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|000044d0| 6f 72 20 61 20 6d 61 74 | 72 69 78 2c 20 74 68 65 |or a mat|rix, the|
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|00004c40| 64 6c 69 6e 67 2e 0a 0a | 49 6d 70 6f 72 74 61 6e |dling...|Importan|
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|00004c80| 61 74 69 6f 6e 20 66 75 | 6e 63 74 69 6f 6e 73 0a |ation fu|nctions.|
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|00004da0| 32 2a 58 5e 32 2d 32 7d | 7b 58 7d 2e 24 24 0a 41 |2*X^2-2}|{X}.$$.A|
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|00005bf0| 6f 62 6a 65 63 74 20 24 | 78 24 20 69 6e 74 6f 20 |object $|x$ into |
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|00006290| 4e 6f 74 65 20 74 68 61 | 74 20 69 6e 20 74 68 65 |Note tha|t in the|
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|000062d0| 20 6e 6f 74 20 69 64 65 | 6e 74 69 63 61 6c 20 74 | not ide|ntical t|
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|000062f0| 6d 70 6c 65 20 69 66 0a | 24 78 20 3d 20 31 2b 4f |mple if.|$x = 1+O|
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|00006320| 6c 65 20 24 7b 5c 74 74 | 20 73 71 72 7d 20 28 20 |le ${\tt| sqr} ( |
|00006330| 78 20 29 20 3d 20 31 2b | 4f 28 32 5e 36 29 24 2e |x ) = 1+|O(2^6)$.|
|00006340| 0a 28 52 65 6d 61 72 6b | 3a 20 6e 6f 74 65 20 74 |.(Remark|: note t|
|00006350| 68 61 74 20 69 66 20 77 | 65 20 77 61 6e 74 65 64 |hat if w|e wanted|
|00006360| 20 74 6f 20 62 65 20 73 | 74 72 69 63 74 6c 79 20 | to be s|trictly |
|00006370| 63 6f 6e 73 69 73 74 65 | 6e 74 20 77 69 74 68 20 |consiste|nt with |
|00006380| 74 68 65 0a 50 41 52 49 | 20 70 68 69 6c 6f 73 6f |the.PARI| philoso|
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|000063a0| 61 76 65 20 24 78 2a 79 | 3d 20 28 34 20 5c 6d 6f |ave $x*y|= (4 \mo|
|000063b0| 64 20 38 29 24 20 77 68 | 65 6e 20 62 6f 74 68 20 |d 8)$ wh|en both |
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|000063d0| 63 6f 6e 67 72 75 65 6e | 74 20 74 6f 20 24 32 24 |congruen|t to $2$|
|000063e0| 20 6d 6f 64 75 6c 6f 20 | 24 34 24 2c 20 6f 72 20 | modulo |$4$, or |
|000063f0| 24 7b 5c 74 74 20 73 71 | 72 7d 28 78 29 3d 28 34 |${\tt sq|r}(x)=(4|
+--------+-------------------------+-------------------------+--------+--------+
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