home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ ftp.pasteur.org/FAQ/ / ftp-pasteur-org-FAQ.zip / FAQ / sci-math-faq / trisection < prev    next >
Text File  |  1998-02-28  |  4KB  |  79 lines
  1. Newsgroups: sci.math,news.answers,sci.answers
  2. Path: senator-bedfellow.mit.edu!bloom-beacon.mit.edu!news.kodak.com!news-pen-14.sprintlink.net!207.41.200.16!news-pen-16.sprintlink.net!newsfeed.nysernet.net!news.nysernet.net!news.sprintlink.net!Sprint!128.122.253.90!newsfeed.nyu.edu!newsxfer3.itd.umich.edu!news-peer.gip.net!news-lond.gip.net!news.gsl.net!gip.net!newsfeed.icl.net!btnet-feed2!btnet!bmdhh222.bnr.ca!bcarh8ac.bnr.ca!bcarh189.bnr.ca!nott!kwon!watserv3.uwaterloo.ca!undergrad.math.uwaterloo.ca!neumann.uwaterloo.ca!alopez-o
  3. From: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca (Alex Lopez-Ortiz)
  4. Subject: sci.math FAQ: The Trisection of an Angle
  5. Summary: Part 18 of 31, New version
  6. Originator: alopez-o@daisy.uwaterloo.ca
  7. Message-ID: <Ep1yKz.B04@undergrad.math.uwaterloo.ca>
  8. Sender: news@undergrad.math.uwaterloo.ca (news spool owner)
  9. Approved: news-answers-request@MIT.Edu
  10. Date: Fri, 27 Feb 1998 19:38:59 GMT
  11. Expires: Sun, 1 Mar 1998 14:55:55 GMT
  12. Reply-To: alopez-o@neumann.uwaterloo.ca
  13. Nntp-Posting-Host: neumann.uwaterloo.ca
  14. Organization: University of Waterloo
  15. Followup-To: sci.math
  16. Lines: 61
  17. Xref: senator-bedfellow.mit.edu sci.math:242797 news.answers:124266 sci.answers:7875
  18.  
  19. Archive-name: sci-math-faq/trisection
  20. Last-modified: February 20, 1998
  21. Version: 7.5
  22.  
  23.  
  24.    
  25.    
  26.                          The Trisection of an Angle
  27.                                        
  28.    Theorem 4. The trisection of the angle by an unmarked ruler and
  29.    compass alone is in general not possible.
  30.    
  31.    This problem, together with Doubling the Cube, Constructing the
  32.    regular Heptagon and Squaring the Circle were posed by the Greeks in
  33.    antiquity, and remained open until modern times.
  34.    
  35.    The solution to all of them is rather inelegant from a geometric
  36.    perspective. No geometric proof has been offered [check?], however, a
  37.    very clever solution was found using fairly basic results from
  38.    extension fields and modern algebra.
  39.    
  40.    It turns out that trisecting the angle is equivalent to solving a
  41.    cubic equation. Constructions with ruler and compass may only compute
  42.    the solution of a limited set of such equations, even when restricted
  43.    to integer coefficients. In particular, the equation for theta = 60
  44.    degrees cannot be solved by ruler and compass and thus the trisection
  45.    of the angle is not possible.
  46.    
  47.    It is possible to trisect an angle using a compass and a ruler marked
  48.    in 2 places.
  49.    
  50.    Suppose X is a point on the unit circle such that angle XOE is the
  51.    angle we would like to ``trisect''. Draw a line AX through a point A
  52.    on the x-axis such that |AB| = 1 (which is the same as the radius of
  53.    the circle), where B is the intersection-point of the line AX with the
  54.    circle.
  55.    
  56.    
  57.    Figure 7.1: Trisection of the Angle with a marked ruler
  58.    
  59.    Let theta be angle BAO. Then angle BOA = theta , and angle XBO = angle
  60.    BXO = 2 theta 
  61.    
  62.    Since the sum of the internal angles of a triangle equals pi radians
  63.    (180 degrees) we have angle XBO + angle BXO + angle BOX = pi ,
  64.    implying 4 theta + angle BOX = pi . Also, we have that angle AOB +
  65.    angle BOX + angle XOE = pi , implying theta + angle BOX + angle XOE =
  66.    pi . Since both quantities are equal to pi we obtain
  67.    
  68.    4 theta + angle BOX = theta + angle BOX + angle XOE 
  69.    
  70.    From which
  71.    
  72.    3 theta = angle XOE 
  73.    
  74.    follows. QED.
  75. -- 
  76. Alex Lopez-Ortiz                                           alopez-o@unb.ca
  77. http://daisy.uwaterloo.ca/~alopez-o                    Assistant Professor    
  78. Faculty of Computer Science                    University of New Brunswick
  79.