home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Jason Aller Floppy Collection / 189.img / CALC2.ZIP / CII_2.HLP < prev    next >
Text File  |  1989-09-07  |  3KB  |  100 lines
  1.  
  2.  
  3.                        DIFFERENTIAL CALCULUS
  4.  
  5.  
  6.      A function f(x) is continuous at x = a, if and only if
  7.  
  8.                        lim f(x) = f(a).
  9.                        x─>a  
  10.  
  11. Limits of continuous functions can be evaluated by substitution.  If a  O/O 
  12. or  ∞/∞ form results then algebraic simplification must precede
  13. substitution.
  14.  
  15. Given that  lim f(x)  and  lim g(x)  exist, the following are true: 
  16.             x->a           x->a
  17.  
  18.      1.  lim (f(x) ± g(x))  =  lim f(x) ± lim g(x)
  19.          x->a                  x->a       x->a
  20.  
  21.      2.  lim (f(x) ∙ g(x))  =  lim f(x) ∙ lim g(x)
  22.          x->a                  x->a       x->a
  23.  
  24.      3.  lim (f(x)/g(x))  =  lim f(x)/lim g(x)  provided  lim g(x) ╪ O
  25.          x->a                x->a     x->a                x->a
  26.  
  27.      4.  lim f(x)  =  L <=> lim  f(x) = L  and  lim  f(x) = L .
  28.          x->a               x->a+               x->a-
  29.  
  30.  
  31.  
  32.      The derivative of f(x) with respect to x evaluated at x  is
  33.                                                             °
  34.  
  35.            df(x )         f(x + h) - f(x )          f(x) - f(x )
  36.                °             °          °                     °
  37.           ───────  =  lim ────────────────  =  lim  ────────────  
  38.             dx        h->O        h            x->x    x - x
  39.                                                    °        °
  40.  
  41. if the limit exists.  
  42.  
  43. Geometrically, the derivative gives the slope of the curve at the point
  44. where it is evaluated.  
  45.  
  46.  
  47. Rules for differentiation you will need are:
  48.  
  49.  
  50.        d  ┌           ┐     df(x)     dg(x)
  51.    1.  ── │f(x) ± g(x)│  =  ─────  ±  ─────
  52.        dx └           ┘       dx        dx
  53.  
  54.        d  ┌           ┐          dg(x)          df(x)
  55.    2.  ── │f(x) ∙ g(x)│  =  f(x) ─────  +  g(x) ─────
  56.        dx └           ┘            dx             dx
  57.  
  58.  
  59.                           df(x)          dg(x)
  60.           ┌    ┐     g(x) ─────  -  f(x) ─────
  61.        d  │f(x)│           dx             dx
  62.    3.  ── │────│  =  ─────────────────────────
  63.        dx │g(x)│           ┌    ┐2
  64.           └    ┘           │g(x)│
  65.                            └    ┘
  66.  
  67.          n
  68.        dx        n-1                        d sin x
  69.    4.  ───  =  nx                       5.  ───────  =  cos x
  70.        dx                                     dx
  71.  
  72.        d cos x                              d tan x        2
  73.    6.  ───────  =  -sin x               7.  ───────  =  sec x
  74.          dx                                   dx
  75.  
  76.        d cot x         2                    d sec x
  77.    8.  ───────  =  -csc x               9.  ───────  =  (sec x)(tan x)
  78.          dx                                   dx
  79.  
  80.        d csc x
  81.   1O.  ───────  =  -(csc x)(cot x)
  82.          dx
  83.  
  84.  
  85.  
  86. The chain rule gives the derivative of f(u(x)) with respect to x as:    
  87.  
  88.         d f(u(x))     d f(u)    du
  89.         ───────    =  ─────── ∙ ── .
  90.            dx            du     dx 
  91.  
  92.  
  93. This procedure can be used on formula 4-1O above to produce additional
  94. formula.
  95.    
  96. The expression  y = f(x). is called explicit. Expressions which are
  97. not explicit are called implicit, e.g. xy = 3.  To differentiate implicit
  98. expressions, differentiate both sides of the expression with respect to the
  99. independent variable.  Use the chain rule where needed.
  100.