Enciclopedia de la Ciencia 2.0

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Text File | 1998-10-07 | 10KB | 1 lines

TEXT2>»'Text1Articleφ'*Text1Heading<P1>Las formas planas son figuras tales como los <HOT TARGET=988>círculos</HOT>, <HOT TARGET=2756>cuadrados</HOT> y <HOT TARGET=2795>triángulos</HOT>. Generalmente, una forma plana consta de rectas o <HOT TARGET=679>curvas</HOT> que encierran una región de una <HOT TARGET=2774>superficie</HOT> bidimensional. A menudo, se dice que una forma plana está cerrada. Esto significa que encierra completamente una región de una superficie. El área de la forma plana da una medida de la región que encierra la forma. También es posible hallar el área de toda la superficie de una forma o superficie sólida, o de una parte de ella. Este tipo de área se llama el área de la superficie. Las áreas se miden en unidades cuadradas, tales como los centímetros cuadrados o los metros cuadrados.</P1><H1>Áreas planas</H1>Existen fórmulas estándar para hallar las áreas de muchas formas planas.<H2>Cuadrados y rectángulos</H2>El área plana más sencilla de hallar es la de un cuadrado: el área es simplemente el cuadrado de la longitud de un lado (ésta multiplicada por ella misma). Por ejemplo, el área del cuadrado del diagrama 1 viene dada por <DISPMATH>área = 3 cm × 3 cm = (3 cm) 2 = 9 cm2</DISPMATH>El área de un rectángulo viene dada por la longitud multiplicado por la anchura. El área del rectángulo del diagrama 1 viene dada por <DISPMATH>área = 4 cm × 2 cm = 8 cm2</DISPMATH><DISPMATH><PIC SOURCE="WHGE2X1B"></PIC></DISPMATH><CAPH_L>Diagrama 1</CAPH_L><H2>Triángulos</H2>Hay varias formas distintas de hallar el área de un triángulo. La fórmula básica es la mitad del producto de la base por la altura, o sea,<PIC SOURCE="WHGE2X2B"></PIC>Por ejemplo, el área del triángulo del diagrama 2 es<DISPMATH>1/2 × 4 cm × 8 cm = 16 cm2</DISPMATH><DISPMATH><PIC SOURCE="WHGE2X3B"></PIC></DISPMATH><CAPH_L>Diagrama 2</CAPH_L>Si el triángulo no es <HOT TARGET=2655>rectángulo</HOT>, se debe hallar la altura <HOT TARGET=2578>perpendicular</HOT> a la base que pasa por el vértice. Si se conoce uno de los ángulos del triángulo se puede hallar la altura utilizando una de las <HOT TARGET=2796>funciones trigonométricas</HOT> básicas. Por ejemplo, la altura, h, del triángulo del diagrama 3 se puede hallar a partir de <PIC SOURCE="WHGE2X4B"></PIC>Por tanto,<DISPMATH>h = 8 × sen50∘ ≈ 6,13 cm</DISPMATH>Por ello, el área del triángulo del diagrama 3 es<DISPMATH>1/2 × 10 cm × 8 × sen50∘ cm</DISPMATH><DISPMATH>≈ 1/2 × 10 × 6,13 cm = 30,64 cm2 (con una precisión de hasta dos <HOT TARGET=239>posiciones decimales</HOT>)</DISPMATH><DISPMATH><PIC SOURCE="WHGE2X5B"></PIC></DISPMATH><CAPH_L>Diagrama 3</CAPH_L>Se puede generalizar este método para hallar una segunda fórmula simple para calcular el área de cualquier triángulo, dadas las longitudes de dos lados y el ángulo entre ellos. Esta fórmula es<PIC SOURCE="WHGE2X6B"></PIC>Por ejemplo, se puede hallar el área del triángulo del diagrama 3 mediante este método:<DISPMATH>área = 1/2 × 8 cm × 10 cm × sen50∘</DISPMATH><DISPMATH>≈ 30,64 cm2</DISPMATH>Se puede utilizar una tercera fórmula para el área del triángulo conociendo sólo las longitudes de los lados. Mediante la fórmula atribuida al matemático de la Grecia antigua <HOT TARGET=2160>Herón de Alejandría</HOT>, que afirma que<PIC SOURCE="WHGE2X7B"></PIC>donde a, b, y c son los lados del triángulo, y s es su semiperímetro (la mitad de la longitud del perímetro). En otras palabras,<PIC SOURCE="WHGE2X8B"></PIC>Por ejemplo, el semiperímetro del triángulo del diagrama 4 viene dado por<PIC SOURCE="WHGE2X9B"></PIC>Por consiguiente, el área del triángulo del diagrama 4 es<PIC SOURCE="WHGE2XAB"></PIC><PIC SOURCE="WHGE2XBB"></PIC><CAPH_L>Diagrama 4</CAPH_L><H2>Círculos</H2>La fórmula para hallar el área de un círculo utiliza el <HOT TARGET=238>radio</HOT> del círculo y la <HOT TARGET=700>constante</HOT> π (<HOT TARGET=276> pi</HOT>). Muchas calculadoras tienen una tecla π que se puede utilizar para este tipo de cálculo. De forma alternativa, se puede utilizar el valor aproximado de π, 3,14. El área de un círculo viene dada por<DISPMATH>área = πr2</DISPMATH>Por ejemplo, el círculo del diagrama 5 tiene un radio de 4 cm, por lo que su área será<DISPMATH>área = π Χ 42 ≈ 50,27 cm2</DISPMATH><DISPMATH><PIC SOURCE="WHGE2XCB"></PIC></DISPMATH><CAPH_L>Diagrama 5</CAPH_L><H2>Polígonos</H2>Existen fórmulas estándar que permiten hallar las áreas de algunos <HOT TARGET=2642>polígonos</HOT>. Ya se han tratado los cuadrados, rectángulos y triángulos, pero también existen fórmulas estándar para hallar las áreas de los <HOT TARGET=2559>paralelogramos</HOT>, <HOT TARGET=2704>rombos</HOT> y <HOT TARGET=689>trapecios</HOT>. En general, hay dos métodos para hallar el área de un polígono para el que no exista una fórmula estándar.Cualquier polígono se puede dividir en triángulos, rectángulos o una combinación de ellos. Se puede encontrar entonces el área de cada una de estas formas y sumarlas para hallar el área del polígono completo. Por ejemplo, se puede dividir el polígono del diagrama 6 en un rectángulo y en un triángulo como muestra la línea punteada.<PIC SOURCE="WHGE2XDB"></PIC><CAPH_L>Diagrama 6</CAPH_L>El área del rectángulo viene dada por<DISPMATH>área = 4 cm × 5 cm = 20 cm2</DISPMATH>El área del triángulo se puede calcular mediante la fórmula de Herón. Esta viene dada por <PIC SOURCE="WHGE2XEB"></PIC>Por lo tanto, el área del polígono viene dada por<DISPMATH>área = 20 cm2 + 2,90 cm2 = 22,90 cm2</DISPMATH>Otra manera de hallar el área de un polígono es añadir formas que tengan una fórmula estándar al polígono para obtener otra forma con fórmula estándar. Por ejemplo, se pueden añadir dos triángulos al polígono del diagrama 7 para convertirlo en un rectángulo.<PIC SOURCE="WHGE2XFB"></PIC><CAPH_L>Diagrama 7</CAPH_L>El área del polígono viene dada por el área del rectángulo grande menos las áreas de los dos triángulos pequeños. El área del rectángulo viene dada por<DISPMATH>área = 4 cm × 7 cm = 28 cm2</DISPMATH>Las áreas de los triángulos se pueden hallar utilizando la fórmula de la mitad de la base por la altura:<DISPMATH>área1 = 1/2 × 2 cm × 3 cm = 3 cm2</DISPMATH><DISPMATH>área2 = 1/2 × 2 cm × 1 cm = 1 cm2</DISPMATH>Por lo tanto, el área del polígono completo viene dada por<DISPMATH>área = 28 cm2 - (3 cm2 + 1 cm2)</DISPMATH><DISPMATH>= 28 cm2 - 4 cm2 = 24 cm2</DISPMATH><H1>Áreas de superficies</H1>También existen fórmulas estándar para calcular las áreas de las superficies de varias <HOT TARGET=2743>figuras sólidas</HOT>, tales como una <HOT TARGET=2754>esfera</HOT> o un <HOT TARGET=1177>cilindro</HOT>. El área de la superficie de un cono circular derecho (un cono con su vértice situado sobre el centro de su base) viene dada por<DISPMATH>área de la superficie = πr (r + s)</DISPMATH>donde r es el radio de la base del cono y s es la altura inclinada del cono (ver diagrama 8).<PIC SOURCE="WHGE2XGB"></PIC><CAPH_L>Diagrama 8</CAPH_L><H1>Planos y superficies</H1>Tanto las formas planas como las superficies se pueden medir en términos de su área porque el área es una propiedad de las superficies, y las formas planas son figuras sobre una superficie plana. (Una superficie plana se llama a menudo, simplemente, plano). Una superficie puede considerarse como una figura <HOT TARGET=1049>continua</HOT> <HOT TARGET=2798>bidimensional</HOT> (cualquier pequeña parte de la figura se extiende sólo sobre dos direcciones perpendiculares, aunque la figura completa pueda replegarse y doblarse sobre tres o más dimensiones). Una forma alternativa de interpretar las superficies es imaginarlas como el límite de una figura sólida (tridimensional). Nótese que los nombres de muchas figuras geométricas, como las esferas, cubos, y cilindros, se pueden utilizar tanto para referirse a las figuras sólidas como a las superficies que delimitan.<TITLE>Formas planas y área</TITLE>