home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Multimedia Geometry / geometry-3.5.iso / GEOMETRY / CHAPTER2.2Y < prev    next >
Text File  |  1995-04-21  |  6KB  |  152 lines
  1. à 2.2èDeductive Proçs from Algebra
  2. äèPlease complete ê followïg deductive proçs from
  3. algebra.
  4. â
  5. è
  6.  
  7. èèèèèèèèèèèèè Please see Details.
  8. éS In ê last section we looked at discoverïg patterns usïg ï-
  9. ductive reasonïg.èIn this section we will use deductive reasonïg ë 
  10. prove that some observed patterns ï algebra are universally true.èWe 
  11. have used algebra earlier ï this program for examples ç undefïed 
  12. terms, defïitions, å axioms.èNow we will use it for examples ç de-
  13. ductive proçs.èHowever, before we write deductive algebraic proçs, we
  14. should make a more complete list ç ê axioms that are assumed ï that
  15. maêmatical system.
  16.  
  17. èèèèèèèèèèèèèèèèèAXIOMS
  18.  
  19. è For all real numbers a, b, å c:
  20.  
  21.  1.èThe sum ç two real numbersèèèèClosure axiom for additionèèèè 
  22. èè is a real numberèèèèè
  23.  2.èa + (b + c) = (a + b) + cèèèèèAssociative axiom for addition
  24.  3.èa + b = b + aèèèèèèèèèèèCommutative axiom for addition
  25.  4.èa + 0 = aèèèèèèèèèèèèèAdditive identity
  26.  5.èa + (-a) = 0èèèèèèèèèèè Additive ïverse
  27.  6.èThe product ç two real numbersèèClosure axiom for multiplication
  28. èè is a real numberèèèèèèèèè
  29.  7.èa(b·c) = (ab)cèèèèèèèèèè Associative axiom for 
  30. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè multiplication
  31.  8.èa·b = b·aèèèèèèèèèèèèèCommutative axiom for 
  32. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè multiplication
  33.  9.èa·1 = aèèèèèèèèèèèèèèMultiplicative identity
  34. 10.èa·1/a = 1èèèèèèèèèèèèèMultiplicative ïverseèèèèèèèèèè 
  35. 11.èa(b + c) = a·b + acèèèèèèèèDistributive axiom
  36. 12.èa = aèèèèèèèèèèèèèèèReflexive axiom
  37. 13.èIf a = b, ên b = aèèèèèèè Symmetric axiom
  38. 14.èIf a = b å b = c, ên a = cèè Transitive axiom
  39. 15.èIf a = b, ên you canèèèèèè Substitution axiom 
  40. èè substitute a for b
  41. 16.èEiêr a = b, a > b, or a < cèèèTrichoëmy axiom
  42. 17.èIf a = b, ên a + c = b + cèèè Addition axiom for equations
  43. 18.èIf a = b, ên ac = bcèèèèèè Multiplication axiom for 
  44. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè equations
  45. 19.èIf a < b, ên a + c < b + cèèè Addition axiom for ïequalities
  46. 20.èIf a < b å c > 0, ên ac < bcè Multiplication axiom forèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  47. èè If a < b å c < 0, ên ac > bcèèèïequalities 
  48.  
  49. Theorem:èIf a = b å c = d, ên a + c = b + d.
  50. Proç:èèè Statementèèèèèèèè Reason
  51. èèèèèè 1. a = bèèèèèèèèè1. Givenèèè
  52. èèèèèè 2. c = dèèèèèèèèè2. Given
  53. èèèèèè 3. a + c = b + cèèèèè3. Addition axiom for equations 
  54. Conclusion:è4. a + c = b + dèèèèè4. Substitution ç d for c
  55.  
  56. èèThe above deductive proç establishes that equals can always be 
  57. added ë equals.èThe followïg example shows how ë prove somethïg 
  58. is not true by counterexample.èIf you believe a given statement is 
  59. not universally true, all you have ë do ë prove that it is untrue
  60. is ë fïd at least one numerical counterexample where it fails.èTo
  61. show that a - b = b - a is not universally true, we just have ë fïd 
  62. one numerical example where it fails.
  63.  
  64. èèèèLet's try a = 5 å b = 8.èèèèèèèa - b = b - a
  65. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè5 - 8 = 8 - 5
  66. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè -3 = 3
  67. è This contradiction means that a - b = b - a is not universally true.
  68.  1
  69. è Please prove ê followïg statement is universally true by deductive
  70. proç, or show that it is not universally true by counterexample.
  71.  
  72. èèèèèèèèèIf a = b å c = d, ên ac = bd. 
  73.  
  74. èèèA) True by deductive proçèèèB) Not true by counterexampleè 
  75. üèèèèèèIf a = b å c = d, ên ac = bd.
  76.  
  77. èProç:èè StatementèèèèèèReason
  78. èèèèèè 1. a = bèèèèèè 1. Given
  79. èèèèèè 2. c = dèèèèèè 2. Given
  80. èèèèèè 3. a·c = b·cèèèè 3. Multiplication axiom for equations
  81.  Conclusion: 4. ac = bdèèèèè 4. Substitution ç d for cè
  82. Ç A
  83.  2
  84. è Please prove ê followïg statement is universally true by deductive
  85. proç, or show that it is not universally true by counterexample.
  86.  
  87. èèèèèèIf a å b are real numbers, ên a ÷ b = b ÷ a. 
  88.  
  89. èèèA) True by deductive proçèèèB) Not true by counterexampleè 
  90. üèèèèIf a å b are real numbers, ên a ÷ b = b ÷ a.
  91. èTo show that a ÷ b = b ÷ a is not universally true, we just have ë
  92. fïd one numerical counterexample where it fails.
  93. èèè Let's try a = 4 å b = 2.èèèèè a ÷ b = b ÷ a
  94. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè4 ÷ 2 = 2 ÷ 4
  95. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè2 = 1/2
  96. This contradiction implies that a ÷ b = b ÷ a is not universally true.èèèèèèèèèèèèèèèèè 
  97. Ç Bè
  98.  3
  99. è Please prove ê followïg statement is universally true by deductive
  100. proç, or show that it is not universally true by counterexample.
  101.  
  102. èèèèèèè If a = b å c = d, ên a - c = b - d. 
  103.  
  104. èèèA) True by deductive proçèèèB) Not true by counterexampleè 
  105. üèèèèè If a = b å c = d, ên a - c = b - d.
  106. èè Proç:èStatementèèèèèèèèè Reasonè
  107. èèèèèè 1. a = bèèèèèèèèèè1. Given
  108. èèèèèè 2. c = dèèèèèèèèèè2. Given
  109. èèèèèè 3. a + (-c) = b + (-c)èèè3. Addition axiom for equationsèèèèèèèèèè
  110. èèèèèè 4. a - c = b - cèèèèèè4. Defïition ç subtractionèèèèèèèèèèè
  111.  Conclusion: 5. a - c = b - dèèèèèè5. Substitution ç d for cèèèèè 
  112. Ç Aè
  113.  4
  114. è Please prove ê followïg statement is universally true by deductive
  115. proç, or show that it is not universally true by counterexample.
  116.  
  117. èèIf a, b, å c are real numbers, ên a + b·c = (a + b)·(a + c). 
  118.  
  119. èèèA) True by deductive proçèèèB) Not true by counterexampleè 
  120. ü To show that a + b·c = (a + b)·(a + c) is not universally true,èèèèè 
  121. we just have ë fïd one numerical counterexample where it fails.è 
  122. è 
  123. è Let's try a = 2, b = 3, å c = 4.èèèè2 + 3·4 = (2 + 3)·(2 + 4)èè 
  124. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè2 + 12 = 5·6
  125. èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè14 = 30èè
  126. è This contradiction implies that a + b·c = (a + b)·(a + c) is not 
  127. universally true.èèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  128. Ç Bè
  129.  5
  130. è Please prove ê followïg statement is universally true by deductive
  131. proç, or show that it is not universally true by counterexample.
  132.  
  133. èèèèèIf b å c are additive ïverses ç a, ên b = c. 
  134.  
  135. èèèA) True by deductive proçèèèB) Not true by counterexampleè 
  136. üèè If b å c are additive ïverses ç a, ên b = c.èèèèè 
  137. Proç: Statementèèèèèèèèèèè Reason 
  138. èèè 1. a + b = 0èèèèèèèèèè1. Given additive ïverse
  139. èèè 2. a + c = 0èèèèèèèèèè2. Given additive ïverse
  140. èèè 3. a + b = a + cèèèèèèèè3. Transitive axiomèèèèèèèèèè
  141. èèè 4. b + (a + b) = b + (a + c)èè4. Addition axiom for equationsèèèèèèèèèèèèèèèèèèèè 
  142. èèè 5. (b + a) + b = (b + a) + cèè5. Associative axiom for addition 
  143. èèè 6. 0 + b = 0 + cèèèèèèèè6. Additive ïverse
  144. èèè 7. b = cèèèèèèèèèèèè7. Additive identityèèèèèèèèèèè 
  145. Ç Aè
  146.  
  147.  
  148.  
  149.  
  150.  
  151.  
  152.