïg three axioms allow
  27. us ë show triangles are congruent by provïg three pairs ç parts are
  28. congruent.
  29.  
  30. Axiom 16:èIf two angles å ê ïcluded side ç one triangle are con-
  31. gruent ë ê correspondïg parts ç anoêr triangle, ên ê tri-
  32. angles are congruent.
  33.  
  34. Axiom 17:èIf two sides å ê ïcluded angle ç one triangle are con-
  35. gruent ë ê correspondïg parts ç anoêr triangle, ên ê tri-
  36. angles are congruent.
  37.  
  38. Axiom 18:èIf three sides ç one triangle are congruent ë ê corres-
  39. pondïg sides ç anoêr triangle, ên ê triangles are congruent.
  40. èèèèèè
  41. èèèèèèèèèèèèèèèèIn ê figure you are given ïformation
  42. èèèèèèèèèèèèèèèèabout ê two triangles.èFor example it
  43. èèèèèèèèèèèèèèèèis seen that BC = HC å AC = EC.èIs 
  44. èèèèèèèèèèèèèèèèthis enough ïformation ë prove that
  45. èèèèèèèèèèèèèèèèê two triangles are congruent?èTheèè 
  46. @fig3302.BMP,55,230,147,74èèèfollowïg êorem proves congruence. 
  47. èèTheorem: Show that ΦABC ╧ ΦEHC
  48. èèèProç: Statementèèèèèèèèèè Reason
  49. èèèèèè 1. BC = HCèèèèèèèèèè1. Given
  50. èèèèèè 2. AC = ECèèèèèèèèèè2. Given
  51. èèèèèè 3. m╬BCA = m╬HCEèèèèèèè3. Vertical angles
  52. èèèèèè 4. ┤╖ ╧ ╜╖, ▒╖ ╧ ║╖èèèèè 4. Defïition ç congruence
  53. èèèèèè 5. ╬BCA ╧ ╬HCEèèèèèèèè5. Defïition ç congruence
  54. èèèèèè 6. ΦABC ╧ ΦEHCèèèèèèèè6. (17)Congruent by SAS
  55.  1èè Can you establish ê congruence ç ΦABC å ΦHEC?
  56.  
  57. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) Yes
  58.  
  59. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè B) No
  60.  
  61. @fig3303.BMP,35,40,147,74
  62. üèèèèèShow ΦABC ╧ ΦHEC
  63. èèèè Proç: StatementèèèèèèèèèèèReason
  64. èèèèèèèè1. ╬B ╧ ╬Eèèèèèèèèèè 1. Given
  65. èèèèèèèè2. ┤╖ ╧ ║╖èèèèèèèèèè 2. Given
  66. èèèèèèèè3. ╬BCA ╧ ╬ECHèèèèèèèè 3. Vertical angles
  67. èèèèèèèè4. ΦABC ╧ ΦHECèèèèèèèè 4. Congruent by ASA
  68. Ç A
  69.  2èèèèèèèCan you establish ê congruence ç ΦABC å ΦHEC
  70. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè if ▒╜ å ┤║ bisect each oêr?èèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  71.  
  72. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) Yes
  73. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  74. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè B) No
  75. @fig3304.BMP,35,40,147,74
  76. üèèèèShow ΦABC ╧ ΦHEC
  77. èèè Proç: Statementèèèèèèèèè Reason
  78. èèèèèèè1. ▒┤ ╧ ╜║èèèèèèèèè1. Given
  79. èèèèèèè2. AC = CHèèèèèèèèè2. Defïition ç bisect
  80. èèèèèèè3. BC = CEèèèèèèèèè3. Defïition ç bisect
  81. èèèèèèè4. ▒╖ ╧ ╜╖èèèèèèèèè4. Defïition ç congruence
  82. èèèèèèè5. ┤╖ ╧ ║╖èèèèèèèèè5. Defïition ç congruence 
  83. èèèèèèè6. ΦABC ╧ ΦHECèèèèèèè6. Congruent by SSS
  84. Ç A
  85.  3èCan you establish ê congruence ç ΦABC å ΦEBC if AC = EC?èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  86.  
  87. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèA) Yesèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  88.  
  89. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèB) No
  90.  
  91. @fig3305.BMP,35,40,147,74
  92. üèèè Show ΦABC ╧ ΦEBC
  93. èèèProç: Statementèèèèèèèèè Reason
  94. èèèèèè 1. AC = ECèèèèèèèèè1. Given
  95. èèèèèè 2. ▒╖ ╧ ║╖èèèèèèèèè2. Defïition ç congruence
  96. èèèèèè 3. ╬ACB ╧ ╬ECBèèèèèèè3. Given
  97. èèèèèè 4. CB = CBèèèèèèèèè4. Reflexive axiom
  98. èèèèèè 5. ╖┤ ╧ ╖┤èèèèèèèèè5. Defïition ç congruence 
  99. èèèèèè 6. ΦABC ╧ ΦEBCèèèèèèè6. Congruent by SAS
  100. Ç A
  101.  4è Can you establish ê congruence ç ΦABC å ΦCEA if AE = BCèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  102. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèå AB = EC?
  103. èè
  104. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) Yesèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  105.  
  106. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè B) No
  107. @fig3306.BMP,35,40,147,74
  108. üèèèèShow ΦABC ╧ ΦCEA
  109. èèè Proç: Statementèèèèèèèèè Reason
  110. èèèèèèè1. AE = BC, AB = ECèèèè 1. Given
  111. èèèèèèè2. ▒║ ╧ ╖┤, ▒│ ╧ ║╖èèèè 2. Defïition ç congruence
  112. èèèèèèè3. AC = ACèèèèèèèèè3. Reflexive axiom
  113. èèèèèèè4. ▒╖ ╧ ▒╖èèèèèèèèè4. Defïition ç congruence 
  114. èèèèèèè5. ΦABC ╧ ΦCEAèèèèèèè5. Congruent by SSS
  115. Ç A
  116.  5è Can you establish ê congruence ç ΦABC å ΦEBP if AB = EBèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  117. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèå AP = EC?
  118. èè
  119. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) Yesèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  120.  
  121. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè B) No
  122. @fig3307.BMP,35,40,147,74
  123. üèèèèShow ΦABC ╧ ΦEBP
  124. èèè Proç: Statementèèèèèèèèè Reason
  125. èèèèèèè1. AB = EB, AP = ECèèèè 1. Given
  126. èèèèèèè2. ▒┤ ╧ ║┤èèèèèèèèè2. Defïition ç congruence
  127. èèèèèèè3. m╬B = m╬Bèèèèèèèè3. Reflexive axiom
  128. èèèèèèè4. ╬B ╧ ╬Bèèèèèèèèè4. Defïition ç congruence 
  129. èèèèèèè5. AB - AP = EB - APèèèè5. Subtrac. axiom ç equality
  130. èèèèèèè6. AB - AP = EB - ECèèèè6. Substitution from 1
  131. èèèèèèè7. AP+PB - AP = EC+CB - ECè7. (8)Segment addition axiomè
  132. èèèèèèè8. PB = CBèèèèèèèèè8. Commu. å assoc. axioms
  133. èèèèèèè9. └┤ ╧ ╖┤èèèèèèèèè9. Defïition ç congruence
  134. èèèèèè 10. ΦABC ╧ ΦEBPèèèèèè 10. Congruent by SAS
  135. Ç A
  136.  6è Can you establish ê congruence ç ΦAPE å ΦECA if AB = EBèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  137. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèå AP = EC?
  138. èè
  139. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) Yesèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  140.  
  141. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè B) No
  142. @fig3307.BMP,35,40,147,74
  143. üèèèèShow ΦAPE ╧ ΦECA
  144. èèè Proç: Statementèèèèèèèèè Reason
  145. èèèèèèè1. AB = EB, AP = ECèèèè 1. Given
  146. èèèèèèè2. ▒└ ╧ ║╖èèèèèèèèè2. Defïition ç congruence
  147. èèèèèèè3. AE = AEèèèèèèèèè3. Reflexive axiom
  148. èèèèèèè4. ▒║ ╧ ▒║èèèèèèèèè4. Defïition ç congruence 
  149. èèèèèèè5. ▒╖ ╧ ║└èèèèèèèèè5. Problem 5 å correspondïg
  150. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè parts ç congruent Φs
  151. èèèèèèè6. ΦAPE ╧ ΦECAèèèèèèè6. Congruent by SSS
  152. Ç A
  153.  7è Can you establish ê congruence ç ΦACE å ΦHCB if ╬A ╧ ╬Hèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  154. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèå ▒║ ╧ ╜┤?
  155. èè
  156. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) Yesèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  157.  
  158. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè B) No
  159. @fig3308.BMP,35,40,147,74
  160. üèèèèèè 
  161. èèèèèèèèèèèèèèè
  162. èèèèèèèèèèèèè 
  163. èèèèèèèèèèè Not necessarily congruentèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  164. Ç B
  165.  8è Can you establish ê congruence ç ΦACE å ΦHCB if ╬A ╧ ╬Hèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  166. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèå ▒╖ ╧ ╜╖?
  167. èè
  168. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) Yesèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  169.  
  170. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè B) No
  171. @fig3308.BMP,35,40,147,74
  172. üèèèèèShow ΦACE ╧ ΦHCB
  173. èèèè Proç: Statementèèèèèèèèè Reason
  174. èèèèèèèè1. ╬A ╧ ╬H, ▒╖ ╧ ╜╖èèèè 1. Given
  175. èèèèèèèè2. m╬C = m╬Cèèèèèèèè2. Reflexive axiom
  176. èèèèèèèè3. ╬C ╧ ╬Cèèèèèèèèè3. Defïition ç congruenceèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  177. èèèèèèèè4. ΦACE ╧ ΦHCBèèèèèèè4. Congruent by ASA
  178. Ç A
  179.  9è Can you establish ê congruence ç ΦACE å ΦHCB if ╬A ╧ ╬Hèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  180. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèå ╬CBH ╧ ╬CEA?
  181. èè
  182. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) Yesèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  183.  
  184. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè B) No
  185. @fig3308.BMP,35,40,147,74
  186. üèèèèèèèè
  187. èèè 
  188. èèèèèè 
  189. èèèèèèèèèèèèNot necessarily congruentèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  190. Ç B
  191.  10èèCan you establish ê congruence ç ΦACE å ΦHCB if ╬AECèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  192. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèå ╬HBC are 90° å AC = HC?
  193. èè
  194. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) Yesèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  195.  
  196. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè B) No
  197. @fig3308.BMP,35,40,147,74
  198. üèèèèèShow ΦACE ╧ ΦHCB
  199. èèèè Proç: Statementèèèèèèèè Reason
  200. èèèèèèèè1. ╬AEC ╧ ╬HBCèèèèèè1. Given
  201. èèèèèèèè2. AC = HCèèèèèèèè2. Given
  202. èèèèèèèè3. ▒╖ ╧ ╜╖èèèèèèèè3. Defïition ç congruence
  203. èèèèèèèè4. m╬C = m╬Cèèèèèèè4. Reflexive axiom
  204. èèèèèèèè5. ╬C ╧ ╬Cèèèèèèèè5. Defïition ç congruence
  205. èèèèèèèè6. ╬A ╧ ╬Hèèèèèèèè6. Complements ç ╬C are
  206. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè congruentèèèèèèèèèè
  207. èèèèèèèè7. ΦACE ╧ ΦHCBèèèèèè7. Congruent by ASA
  208. Ç A
  209.  11èèCan you establish ê congruence ç segments ▒└ å ╜└ ifèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  210. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè ┤╖ ╧ ║╖ å ╬BCP ╧ ╬ECP?
  211. èè
  212. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) Yesèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  213.  
  214. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè B) No
  215. @fig3309.BMP,35,40,147,74
  216. üèèèèèShow ▒┤ ╧ ╜└ 
  217. èèèè Proç: Statementèèèèèèèèè Reason
  218. èèèèèèèè1. ┤╖ ╧ ║╖, ╬BCP ╧ ╬ECPèè 1. Given
  219. èèèèèèèè2. CP ╧ CPèèèèèèèèè2. Congruence is reflexive
  220. èèèèèèèè3. ΦBCP ╧ ΦECPèèèèèèè3. Congruent by SAS 
  221. èèèèèèèè4. ╬CBP ╧ ╬CEPèèèèèèè4. Correspondïg parts ç
  222. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè congruent Φs
  223. èèèèèèèè5. ╬ABP ╧ ╬HEPèèèèèèè5. Supplements ç congruent 
  224. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè angles
  225. èèèèèèèè6. ╬BPA ╧ ╬EPHèèèèèèè6. Vertical angles
  226. èèèèèèèè7. ┤└ ╧ ║└èèèèèèèèè7. Correspondïg parts ç
  227. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè congruent Φsèèèèèèèè
  228. èèèèèèèè8. ΦABP ╧ ΦHEPèèèèèèè8. Congruent by ASA
  229. èèèèèèèè9. ▒└ ╧ ╜└èèèèèèèèè9. Correspondïg parts ç
  230. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè congruent Φs 
  231. Ç A
  232.  12èèCan you establish ê congruence ç angles ╬BCP å ╬ECPèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  233. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè if ┤╖ ╧ ║╖ å ▒┤ ╧ ╜║?
  234. èè
  235. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) Yesèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  236.  
  237. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè B) No
  238. @fig3309.BMP,35,40,147,74
  239. üèèè Show ╬BCP ╧ ╬ECP 
  240. èèèProç: StatementèèèèèèèèReason
  241. èèèèèè 1. ┤╖ ╧ ╖║, ▒┤ ╧ ╜║èèè1. Given
  242. èèèèèè 2. AB + BC = HE + ECèè 2. Addition axiom ç equality
  243. èèèèèè 3. AC = HCèèèèèèè 3. (8)Segment addition axiom 
  244. èèèèèè 4. ▒╖ ╧ ╜╖èèèèèèè 4. Defïition ç congruenceèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  245. èèèèèè 5. ╬BCE ╧ ╬BCEèèèèè 5. Congruence is reflexive 
  246. èèèèèè 6. ΦACE ╧ ΦHCBèèèèè 6. Congruent by SAS
  247. èèèèèè 7. ╬CBH ╧ ╬CEAèèèèè 7. Correspondïg partsèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  248. èèèèèè 8. ╬ABP ╧ ╬HEPèèèèè 8. Supplements ç congruent angles
  249. èèèèèè 9. ╬A ╧ ╬Hèèèèèèè 9. Correspondïg partsèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  250. èèèèèè10. ΦABP ╧ ΦHEPèèèèè10. Congruent by ASA
  251. èèèèèè11. ┤└ ╧ ║└èèèèèèè11. Correspondïg partsèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  252. èèèèèè12. ΦCBP ╧ ΦCEPèèèèè12. Congruent by SSS
  253. èèèèèè13. ╬BCP ╧ ╬ECPèèèèè13. Correspondïg parts 
  254. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  255. Ç A
  256.  13èèèèèè Can you establish ê congruence ç ΦBCE å ΦBAEèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  257. èèèèèèèèèèèèèèèèèè if ╬C ╧ ╬A å m╬CBE = m╬ABE = 90°?
  258. èè
  259. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) Yesèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  260.  
  261. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè B) No
  262. @fig3310.BMP,35,40,147,74
  263. üèè Show ΦBCE ╧ ΦBAE 
  264. èèProç: Statementèèèèèèèè Reason
  265. èèèèè 1. ╬C ╧ ╬Aèèèèèèèè1. Given
  266. èèèèè 2. m╬CBE = m╬ABE = 90°èè2. Given
  267. èèèèè 3. ╬CEB ╧ ╬AEBèèèèèè3. Complements ç congruent angles 
  268. èèèèè 4. ┤║ ╧ ┤║èèèèèèèè4. Congruence is reflexiveèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  269. èèèèè 5. ΦBCE ╧ ΦBAEèèèèèè5. Congruent by ASAèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  270. Ç A
  271.  14èèèèèè Can you establish ê congruence ç ΦBCE å ΦBAEèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  272. èèèèèèèèèèèèèèèèèèè if ┤║ ß ╖▒, ╬C ╧ ╬A, å ╖║ ╧ ▒║?
  273. èè
  274. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè A) Yesèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  275.  
  276. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè B) No
  277. @fig3310.BMP,35,40,147,74
  278. üèèè Show ΦBCE ╧ ΦBAE 
  279. èèèProç: StatementèèèèèèèèReason
  280. èèèèèè 1. ╬C ╧ ╬Aèèèèèèè 1. Given
  281. èèèèèè 2. ╖║ ╧ ▒║èèèèèèè 2. Given
  282. èèèèèè 3. ┤║ ß ╖▒èèèèèèè 3. Given 
  283. èèèèèè 4. ╬CBE å ╬ABE areèè 4. Defïition ç perpendicular
  284. èèèèèèèèèright anglesèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  285. èèèèèè 5. ╬CEB ╧ ╬AEBèèèèè 5. Complements ç congruent angles
  286. èèèèèè 6. ┤║ ╧ ┤║èèèèèèè 6. Congruence is reflexive
  287. èèèèèè 7. ΦBCE ╧ ΦBAEèèèèè 7. Congruent by ASAèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè
  288. Ç A
  289.  
  290.  
  291.  
  292.  
  293.  
  294.  
  295.  
  296.  
  297.