home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Internet Standards / CD2.mdf / ccitt / 1992 / e / e506.asc < prev    next >
Text File  |  1991-12-30  |  26KB  |  640 lines
  1.          All drawings appearing in this Recommendation have been done in Autocad.
  2.          Recommendation E.506
  3.                           FORECASTING INTERNATIONAL TRAFFIC1)
  4.          1      Introduction
  5.                This Recommendation is the first in a series of three Recommendations  that
  6.          cover international telecommunications forecasting.
  7.                In  the  operation  and  administration  of  the  international   telephone
  8.          network, proper and  successful  development  depends  to  a  large  degree  upon
  9.          estimates for the future. Accordingly, for the planning of equipment and  circuit
  10.          provision  and  of  telephone   plant   investments,   it   is   necessary   that
  11.          Administrations forecast the traffic which the network will carry. In view of the
  12.          heavy capital investments in the international network, the  economic  importance
  13.          of the most reliable forecast is evident.
  14.                The purpose of this Recommendation is to  give  guidance  on  some  of  the
  15.          prerequisites for  forecasting  international  telecommunications  traffic.  Base
  16.          data, not only traffic and call data but also economic,  social  and  demographic
  17.          data, are  of  vital  importance  for  forecasting.  These  data  series  may  be
  18.          incomplete; strategies are recommended for dealing with missing  data.  Different
  19.          forecasting approaches are presented  including  direct  and  composite  methods,
  20.          matrix forecasting, and top down and bottom up procedures.
  21.                Recommendation E.507 provides guidelines for  building  forecasting  models
  22.          and contains an overview of various forecasting techniques. Recommendation  E.508
  23.          covers the forecasting of new international telecommunications services.
  24.          2      Base data for forecasting
  25.                An  output  of  the  international  traffic  forecasting  process  is   the
  26.          estimated number of circuits required for each period in the forecast horizon. To
  27.          obtain these values, traffic  engineering  techniques  are  applied  to  forecast
  28.          Erlangs, a measure of traffic. Figure 1/E.506 outlines two  different  approaches
  29.          for determining forecasted Erlangs.
  30.                The two different strategies for forecasting are the  direct  strategy  and
  31.          the composite strategy. The first step in either process is to collect raw  data.
  32.          These raw data, perhaps adjusted, will be the base  data  used  to  generate  the
  33.          traffic forecasts. Base data may be hourly, daily, monthly, quarterly, or annual.
  34.          Most Administrations use monthly accounting data for forecasting purposes.
  35.                With the direct strategy, the  traffic  carried  in  Erlangs,  or  measured
  36.          usage, for each relation would be  regarded  as  the  base  data  in  forecasting
  37.          traffic growth. These data may be adjusted to account  for  such  occurrences  as
  38.          regeneration (see Recommendation E.500).
  39.                                         Figure 1/E.506 - T0200800-87
  40.  
  41.                In both strategies (direct and composite) it is necessary  to  convert  the
  42.          carried traffic into offered traffic Erlangs. The conversion formula can be found
  43.          in Recommendation E.501 for the direct strategy and in  this  Recommendation  for
  44.          the composite strategy.
  45.                Composite forecasting uses  historical  international  accounting  data  of
  46.          monthly paid minute traffic as the base data. The  data  may  be  adjusted  by  a
  47.          number of factors, either before or after the forecasting process, that are  used
  48.          for converting paid minutes on the basis of the accounting  data  into  busy-hour
  49.          Erlang forecasts.
  50.                As seen in Figure 1/E.506, the forecasting process is common  to  both  the
  51.          direct and composite strategy. However, the actual methods or models used in  the
  52.          process vary. Forecasts can be  generated,  for  example,  using  traffic  matrix
  53.          methods (see S  4),  econometric  models  or  autoregressive  models  (see  S  3,
  54.          Recommendation E.507). There are  various  other  data  that  are  input  to  the
  55.          forecasting  process.  Examples  of  these  are  explanatory  variables,   market
  56.          segmentation information and price elasticities.
  57.                Wherever possible, both the direct  and  composite  forecasting  strategies
  58.          should be used and  compared.  This  comparison  may  reveal  irregularities  not
  59.          evident from the use  of  only  one  method.  Where  these  are  significant,  in
  60.          particular in the case of the busy hour, the causes for the differences should be
  61.          identified before the resulting forecast is adopted.
  62.  
  63.  
  64.          1) The old Recommendation E.506 which  appeared  in  the  Red  Book  was  split  into  two
  65.            Recommendations, revised E.506 and new E.507 and considerable new material was added to
  66.            both.
  67.  
  68.  
  69.  
  70.                                                         Fascicle II.3 - Rec. E.506   PAGE1
  71.  
  72.                In econometric modelling especially,  explanatory  variables  are  used  to
  73.          forecast international traffic. Some of the most important of these variables are
  74.          the following:
  75.                -   exports,
  76.                -   imports,
  77.                -   degree of automation,
  78.                -   quality of service,
  79.                -   time differences between countries,
  80.                -   tariffs,
  81.                -   consumer price index, and
  82.                -   gross national product.
  83.                Other explanatory  variables,  such  as  foreign  business  travellers  and
  84.          nationals living in other countries, may also be important  to  consider.  It  is
  85.          recommended that data bases for explanatory variables should be as  comprehensive
  86.          as possible to provide more information to the forecasting process.
  87.                Forecasts may be based on market segmentation. Base data may be  segmented,
  88.          for example, along regional lines, by  business,  non-business,  or  by  type  of
  89.          service. Price elasticities should also be examined, if possible, to quantify the
  90.          impact of tariffs on the forecasting data.
  91.          3      Composite strategy - Conversion method
  92.                The monthly paid-minutes traffic is  converted  to  busy-hour  Erlangs  for
  93.          dimensioning  purposes  by  the  application  of  a  number  of  traffic  related
  94.          conversion factors for each service category. The conversion is  carried  out  in
  95.          accordance with the formula:
  96.                                             A = Mdh/60e                               (3-1)
  97.          where
  98.                A   is the estimated mean traffic in the busy hour,
  99.                M   is the monthly paid-minutes,
  100.                d   is day-to-month ratio,
  101.                h   is the busy hour-to-day ratio, and
  102.                e   is the efficiency factor.
  103.                The formula is described in detail in Annex A.
  104.          4      Procedures for traffic matrix forecasting
  105.          4.1    Introduction
  106.                To use traffic matrix or point-to-point forecasts the following  procedures
  107.          may be used:
  108.                -   Direct point-to-point forecasts,
  109.                -   Kruithof's method,
  110.                -   Extension of Kruithof's method,
  111.                -   Weighted least squares method.
  112.                It is also possible to develop a Kalman  Filter  model  for  point-to-point
  113.          traffic taking into account the aggregated forecasts. Tu and Pack describe such a
  114.          model in [16].
  115.                The forecasting procedures can be used to  produce  forecasts  of  internal
  116.          traffic within groups of countries, for example, the  Nordic  countries.  Another
  117.          application is to produce forecasts for national traffic on various levels.
  118.          4.2    Direct point-to-point forecasts
  119.                It is possible to produce better forecasts  for  accumulated  traffic  than
  120.          forecast of traffic on a lower level.
  121.                Hence, forecasts of outgoing traffic (row sum) or incoming traffic  (column
  122.          sum) between one country and a group of countries will give a  relatively  higher
  123.          precision than the separate forecasts between countries.
  124.                In this situation it is possible to  adjust  the  individual  forecasts  by
  125.          taking into account the aggregated forecasts.
  126.                On the other hand, if the  forecasts  of  the  different  elements  in  the
  127.          traffic matrix turn out to be as good as the accumulated forecasts,  then  it  is
  128.          not necessary to adjust the forecasts.
  129.                Evaluation of the relative precision of forecasts may  be  carried  out  by
  130.          comparing the ratios só(X)/X where X is the forecast  and  eq  \o(\s\up4(^),s)(X)
  131.          the estimated forecast error.
  132.          4.3    Kruithof's method
  133.                Kruithof's method [11] is well  known.  The  method  uses  the  last  known
  134.          traffic matrix and forecasts of the row and column sum to make forecasts  of  the
  135.          traffic matrix. This is carried out by an efficient iteration procedure.
  136.                Kruithof's method does not take into account the change over  time  in  the
  137.  
  138.  
  139.  
  140.  
  141.          PAGE4   Fascicle II.3 - Rec. E.506
  142.  
  143.          point-to-point traffic. Because  Kruithof's  method  only  uses  the  last  known
  144.          traffic matrix, information on the previous traffic matrices does not  contribute
  145.          to the forecasts. This would be disadvantageous. Especially when  the  growth  of
  146.          the distinct point-to-point  traffic  varies.  Also  when  the  traffic  matrices
  147.          reflect seasonal data, Kruithof's method may give poor forecasts.
  148.          4.4    Extension of Kruithof's method
  149.                The traditional Kruithof's method is a projection of the traffic  based  on
  150.          the last known traffic matrix and forecasts of the row and column sums.
  151.                It is possible to extend Kruithof's method by taking into account not  only
  152.          forecasts of the row and column but also  forecasts  of  point-to-point  traffic.
  153.          Kruithof's method is then used to adjust the point-to-point traffic forecasts  to
  154.          obtain consistency with the forecasts of row and column sums.
  155.                The extended Kruithof's method is superior to  the  traditional  Kruithof's
  156.          method and is therefore recommended.
  157.          4.5    Weighted least squares method
  158.                Weighted least squares method is again an extension  of  the  last  method.
  159.          Let {Cij}, {Ci.} and {C.j} be forecasts of point-to-point traffic, row  sums  and
  160.          column sums respectively.
  161.                The extended Kruithof's method assumes that the row  and  column  sums  are
  162.          "true" and adjust {Cij} to obtain consistency.
  163.                The weighted least squares method [2] is based on the assumption that  both
  164.          the point-to-point forecasts and the row and column sum forecasts are  uncertain.
  165.          A reasonable way to solve the problem is to give the various forecasts  different
  166.          weights.
  167.                Let the weighted least squares forecasts be {Dij}.  The  square  sum  Q  is
  168.          defined by:
  169.                       Q = eq \i\su(ij, ,aij)(Cij - Dij)2+eq \i\su(i, , ) bi(Ci. - Di.)2+eq 
  170.          \i\su(j, , ) cj(C.j - D.j)2                   (4-1)
  171.          where {aij}, {bi }, {cj} are chosen constants or weights.
  172.                The weighted least squares forecast is found by:
  173.                MinQ(Dij)
  174.                Dij
  175.  
  176.  
  177.  
  178.  
  179.  
  180.  
  181.  
  182.  
  183.  
  184.  
  185.  
  186.  
  187.  
  188.  
  189.  
  190.  
  191.  
  192.  
  193.  
  194.  
  195.  
  196.  
  197.  
  198.  
  199.  
  200.  
  201.  
  202.  
  203.  
  204.  
  205.  
  206.  
  207.  
  208.  
  209.  
  210.  
  211.  
  212.                                                         Fascicle II.3 - Rec. E.506   PAGE1
  213.  
  214.          subject to
  215.                Di. = eq \i\su(j, , ) Dij  i = 1, 2, . . .                                     
  216.          (4-2)
  217.          and
  218.                D.j = eq \i\su(i, , ) Dij  j = 1, 2, . . .
  219.                A natural choice  of  weights  is  the  inverse  of  the  variance  of  the
  220.          forecasts. One way to find an estimate of the standard deviation of the forecasts
  221.          is to perform ex-post forecasting and then calculate the root mean square error.
  222.                The properties of this method are analyzed in [14].
  223.          5      Top down and bottom up methods
  224.          5.1    Choice of model
  225.                The object is to produce forecasts for the traffic between  countries.  For
  226.          this to be a sensible procedure, it is necessary that  the  traffic  between  the
  227.          countries should not be too small, so that  the  forecasts  may  be  accurate.  A
  228.          method of this type is usually denoted as "bottom up".
  229.                Alternatively, when  there  is  a  small  amount  of  traffic  between  the
  230.          countries in question, it is better to start out with forecasting the traffic for
  231.          a larger group of countries. These forecasts  are  often  used  as  a  basis  for
  232.          forecasts for the traffic to each country. This is done by a correction procedure
  233.          to be described in more detail below. Methods of this type are called "top down".
  234.          The following comments concern the preference of one method over another.
  235.                Let sT2 be the variance of the aggregated forecast, and si2 be the variance
  236.          of the local forecast No. i and gij be the covariance of the local forecast No. i
  237.          and j. If the following inequality is true:
  238.                       eq \o(\s\up4(^),s)\s(2,T) < eq \i\su(i, , ) eq \o(\s\up 
  239.          4(^),s)\s(2,i) + eq \i\su(i  ╣, , )\I\su(  j, , )gij                         (5-1)
  240.          then, in general, it is not recommended to use the bottom up method, but  to  use
  241.          the top down method.
  242.                In many situations it is possible to use a more advanced forecasting  model
  243.          on the aggregated level. Also, the data  on  an  aggregated  level  may  be  more
  244.          consistent and less influenced by stochastic changes compared to data on a  lower
  245.          level. Hence, in most cases the inequality stated above  will  be  satisfied  for
  246.          small countries.
  247.          5.2    Bottom up method
  248.                As outlined in S 5.1 the bottom up method is defined  as  a  procedure  for
  249.          making separate forecasts of the traffic between different countries directly. If
  250.          the inequality given in S 5.1 is not satisfied, which may be the case  for  large
  251.          countries, it is sufficient to use the  bottom  up  method.  Hence,  one  of  the
  252.          forecasting models mentioned in Recommendation  E.507  can  be  used  to  produce
  253.          traffic forecasts for different countries.
  254.          5.3    Top down procedure
  255.                In  most  cases  the  top  down  procedure  is  recommended  for  producing
  256.          forecasts of international traffic for a small country. In  Annex  D  a  detailed
  257.          example of such a forecasting procedure is given.
  258.                The first step in the procedure is to  find  a  forecasting  model  on  the
  259.          aggregated level, which may be a  rather  sophisticated  model.  Let  XT  be  the
  260.          traffic forecasts on the aggregated level and sT the estimated standard deviation
  261.          of the forecasts.
  262.                The next step is to develop  separate  forecasting  models  of  traffic  to
  263.          different countries. Let Xi be the traffic forecast to the ith  country  and  sói
  264.          the standard deviation. Now, the separate forecasts [Xi] have to be corrected  by
  265.          taking into account the aggregated forecasts XT. We know that in general
  266.                                      XT ╣ eq \i\su(i, , ) Xi                          (5-2)
  267.                Let the  corrections  of  [Xi]  be  [X`i],  and  the  corrected  aggregated
  268.          forecast then be X`T = S X`i.
  269.                The procedure for finding [X`i] is described in Annex C.
  270.          6      Forecasting methods when observations are missing
  271.          6.1    Introduction
  272.                Most forecasting models are based on equally spaced  time  series.  If  one
  273.          observation or a set of observations are missing, it is necessary either  to  use
  274.          an estimate of missing observations and then use  the  forecasting  model  or  to
  275.          modify the forecasting model.
  276.                All smoothing models are  applied  on  equally  spaced  observations.  Also
  277.          autoregressive integrated moving average (ARIMA)-models operate on equally spaced
  278.          time series, while regression models  work  on  irregularly  spaced  observations
  279.  
  280.  
  281.  
  282.  
  283.          PAGE4   Fascicle II.3 - Rec. E.506
  284.  
  285.          without modifications.
  286.                In the literature  it  is  shown  that  most  forecasting  methods  can  be
  287.          formulated as dynamic linear models (DLM). The Kalman Filter is a  linear  method
  288.          to estimate states in a time series which is modelled as a dynamic linear  model.
  289.          The Kalman Filter introduces a recursive procedure to calculate the forecasts  in
  290.          a DLM which is optimal in the sense of minimizing the mean squared one step ahead
  291.          forecast error. The Kalman Filter also gives an optimal solution in the  case  of
  292.          missing data.
  293.          6.2    Adjustment procedure based on comparable observations
  294.                In situations when some observations are missing, it  may  be  possible  to
  295.          use related data for  estimating  the  missing  observations.  For  instance,  if
  296.          measurements are carried out on a set of trunk groups in the same area, then  the
  297.          traffic measurements on various trunk groups are  correlated,  which  means  that
  298.          traffic measurements on a given trunk group to a certain degree  explain  traffic
  299.          measurements on other trunk groups.
  300.                When  there  is  high  correlation  between  two  time  series  of  traffic
  301.          measurements, the relative change in level and trend will be of the same size.
  302.                Suppose that a time series xt of equidistant observations from 1 to  n  has
  303.          an inside gap . xt is, for instance, the yearly increase. The gap consists  of  k
  304.          missing observations between r and r + k + 1.
  305.                A procedure for  estimating  the  missing  observations  is  given  by  the
  306.          following steps:
  307.                i)  Examine similar time series to the series with missing observations and 
  308.                   calculate the cross correlation.
  309.                ii) Identify time series with high cross correlation at lag zero.
  310.                iii)   Calculate the growth factor Dr+i between r and r + k of the similar
  311.                   time series yt:
  312.                       Dr+i = eq \f( yr+i - yr, yr+k+1 - yr)   i = 1, 2, . . . k        (6-1)
  313.                iv) Estimates of the missing observations are then given by:
  314.                       eq \o(\s\up4(^,x))!Unexpected End of Expression.r+i = xr + Dr+i 
  315.          (xr+k+1 - xr)   i = 1, 2, . . . k       (6-2)
  316.  
  317.  
  318.  
  319.  
  320.  
  321.  
  322.  
  323.  
  324.  
  325.  
  326.  
  327.  
  328.  
  329.  
  330.  
  331.  
  332.  
  333.  
  334.  
  335.  
  336.  
  337.  
  338.  
  339.  
  340.  
  341.  
  342.  
  343.  
  344.  
  345.  
  346.  
  347.  
  348.  
  349.  
  350.  
  351.  
  352.  
  353.  
  354.                                                         Fascicle II.3 - Rec. E.506   PAGE1
  355.  
  356.                 Example
  357.                 Suppose we want to forecast the time series  xt.  The  series  is  observed
  358.           from 1 to 10, but the observations at time 6, 7 and  8  are  missing.  However  a
  359.           related time series yt is measured. The measurements are given in Table 1/506.
  360.                                                  TABLE 1/E.506
  361.                     Measurements of two related time series; one with missing observations
  362.                  t      1     2     3     4     5     6     7     8     9     10
  363.                  xt    100   112   125   140   152    -     -     -    206   221
  364.                  yt    300   338   380   422   460   496   532   574  
  365.  
  366.  
  367.  
  368.  
  369.  
  370.  
  371.  
  372.  
  373.  
  374.  
  375.  
  376.  
  377.  
  378.  
  379.  
  380.  
  381.  
  382.  
  383.  
  384.  
  385.  
  386.  
  387.  
  388.  
  389.  
  390.  
  391.  
  392.  
  393.  
  394.  
  395.  
  396.  
  397.  
  398.  
  399.  
  400.  
  401.  
  402.  
  403.  
  404.  
  405.  
  406.  
  407.  
  408.  
  409.  
  410.  
  411.  
  412.  
  413.  
  414.  
  415.  
  416.  
  417.  
  418.  
  419.  
  420.  
  421.  
  422.  
  423.  
  424.  
  425.           PAGE4   Fascicle II.3 - Rec. E.506
  426.  
  427.                                                                          622   670
  428.                The last known observation of xt before the gap at time  5  is  152,  while
  429.          the first known observation after the gap at time 9 is 206.
  430.                Hence r = 5 and k = 3. The calculation gives:
  431.                D6 = eq \f( 496 - 460, 622 - 460) = eq \f( 36, 162)
  432.                D7 = eq \f( 532 - 460, 622 - 460) = eq \f( 72, 162)
  433.                D8 = eq \f( 574 - 460, 622 - 460) = eq \f( 114, 162)
  434.                eq \o(\s\up4(^),x)6 = 152 +eq \f( 36, 162) (206 - 152) = 164
  435.                eq \o(\s\up4(^),x)7 = 152 +eq \f( 72, 162) (206 - 152) = 176
  436.                eq \o(\s\up4(^),x)8 = 152 +eq \f( 114, 162) (206 - 152) = 190
  437.          6.3    Modification of forecasting models
  438.                The other possibility for handling missing observations is  to  extend  the
  439.          forecasting models with specific procedures. When  observations  are  missing,  a
  440.          modified procedure, instead  of  the  ordinary  forecasting  model,  is  used  to
  441.          estimate the traffic.
  442.  
  443.  
  444.  
  445.  
  446.  
  447.  
  448.  
  449.  
  450.  
  451.  
  452.  
  453.  
  454.  
  455.  
  456.  
  457.  
  458.  
  459.  
  460.  
  461.  
  462.  
  463.  
  464.  
  465.  
  466.  
  467.  
  468.  
  469.  
  470.  
  471.  
  472.  
  473.  
  474.  
  475.  
  476.  
  477.  
  478.  
  479.  
  480.  
  481.  
  482.  
  483.  
  484.  
  485.  
  486.  
  487.  
  488.  
  489.  
  490.  
  491.  
  492.  
  493.  
  494.  
  495.  
  496.                                                         Fascicle II.3 - Rec. E.506   PAGE1
  497.  
  498.                To illustrate such a procedure we look  at  simple  exponential  smoothing.
  499.          The simple exponential smoothing model is expressed by:
  500.                       eq \o(\s\up4(^),m)t = (1 - a) yt + aeq \o(\s\up4(^),m)t-1      (6-3)
  501.          where
  502.                yt is the measured traffic at time t
  503.                eq \o(\s\up4(^),m)t is the estimated level at time t
  504.                a is the discount factor [and (1 - a) is the smoothing parameter].
  505.                Equation (6-3) is a recursive formula. The recursion starts at time  1  and
  506.          ends at n if no observation is missing. Then a one step ahead forecast  is  given
  507.          by:
  508.                            eq \o(\s\up4(^),y)t (1) = eq \o(\s\up4(^),m)t              (6-4)
  509.                If some observations lying in between 1 and  n  are  missing,  then  it  is
  510.          necessary to modify the recursion procedure. Suppose now that y1, y2, . . .,  yr,
  511.          yr+k +1, yr+k +2, . . ., yn are known and yr+1, yr+2, . . ., yr+k are unknown. n 
  512.          the time series has a gap consisting of k missing observations.
  513.                The following modified forecasting model for simple  exponential  smoothing
  514.          is proposed in Aldrin [2].
  515.                       (1 - a) yt + a eq \o(\s\up4(^),m)t-1  t = 1, 2, . . . , r
  516.                       eq \o(\s\up4(^),m)t = (1 - ak) yt + akeq \o(\s\up4(^),m)t   t = 
  517.          r+k+1         (6-5)
  518.                       (1 - a) yt + a eq \o(\s\up4(^),m)t-1  t = r+k+2, . . . , n
  519.          where
  520.                                     ak = eq \f( a,1 + k(1-a)2)                        (6-6)
  521.                By using the  (6-5)  and  (6-6)  it  is  possible  to  skip  the  recursive
  522.          procedure in the gap between r and 
  523.          r + k + 1.
  524.                In  Aldrin  [2]  similar  procedures  are  proposed   for   the   following
  525.          forecasting models:
  526.                -   Holt's method,
  527.                -   Double exponential smoothing,
  528.                -   Discounted least squares method with level and trend,
  529.                -   Holt-Winters seasonal methods.
  530.                Wright [17] and [18]  also  suggests  specific  procedures  to  modify  the
  531.          smoothing models when observations are missing.
  532.                As mentioned in the first paragraph, regression  models  are  invariant  of
  533.          missing observations. When using the least squares method, all  observations  are
  534.          given the same weight. Hence, missing observations do not affect  the  estimation
  535.          procedure and forecast are made in the usual way.
  536.  
  537.  
  538.  
  539.  
  540.  
  541.  
  542.  
  543.  
  544.  
  545.  
  546.  
  547.  
  548.  
  549.  
  550.  
  551.  
  552.  
  553.  
  554.  
  555.  
  556.  
  557.  
  558.  
  559.  
  560.  
  561.  
  562.  
  563.  
  564.  
  565.  
  566.  
  567.          PAGE4   Fascicle II.3 - Rec. E.506
  568.  
  569.                On the other hand it is necessary to modify ARIMA models when  observations
  570.          are missing. In the literature several procedures are suggested in  the  presence
  571.          of missing data. The basic idea is to formulate the  ARIMA  model  as  a  dynamic
  572.          linear model. Then the likelihood function is easy to obtain and  the  parameters
  573.          in the model can be estimated recursively. References to work on this  field  are
  574.          Jones [9] and [10], Harvey and Pierse [8], Ansley and Kohn [3] and Aldrin [2].
  575.                State space models or dynamic linear models and the  Kalman  Filter  are  a
  576.          large class of models. Smoothing models, ARIMA models and regression  models  may
  577.          be formulated as dynamic linear models. This is shown, for instance,  in  Abraham
  578.          and Ledolter  [1].  Using  dynamic  linear  models  and  the  Kalman  Filter  the
  579.          parameters in the model are estimated in a  recursive  way.  The  description  is
  580.          given, for instance, in  Harrison  and  Stevens  [7],  Pack  and  Whitaker  [13],
  581.          Moreland [12], Szelag [15] and Chemouil and Garnier [6].
  582.                In Jones [9] and [10], Barham and  Dunstan  [4],  Harvey  and  Pierse  [8],
  583.          Aldrin [2] and Bφlviken [5] it is shown how the dynamic  linear  models  and  the
  584.          Kalman Filter handle missing observations.
  585.  
  586.  
  587.  
  588.  
  589.  
  590.  
  591.  
  592.  
  593.  
  594.  
  595.  
  596.  
  597.  
  598.  
  599.  
  600.  
  601.  
  602.  
  603.  
  604.  
  605.  
  606.  
  607.  
  608.  
  609.  
  610.  
  611.  
  612.  
  613.  
  614.  
  615.  
  616.  
  617.  
  618.  
  619.  
  620.  
  621.  
  622.  
  623.  
  624.  
  625.  
  626.  
  627.  
  628.  
  629.  
  630.  
  631.  
  632.  
  633.  
  634.  
  635.  
  636.  
  637.  
  638.                                                         Fascicle II.3 - Rec. E.506   PAGE1
  639.  
  640.